高中数学第三章导数及其应用3_3_2第2课时利用导数研究函数的最值教学案新人教b版选修1_1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第2课时利用导数研究函数的最值学习目标1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)知识链接极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，非常数函数的最值只要不在端点处取得必定是极值，在开区间(a，b)上若有唯一的极值，则此极值必是函数最值预习导引1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的所有函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间(a，b)上的某一个x0附近相比较最大(小)的函数值.要点一求函数在闭区间上的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解(1)f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪演练1求下列函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)0得x2或x2.f(2)，f(0)4，f(3)1，函数f(x)在0,3上的最大值为4，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.要点二含参数的函数最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)x2(xa)，f(x)x(3x2a)令f(x)0，解得x0或x.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max规律方法由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性变化，从而导致最值变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪演练2在本例中，将区间0,2改为1,0结果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a，当a0，即a0时，f(x)在1,0上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当a1，即a时，f(x)在1,0上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当1a0，即a0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)maxfa3.综上所述，f(x)max要点三函数最值的应用例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常用的解决“恒成立”问题的方法一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪演练3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)f(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，)1函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)答案B解析f(x)2x4，当x3,5时，f(x)0，故f(x)在3,5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin，故选C.4已知函数f(x)2lnx(a0)，若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_答案ae解析由f(x)2，得a2x22x2lnx，令g(x)2x22x2lnx，则g(x)2x(12lnx)，由g(x)0得xe或x0(舍去)，当0x0；当xe时，g(x)0，当xe时，g(x)取最大值g(e)e，ae.1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(2)闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值