周期函数的教案的

精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 16 周期函数的教案的 一，函数周期性 1，函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。 当自变量增大任意实数时，函数值有规律的重复出现 假如函数 f=f=f 其中 a+b=T),则说 T 是函数的一个周期 ,2. 最小正周期的概念： 对于一个函数 f，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫 f 的最小正周期。 对于正弦函数 y=自变量 x 只要并且至少增加到x+2时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和 余弦函数的最小正周期是 2。 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 若 T 是 f 的周期，则 是 f 的周期。 若 T 是 f 的周期，则 是 f 的周期。 若 f 的周期，则 f 的周期。 若 f 有最小正周期 T*，那么 f 的任何正周期 T 一定是T*的正整数倍。 T*是 f 的最小正周期，且 别是 若 f 的两个周期，且 是无理数，则 f 不存在最小正周期。 周期函数 f 的定义域 M 必定是双精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 16 方 无界的集合。 1，若有 f 的 2 个对称轴 x=a,x=2|若有 =2|若有 f 的 1 个对称轴 x=a,和 1 个对称中心，则T=4|二，周期函数的性质及题型。 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题 命题 1：若 a 是非零常数，对于函数 y=足下列条件之一，则函数 y=f 是周期函数 . 函数 y=f 满足 f= f，则 f 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 . 函数 y=f= 1 ，则 f 是周期函数，且 2 f 函数 y=f 满足 f+f=1，则 f 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 . 命题 2：若 a、 b 是非零常数，对于函数 y=f 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函数 y= 函数 y=f=f，则 f 是周期函数，且 |它的一个周期 . 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 16 函数图象关于两条直线 x=a， x=函数 y= 2|它的一个周期 . 函数图象关于点 对称，则函数 y= 2|它的一个周期 . 函数图象关于直线 x=a，及点 M 对称，则函数 y= 4|它的一个周期 . 命题 3：若 a 是非零常数，对于函数 y=足下列条件之一，则函数 y=f 是周期函数 . 若 f 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=a 对称，则 f 是周期函数，且 2 若 f 是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x=a 对称，则 f 是周期函数，且 4周期 . 我们也可以把命题 3 看成命题 2的特例 ,命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个 ，其他命题的证明基本类似 . 设条件 A: 定义在 R 上的函数 f 是一个偶函数 . 条件B: x=条件 C: 且 2 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个 . 证明 : 已知 A、 B C f 是 R 上的偶函数 f=f 又 f 关于 x=f=f f=f f 是周期函数 ,且 2a 是它的一个 周期 已知精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 16 A、 C B 定义在 f=f 又 2个周期 f=f f=f f 关于 x=a 对称 已知 C、 B A f 关于 x=a 对称 f=f 又 2a 是 f 一个周期 f=f f=f f 是 R 上的偶函数 由命题 3，我们还可以得到结论 :f 是周期为 T 的奇函数，则 f=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系 们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用 . 例 1： f 是 R 上的奇函数 f= f ， x 0， 2时 f=x，求 f 的值 解：方法一 f= f f = f =f 8 是 f 的一个周期 f= f=f= f= 1 方法二 f= f， f 是奇函数 f=f x=2对称 又 8是 下与方法一相同 . 例 2：已知 上的函数，且满足 f1 f=1+f，f=2，求 f 的值 解：由条件知 f?1，故 f? 1?f 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 16 1?f ?f? 1? 1?比命题 1 可知，函数 f 的周期为 8，故 f= f=f=2 2. 求函数解析式 例 3：已知 上的偶函数， f= f，且当 x?2,0?时， f= 2x+1，则当 x?4,6?时求 f 的解析式 解：当 x?0,2?时 ?x?2,0 f=2x+1 f 是偶函数f=f f=2x+1 当 x?4,6?时 ?4?x?0,2 f=2+1=2x 7 又函数 f 是定义在 R 上的偶函数， f= f，类 比命题 3知函数 f 的周期为故 f=f 当 x?4,6?时求 f=2x 例 4：已知 f 是定义在 R 上的函数，且满足 f=?函数 解：由 f=? 1 ， f=f， 试判断 f 1 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 16 ，类比命题 1 可知，函数 f 的周期为 1998 即 f=f；由f f=f知 f 关于 x=999对称，即 f=f 故 f=f ?判断函数的单调性 例 5：已知 上的偶函数， f= f，且当 x?2,0?时， f 是减函数， 求证当 x?4,6?时 f 为增函数 解：设 4?x1? 则 ?2?0 f 在 上是减函数 f?f 又函数 f 是定义在 R 上的偶函数， f= f，类比命题 3知函数 f 的周期为故 f=f f?f f=f f?f 故当x?4,6?时 f 为增函数 例 6： f 满足 f =f= f，若 f =a 5， 9且 5， 9上单调 .求 a 的值 . 解： f= f 关于对称 f= f f 关于 x=1对称 根据命题 2得 8 是 f 的一个周期 f= f 又 f = f= f = f= f=f a 5， 9且 f 在 5， 9上单调 a =例 7：已知 f 是定义在 R 上的函数， f= f， f= f,f=0， 求在区间 1000， 1000上 f=0至少有几个根？ 解：依题意 f 关于 x=2， x=7对称，类比命题 2 可 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 16 知 f 的一个周期是 10 故 f=f f=f=0 又 f=f=0 即在区间 =0至少两个根 又 f 是周期为 10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f=0在区间 1000， 1000上至少有 1+2? 2000 =401 个根 . 10 练习 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f 为偶函数，且 f = f ,则 f 一定是 是偶函数，但不是周期函数 是奇函数，但不是周期函数 是偶函数，也是周期函数 是奇函数，也是周期函数 2.若 f?x?x?R?为奇函数，则方程 f?x?=0 若有根一定为奇数个。 的函数 y = f 、 y = g 都有反函数，并且 f 和 g 函数的图 像关于直线 y = g = 1999，那么 f=。 1999； 000； 001； 002。 4.设 f 是定义在 R 上的偶函数，且 f= f,当 1 x 0时， f = 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 16 x，则 f = _ 5. 设 f 是定义在 R 上的奇函数，且 f= f,当 0 x1 时， f = x，则 f = 数的周期性 一、 学习目标： 1、了解周期 函数和周期的定义； 2、能够从图象判断函数的周期性； 3、会利用函数的周期性求简单函数的值 . 二、 学习重点： 函数的周期性 三、 学习难点：对函数周期性的理解 四、 教学过程： 新课引入： 请同学们各自列举三 五个循环往复、周而复始的事物， 并考虑其性质。 新知识学习： 由交流引入分析、归纳周期现象：“有规律的重复现象”，从数值上看，就是变化着的量的每一个值在_会重复出现；从图 象上看，整个图象是由_重复拼接而成的。这种现象就是量变化的精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 16 _. 周期函数的图象特征和周期 如果函数 y=f 的变化存在周期现象，即它的图象是由_，那么就把它叫做 用式子表达： 对于函数 y?f，若存在常数 T0,对定义域中的任何 x 都有 _,f 叫做_. 满 足 上 述 条 件 的 最 小 正 数 T 叫做_. 说明： T 是函数 y? _也是周期； 周期函数的定义域是 _. 问题探讨 问题 1. 根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。若是，指出函数的最小正周期。 问题 的函数 y? 0?x?1时，f?1?x，求 f 和 f 的值 . 、课内练习： 1根 据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。若是，指出函数的最小正周期。 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 16 2、偶函数函数 y?，当 0?x?1时， f?1?x，求 f 和 f 的值 . 课堂小结： 作业： 定函数是否为周期函数。若是，指出函数的最小正周期。 2. 奇函数函数 y?，当 0?x?1时， f?1?x，求 f 和 f 的值 . 基 础 巩 固 一、选择题 1函数 y |最小正周期是 A. C 答案 C 2下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 2 答案 D 3下列函数中，周期为 2 的是 A y y 答案 A 2 2 2 2 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 16 解析 A T 42B T 2 2 2 2 C T 18 D T 1 4 4 2 B y x D y 4函数 y 3. C 2 答案 D 2 2 解析 由 T 2 5，故选 D. 5 ? 5函数 y 24的最小正周期为 ? 5 5 A C 4 答案 C 2 解析 T 14 . ? ?2?6下列说法中正确的是 B 2 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 16 A当 x 2 时， B当 C因为 以是 y D因为 以 2y 答案 A 二、填空题 7若函数 f x 的周期为，则 _. 答案 2 2 解析 由于周期 T，解得 2. 8已知函数 f 是定义在 R 上的周期为 6 的奇函数，且f 1，则 f _. 答案 1 解析 由于函数 上的周期为 6的奇函数，则 f f f f 又 f 1，则 f 1. 三、解答题 9 y x 0,2 是周期函数吗？为什么？将区间改为 0， )呢？当 x 0， )时， 2是它的一个周期吗？ 解析 当 x 0,2 时， y 当 x 2 时， f，而 2是它的一个周期， f f 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 16 而 2不是它的一个周期，因为，当 x 2 时， 2 1，而 3 22 2 ?0， )，无意义 10已知定义在 R 上的函数 f 满足 1，求证： f 是周期函数 1 证明 f f?x? f f 2 11 1 f f?x 2? f?x? 函数 f 是周期函数， 4 是一个周期 . 能 力 提 升 一、选择题 1定义在 R 上的函数 f，存在无数个实数 x 满足 f f，则 f A是周期为 1 的周期函数 B是周期为 2 的周期函数 C是周期为 4 的周期函数 D不一定是周期函数 答案 D ? ? 2函数 y 2 x?的最小正周期是 4，则等于 精 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 16 ? A 2C 2答案 D 2 1 解析 | |， 2. 1 23函数 y | |最小正周期为 A. C 2 答案 A ? ? 解析 ?x 2? ?x 2? |原函数的最 ? 2. B D 4 ? ?4函数 y 75?的周期是 ?A 2 C. 答案 C 12 解析 T 233. 5函数 y ，则正整数 k 的最小值应