高考数学二轮复习第4部分专题一思想方法应用文

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求专题一思想方法应用第1讲转化与化归思想思想诠释转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题应用示例方法1换元法【典例】(2016江西赣州模拟)已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_【思路分析】【解题过程】令bx，cy，则xya，x2y21a2，(换元转化)此时直线xya与圆x2y21a2有交点，(建立模型)则圆心到直线的距离d，解得a2，(分析求解)所以a的最大值为，故填.(总结作答)【回顾反思】换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行【方法运用】已知a为正常数，若不等式1对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为_【解析】原不等式即1(x0)，(*)令t，t1，则xt21，所以(*)式可化为1t对t1恒成立，所以1对t1恒成立，又a为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大值是4，故填4.方法2直接转化法【典例】已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63 D84【思路分析】【解题过程】设等比数列an的公比为q，则有a1a3a5a1a1q2a1q421，(公式转化)整理有q4q260，解得q22，(方程求解)那么a3a5a7(a1a3a5)q242，(整体思维)故选B.(回归作答)【回顾反思】本题利用等比数列的通项公式进行直接转化与应用通过等比数列的性质，巧妙把式子a1a3a5，a3a5a7整体化，进而求解整体化技巧在解决一些数列性质、创新定义、创新运算等数列问题时经常有上佳表现【方法运用】有限数列Aa1，a2，a3，an，Sn是其前n项和，定义为数列A的“凯森和”，如有99项的数列Aa1，a2，a3，a99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a1，a2，a3，a99的“凯森和”为_【解析】根据“凯森和”的定义，知1 000，则S1S2S3S9999 000，则有100项的数列1，a1，a2，a3，a99的“凯森和”为991，故填991.方法3等价转化法【典例】解不等式：x|2x3|2.【思路分析】【解题过程】原不等式可化为或(转化)解得x5或x.(求解)综上，原不等式的解集是x|x5或x(回归)【回顾反思】等价转化法常用于含有绝对值的问题，含有根号问题，复合函数问题等的求解中，求解的关键是去绝对值、去根号、简化复合函数等，利用运算法则、函数性质等进行等价转化，把问题简单化处理【方法运用】解不等式：x|2x3|2.解：原不等式可化为或解得x或x，综上，原不等式的解集是x|x方法4特殊转化法【典例】在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.【思路分析】【解题过程】不妨设ACAB，且AB4，AC3，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，(寻找特例)则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，M(0,2)，N，那么，(4,0)，(0,3)，由xy，可得x(4,0)y(0,3)，(特例转化)即(4x,3y)，则有解得故分别填，.(得出结论)【回顾反思】常用的特殊转化法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊点、特殊角、特殊位置等通过特殊转化法来处理相关的数学问题，有时可以达到非常好的效果，且直观简单，快捷方便【方法运用】已知数列xn满足xn3xn，xn2|xn1xn|(nN*)，若x11，x2a(a1，a0)，则数列xn的前2 019项和S2 019_.【解析】根据题意，特殊化可得x3|x2x1|a1|1a(a1，a0)，则x1x2x32.又xn3xn，所以x4x1，x5x2，x6x3，即x4x5x6x1x2x32.同理，x7x8x92，x10x11x122，而2 0196733，则S2 01926731 346，故填1 346.方法5参数转化法【典例】(2016山西太原模拟)若对一切|p|2，不等式plog2x4log2xp恒成立，求实数x的取值范围【思路分析】【解题过程】原不等式可变形为f(p)p(log2x1)log2x40，且在p2,2上恒成立，(参数转化)由一次函数的图象和性质知f(2)0且f(2)0，(问题转化)那么即2log2x2，解得x4，故实数x的取值范围是x|x4(得出结论)【回顾反思】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解主参易位、反客为主是处理参数问题的重要方法【方法运用】对任意x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，) D(，1【解析】不等式x2y2xy3(xya)恒成立不等式x2(y3)xy23y3a0恒成立(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0，要使得上式恒成立，则有1a0成立，故a1，故选B.第2讲分类与整合思想思想诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想应用示例方法1由数学概念引起的分类整合法【典例】中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【思路分析】【解题过程】若这组数有2n1个，则an11 010，a2n12 015，又a1a2n12an1，所以a15.(分类转化)若这组数有2n个，则anan11 01022 020，a2n2 015，又a1a2nanan1，所以a15.(依次求解)综上，可知该数列的首项为5，故填5.(汇总结论)优解将数列的项数简单化当数列的项数为3时，则有a21 010，a32 015，且a1a32a2，解得a15.(分类转化)当数列的项数为4时，则有a2a31 010，a42 015，且a1a4a2a3，解得a15.(依次求解)综上可知该数列的首项为5，故填5.(汇总结论)【回顾反思】分类讨论是一种逻辑方法及重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法本题主要结合中位数的概念与性质，结合这组数的个数的奇偶情况进行分类讨论【方法运用】已知函数f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任意x1，x2R，0，则a的取值范围是_【解析】当0a1时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当1a2时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递减；当a2时，f(x)0；当a2时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增由题意可知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)(2，)，故填(0,1)(2，)方法2由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法【典例】设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n3.求数列an的通项公式【思路分析】【解题过程】由2Sn3n3得，当n1时，2S13132a1，解得a13；(分类转化)当n2时，anSnSn1(3n3)(3n13)3n1.(依次求解)所以数列an的通项公式为an(汇总结论)【回顾反思】已知数列的前n项和Sn求an时，往往通过分类讨论求解一般采用公式anSnSn1，但要注意对a1是否满足an进行验证数列的通项an与前n项和Sn的关系是an【方法运用】已知数列an的前n项和Sn，nN*，求数列an的通项公式解：由Sn得，当n1时，a1S11.当n2时，anSnSn13n2.经检验a13121，也符合公式，故an的通项公式为an3n2.方法3由数学运算要求引起的分类整合法【典例】(2016山东日照模拟)不等式|x|2x3|2的解集是()A.(1，)B(，1)C.1，)D(，1)【思路分析】【解题过程】原不等式可转化为或或(分类转化)解得x或1x0或x0.(依次求解)综上，原不等式的解集是x|x或x1，故选C.(汇总结论)【回顾反思】由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合【方法运用】若不等式|x|2x3|a的解集为空集，求实数a的取值范围【解析】不等式|x|2x3|a可转化为或或则有或或由于不等式|x|2x3|a的解集是空集，所以，且a3，且0，解得a，故实数a的取值范围为a|a第3讲数形结合思想思想诠释数形结合思想：是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确应用示例方法1函数与其图象的数形结合【典例】若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【思路分析】【解题过程】由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，(等价转化)从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象有两个交点，如图所示(作出图象)结合函数的图象，可得0b2，故填(0,2)(得出结论)【回顾反思】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【方法运用】若函数f(x)|2x2|b有且仅有一个零点，则实数b的取值范围是_【解析】由f(x)|2x2|b有且仅有一个零点，可得|2x2|b只有一个根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象只有一个交点，结合函数的图象，如图所示，可得b0或b2，故填02，)方法2平面向量的数形结合【典例】已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于()A13B15C19 D21【思路分析】【解题过程】以A点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示(建系作图)则有A(0,0)，B，C(0，t)，由可知P(1,4)，那么，(1，t4)，(确定坐标)故(1，t4)4t1721713，当且仅当4t，即t时等号成立，故选A.(计算作答)【回顾反思】在解答平面向量问题中，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标，结合向量的坐标运算、数量积公式等求解，具有很强的操作性，解答过程流畅，解题方法巧妙本题中通过巧妙建立坐标系，把平面向量的线性运算问题转化为坐标运算问题，利用基本不等式来求解最值问题，思路清晰，解法巧妙【方法运用】已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且.则满足的实数t的值为_【解析】以A点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B，C(0，t)，由可知P(1,4)，则(1,4)，又，所以(1,4)4t0，解得t(负值舍去)，故填.方法3圆锥曲线的数形结合【典例】设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_【思路分析】【解题过程】(画出图形)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小(数形求解)显然，连接AF与抛物线相交所得的点即为满足题意的点，此时最小值为|AF|.(得出结论)【回顾反思】破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论【方法运用】已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_【解析】因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为，故填.第4讲函数与方程思想思想诠释1函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想2方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想应用示例方法1平面向量问题的函数(方程)法【典例】已知e1，e2是单位向量，e1e2.若平面向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.【思路分析】【解题过程】问题等价于|b(xe1ye2)|当且仅当xx0，yy0时取到最小值1，即|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y24x5yxy在xx0，yy0时取到最小值1，(向量代数化)又|b|2x2y24x5yxyx2(y4)xy25y|b|22(y2)27|b|2，(代数函数化)所以解得(得出结论)【回顾反思】平面向量中含函数(方程)的相关知识，巧妙对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式【方法运用】已知e1，e2是平面两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|2，be11，be21，则对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_【解析】|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当x1，y1时，|b(xe1ye2)|2取得最小值2，此时|b(xe1ye2)|取得最小值，故填.方法2数列问题的函数(方程)法【典例】若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_【思路分析】【解题过程】由题意可得则a0，b0.假定ab0，则有可得qab4，(数列代数化)把a2b2代入ab4，整理可得b2b20，解得b1(负值舍去)，(函数应用)则有a4，那么pab5，可得pq9，故填9.(得出结论)【回顾反思】以函数的零点为载体考查等比中项或等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论与分析【方法运用】等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5B6C7 D8【解析】法一：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80，根据首项a113可推知数列an递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大故选C.法二：设an的公差为d，由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n，根据二次函数的性质，知当n7时，Sn最大故选C.法三：根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n7时，Sn取得最大值故选C.方法3三角问题的函数(方程)法【典例】(2016苏南四市模拟)将函数ysin的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为_【思路分析】【解题过程】把ysin的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到ysinsin的图象，(图象平移)而此图象关于y轴对称，则4mk(kZ)，(关系建立)解得mk(kZ)，又m0，所以m的最小值为.(得出结论)【回顾反思】三角函数图象的平移，可采用平移方法一，先平移变换，再伸缩变换；也可采用平移方法二，先伸缩变换，再平移变换掌握函数yAsin(x)(A0，0)的图象变换的两个过程：振幅周期相位，振幅相位周期【方法运用】定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)a1a4a2a3，将函数f(x)(，2sin x)(cos x，cos 2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_【解析】由定义可知f(x)cos 2xsin 2x2cos，所以函数f(x)的图象向左平移n个单位长度后为y2cos的图象，该函数为偶函数，所以2nk(kZ)，故n(kZ)又n0，所以n的最小值为，故填.方法4解析几何问题的方程(函数)法【典例】设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)【思路分析】 【解题过程】设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y24x并整理得y24ty4m0，(解几代数化)则16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，则线段AB的中点M(2t