中考数学 黄金知识点系列 专题24 二次函数

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求专题24 二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上, 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值3C、图像的顶点坐标为（2，7） D、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】试题分析：二次函数,所以二次函数的开口向下，当x2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.考点典例二、二次函数的解析式【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，2）它与反比例函数y=的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）Ay=x2x2By=x2x+2 Cy=x2+x2Dy=x2+x+2【答案】A【解析】故选A【点晴】先根据A在反比例函数图象上，求出m的值，再把A、B点坐标代入二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值即可.【举一反三】（2016福建南平第14题）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： 【答案】（答案不唯一）【解析】试题分析：由题意可得：（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一，只要中a0，b=0即可）考点：二次函数的性质；开放型考点典例三、二次函数的最值【例3】（2016黑龙江哈尔滨第16题）二次函数y=2（x3）24的最小值为【答案】-4.【解析】试题分析：二次函数y=2（x3）24为顶点式，因此最小值为-4.考点：二次函数极值.【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（3，-4），即可求出函数的最大值【举一反三】当2xl时，二次函数有最大值4，则实数m的值为【 】 (A) (B) 或 (c)2或 (D)2或或【答案】C【解析】考点典例四、二次函数的图象与性质【例4】（2016四川达州第10题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0 4a+2b+c0 4acb28a abc其中含所有正确结论的选项是（）A BCD【答案】D.【解析】考点：二次函数图象与系数的关系.【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.【举一反三】（2016山东枣庄第12题）已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下四个结论：；.其中，正确的结论有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第12题图【答案】C.【解析】考点：抛物线的图象与系数的关系.考点典例五、二次函数图象与平移变换【例5】（2016黑龙江绥化第15题）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 【答案】【解析】试题分析：向右平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：故答案为：考点：二次函数图象与几何变换【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【举一反三】（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第11题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）Ay=x2xBy=x2+xCy=x2+xDy=x2x【答案】A【解析】考点：二次函数图象与几何变换课时作业能力提升一选择题1（2016山东滨州第10题）抛物线y=2x22x+1与坐标轴的交点个数是（）A0B1C2D3【答案】C.【解析】试题分析：已知抛物线y=2x22x+1，令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）；令y=0，得到2x22x+1=0，即（x1）2=0，解得：x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0），则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故答案选C考点：抛物线与坐标轴的交点2.（2016山东滨州第11题）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）Ay=（x）2 By=（x+）2Cy=（x）2 Dy=（x+）2+【答案】A.【解析】试题分析：已知抛物线的解析式为y=x2+5x+6，它绕原点旋转180后变为y=x2+5x6，即y=（x）2+，再向下平移3个单位长度的解析式为y=（x）2+3=（x）2故答案选A考点：二次函数图象与几何变换3（2016湖北黄石第9题）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是A. B.或 C. D. 【答案】A.【解析】考点:二次函数的性质.4.（2016湖北鄂州第9题）如图，二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：abc0 9a+3b+c0 c1 关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)有一个根为其中正确的结论个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】C.【解析】考点：二次函数图象与系数的关系;数形结合思想5.（2016广东广州第9题）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A、当x0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值3C、图像的顶点坐标为（2，7） D、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】试题分析：二次函数,所以二次函数的开口向下，当x2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.6.（2016湖南怀化第7题）二次函数y=x2+2x3的开口方向、顶点坐标分别是（）A开口向上，顶点坐标为（1，4） B开口向下，顶点坐标为（1，4）C开口向上，顶点坐标为（1，4） D开口向下，顶点坐标为（1，4）【答案】A【解析】试题分析：已知二次函数y=x2+2x3的二次项系数为a=10，所以函数图象开口向上，又因y=x2+2x3=（x+1）24，即可得顶点坐标为（1，4）故答案选A考点：二次函数的性质7.（2016山东威海第11题）已知二次函数y=（xa）2b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）A BCD【答案】B.【解析】考点：函数图像与系数的关系.8.（2016广西河池第9题）二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）Aa0Bc0Ca+b+c0D0【答案】C【解析】考点：二次函数图象与系数的关系二填空题9. （2016河南第13题）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_.【答案】（1,4）.【解析】试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.考点：抛物线的顶点.10.（2016广西来宾第19题）已知函数，当 时，函数值y随x的增大而增大【答案】x1【解析】试题分析：=，a=10，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，当x1时，y随x的增大而增大，故答案为：x1考点：二次函数的性质11.（2016内蒙古通辽第17题）如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0，0，4b+c0，若B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，当3x1时，y0其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） 【答案】【解析】考点：二次函数图象与系数的关系；综合题12.（2016黑龙江绥化第15题）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 【答案】【解析】试题分析：向右平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：故答案为：考点：二次函数图象与几何变换三解答题13.（2016浙江宁波第22题）（本题10分）如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.【解析】把（3,0），（0,3）代入得，解得，直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2.答：当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1,2）.考点：用待定系数法求函数解析式. 14.（2016河南第21题）（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：012343003其中，=_.（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分.（3）观察函数图像，写出两条函数的性质：（4）进一步探究函数图像发现：函数图像与轴有_个交点，所以对应方程有_个实数根；方程有_个实数根；关于的方程有4个实数根，的取值范围是_【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）