高考数学二轮复习 专题1_5 立体几何（练）理

专题1.5 立体几何1.练高考1.【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】2.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .【答案】 【解析】设正方体边长为 ，则 ，外接球直径为.3.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】4. 【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) .【解析】（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故5. 【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量计算即得.（）解法一：取的中点，连接，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，.则，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为.6. 【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】 （III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.2.练模拟1. 三棱锥的四个顶点都在球上， 平面， ， ， ， ，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， ， 平面，则直径=，则，所以表面积，故选B.2【2018届吉林省辽源市田家炳高级中学等五校高三上期末联考】已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：； ， ；， ； 。其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则两条直线可以相交。故不正确的。， ，有可能其中一条直线n在平面内。故不正确的。， ，根据线面垂直的判定定理得到结论正确。，则,又因为，故。结论正确；故正确的是。故答案为：B。3.【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】在如图所示的三棱锥中， 底面， ， 是的中点 2， ， 2. 则异面直线与所成角的余弦值为_ 【答案】【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ，故答案为.4. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：异面直线C1P与B1C所成的角为定值；二面角PBC1D的大小为定值；三棱锥DBPC1的体积为定值；异面直线A1P与BC1间的距离为定值其中真命题的个数为_【答案】4【解析】对于，因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，在正方体中有B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，所以这两个异面直线所成的角为定值90，故正确；对于，因为二面角PBC1D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥DBPC1的体积还等于三棱锥PDBC1的体积，而DBC1面积一定，又因为PAD1，而AD1平面BDC1，所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确综上知，真命题的个数为4.5. 如图，四边形为正方形， 平面， ， .试结合向量法：（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .试题解析：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴正半轴建立空间直角坐标系.（1）证明：依题意有， ， ，则， ， .， ，即， .平面又平面，平面平面（2）依题意有， ， 设是平面的法向量，则，即可取设是平面的法向量，则可取，则二面角的余弦值为6. 如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中， ，平面平面（）求证： ；（）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由【答案】()见解析；()见解析.【解析】试题分析：（1）由条件中，平面平面，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求解析：()证明:在直三棱柱中,平面ABC,故,由平面平面,且平面平面,所以平面,又平面,所以()证明:在直三棱柱中,平面ABC,所以,又,所以,如图建立空间直角坐标系,根据已知条件可得,所以,设平面的法向量为,由即令,则,于是,平面的法向量为设,则,若直线DP与平面成角为,则,计算得出,故不存在这样的点.3.练原创1. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( ) A B4 C D3【答案】B【解析】几何体如图，体积为：，故选择B2是同一球面上的四个点，其中是正三角形, 平面，,则该球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意画出几何体的图形如图，把扩展为三棱柱，上下底面的中心连线的中点与距离为球的半径，是正三角形，所以，所以球的表面积，故答案为C.3. 已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D4.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E、F分别是PB、CD的中点，且.（1）求证：；（2）求证：;（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）参考解析，（2）参考解析，（3）【解析】（1）证明 取的中点连结,为正三角形，又 ,平面,同理可证 又平面4分. （2）取的中点，连结 且又且 ，四边形是平行四边形，而平面 平面平面8分 （3）取的中点过作于点连结 则又平面 是二面角的平面角.在中，又,.在中，可求得， 故二面角的余弦值为12分.5. 如图,四棱锥中，是等边三角形，分别为的中点(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值