半径为R的圆柱体上电荷均匀分布.ppt

陇东学院大学物理学部分习题课件 8-5 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为 (2)在棒的垂直平分线上,离棒为r的电场强度为 (1)在带电棒上取一线元dx,其 电荷为 dq=Qdx/L,它在P点 的电场强度大小为: 方向沿X轴正方向 L O 因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则: 电场强度的方向沿x轴正方向 (2) 电荷元 dq=Qdx/L在P点 的电场强度大小为: L O E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零 故,点P的电场强度大小为 : 因为 统一积分变量,则 方向沿y轴的正方向 当棒长 时,P点的电场强度为 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同 8-7 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度 为,求球心处电场强度的大小. 将半球壳分割为一组平行的细 圆环,从教材第8-3节的例1可以 看出,所有细圆环在轴线上O处 的电场强度方向都相同,将所有 的带电圆环的电场强度积分,即 可求得球心O处的电场强度. 所带电荷元为: 将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环 在点O激发的电场强度为: 由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利 用几何关系 统一积分变量,有 积分得: 8-8用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 外一点的电场强度大小为 (提示:把无限 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 后进行积分叠加) 求点P的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为: 求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后,再叠 加积分,即可求得点P的电场强度了. 如图所示,在带电板上取 同心细圆环为微元,由于 带电平面上同心圆环在点 P激发的电场强度dE的方 向均相同,因而P处的电场 强度为 电场强度E的方向为带电平板外法线方向. 如图所示,取无限长带电细 线为微元,各微元在点P激 发的电场强度dE在oxy平 面内且对x轴对称,因此,电 场在y轴和z轴方向上的分 量之和,即Ey、Ex均为零， 则点P的电场强度应为： 积分得 电场强度E的方向为带电平板外法线方向. 8-11如图8-11所示,电荷 分别均匀分布在两个半径 为R的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大小 和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。 （1）将圆环沿y轴方向分割为一组 相互平行的元电偶极子，每一元电 偶极子带电 则带电圆环的电偶极矩为： （2）等效正负电荷中心间距为 根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标 分别为（0,2R/）和（0，-2R/ ）。 也可借助几何中心的定义，得 即正、负电荷中心分别在y轴上距中心O为 处。 8-13边长为a 的立方体如图所示,其表面分别平等于xy、 yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方 体置于电场强度 的非均匀电场中 ，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强 度通量。 由题意知E与oxy面平行，所以 对任何与oxy面平行的立方体 表面，电场强度通量为零，即 ，而 考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反，且该两面的电场分布 相同，故有： 同理有 ： 整个立方体表面的电场强度通量为： 8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 荷体密度为： K为一常量，试高斯定理求电场强度E与r的函数关 系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？ ） 取与带电球体同心的球面为高斯 面，因电荷分布和电场分布为球 对称 ，球面上各点电场强度的大 小为常量，且方向垂直于球面。 由高斯定理： 当 时： 当 时： 8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平 板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平 板相距为x的一点P的电场强度。 用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特 殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这样的 对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和 带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成， 挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一 个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这样中 心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该 处激发的电场的矢量和。 由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近 为沿平面外法线的单位矢量; 圆盘激发的电场为: 它们的合电场强度为: 在圆孔中心处x=0,则: 距离圆孔较远处xr则: 8-17如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中， 存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心O 的矢量用 表示，试证明球形空腔中任一点的电场强 度为： 用补偿法求解 挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整 的、电荷体密度为的均匀带电球状和一个电荷体密 度为- 、球心在O的带小球体（半径等于空腔球体 的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度分 别为 ，则P点的电场强度 均匀带电球体内部一点的电场强 度，由高斯定理可得： 所以： 利用几何关系 ，上式可改写为 8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆 柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴 线距离为r处的电场强度。 因电荷具有轴对称分布，电场 强度也为轴对称分布，且沿径 矢方向。取同轴圆柱面为高斯 面，由高斯定理得： 因为 所以 解得 8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总 电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球 面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是 场点与球心的距离r的连续函数？试分析。 因电荷呈球对称分布，电场强度 也为球对称分布，取半径为r的同 心球面为高斯面，由高斯定理得 ： 当rR3 时，高斯面内电荷为Q1 + Q2 ，故 电场强度方向均沿径矢方向 各区域的电场强度分布曲线 如图所示 在带电球面的两侧，电场 强度的左右极限不同，电场强 度不连续，而在紧贴r=R3带 电球面，电场强度的跃变量 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果， 且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳 ，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带 电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就 变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。 8-22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直 线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为 零，且Q1=Q3=Q，求在固定Q1、 Q3的情况下，将 Q2 从点O移到无穷远处外力所作的功。 . 由题意Q1所受合力为零 故得 因Q1=Q3=Q 外力作的功W应等于电场力 作功的负值即W=-W . 根据电场力作功与电势差的 关系有 V0为Q1Q2在点O产生的电势（取无穷远处的电势为零 ） 将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作的功为 8-24水分子的电偶极矩P的大小为6.2010-30Cm,求在 下述情况下,距离分子为r= 5.0010-9m处的电势. (1)=0o;(2) =45o ;(3) =90o , 为r与p之间的夹角. 由点电荷电势的叠加 (1)若=0o (2)若=45o (3)若=90o 8-25如图所示,有一薄金属环,其内外半径分别为R1和 R2,圆环均匀带电,电荷面密度为.(1)计算通过环心垂直 于环面的轴线上一点的电势;(2)若有一质子沿轴线从 无限远处射向带正电的圆环,要使质子能穿过圆环,它 的初速度至少应为多少? (1)在环上割取半径为r 、宽度为dr的带电细圆 环，其所带电荷为 它在轴线上产生的电势为 薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加 （2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的 动能 ，开始时质子的初速度应满足 即 上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于 8-26两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有 电荷Q1和Q2。求各区域电势分布，并画出分布曲线 ；（2）两球面间的电势差为多少？ (1)由高斯定理可求得电场分布 用场强积分法求电势 由电势 可求得各区域的电势分布 当rR1时,有 当R1rR2时,有 当rR2时,有 (2)两个球面间的电势差为 用电势叠加法求电势 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于 两个球面内,即rR1,则 若该点位于两个球面之间,即R1rR2,则 若该点位于两个球面之外,即rR2,则 (2)两个球面间的电势差为 8-27半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分 布,电荷的体密度为现取棒表面为零电势,求空间电势 分布并画出分布曲线。 无限长均匀带电细棒电荷分布 呈轴对称,其电场和电势的分布 也呈轴对称.取高度为 、半 径为 且与带电棒同轴的圆柱 面为高斯面，由高斯定理 当 时 得 当 时 ， 得 ： 取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当 时 ， 当 时 ， 电势V随空间位置r的分布曲线为 8-28一圆盘半径R=3.00 10-2m,圆盘均匀带电,电荷面 密度=2.0010-5C m-2.(1)求轴线上的电势分布;(2)根 据电场强度与电势梯度的关系求电场分布;(3)计算离 盘心30.0cm处的电势和电场强度。 利用与题8-25类似的方法，将积分限改为0到R，即可 求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度 与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布 （1）轴线上任一点P的电势为 （2）轴线上任一点电场强度为 电场强度方向沿x轴方向 （3）将场点至盘心的距离x=30.0cm分别代入(1)和(2)式 得: 当xR时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为 依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有 由此可见，当xR时，可以忽略圆盘的几何形状， 而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样 的近似处理，E和V的误差分别不超过0.3%和0.8% ，这已足以满足一般的测量精度 8-32在oxy面上倒扣着半径为R的半球面,半球面上电荷 均匀分布,电荷面密度为 ,A点坐标为(0,R/2),B点的坐标 为(3R/2,0)求电