等比数列及其前n项和（学生版）

暨大学习交流会个性化教学辅导教案学生姓名年 级 高 三学 科数学上课时间教师姓名课 题等比数列及其前n项和教学目标1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系教学过程教师活动学生活动1在ABC中，()|2，则三角形ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形2已知、为非零向量，t(tR)，若|1，|2，当且仅当t时，|取得最小值，则向量、的夹角为()A B C D3直线axbyc0与圆x2y29相交于两点M、N，若c2a2b2，则(O为坐标原点)等于()A7 B14 C7 D144设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于()A0 B2 C4 D25如图，在ABC中，AB5，BC3，CA4，且O是ABC的外心，则() A6 B6 C8 D86如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD的中点，则_ 1已知数列an的前n项的和Sn满足Sn2n1(nN*)，则数列a的前n项的和为()A4n1 B(4n1) C(4n1) D(2n1)22等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为()A4 B6 C8 D103已知各项不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8等于()A2 B4 C8 D164已知等比数列an中，a5，a95为方程x210x160的两根，则a20a50a80的值为()A256 B256 C64 D645已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则该数列的通项an()A4()n1 B4()n C4()n D4()n16在等比数列an中，若a29，a5243，则数列an的前4项和为()A81 B120 C168 D1927已知数列an中，a1，点(n，2an1an)在直线yx上，其中n1，2，3（1）令bnan1an1，求证数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项知识点一 等比数列的概念1等比数列的定义（1）条件：一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数（2）公比：是指常数，通常用字母q表示(q0)（3）定义表达式：q(nN*，q0)2等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1(nN*)推广式：anamqnm(n、mN*)3等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab知识点二 等比数列的前n项和及性质1等比数列的前n项和公式（1）当公比q1时，Snna1；（2）当公比q1时，Sn2等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和（1）若mnpq2r，则amanapaqa；（2）数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；（3）数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)【名师助学】本部分知识可以归纳为：（1）三个定义：等比数列的定义，等比中项的定义，等比数列的通项公式（2）两种方法：证明数列是等比数列的两种方法：定义法，等比中项法（3）两个公式：等比数列的前n项和公式：Sn(q1)，Snna1(q1)1已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A B C D2等比数列an的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则an的公比等于()A1 B C D3已知数列an的前n项和Sn2n1，则数列an的奇数项的前n项和为()A B C D4等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为()A12 B14 C15 D165设an是公比为q的等比数列，令bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则q等于()A B C或 D或6已知f(x)是一次函数，若f(3)5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)f(2)f(100)的值是_方法1 等比数列的性质的应用1等比数列的单调性设等比数列an的首项为a1，公比为q（1）当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，数列an为递减数列；（3）当q1时，数列an是(非零)常数列；（4）当q1时，数列an是摆动数列2等比数列项的运算性质若mnpq(m，n，p，q，qN*)，则amanapaq（1）特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana（2）对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank13等比数列前n项和的性质 若Sn是等比数列的前n项和，则当q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列【例1】（1）已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6() A5 B7 C6 D4（2）已知等比数列an满足an0，n1，2，且a5a2n522n(n3)，则log2a1log2a3log2a2n1等于() An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2方法2 等比数列的判定与证明1定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列2中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定【例2】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2（1）设bnan12an，证明数列bn是等比数列.（2）在（1）的条件下证明是等差数列，并求an方法3 等差与等比数列的综合问题1在等差数列中蕴含等比关系，由等差数列设出数列的项(突出a1，d)，利用等比数列列方程求解，同样等比数列中蕴含等差关系也如此解决2两个数列，一个是等差数列，另一个是等比数列，要找到它们之间的联系，来解决实际问题3解题时适当利用性质转化条件可简化运算4挖掘隐含条件，发现等差(或等比)关系，使解题目的明确【例3】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（1）求数列bn的通项公式；（2）数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn是等比数列1已知等比数列an的公比q0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()AS4a5S5a4 CS4a5S5a4 D不确定2两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如下图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，则a5_，若an145，则n_ 3如果一个n位的非零整数a1a2an的各个数位上的数字a1，a2，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2an为n位“等比数”如124，913，333等都是三位“等比数”那么三位“等比数”共有_个(用数字作答)4已知等差数列an首项为a，公差为b，等比数列bn首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1b1，b21，且a2a86，a4a65，则_6已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)（1）证明：数列an是等比数列；（2）若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式7已知数列an中，a11，Sn是数列an的前n项和，且对任意nN*，有an1kSn1(k为常数)（1）当k2时，求a2、a3的值；（2）试判断数列an是否为等比数列？请说明理由一、（第1天）1一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为()A B C D2已知等比数列an满足an0，n1，2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)23已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，则的值是()A5 B C5 D4已知正项等比数列an的前n项和为Sn，bn，且bn的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有SnTn，则数列an的公比q的取值范围是()A0q1 Cq D1q0(nN*)，公比q(0，1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2，bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，则当最大时，n的值等于()A8 B9 C8或9 D172现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_3已知等比数列an中，a1，公比q（1）Sn为an的前n项和，证明：Sn；（2）设bnlog3a1log3a2log3an