实验定积分的近似计算.ppt

实验二 定积分的近似计算 数学实验 1 l 定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 l 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法 、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相 关函数。 q 问题背景和实验目的 定积分的近似计算 2 l 矩形法 l 梯形法 l 抛物线法 q 数值积分的常见算法 主要内容 q Matlab 求积分函数 l 数值积分函数：trapz、quad、dblquad l 符号积分函数：int 3 q 定积分的定义 定积分的近似 4 矩形法 n 充分大，x 充分小 l 通常我们取 左点法右点法中点法 l 点 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 , 右端点 和中点 。 l 定积分的近似： 5 步长 节点 矩形法 左点法 右点法 中点法 6 矩形法举例 例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。 l 左点法： l 右点法： l 中点法： 解 ：h =1/n=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 (i = 0, 1, 2, ., 100) 7 l 理论值： l 左点法相对误差： l 相对误差分析 矩形法举例 l 右点法相对误差： l 中点法相对误差： 不同的算法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 ? 8 定积分几何意义 9 l 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 l 整个曲边梯形的面积 ： 梯形法 10 l 如果我们 n 等分区间 a,b，即令： 则 = 梯形公式 梯形法 梯形公式与中点公式有什么区别 ? 11 解 ： = 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 梯形法举例 a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) = h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相对误差： 12 l 2n 等分区间 a,b ，得 用抛物线代替该直线， 计算精度是否会更好？ l 计算每个节点上的函数值： 抛物线法 l 在区间 x0, x2 上，用过以下三点 的抛物线来近似原函数 f (x) 。 13 设过以上三点的抛物线方程为： 则在区间 x0, x2 上，有 y = x2 + x + = p1(x) 抛物线法 14 l 同理可得： l 相加即得： 抛物线法 15 l 整理后可得： 或辛卜生 (Simpson) 公式 抛物线法公式 抛物线法 16 = 例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 解 ：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 抛物线法 l 相对误差： 17 l 矩形法 l 梯形法 l 抛物线法 q 数值积分的常见算法 Matlab 函数 q Matlab 求积分函数 l 数值积分函数：trapz、quad、dblquad l 符号积分函数：int 18 trapz(x,y) x 为分割点（节点）组成的向量， y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。 q trapz trapz 梯形法 19 前面的 做法 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 ) 解 ： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y) trapz 函数 trapz(x,1./(1+x.2) trapz 举例 20 quad(f,a,b,tol) f = f(x) 为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度 将自变量看成是向量 l 不用自己分割积分区间 l 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6 l 精度越高，函数运行的时间越长 l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即： .* ./ . . quad q quad抛物线法 21 解 ： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！ 例：用 quad 计算定积分： quad 举例 22 dblquad(f,a,b,c,d,tol) l tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 l f 可以是： 字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄 l a,b 是 第一积分变量 的积分区间， c,d 是 第二积分变量 的积分区间 按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面 dblquad q 抛物线法计算二重积分： dblquad 23 f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f,-1,1,0,2) f 中关于第一自变量的运算是数组运算，即把 x 看成是向 量，y 看成是标量。也可以全部采用数组运算 例：计算二重积分 dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2) dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2) X 例：计算二重积分 dblquad 举例 24 例：计算二重积分 dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1, 1, 0, 2) 指定 x、y 分别是第一和第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2) ,-1, 1, 0, 2) l 被积函数 f (x,y) 的另一种定义方法：匿名函数 dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2 , -1, 1 , 0, 2 ) 下面的命令运行结果和上面的一样吗？ dblquad 举例 25 int(f,a,b) 计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。 int(f) 计算 f 关于默认自变量 的不定积分。 int(f,v,a,b) 计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a, b int(f,v) 计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分 findsym(f,1 ) int q 符号积分： int 26 例：用 int 函数计算定积分： 解 ： syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1) 或 int(1/(1+x2),0,1) 或 或 int 举例 27 double(a) 将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码 a=3; double(a) double(a) 例 ： ans = 3 ans = 97 相关函数 28 x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y) l 梯形法： l 抛物线法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10) l 符号积分法 ： syms x int(