北大版高等代数第一章数域教案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 16 北大版高等代数第一章数域教案 一、课程性质与目的 各种数学理论在代数中取得了整合与统一，而高等代数是代数学的最基础部分。高等代数是数学与应用数学、计算机科学、信息与计算等专业的重点基础课程，是这些专业硕士研究生入学考试的必考科目。这是因为，它不仅是后续课程必备的数学基础，在理论和实际中有着广泛的应用背景，更重要的是这门课程的学习，对提高学生的抽象思维能力，掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，对数学思想、数学思维品质的形成，对培养数学感、数学基本功提高数学修养、数学素质，以及 训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力都有着特殊而重要的作用。 二、教学基本要求 要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算。通过课程教学及大量的习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密及运算准确，以及提高运用已掌握的知识分析问题和解决问题的能力。 三、教学内容、学时分配及要求 授课章节 域 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 教学目的与要求： 1 掌握数域的概念。 2 掌握一元多项式的定义、有关概念和 基本运算性精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 16 质。 教学重点、难点： 一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质 教学内容： 域 一、引言 我们在处理一个数字问题时，往往要用到一些数。按照所研究的问题，我们常常要明确规定所考虑的数的范围。例如，求方程 x?4?0 的根。在有理数范围内此方程无根，在实数范围内， 在复数范围内， 这个方程有四个根：。由此可见，同一问题在不同的数的范围内可能有不同的结论。因此，在这种情况下，要明确规定所考虑的数的范围。某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。另外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。因此所考虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。 根据以上的需要，人们引进了如下所谓数域的概念。 二、数域的定义 定义 1. 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与1。若 P 中任意两个数的和、差、积、商仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 由定义不难看出：全体有理数组成的集合、全体实数精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 16 组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域，分别记作 Q,R,C。 注意，全体整数组成的集合不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数。 若数集 中，我们就说数集 P 对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成，若一个包含 0、 1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法、除法是封闭的，则称 P 为一个数域。 三、例子 例 . 证明数集 ?a?a,b?为一数域。 证： 0?0?0? 1?1?0Q 在 ? 中任取两个数 a?c?a,b,c,d?。 ?,g,.或 f,g,. 注意，我们这里定义的多项式中的 x 是一个符号。它可以代表许多不同的事物，因此它是一个形式的表达式。当符号 x 是未知数时，它就是中学所学的多项式。看应用的需要，这个符号还可以代表其他待定的事物。为了能统一研究未知数和其他待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表达式。并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律，统一研究以得到它们普遍的公共的性质。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 16 2多项式的项及其系数 多项式中的 为 i 次项， 为 i 次项的系数，i?0,1,.,n约定 为方便起见规定： 常写为 常写为 项也称为常数项。 i 时可写为 x。 i1 i 3. 若一个多项式的系数不全为零，则其系数为零的项可以省略不写。这样自然也可以添上一些系数为零的项。 例如： 4x?1x?0x?2x 可写为 4x?x?2,也可以写为0x?4x?x?2。 . 多项式的相等 若在 f 与 g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，则 称 f 与 g 相等，记为 f?g。 例如 . 0x?5x?0x?1?5x?0x?1?5x?12x?x?3?x?x?3,3x?2x?1?2x?1 。 . 零多项式 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0。 . 多项式的首项与次数 在中，若 ，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 16 n 2 2 2 3210343 3222 n 称为多项式的次数。多项式 f 的次数记为 ?)。 注 1. 在以上多项式的次数定义中，要求多项式至 少有一项的系数不为零。而零多项式的系数全为零，对于零多项式，我们不定义次数。它也是唯一不定义次数的多项式。因为零多项式不定义次数，所以在用符号 ?)时，总是假定 f?0，以后就不一一说明了。 二 . 多项式的运算 在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、相减、相乘，对于形式表达式，可类似地引入这些运算。为便于计算和讨论，我们常用和号来表达多项式，即将 f?x n n?1 ?.?成 f? 1 n i?0 设 f?x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 16 ?.? i?0 n g?加减法 ?.? j?0 m 定义 不 妨 假 设 m?n 。当 m?n 时 ， 令bn?.?0. f?g?xi i?0 n 也就是说我们把两个多项式 相加定义为同次项系数相加 . 显然数域 P 上的两个多项式经过加、减运算后，所得结果仍然是 P 上的多项式 . ?g)?),?). 乘法 定义 fg?m?xn?m?1?xn?m?2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 16 ?.?x?中 s 次项的系数是 .?n? i?j?s ?ab i j . xs i?j?s 实际上， 是将 f 与 g 逐项相乘再合并同次项而得到的多项式。 显然数域 P 上的两个多项式经过相乘所得到的结果仍是 P 上的多项式。 若 f?0,则 ，且 ?g)?)?). 证： ?f?0,g?0 ?f与 g 中都至少有一项其系数不为零， 不妨设 ,，则 ，且 ?)?n,?)?m. ?fg?m?.?且 ? ，且 m 是 首项，由定义知 ?g)?n?m?)?) ?f 与 g 中至少有一个等于 0。 三 . 运算规律 第一章 多项式理论 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 16 第六章 向量空间 引言 从本章开始转向线性代数的主体 向量空间和线性映射，它们是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构 向量空间的概念 教学目的 通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的基本表述 教学重点 向量空间及其 子空间的定义 教学难点 对 的理解 教学内容 第三章学习的 n 维列向量张成的向量空间的基本事实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间 定义公理例子 定义 1 设 F 是一个数域， F 中的元素用小写拉丁字母a， b， c， ?表示； V 是一个非空集合， V 中的元素用小写希腊字母 ?， ,?表示如果下列条件成立： 1在 V 中定义了一个加法对于 ?， ?V， V 中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做 ?与的和，记作 ?+ 2有一个“纯量乘法”对于 F 中每一个数 k 与 V 中每一个元素 ?，有 V 中唯一确定的元素与它们对应，叫做 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 16 与 ?的积，记作 k? 3上述加法和纯量乘法满足下列算律： 1)? + = +?； 2)+ =? +； 3)在 V 中存在一个元素，记作 ?，它具有以下性质：对于 ? V，都有 ? +? =?； ，使得 ?+?=?； )对于 ? V，在 V 中存在一个元素 ? 5)k=k? + 6)? =k? +l?； 7)? =k； 8)1? =? 这里 ?， V， ?k， l F 那么称 V 是 F 上的一个向量空间，其中 V 中的元素叫做向量， F 中的元素叫做纯量 例 1 在解析几何中，平面或空间中从一个定点出发的一切向量的集合关于向量 的加法和实数与向量的乘法都作成实数域上的向量空间前者用 者用 例 数域 F 上所有 阵所成的集合 Fm?n 关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法也作成 F 上的一个向量空间，叫做m n 全矩阵空间 特别地， F 上所有 13和所有 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 16 所成的集合分别作成 F 上向量空间，前者称为 F 上 n 维行空间，后者称为 F 上 n 维列空间我们用同一个符号 表示这两个向量空间 例 复数域 C 可以看成实数域 R 上的向量空间 类似地， Q、 R 可分别看作 Q 上的向量空间，又任意数域 F 总可以看成它自身上的向量空间 例 数域 x关于多项式的加法和数与多项式的乘法作成 F 上的一个向量空间 进而， n 元多项式的集合 F?， 于多项式的加法和数与多项式的乘法也作成 F 上的一个向量 空间 例 由于 F?， 两个 m 次齐次多项式的和是 F 中元素与 m 次齐次多项式的乘积是 m 次齐次多项式或零多项式因此， F?， 所有 上的一个向量空间 例 由于 F?， 两个对称多项式的和仍是对称多项式， F 中元素与对称多项式的乘积仍是对称多项式因此 F?， 所有对称多项式组成的集合构成数域 F 上的一个向量空间 例 设 X 是任意一集合， F 是任一数域，从 X 至 F 的每一个 映射 f 叫做 X 上的一个函数我们把 X 上的所有函数组成的集合记作 于 f， g k F，在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 16 =f+g,? x X， =k), ?x X 容易验证条件 3的 1) 8)成立因此 上的一个向量空间，其中式称为函数的加法，式称为 F 的元素与函数的纯量乘法， ，即 0=0， ?x X 例 设 X 是实数域 R 的任一子集由例 7， X 上的所有函数组成的集合 照函数的加法以及实数与函数的纯量乘法，构成实数域 R 上的一个向量空间 例 设 a,b是实数轴上的一个闭区间， a,b上的连续函数全体记作 Ca,b从数学分析课程知道， a,b上的两个连续函数的和仍是连续函数，实数 k 与连续函数 f 的纯量乘积 是连续函数因此， Ca,b是实数域上的一个向量空间 例 10 类似于例 9，区间 a,b上所有 n 次可微函数组成的集合是实数域上的一个向量空间，记作 Ca,b 例 11 考虑收敛于 0 的实无穷序列设 两个这样 的序列则 an?设 k 是任意实数，则 n?n?n? n?容易验证，条件 3的 1) 8)成立因此， n? 所有收敛于 0 的实序列关于如上定义的加法和数与序精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 16 列的乘法作成实数域 R 上的一个向量空间 向量空间的例子是大量的，仅从上述例子足可看出，向量空间的内涵极其深刻 注 1)可以证明，定义 1 中 3的算律 8)不能由 1) 7)推出请同学们思考 2)定义 1 中的数域 F 可以一般化为域 F但这依赖于抽象代数的知识 简单性质 从 定义出发我们来推导向量空间的一些简单性质 由于向量的加法满足结合律 ),可以推出 ,任意 , 2,?, n 相加有完全确定的意义我们按通常的习惯把这唯一确定的和记作 ?1?2?n?i i?1n 再者，又由于加法满足交换律 )，因而在求任意 n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序 叫做 ?的负向量由此定义，可以推定义 1 中 3之3)的 ? 叫做零向量， 4)的 ? 出 命题 在一个向量空间 V 中，零向量是唯一的；对于 V 中的每一向 量 ?， ?的负向量由唯一确定 证 先证零向量的唯一性设 ? 和 ?都是 V 的零向量，则 ? V 都有 ? +?=?， ? +? =?于是 ? =? +?=? 和都是 ? 的负向量则 ?+?=? ， ? +=?于是 又设 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 16 ? ? 我们把向量 ?的唯一的负向量记作 ?这样，对于任意向量 ?，都有 ?+=+?= 向量 ?+叫做 ?与的差，记作 ?于是，在一个向量空间中，加法的逆运算 减法可以实施，并且有 ? + = ? = 这就是说，在一个向量空间里，通常的移项变号法则成立 下面来看纯量乘法，我们有 命题 设 ?V， k?F，则 0? =? ， k? =? k=? = k? k? =? ?k=0 或 ? =? 证 先证 0? =0? +? =0? += 0? =? 0? = 0? 0? =? 同理可证 k? =?所以成立 由有 k? +k=k)=k? =? 这就 是说， k 是 k?的负向量所以 k= k?同理可证 ? = k?这就证明了成立 最后，设 k? =? 但 k?0，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 16 11?1?1?k?k? kk?k? 所以成立 ? 子空间 设 V 是数域 F 上的一个向量空间， ? W?V,?,?W,则 ? + V一般说来 ? +不一定在 W 内若 ? + W，则称 W 关于 V 的加法是封闭的同样，若 ? W， k F，都有k? W，则称 W 关于纯量与向量的乘法是封闭的 定理 设 上向量空间 W 关于 V 的加法以及纯量与向量的乘法是封闭的，则W 作成 F 上的一个向量空间 证 的加法以及纯量与向量的乘法的封闭性保证了向量空间定义里的条件 1， 2成立 3中的算律 1)，2)和算律 5) )既然对于 V 中任意向量都成立，自然对于 一需要验证的是 3中条件 3)和 4）由 ， ? W， =0? W，所以 W，它自然也是 且 ? ? W因此，条件 3)， 4)也成立 ? 定义 设 W 是数域 F 上向量空间 V 的一个非空子集若W 关于 V 的加法以及纯量与向量的乘法来说是封闭的，则称W 是 V 的一个子空间 由定理 V 的一个子空间也是 F 上的一个向量空间，并且一定含有 V 的零向量