多自由度结构动力学直接积分法的稳定性分析

大连理工大学本科毕业设计（论文）多自由度结构动力学直接积分法的稳定性分析Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural Dynamics学 院（系）： 运载工程与力学学部 专 业： 工程力学系 学 生 姓 名： 施志伟 学 号： 200731034 指 导 教 师： 杨迪雄 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 大连理工大学Dalian University of Technology多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析摘 要直接积分法是解决结构动力学问题的重要方法，精度和稳定性是它的两个重要指标，本文利用自动控制理论与结构动力学知识有机结合，研究探讨了直接积分法的稳定性问题以及稳定性条件。本文由浅入深，首先介绍了结构动力学的基础知识、然后介绍了几种常见的直接积分法，包括Newmark法、Wilson-法、Runge-Kutta法和HHT-法，并且用时域分析中矩阵特征值分析的方法分析了Newmark法的稳定性，给出了Newmark法的稳定性条件；接着详细讲解了自动控制理论中的重要知识，包括反馈控制、控制系统的数学模型（主要介绍了微分方程和传递函数）、开环系统、闭环系统以及根轨迹等；最后将结构动力学知识与自动控制理论结合，以MATLAB为工具，分析了多自由度系统在线弹性结构和非线性结构下的稳定性。通过改变振动微分方程的形式，运用自动控制理论的闭环系统及根轨迹概念，可以分析直接积分法处理非线性动力学问题时的稳定性，本文中主要分析了Newmark法的稳定性。在线弹性系统中，根据叠加原理我们可以研究单自由度系统的稳定性来得到多自由度系统的稳定性，本文以单自由度系统为例分析了多自由度系统的稳定性；在非线性系统中，本文以简单的二自由度结构为例，分析了多自由度系统的稳定性。关键词：多自由度系统；直接积分法；非线性；稳定性；控制理论- I -多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural DynamicsAbstract Direct integration algorithms are the important method to solve the problem of structure dynamics. Precision and stability are its two important indexes, This paper combine automatic control theory with structural dynamics knowledge to study the direct integration algorithms stability problem and stability conditions.This paper first introduce the basic knowledge of structure dynamics, then introduce several direct integration algorithms, including Newmark method, Wilson method, Runge - Kutta method and HHT- method. The condition of stability of Newmark method is given by the eigenvalue analysis of matrix of time-domain analysis, Explain the important knowledge of automatic control theory, including feedback control, control systems mathematical model (mainly introduce differential equation and transfer function), the open loop system, closed-loop system and root locus, etc.; At last combine structural dynamics knowledge with automatic control theory, use MATLAB for tools, analyzes the stability of the MDOF system under the linear elastic structure and the nonlinear structure.By changing the form of the vibration differential equation, using automatic control theory of closed-loop system and root locus concept, you can analyze the stability of the direct integration algorithms with nonlinear dynamic problems. In this paper, we analyze the stability of the Newmark integration algorithm. In the linear elastic structure system, based on the principle, we can get the stability of MDOF system by analyzing the SDOF system. Taking the SDOF system as an example, we get the stability of MDOF system in this paper. Taking the simple two-degree-of-freedom system as an example, we analyze the stability of the MDOF system.Key Words：MDOF；Direct Integration Algorithm；Nonlinear；Stability; Control Theory- IV -目 录摘 要IAbstractII引 言11 结构动力学基础。41.1 结构动力学简介41.2结构动力学运动微分方程41.2.1 单自由度系统41.2.2 多自由度系统41.3 动力响应的求解方法52 直接积分法62.1 直接积分法的原理62.2 直接积分法的分类62.3 常用的直接积分法72.3.1 Newmark法72.3.2 Wilson-法82.3.3 Runge-Kutta法102.3.4 HHT-法102.4 时域积分法的稳定性分析113 自动控制理论基础133.1 自动控制理论发展综述133.2 反馈控制133.3控制系统的数学模型143.3.1 数学模型143.3.2 微分方程-建立153.3.3 传递函数163.4 开环系统与闭环系统183.5 根轨迹194 线弹性结构动力学直接积分法的稳定性分析214.1 多自由度线弹性结构动力学的稳定性分析214.2 线弹性下的Newmark法稳定性分析235 非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析265.1 非线性结构动力学研究现状265.2 多自由度系统直接积分法的闭环系统表示265.3 非线性下的Newmark法稳定性分析29结 论38参 考 文 献39致 谢40多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析引 言在结构动力学问题中，直接积分法是求解结构动力响应的有效数值方法。它的基本思想是将动力方程在时间域上离散化，即化为对时间的差分格式，然后根据初始条件并利用直接积分法，逐步求出一系列离散时刻上的动力学响应值。迄今为止已近出现了许多的直接积分法，著名的得到广泛应用的例如Newmark系列方法（Newmark,1959）、Wilson-法（Wilson,1968）、HHT法（Hilber、Hughes、Taylor,1977）以及数学家所推崇的四阶Runge-Kutta法、改良的Newmark精细积分法等等，无论是从加速度、速度、位移关系的离散模拟，还是从能量角度势能原理，或者从如何消除计算机的舍入误差实现精细积分，数学力学工作者们多个方面研究直接积分法的特性，并创造或改良出新的具有更好特性的直接积分法。直接积分法的特性包括其显性、隐性区别，精度，稳定性等。直接积分算法按照是否需要求解耦联方程组可以分为隐式与显式方法。显式方法不需要求解耦联方程组，计算量小，但显式方法受稳定性条件的限制计算步长不能取得过大；隐式方法需要求解耦联方程组，计算量大，但由于其不受稳定性条件限制，故计算步长可以取得较大。目前显式与隐式方法的使用有着较大的交集，这主要是因为目前计算模型不是很复杂、自由度数目不是很多，显式方法与隐式方法所消耗的时间与占用的内存相差不大。在多数情况下，要根据经验来决定采用哪一种积分方法较为合适。但无论采用哪一种方法，目的都是为了提高计算效率，获得较精确的计算结果。与隐式方法相比，尽管显式方法的条件是稳定的，计算时间步长必须较小，但对于大型结构体系的动力反应问题，特别是需要考虑体系非线性时，采用条件稳定的显式积分方法求解动力反应有时也是非常有利的，并且对于隐式方法来说，受计算精度要求的限制，计算步长也不可能取得太大。在对大型复杂结构非线性动力反应进行分析时，精度、稳定性与耗时之间的矛盾日益突出，影响和制约了结构动力反应分析的发展。如果能够建立具有更高精度和更好稳定性的显式方法，或者节约存储空间和计算时间的更好的隐式方法，对大型复杂结构的科学分析和设计将具有重要的理论和实际意义。在用直接积分法求解系统的运动方程时，该方法的稳定性是一个非常重要的概念。计算机数值计算必然存在数据的舍入误差，因而时间步长并非完全一样。如果以任意的时间步长所取得的解不是无界地增长或振荡，则这种方法是无条件稳定的；如果只在时间步长小于某一特定数值时或必须满足某些条件时，不会产生解的无界的增长或振荡，则这种方法是条件稳定的；否则，如果任意的时间步长所取得的解会无界增长或振荡，这种方法是不稳定的。研究直接积分法的稳定性有多种方法。在时域上分析直接积分法的稳定性已经得到了广泛研究。可以从直接积分法的时域迭代格式出发，研究迭代格式的转换矩阵的特性。线性代数理论给出了要使迭代结果不发散，转换矩阵必须满足的条件。这可以判断一个具体的直接积分法是否稳定、是否无条件稳定以及其稳定性条件。Newmark 于1959年提出的为了求解结构受到阵风和地震荷载作用的动力学问题的单步积分方法，是工程界常用的一种方法，也是学习直接积分法入门必学的方法。它是整个直接积分法的发展的一块基石，后来许多的方法，都是在Newmark系列方法的基础上改良而成。而Newmark系列方法的许多特性，包括稳定性、精度等，都已经得到了广泛而深入的研究。在时域上研究直接积分法已经很成熟。振幅衰减（AD）和周期延长（PE）（Chopra 2001）是评价直接积分法的两个标准。直接积分法频域的性质是近期研究的主要内容。Ramirez（1992）得到对应Nermark法的离散转换函数，并且研究了它的频率响应的大小和相位误差特性。Mugan和Hulbert（2001a,b）拓展了这个工作到其他的直接积分法，并且研究了它们的频率响应。Mugan（2003）发现频域分析能描述一个积分法所有的时域特性。在自动控制工程理论中传递函数用于描述一个线性时不变系统的输入和输出的关系。它分为连续和离散两类。连续传递函数是响应的Laplace变换与输入的Laplace变换之比；而离散传递函数则是响应的Z变换与输入的Z变换之比。多自由度直接积分法的稳定性可以分析单自由度直接积分法的稳定性得到。对于一个单自由度振动系统，其振动方程可以看做一个自动控制理论中的时域数学模型，输入量是外力，输出量是动力响应（位移、速度、加速度）。因此，一个连续传递函数相当与一个微分方程，而一个离散传递函数相当于一个差分方程，均描述系统的动力学响应。在控制理论中，一个连续转换函数的输出，与使用相同的输入到一个相对应的离散转换函数中得到的输出是一样的（Ogata 1995）。在自动控制理论中，传递函数的稳定性特性可通过分析传递函数的极点在复数域上的位置来得到。对于一个具体的直接积分法，通过Z变换得到其对应的离散传递函数之后，可以通过分析这个离散传度函数的极点来分析积分法的稳定性。利用MATLAB软件，可以作出离散传递函数对应的零极点图，进而可以得到这个积分法的稳定性特性。自动控制理论中的传递函数，用结构框图表示，有开环与闭环两种形式。线弹性振动系统的传递函数即是开环形式，而非线性振动系统，通过对振动方程式的变形，可以看到非线性系统对应的传递函数是闭环形式，反馈增益就是非线性刚度。根轨迹图是对应某一参数变化的传递函数的极点变化图，可以看到极点的变化趋势。对应非线性刚度的变化，用MATLAB软件可以作出根轨迹图，直观得到直接积分法应用于非线性问题时的稳定性。 1 结构动力学基础。1.1 结构动力学简介结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动态作用下的动力响应和稳定性的学科，它是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动载荷的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。结构动力学同结构静力学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力和阻尼力，在外加动载荷作用下，结构会发生振动，它的任一部分或者任意取出的一个微体将在外载荷、弹性力、惯性力和阻尼力的共同作用下处于达朗伯原理意义下的平衡状态。通过位移及其导数来表示这种关系就得到运动方程。运动方程的建立、求解和分析是结构动力学理论研究的基本内容。工程结构的动力问题有两大类，一类是求结构的自振频率（固有频率）及相应的振型，另一类是求在任意动力载荷（例如冲击力、风、海浪或地震）作用下结构位置、变形或内力等随着时间的变化规律。对结构进行动力分析的目的就是要保证结构在使用期间，在可能发生的动力载荷作用下能够正常地工作，并确保其安全可靠。1.2 结构动力学运动微分方程1.2.1 单自由度系统单自由度系统的振动研究中的最简单的一类系统，它的运动微分方程为： (1.2.1)式中，m为系统质量，x为系统位移，k为系统刚度，c为阻尼系数，为强迫力，并且有定义：粘滞阻尼系数 ，振动系统的固有频率 ，自振频率，自振周期。1.2.2 多自由度系统多自由度系统的运动微分方程为： (1.2.2)其中，为质量阵，为刚度阵，为阻尼阵，为外部激励向量，为系统的位移向量。设多自由度系统为n阶线弹性多自由度系统，则质量阵、刚度阵、阻尼阵可以写成如下形式：（1.2. 3）其中，、和（=1,2,3n）分别表示系统中第个自由度的质量、刚度和阻尼系数。1.3 动力响应的求解方法求振动系统在任意激励和初始条件下的响应，关键是求Duhamel积分，可采用解析或数值积分来完成。当外部激励复杂、系统自由度数较多时，解析解法很难处理。此时就需要使用数值积分的方法来求动力响应，即直接积分法。2 直接积分法2.1 直接积分法的原理直接积分法是指不对微分方程组进行数学变化（如振型分解）变成另一种形式，而是直接进行数值计算来得到近似解的方法。通常是将时间域离散为若干时间节点，建立前后相邻时间节点上位移、速度和加速度等变量的代数关系式，从而可以由初始条件开始，沿时间增量向后逐步计算每个节点上的函数值，因此又称作逐步积分法（Step-by-Step Time Integration）。研究运动微分方程的初值问题 (2.1a)， (2.1b)式中矩阵、和向量、已知。该问题有多种数值解法，基本思路是：将时间离散化并使间隔足够小，把微分方程近似为代数方程，从时刻已求出（或时已知）的响应求解下一时刻时的响应，依次递推。直接积分法原理如下图所示：图2.1 直接积分法原理图2.2 直接积分法的分类传统的差分型直接积分法分为显式法和隐式法两种，显式法是求解t + t 时刻解时只用到系统在t时刻的运动微分方程，显式法大多计算简单，但一般为条件稳定，选取的时间步长受系统的自然振动频率和周期的限制，需在一定范围里才能得到收敛解，为了提高计算精度，时间间隔t必须十分小，否则，随着计算步数的增加，误差不断积累、出现发散现象；隐式算法利用系统在t + t 时刻的运动微分方程来求解t + t 时刻的解，这种算法由于运动方程包含未知的结构响应，需要通过反复迭代的方法计算时刻的响应，它是一个非线性计算的过程，只要选择合适的参数，一般为无条件稳定。时间步长不受系统自然频率或周期的限制，时间步长若选取不恰当，仍可以得到收敛的解，虽然计算结果可能已经不精确。显式积分方法的实质是从当前时刻的节点运动方程推求下一时刻节点的运动, 其优点是不需要进行刚度、质量、阻尼阵的总装, 其右端项的形成只须在单元一级水平上根据每个单元对有效荷载向量的贡献累加而成, 这样整个计算基本上在单元一级水平上进行, 仅需要很小的高速存贮区, 计算效率较高, 这种方法在开放系统的波动反应分析中有较多的应用。但是, 显式积分方法只是一种条件稳定的积分法, 计算采用的时间步长受积分格式稳定性的限制。隐式积分方法在数值稳定性方面具有一定的优越性，采用的是Newmark等隐式时间积分，引入了微量代替，需要转换刚度矩阵，对于非线性，需要采用多种数值计算方法，因为这类问题时间历程较长，可以采用较大的时间步长，也能保证一定的精度要求。2.3 常用的直接积分法若时刻的系统状态、已知，则根据式(2.1a)可确定其加速度。系统在下一时刻的运动满足: (2.3.1)对于足够小的间隔，可写出以下Taylor展开式 (2.3.2a) (2.3.2b) (2.3.2c)2.3.1 Newmark法1959年Newmark提出一单步积分方法来求解结构受到阵风和地震荷载作用的动力学问题。Newmark引入两个参数和，将Taylor展开式(2.3.2)作截断处理，从而有: (2.3.1.1a) (2.3.1.1b) (2.3.1.1c)将式(2.3.1.1c)中的代入式(2.3.1.1a)和式(2.3.1.1b)，得到 (2.3.1.2a) (2.3.1.2b)上述2式为Newmark直接积分法的基本公式，可以改写为 (2.3.1.3a) (2.3.1.3b)将上述2式代入式(2.3.1)得到 (2.3.1.4)式中，。式(2.2.3.3)和式(2.2.3.4)给出了依据时刻的响应、和计算时刻响应、和的公式，依次可求下个任意时刻的响应。 当、时，即为线性加速度Newmark法；当、时，为常平均加速度Newmark法；当、时，为显式表达的Newmark法。2.3.2 Wilson-法该方法是基于对作另一种形式的展开。参考图2.2.2，把加速度线性变化公式的范围扩展到。图2.2.2 Wilson-法的线性加速度扩展假设引入 (2.3.2.1)则有 (2.3.2.2)将上式关于积分一次和两次，然后取，得： (2.3.2.3a) (2.3.2.3b)将式(2.2.2.1)代入上式，得： (2.3.2.4a) (2.3.2.4b)自式(2.2.2.4b)解出并代回式(2.2.2.4a)，得到： (2.3.2.5a) (2.3.2.5b)写出系统在时刻的运动微分方程： (2.3.2.6)将式(2.2.2.5)代入上式，可解出，然后即可确定时刻的系统响应，得到： (2.3.2.7a) (2.3.2.7b) (2.3.2.7c)式(2.3.2.7)即是Wilson-法的迭代格式。2.3.3 Runge-Kutta法这是一种被广泛应用的数值解法，适用于求解一般的一阶常微分方程组 (2.3.3.1)式中是向量与时间的任意连续函数。该方法是基于对在处Taylor展开式的修正，一般取到4阶导数项。其递推公式为： (2.3.3.2)其中，。应用Runge-Kutta法求解方程(2.1)时，先要把它转化为方程(2.3.3.1)的形式。为此，将方程(2.1a)改写为： (2.3.3.3)引入2N维状态向量 (2.3.3.4)则式(2.3.3.3)可写成一阶微分方程组： (2.3.3.5)从而可用Runge-Kutta法求解。2.3.4 HHT-法此方法有Hllber，Hughes和Taylor于1977年提出，其基本式如下： (2.3.4.1) (2.3.4.2) (2.3.4.3) 其中。 将式(2.3.4.2)、(2.3.4.3)代入式(2.3.4.1)中可以得到第i+1步长时间内系统的加速度，将加速度分别代入式(2.3.4.2)和(2.3.4.2)中可以分别求得第i+1步长时间内系统的的速度和位移。 2.4 时域积分法的稳定性分析在线弹性分析阶段，多自由度体系的动力反应问题可以采用振型叠加法转化为一系列单自由度结构体系动力反应问题的求解，故仅需研究单自由度结构体系的稳定性。对于式(1.2.1)的单自由度结构在的振动方程可简写为： (2.4.1)式中，为粘滞阻尼系数，为自振圆频率，为作用荷载，。对于时域直接积分法，用于求解式(2.3)的反应时，可以导出如下的递推关系： (2.4.2)式中，为积分算子逼近矩阵。由模态法稳定性分析原理可知，任一积分方法的稳定性仅依赖于的特征值，即 (2.4.3)式中，为的特征值。令为的谱半径，即定义，其中为的第个特征值。设，可知与均为和的函数。由模态法稳定性分析原理可知，当时，积分格式是稳定的，进而可求出和的关系式。在此我们主要对Newmark法进行稳定性分析。Newmark法的递推公式为： (2.4.4)其中， (2.4.5) (2.4.6) (2.4.7)由此可以分析出Newmark法的稳定性条件是：当、时，该算法无条件稳定。可以看到，常平均加速度Newmark法(、) 是无条件稳定的；线性加速度Newmark法（、）是条件稳定的；显式表达的Newmark法（、）是条件稳定的。下面分析线性加速度法与显式表达的Newmark法的稳定条件。当、时，有稳定性条件 (2.4.8)将、代入式(2.3.3.3)，得到线性加速度法的稳定性条件是。将、代入式(2.3.3.3)，得到线性加速度法的稳定性条件是。3 自动控制理论基础3.1 自动控制理论发展综述自动控制理论是自动控制科学的核心。自动控制理论自创立至今已经过了三代的发展：第一代为20世纪初开始形成并于50年代趋于成熟的经典反馈控制理论；第二代为50、60年代在线性代数的数学基础上发展起来的现代控制理论；第三代为60年代中期即已萌芽，在发展过程中综台了人工智能、自动控制、运筹学、信息论等多学科的最新成果并在此基础上形成的智能控制理论。经典控制理论(本质上是频域方法)，以单变量控制、随动、调节为主要内容，以微分方程和传递函数为数学模型，所用的方法以频率响应发为主，以微分方程和复变函数为主要的数学工具；现代控制理论(本质上是时域方法)，以多变量控制、最优控制为主要内容，采用时域法，以状态方程为数学模型，以线性代数和泛函分析为主要数学工具；而智能控制理论是以网络、通讯、人机交互为代表的信息自动化集成的理论与技术。3.2 反馈控制为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机总体，这就是自动控制系统。在自动控制系统中，被控对象的输出量即被控量是要求严格加以控制的物理量；而控制装置则是对被控对象施加控制作用的机构的总体，它可以采用不同的原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于反馈控制原理组成的反馈控制系统。所谓反馈原理，就是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系统行为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获得预期的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，两者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统又称为闭环控制系统。反馈控制是自动控制的主要形式。在工程上常把在运行中使输出量和期望值保持一致的反馈控制系统称为自动调节系统，而把用来精确地跟随或复现某种过程的反馈控制系统称为伺服系统或随动系统。反馈控制系统的基本组成有：测量元件、给定元件、比较元件、放大元件、执行元件、校正元件（补偿元件）。一个典型的反馈控制系统基本组成可用图3.1方块图来表示。输入量反馈补偿元件串联补偿元件测量元件执行元件被控对象放大元件输出量 图3.1 反馈控制系统基本组成反馈控制系统包括负反馈系统和正反馈系统。凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈，负反馈的主要意义在于维持系统的稳态，而缺点是具有滞后性、波动性；凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相同，对控制部分的活动起增强作用的，称为正反馈，正反馈的主要意义是加速生理过程，使机体活动发挥最大效应。反馈控制方式是按偏差进行控制的，其特点是无论什么原因使被控量偏离期望值而出现偏差时，必定会产生一个相应的控制作用去减小或减除这个偏差，使被控量与期望值趋于一致。可以说，按反馈控制方式组成的反馈控制系统，具有抑制任何内、外扰动对被控量产生影响的能力，进而改善系统的响应特性，有较高的精度。但这种系统使用的元件多，结构复杂，特别是系统的性能分析和设计也较麻烦。尽管如此，它仍是一种重要的并被广泛应用的控制方式，自动控制理论主要的研究对象就是用这种控制方式组成的系统。3.3 控制系统的数学模型3.3.1 数学模型数学模型是指描述系统动态特性及其变量之间关系的数学表达式或其它形式的表示。描述系统变量的各阶导数之间关系的微分方程称为系统的动态模型；在静态条件下，即描述系统变量的各阶导数为零，描述变量之间关系的代数方程称为静态模型。在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图。在此处讲一下微分方程和传递函数。3.3.2 微分方程-建立微分方程是描述各种事物最基本的数学工具，是各种数学描述方法的共同基础。（1） 微分方程的一般形式线性定常系统微分方程一般形式为： (3.3.2.1)其中nm，是系统输出量，是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。（2） 建立微分方程的一般步骤 分析系统（或元件）的物理过程，确定输入和输出变量以及中间变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律列出原始方程； 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 化成标准型。（3） 非线性模型的线性化 单变量非线性函数设为非线性特性方程，稳定工作点近似式。式中系数为工作点处切线的斜率，即。 对多变量非线性函数设有非线性函数，若系统的工作点为，近似表达式，其中。（4） 单自由度振动系统的微分方程对于一个简单的单自由度振动系统，如图3.2所示的弹簧-质量-阻尼机械位移系统，是一个简单的线性元件，其输入量是外力f(t)、输出量是质量块的位移响应x(t)，由牛顿运动定律容易得到该系统在时域内的数学模型 (3.3.2.2)上式与单自由度系统运动微分方程式(1.2.1)是完全一样的。kx(t)f(t)c图3.2 弹簧-质量-阻尼器机械位移系统3.3.3 传递函数用Laplace变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。在控制工程中转换函数用于描述一个时间不变线性系统的输入和输出的关系。它分为连续和离散两类。连续转换函数是响应的Laplace变换与输入的Laplace变换之比；而离散转换函数是响应的Z变换与输入的Z变换之比（Franklin等 2002）。一个连续转换函数相当与一个微分方程，而一个离散转换函数相当于一个差分方程，均描述系统的动力学响应。在控制理论中，一个连续转换函数的输出，与使用相同的输入到一个相对应的离散转换函数中得到的输出是一样的（Ogata 1995）。（1） 连续传递函数在零初始条件下，对上述系统微分方程的一般形式两边同时求Laplace变换，并令输出的Laplace变换为，输入的Laplace变换为，即、，求得连续传递函数： (3.3.3.1)传递函数式(3.3.3.1)的分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为： (3.3.3.2)式(3.3.3.2)中，是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；是分母多项式的零点，称为传递函数的极点；传递函数的分母也叫做传递函数的特征方程。传递函数的零点和极点可以是实数，也可以是复数；系数称为传递系数或根轨迹增益。在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图，在图中一般用“”表示零点，用“”表示极点。（2） 离散传递函数线性定常系统的离散传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的Z变换与输入量的Z变换之比。直接积分法对应的是一个离散的系统，处理的是微分方程离散后的数据值。连续系统可以用Laplace变换得到的连续转换函数来分析其动态及稳态性能，与此相应，线性离散系统可以用Z变换得到的离散转换函数来分析。对于一个离散系统，Ogata（1995）定义Z变换为 (3.3.3.3)式(3.2.2.1)中为在的离散值。若有Laplace变换，其Z变换为，则有实数位移定理 (3.3.3.4)若式(3.3.3.3)中当时，由式(3.3.3.3)和式(3.3.3.4)可得 (3.3.3.5)由式(3.3.3.5)可知，被乘的具有通过时间步延缓时间函数的作用，即，其中是在时刻的值，是在时刻的值。当一个直接积分法的微分方程是已知的，通过式(3.2.2.3)可以获得对应该直接积分法的离散转换函数。具有下面的形式 (3.3.3.6)其中和分别是和的Z转换。在式(3.3.3.6)中，和分别是分子和分母的系数。使式(3.3.3.6)中的分母为零的值被定义为转换函数的极点，使式(3.3.3.6)中的分子为零的值被定义为转换函数的零点。3.4 开环系统与闭环系统在控制系统中，可以用结构框图来直观明了的表示传递函数。实际问题中输入量与输出量的复杂关系，可以通过结构图的简化规则简化为两种基础形式，即开环系统形式与闭环系统形式。系统的输出量对系统的控制作用不产生影响（即无检测反馈单元），则称为开环控制系统。开环控制系统的控制精度完全取决于各单元的精度，因此它主要使用在精度要求不高并且不存在内外干扰的场合，但开环控制系统结构简单，且一般不存在稳定性的问题。系统的输出通过检测反馈单元返回来作用于控制部分，形成闭合回路，这种控制系统就称为闭环控制系统，又称为反馈控制系统。其优点是能够自动纠正外部干扰和系统内参数变化引起的偏差，这样就可以采用精度不太高而成本较低的元件，组成一个较为精确的控制系统；但是闭环控制系统也有它的缺点。由于闭环控制系统是以偏差消除偏差的，即系统要工作就必须有偏差存在，因此这类系统不会有很高的精度，同时由于组成系统的元件有惯性、传动链的间隙等因素存在，如配合不当，将会引起反馈控制系统的振荡，从而系统不能稳定工作，精度和稳定性之间的矛盾始终是闭环控制系统存在的主要矛盾。输入量输出量输入量输出量+-(a)(b)图3.3 离散传递函数的结构框图：(a)开环系统 (b)闭环系统以离散传递函数为例，开环系统与闭环系统的结构框图见上图3.3。在图3.3(b)中，称为前向通路传递函数，称为反馈通路传递函数。典型的反馈控制系统，即是图3.3(b)所示的闭环系统。图3.3 (b)的闭环系统的传递函数记做，由控制理论知识可知，有如下表达式： (3.4.1)当反馈通路传递函数时，式(3.4.1)中的与图3.3 (a)中开环系统的传递函数一致。之前提到，使离散传递函数的分母为零的方程叫做离散传递函数的特征方程。由式(3.4.1)还可以看到，闭环系统的特征方程为： (3.4.2)由于是在复数域上的一个复函数，式(3.4.2)可以分解为两个表达式（一个角度表达式，一个长度表达式）。如下所示： (3.4.3a) (3.4.3b)3.5 根轨迹根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在复数域上变化的轨迹。当闭环系统没有零点与极点相消时，即闭环传递函数分子多项式与分母多项式没有相同的项，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，简称闭环极点。因此，从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。式(3.4.2)给出了闭环特征方程式，式(3.4.3a)和式(3.4.3b)给出需要满足的两个条件。使同时满足式(3.4.3a)和式(3.4.3b)的两个条件的值即是闭环特征方程式的根。当开环系统的某一参数变化时，也随之变化，使满足条件的值也变化，其在复数域内变化的轨迹就是根轨迹。在很多情况下，的表达式中包含一个增益参数，这样式(3.4.1)的特征方程可以写为： (3.5.1)其中是构造的传递函数的零点，构造的传递函数的极点。这个构造的传递函数叫做闭环系统的开环传递函数。当增益参数时，特征方程式(3.5.2.1)的根的解为： (3.5.2)式(3.5.2)也是开环传递函数的极点解。当增益参数时，特征方程式(3.5.2.1)的根的解为： (3.5.3)式(3.5.3)也是开环传递函数的零点解。 这说明，当增益参数从变化到的过程中，闭环特征方程的根从开环传递函数的极点移动到开环传递函数的零点。也就是说，根轨迹的起点是开环传递函数的极点，终点是开环传递函数的零点。 应当指出的是，绘制根轨迹中处于变动地位的实参数，不限定是中的增益参数，也可以是系统其它变化的参数。但是一个根轨迹图只对应一个变量参数，若绘制有多个变量参数的根轨迹图时，作出的不是简单的根轨迹，而是根轨迹簇。4 线弹性结构动力学直接积分法的稳定性分析由结构动力学问题运动微分方程式(1.2.2)可以看到，当结构是线弹性时，质量阵、刚度阵和阻尼阵均为已知的常量，即外部激励力向量和系统位移响应之间的关系是线性对应的。当用控制理论中的传递函数来表示输入量与输出量之间的关系时，这就是控制理论中的开环系统。4.1 多自由度线弹性结构动力学的稳定性分析线性多自由度系统的运动方程，可以通过振型叠加法分解为多个单自由度系统方程的解的叠加。用一个步长对原多自由度系统积分时，可以看做对所有单自由度方程都使用同一时间步长进行积分，然后叠加。只要该步长对于其中任意一个单自由度方程发生失稳，则叠加的结果也必然是失稳的。所以，只要研究一个典型的单自由度方程的稳定性就可以了。（1）单自由度系统的连续传递函数与稳定性对于一个单自由度线弹性系统，见式(1.2.1)，可以写成： (4.1.1)输入量外力与输出量位移响应的传递函数用Laplace形式表示为： (4.1.2)其中是变量，是的Laplace变换，是的Laplace变换。式(4.1.2)中传递函数的极点为两个复数 (4.1.3)其中是虚数，。式(4.1.3)中的极点决定了式(4.1.1)的动力响应情况（Ogata 2002）。由图4.1可以看到在复数域下极点分布情况。当极点位于左半平面或在虚轴上时，系统稳定性震荡变化（低临界阻尼），当极点位于负实数轴上时稳定性指数衰弱（超临界阻尼）。当极点具有一个正实数部分时，即位于右半平面上，系统不稳定。在右半平面上的极点意味着虚阻尼，即。图4.1 复数域上连续传递函数的极点分布（2）离散传递函数与稳定性将式(4.1.1)离散化，得到： (4.1.4)其中是在时刻的值，、分别是位