高中数学2_3_12_3_2向量数量积的运算律学案新人教b版必修4

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)基础初探教材整理1两个向量的夹角阅读教材P107内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定0a，b，并且有a，bb，a.2.当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.3.当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向；当a，b或a与b中至少有一个为零向量时，ab.如图231，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_.图231【解析】根据向量夹角定义可知向量，夹角为BAC，而向量，夹角为BAC，故二者互补.【答案】互补教材整理2向量在轴上的正射影阅读教材P108“例1”以上内容，完成下列问题.已知向量a和轴l如图232.作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称做a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.图232a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为()A. B. C. D.【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos .故选D.【答案】D教材整理3数量积的定义及性质和运算律阅读教材P108“例1”下P110内容，完成下列问题.1.向量的数量积(内积)的定义：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.由定义知，两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质：(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；(2)abab0；(3)aa|a|2即|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)|ab|a|b|.3.平面向量数量积的运算律：(1)交换律：abba；(2)分配律：(ab)cacbc；(3)数乘向量结合律：对任意实数，有(ab)(a)ba(b).已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是()A.25 B.25C.24 D.24【解析】因为|2|291625|2，所以ABC90，所以原式()0225.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是_.(填序号)如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；ABC中，如果0，那么ABC为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2.(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.(3)已知等腰ABC的底边BC长为4，则_.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a，b的夹角).若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由0知B90，故ABC为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确.(2)设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos ；向量b在向量a方向上的投影为|b|cos 4.(3)如图，过点A作ADBC，垂足为D.因为ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42，所以|cosABC428.【答案】(1)(2)4(3)81.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.再练一题1.给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是_.(填序号)【导学号：72010063】【解析】由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab；对于，应该是aaa|a|2a；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错.综上可知正确.【答案】数量积的基本运算已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为135时，分别求a与b的数量积.【精彩点拨】(1)当ab时，a与b夹角可能为0或180.(2)当ab时，a与b夹角为90.(3)若a与b夹角及模已知时可利用ab|a|b|cos (为a，b夹角)求值.【自主解答】设向量a与b的夹角为，(1)ab时，有两种情况：若a和b同向，则0，ab|a|b|20；若a与b反向，则180，ab|a|b|20.(2)当ab时，90，ab0.(3)当a与b夹角为135时，ab|a|b|cos 13510.1.求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .2.非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|.再练一题2.已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).图233【解】(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|(ab)(a2b)|.【精彩点拨】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.再练一题3.例3中，题干条件不变，求|ab|.【解】因为|a|4，|b|2，且a与b的夹角120，所以|ab|2，所以|ab|2.探究共研型平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？【提示】abab0.探究2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？【提示】当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|.探究3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？【提示】|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos .已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算ab，当cd时，cd0列方程求解m.【自主解答】由已知得ab32cos 603.由cd，知cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直.1.已知非零向量a，b，若ab，则ab0，反之也成立.2.设a与b夹角为，利用公式cos 可求夹角，求解时注意向量夹角的取值范围0，.再练一题4.若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.【解析】设a与b夹角为，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2，又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos 13|b|212|b|2cos ，即9|b|213|b|212|b|2cos ，故有cos .【答案】1.在ABC中，BC5，AC8，C60，则()A.20B.20C.20 D.20【解析】|cos 1205820.【答案】B2.设e1，e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是()A.e1e21 B.e1e21C.|e1e2|1 D.|e1e2|1【解析】e1e2|e1|e2|cos1.【答案】C3.在ABC中，a，b，且ba0，则ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定【解析】在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形.【答案】C4.已知|a|4，e为单位向量，a在e方向上的投影为2，则a与e的夹角为_.【导学号：72010064】【解析】因为a在e方向上的投影为2，即|a|cos2，所以cos，又a，e0，所以120.【答案】1205.已知ab20，|a|5，求b在a方向上的投影的大小.【解】设a，b的夹角为，则b在a方向上的投影就是|b|cos ，因为|a|b|cos ab20，所以|b|cos 4，即b在a方向上的投影是4.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为()A. B. C.3 D.2【解析】由数量积的几何意义知ab32，故选D.【答案】D2.已知向量a，b满足|a|1，|b|3，且|2ab|，则a与b的夹角为()【导学号：72010065】A. B.C. D.【解析】|2ab|2494ab7，ab，cos .又0，.【答案】B3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A.2 B.1 C.1 D.2【解析】因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.【答案】B4.若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A.2 B.4 C.6 D.12【解析】(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】C5.已知向量a，b的夹角为120，|a|b|1，c与ab同向，则|ac|的最小值为()A.1 B.C. D.【解析】|a|b|1，c与ab同向，a与c的夹角为60.又|ac|，故|ac|的最小值取.【答案】D二、填空题6.已知ab，|a|2，|b|1，且3a2b与ab垂直，则等于_.【解析】(3a2b)(ab)，(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20.又|a|2，|b|1，ab，12(23)21cos 9020，1220，.【答案】7.已知|a|b|c|1，且满足3amb7c0，其中a与b的夹角为60，则实数m_.【解析】3amb7c0，3amb7c，(3amb)2(7c)2，化简得9m26mab49.又ab|a|b|cos 60，m23m400，解得m5或m8.【答案】5或8三、解答题8.已知|a|4，|b|2.(1)若a、b的夹角为120，求|3a4b|；(2)若|ab|2，求a与b的夹角.【解】(1)ab|a|b|cos 120424.又|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b294224(4)1622304，|3a4b|4.(2)|ab|2(ab)2a22abb2422ab22(2)2，ab4，cos .又 0，.9.在ABC中，a，b，c，且abbcca，试判断ABC的形状.【解】如图，abc0.则abc，即(ab)2(c)2，故a22abb2c2.同理，a22acc2b2, b22bcc2a2. 由，得b2c2c2b2，即2b22c2，故|b|c|.同理，由，得|a|c|.故|a|b|c|，故ABC为等边三角形.能力提升1.(2016玉溪高一检测)已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.【解析】因为a24|a|b|cos (为向量a与b夹角).若方程有实根，则有