[理学]常见二阶偏微分方程的建立和定解问题.doc

江西师范大学 2013 届本科毕业论文 常常见见二二阶阶偏微分方程的建立和定解偏微分方程的建立和定解问题问题 The common two order partial differential equation and the solution 院系名称院系名称： ：物理与通信物理与通信电电子学院子学院 学生姓名学生姓名： ：黄瑜黄瑜 学生学号学生学号： ：0907020032 专专 业业： ：物理学物理学 指导老师指导老师： ：马马善均善均 完成时间完成时间： ：2013 年年 4 月月 I 摘要摘要 质点力学研究质点的位移怎样随着时间而变化，电路问题研究电流或电压 怎样随着时间而变化。总之，是研究某个物理量(位移、电流或电压)怎样随着 时间而变化.这往往导致以时间为自变数的常微分方程(质点的运动方程、电路 微分方程)。 但是，在科学技术和生产实际中还常常要求研究空间连续分布的各种物理 场的状态和物理过程，例如研究静电场的电场强度或电势在空间中的分布，研 究电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间中的变化情况，研究声场中的 声压在空间和时间的变化情况，研究半导体扩散工艺中杂质浓度(单位体积里的 杂质的量)在硅片中怎样分布并怎样随着时间而变化，等等.总之，是研究某个 物理量(电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度)在空间的某个区域中 的分布情况，以及它怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数就不仅仅是时 间，而且还有空间坐标。 关键词关键词：物理，普遍性与特殊性，边界条件，初始条件，在一定的条件下，数 学物理方程，数学物理定解问题的广义方程，解决问题。 II AbstractAbstract Particle mechanics research of particle displacement changes with time, circuit studies how current or voltage change over time. In short, is the study of some physical parameters (displacement, current or voltage) how to change over time. This often results in time as the variables of the ordinary differential equation, differential equation of particle motion equation and circuit). But, in science, technology and production practice, also often require the space of continuous distribution state and physical process of various physical fields, such as the electric field in electrostatic field strength and electric potential distribution in space, the study of electromagnetic field intensity and magnetic induction intensity changes in space and time, the study of sound pressure in the acoustic field in space and time changes, the semiconductor diffusion process of impurity concentration (the amount of impurities in the unit volume) in the silicon distribution and how to change over time, and so on. In short, is the study of certain physical quantities (the electric field intensity, electric potential, magnetic induction intensity, pressure, concentration of impurities) in a region of space distribution, and how it changes with time. Since the variables of these questions is not only time, but also spatial coordinates. KeywordsKeywords: physics, universality and particularity, the boundary conditions, initial conditions, the definite condition, the mathematical physical equation, the generalized equations of mathematical physics definite solution problem, solve the problem. III IV 江西师范大学江西师范大学 学士学位论文原创性申明学士学位论文原创性申明 本人郑重申明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权南昌大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密。 （请在以上相应方框内打“”） 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： V 目目 录录 摘要I ABSTRACT.II 原创声明. III 使用授权书III 引言1 第 1 章 方程的导出与简化2 1.1 波动方程的导出及其定解问题2 1.1.1 弦的振动方程及其定解问题2 1.1.2 膜的振动方程及其定解问题5 1.1.3 电磁波或声波传播方程5 1.2 热传导方程的导出及其定解问题6 1.3 位势方程及其定解问题8 1.4 定解问题的适应性 .9 1.5 二阶偏微分方程的分类 .10 第 2 章 泛定方程的求解14 2.1 达朗贝尔公式的推导 .16 2.2 解波动方程混合问题的分离变数法 .17 2.2.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题17 2.2.2 具诺依曼与罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题22 2.2.3 非齐次问题的解法26 2.2.3 泊松方程28 2.2.4 分离变数法小结28 参考文献29 - 0 - 引言引言 为解决当时面临的问题，当然首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分 布规律和时间中的变化规律，这就是物理课程中所研究并加以论述的物理规律， 它是解决问题的依据.物理规律反映同一类物理现象的共同规律，即普遍性，亦 即共性。 可是，同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。物理 规律并不反映这种个性. 这样，为了解算具体问题，还必须考虑到所研究的区域的边界处在怎样的 状况下，或者，换个说法，必须考虑到研究对象处在怎样的特定“环境”中.我 们知道，“超距作用”是不存在的，物理的联系总是要通过中介的(这在物理学 中引起各种场的概念)，周围“环境”的影响总是通过边界才传给研究对象，所 以周围“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件. 还有，研究问题不能割断历史。为了解和计算随着时间而发展变化的问题， 还必须考虑到研究对象 的特定“历史”，即它在早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件. 边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性， 亦即个性.在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件. 现在，说一说物理规律的数学表示.物理规律，.用数学的语言“翻译”出来， 过是物理量 u 在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量 u 在各个地 点和各个时刻所取的值之间的联系。正是这种联系使我们有可能从边界条件和 初始条件去推算 u 在任意地点(x,y,z)和任意时刻 t 的值 u(x,y,z,t).而物理的联系总 是要通过中介的，它的直接表现只能是“在邻近地点和邻近时刻所取的值之间 的关系式.这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程.物理规律用 偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程.数学物理方程，作为同一类物理现象 的共性，跟具体条件无关.在数学上，数学物理方程本身(不连带定解条件)叫作 泛定方程. 这样，问题在数学上的完整提法是:在给定的定解条件下，求解数学物理方 程.这叫作数学物理定解问题，或简称为定解问题. - 1 - 1 二阶偏微分方程的导出与简化二阶偏微分方程的导出与简化 据文献【1】导出的一些常见的数学物理方程可知，它们分别属于三种类型： 即波动方程、输运方程、和稳定场方程。其中，除杆的横振动方程以外，都是 二阶的。本文将着重讨论二阶偏微分方程。 1.1 波动方程的导出及其定解问题 振动是怎样传播的呢？我们将弦认定柔软的，即在放松的条件下，把弦弯 成任意的形状，他都保持静止。可是在绷紧以后，相邻小段之间有拉力，这种 拉力叫做弦中张力。张力沿着弦的切线方向，由于张力作用，一个小段的作用 必定带动它的邻段，而邻段又带动自己的邻段，这样，一个小段的震动 必然传播到整根弦。这种振动传播现象叫做波。 1.1.1弦的振动方程及其定解问题 设有一根均匀柔软且有弹性的弦（一维弹性体），它的重量只有弹性的几 万分之一。更张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，可以将其看作“没有 重量的”理想弦。将其拉紧后作微小的横振动。 在弦绷紧不振动时，它是一根直线，就去这条直线为 x 轴。把弦上各点的横向 位移记作 u。这样，横向位移 u 是 x 和 t 的函数，记作 u(x,t)。 取弦上任意区间相应的一段（见图1.1.1），作用在两端的张力,的大小 ba, 1 T 2 T 均为，故他们的垂直分量分别为 T (1.1.1) ),( ),(1 ),( sin ),( ),(1 ),( sin 2 2 tbTu tbu tbu TT taTu tau tau TT x x x x x x 其中 ， 分别是弦在 a，b 处切线与 x 轴的夹角，因此，tan =ux(a,t)，tan - 2 - =ux（b,t）。这段弦所受的外力合力为 b a dxtxF),( 惯性力为 (1.1.2) .)(- 2 2 b a dx t u x 根据牛顿定律 ， (1.1.3) 0)(),(),(),( 2 2 dx t u xdxtxFtautbuT b a b a xx 即 (1.1.4) 0)(),( 2 2 2 2 b a dx t u xtxF x u T 由区间的任意性，知 u(x,t)满足 ba, (1.1.5) ),( ),(, 0, ),(, ),(- 2 2 2 2 2 2 txF txf T a tbaxtxfa x u t u 这就是所谓的弦振动方程。 仅弦振动方程尚不足以完全确定弦的运动规律，还必须考虑弦的起始状况及两 端受约束的状况，即必须给出初始条件和边界条件。 初始条件一般给出弦的初始位移和初始速度： (1.1.6) . )0( ),( ),( 0 0 lx xu xu tt t 边界条件通常有三种提法： （1）弦的两端固定或位移按已知规律随时间变化，即 (1.1.7) ; 0,0),(,0), 0(ttlutu - 3 - 或 (1.1.8) . 0, )(),(, )(), 0(ttvtluttu 这种边界条件称为第一边界条件。 （2）弦的两端自由滑动，因此张力的垂直分量为 为零，即要求 x Tu (1.1.9) ; 0,0),(,0), 0(ttlutu xx 或弦的两端受已知外力作用，因此是已知函数，即 x Tu （1.1.10) . 0 , )(),(, )(), 0(ttvtluttu xx 这种边界条件称为第二边界条件 （3）弦的两端受弹性支撑，即支撑弦的拉力的垂直分量与位移 u 成正比： x Tu (1.1.11) 0, ),(),(, ), 0(), 0(ttlkutlTutkutTu xx 其中 k 是弹性系数；或更一般地要求 u 满足边界条件： (1.1.12) , 0, )(),(),(, )(), 0(), 0(ttvtlutluttutu xx 其中是正常数。这种边界条件称为第三类边界条件。 求弦振动方程（1.1.1）满足初始条件及某边界条件的解，构成所谓的定解 问题，分别称为第一、第二及第三初边值问题，统称混合问题。如果现足够长， 而且仅考察临近初始时刻的较短时段内震动状况，可以忽略边界的影响。于是， 作为近似状态，在整个数轴上考虑弦的震动问题，而且没有边界条件只有初始 条件，这种定解问题称为柯西问题。 - 4 - 1.1.2膜振动方程及其定解问题 所谓膜指的是有弹性的柔软薄片，理想当中，它柔软到以至弯曲变形时遇 到的抵抗力都可以忽略不计。设在静止状态膜占据平面上的区域，在外xOy 界影响下薄膜作微小振动。2 一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动， 其运动规律满足 (1.1.13) 222 22 2 222 ( , , )( , , ) uuu af t x yauf t x y txy 其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在(x,y)点处的位移 f(x,y,z)表示单位质量所受的外力，a2=T/:T 表示张力， 为面密度 (1.1.14) 22 22 22 222 2 3 222 2 Laplace Laplace xy xyz uu A A 称为二维算符，定义为 三位算符是 1.1.3电磁波或声波传播方程 在研究电磁波或声波在空间的传播问题时，会遇到方程 (1.1.15) 2222 22 3 2222 ( , , )( , , , ) uuuu af t x yauf t x y z txyz 其中 u(x,y,z,t)代表 t 时刻(x,y,z)点处电场强度或介质密度。 弦振动方程、博膜振动方程及上述电磁波或声波传播方程统称为波动方程。 - 5 - 1.2热传导方程的导出及其定解问题 热传导方程的起源源自于19世纪时傅里叶在研究工业中金属加热问题时提 出。它的物理模型是空间某个介质或静止流体内温度分布不均匀，引起热量流 动时，我们要考虑热运动如何进行。 当考虑物体内热量传导问题，即求物体内温度分布。设在点处时刻zyx, t 时的物体的温度为，从物理定律出发，导出温度场所要满足zyxu,zyxu, 的偏微分方程。 根据傅立叶热传导定律：在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为 h，面积为 S，温度分别为 T1、T2的平行平面，在 t 秒内，从一个平面传到另 一个平面的热量 Q， 满足下式： (1.2.1) h TT s t Q 12 式中 Q/t 定义为传热速率， 定义为该物质的导热系数，亦称热导率， “-”号表示热量向低温的方向传递。 (1.2.2) ),()( ),(),( )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ),(),( 2 2 2 2 2 2 tzyxg z u y u x u k t u c tzyxgdxdydzdttzyxgQ dzdydzdt z u kQ dxdydzdt y u kQ dxdydzdt x u kdydzdt x u kdydzdt x u kQ dxdydzdt z u y u x u kQQQQ dt t u dxdydzcQdt QQQ z y tzydxxtzyxx zyx 热源密度 量时间内温度升高所需热 能量守恒 放出 流入 放出流入 - 6 - 记，则得到热传导方程 c g f c k a 2 (1.2.3) fuuuau tzyxfua t u zzyyxxt )( ),( 2 3 2 即 若物体内部无热源，则得齐次热传导方程 , 0f (1.2.4) )(: 2 2 zzyyxx uuuau ua t u 或 注：考虑热传导问题中，当物体是均匀细杆时，假如其侧面是绝热的，且 温度分布在同一截面相同，则，得一维热传导方程： (1.2.5) xxt uau 2 当物体是均匀薄片时，假如其侧面是绝热的，则， ),(zyxuu 得二维热传导方程： (1.2.6) )( 2 yyxxt uuau 仅有热传导方程还不足以唯一确定方程的解，还必须给出初始条件与边界 条件。 初始条件就是给出初始时刻 t=0的温度分布： (1.2.7) ),(, ),() 0 , ,(zyxzyxzyxu 边界条件也有三种不同提法： ：边界温度已知 (1.2.8) VV zyxu ),( ：边界热流密度已知 - 7 - (1.2.9) VV n Vn tzyxf k tzyxQ n u n u kQ ),( ),( ：与外界自由热交换 微元分析法：在边界面上(x,y,z)处取一小微元 ds,厚度基本上没有，在 内 dttt, 从物体表面处流出的热量与温度差成正比： vu （1.2.10） ,)(- 1 dSdtvukndSdtuk 即 (1.2.11) ).( 1 vuk n u k 于是 u 满足 (1.2.12) , 0,),(, ),(tzyxtzyxu n u 其中为已知数据。 v k k k k 11 ,0 1.3 位势方程及其定解问题 在1.2所考虑的热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化，则 经过一段较长的时间后，物体内温度分布就会趋于稳定，即温度 u 与时间 t 无 关。于是 u 满足方程 ，该方程称为 ),(, ),(zyxzyxfuuuu zzyyxx 位势方程或泊松(Poisson)方程。f=0称为拉普拉斯(Laplace)方程。此时不再有初 始条件，而边界条件变成以下三种3： （1）狄利克雷条件 (1.3.1) .),(, ),(),(zyxzyxzyxu - 8 - （2）诺依曼条件 (1.3.2) .),(, ),(),( zyxzyxzyx n u （3）罗宾条件 (1.3.3) .),(, ),(),(),( zyxtzyxzyxuzyx n u 相应的定解问题分别称为狄利克雷、诺依曼、罗宾边值问题。 当薄膜在不随时间变化的外力作用下处于平衡位置时，薄膜的形 ),(zyxF 状就满足二维的泊松方程。 ),(zyxu 在点处质量为 m 的质点所形成的引力场，在空间位置 ),( 000 zyx 处的力场强度为，其中 ),(zyxP r r m zyxF 3 ),( 。显然 rrzzyyxx, ),(r 000 (1.3.4) ).(),( r m zyxF 我们将称为引力场的位势函数。容易验证：当不是原点时， r m zyxV),( ）（zyx, . 0 ),(zyxV 这便是 (1.3.5) ),(, ),(zyxzyxfuuuu zzyyxx 称为位势方程的由来。 1.4 定解问题的适应性 物理学、力学及工程技术上的许多问监都归结为各式各样的偏微分方程的 - 9 - 定解问题。研究这些问题的解法，用尽可能方便的方法求出解的表达式，再对 表达式进行数学分析，得出所讨论问班的定量结果，是教学物理方程的中心问 题。但是，所提偏微分方程定解问题是否合理，定解条件是否足够，也是我们 必须重点考虑的。有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了突 变，那么在突变点就要给出不同的条件。这就要研究定解问从的所谓适定性， 即要研究偏微分方程定解问班解的存在性、唯一性及稳定性。适定性的研究也 是定解问题的近似解法的前提与基础。 (一)定解问班解的存在性:即研究在已知数据（偏傲分方程和定解条件中的 已知函故）具有适当光滑性的前提下，定解问题的解是否存在。只有证明了问 题的解是存在的，才能说明所提的方住与定解条件是合理的，相互没有矛后。 (二)定解问题解的唯一性:即研究在适当的函数类中，定解问的解是否只有 一个，即研究定解条件是否足够。 在物理意义上，所讨论的状态唯一确定应是不成问题的，但是从自然现象 到偏微分方程的定解问题，总要加一些条件，做一定的简化，所以得到的只是 自然现象的近似描述。这种简化描述的合理性需要验证，研究问题的适应性是 重要的检验方式。 (三)定解问题的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变 动。 数学物理方程主要研究适应的定解问题，但有些实际问题如石油、矿物勘 探的研究也提出不适应的定解问题。因此，不适定问题亦被人们所关注。 1.5 二阶偏微分方程二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程 (1.5.1) 0, 1 1 , 2 n n n ji ji ij x u x u uxxF yx u xa 式中 aij(x)=aij(x1,x2,xn)为 x1,x2,xn的已知函数. 特征方程特征方向特征曲面特征平面特征锥面 代数方程 - 10 - (1.5.2) n ji jiji aaxa 1, , 0 称为二阶方程(1)的特征方程；这里 a1,a2,an是某些参数，且有.如果 点 x=(x1,x2,xn)满足特征方程，即 (1.5.3) 0 1, 0 ji n ji ij aaxa 则过 x的平面的法线方向 l:(a1,a2,an)称为二阶方程的特征方 n k kkk xxa 1 0 0 向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特 征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特 征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. n 个自变量方程的分类与标准形式 在点 P(x1,x2,xn)，根据二次型 (ai为参量) (1.5.4) ji n ji nij aaxxxa 1, 00 2 0 1 , 的特征根的符号，可将方程分为四类： (i) 特征根同号，都不为零，称方程在点 P 为椭圆型. (ii) 特征根都不为零，有 n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称 方程在点 P 为双曲型. (iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(nm1)，其余 m 个具有 另一种符号，称方程在点 P 为超双曲型. (iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点 P 为抛物型. 若在区域 D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域 D 内是椭圆型、双曲型或抛物型. 在点 P 作自变量的线性变换可方程化为标准形式： 椭圆型： - 11 - (1.5.5) 双曲型： (1.5.6) 超双曲型： (1.5.7) 抛物型： (1.5.8) 式中 为不包含二阶导数的项. 两个自变量方程的分类与标准形式 方程的一般形式为 (1.5.9) a11,a12,a22为 x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程 a11dy2a12dxdy+a22dx2=0 (1.5.10) 称为方程(1.5.9)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(1.5.9)的特征曲线. 在某点 P(x0,y0)的邻域 D 内，根据 =a122a11a12的符号将方程分类： 当 0 时，方程为双曲型； 当 =0 时，方程为抛物型； 当 0，存在两族实特征曲线， 作变换，和 - 12 - 方程化为标准形式 (1.5.11) 或 (1.5.12) （ii） 抛物型: 因 =0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续 可微函数，使，作变换， 方程化为标准形式 (1.5.13) uu u u , 2 2 2 （iii） 椭圆型：因 0，不存在实特征曲线，设 (1.5.4) 为的积分，不同时为零，作变量替换， ,方程化为标准形式 (1.5.5) - 13 - 第二章 泛定方程的求解 2.1达朗贝尔公式的推导 波动方程是最典型的双曲型方程。除了振动问题外，它还可以描写电磁波 及声波的传播现象。本章首先介绍波动方程的柯西问题解的表达式，证明解的 存在性。然后用分离变量法给出波动方程混合问题的解法，证明问题的存在性。 最后，能量不等式证明这些定理问题的解的唯一性与稳定性。波动方程的特征 线是非常重要的概念，有着非常最重要的作用。分离变数法除适用于解波动方 程混合问题外，还可用于解其它类型方程的定解问题。 均匀弦的横振动、均匀杆的纵震动和理想传输线方程都属于一维波动方程， 它们具有统一形式 , 0- 2 2 2 2 2 u x a t 即 . 0 )( x a tx a t ）（ （1）通解 (2.1.1) )()( )()()()( )( 0 )( , )( 21 212 2 atxfatxfu fffdfu f u u x a tx x t t x a tx x t t tax 令 - 14 - 该式即一维波动方程的通解 其中都是任意函数。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不 21 ff 和 是任意常数。 通解具有鲜明的物理意义。以而论，该用以速度沿正方向移 )( 2 atxf ax 动的坐标轴,则新旧坐标系和时间之间的关系为 X (2.1.2) tT atxX 而 (2.1.3) ),()( 22 Xfatxf 与时间 T 无关。这是说，函数图像在动坐标系中保持不变，亦即是随着动 坐标系以速度沿正方向移动。同理，是以速度沿负方向移动的 ax )( 1 atxf ax 行波。 这样，一维波动方程描写以速度沿正负两个方向传播的行波。 ax （2）达朗贝尔公式 例、求无限长弦的自由振动，其数学模型是一维波动方程的初值问题。 2 0 0 0, ,. ttxx t t ua utx u uxx t (2.1.4) 解：将初始条件代入通解 0 0 , t t uf xg xx u afxagxx t (2.1.5) - 15 - (2.1.6) 0 1 x f xg xdc a 积分第二式得 (2.1.7) 0 0 , 11 2 11 2 x x f g f xxdc a g xxdc a 解的联立方程组，得 则初值问题的解为 (2.1.8) 11 , 22 x at x at u t xxatxatd a 此式称为达朗贝尔公式。 当时，达朗贝尔公式给出的解就是初值问题的古典解。 , 2 RCx RCx 1 （3）达朗贝尔公式的适定性 定解问题来自实际，他的解答也要回到实际中去，因此，要求解的存在性 和唯一性，以及稳定性。解的稳定性和唯一性很容易明白。至于第三个要求即 解的稳定性说的是：如果解的数值也只作细微改变。 因为测量不可能绝对精密，来自实际的定解条件难免带有细微的误差，如 果解不是稳定的，那么它很可能与实际情况不相符，没有价值。 下面是证明达朗贝尔解的稳定性。 (2.1.9) 1 0 2 0 , ,1,2. t j t uxh x u xhxhxj t 设初始条件有微小变化， ，其中 - 16 - (2.1.10) 112 , 11 , 22 1 x at x at u t x u t xu t xh xath xathd a t 设新解为：，则 故只要初始条件的误差 足够小，解的误差可控制在一定范围内。即达朗贝尔 公式给出的解是稳定解。由此可见，一维波动方程的初值问题是适定的。 2.2 解波动方程混合问题的分离变数法 先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题.本章介绍的分离 变数法是定解题的一种基本解法，适用于大量的各种各样定解问题，其基本思 想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件 而构成本征值问题. 2.2.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题 在区间上研究两端固定的均匀弦的自由振动。 l , 0 已指出端点引起波的反射.这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就 在这两端点之间往复反射.我们知道，两列反向行进的同频率的波形成驻波.这就 启发我们尝试从驻波出发解决问题. 在驻波中，有些点振幅最大，叫作波腹(图2一1);还有些点振幅最小(在图2- 1中这个最小振幅是零)，叫作波节.驻波没有波形传播现象，就是说，各点振动 相位(周相)并不依次滞后，它们按同一方式随时间 t 振动，可以统一表示为 T(t). 但是各点的振幅 X 却随地点 x 而异，即振幅 x 是 x 的函数 X(x).这样，驻波的 一般表示式为 (2.2.1) ).()(),(tTxXtxu 在式中，自变数 x 只出现于 X 之中，自变数 t 只出现在 T 之中，驻波的一般表 示式具有分离变数的形式。 - 17 - 【例题】设:有一根均匀柔软的细弦,平衡时沿直线拉紧,而且除受不随时间而 变的张力作用及弦本身的重力外,不受外力影响. 如图 2.2 所示，设弦上具有横坐标 x 的点在时间 t 时的位置为 M,位移 MN 记 作 u,显然 u 为 x、t 的函数，记为 u(x,t).在弦上任取一弦段,其长为,为 MMds 弦向线度,弦段两端的所受的张力记作 T,T .由于假定弦柔软,所以任一点处 MM 的弦力方向为沿弦该点的切线方向.现在考虑在 t 时刻的受力情况.1 MM 在 x 轴方向, 受力的总和为,由于弦只作横向振动,所 MM coscosTT 以,由很小,由麦克劳林函数 coscos0TT 242 11 cos1( 1).1 2141(2 )! n n (2.2.2)同理 cos1 得 T=T - 18 - 在 u 方向弦段受力的总和 MM sinsinTTegds , 0 (2.2.3) ( , ) sintan u x t x (2.2.4) (, ) sintan u xdx t x (2.2.5) 2 ( , ) 1 u x t dsdx x 小弦段在时刻 t 沿 u 方向运动的加速度近似为,小弦段的质量为 2 ( , )u x t x . ds (2.2.6) 2 ( , ) sinsin 2 u x t TTegdseds x 变化可得 (2.2.7) 22 ( , )( , ) 22 Tu x tu x t g xt g 相对于很小, g 忽略,得 2 2 u t (2.2.8) 22 2 22 uu tx 2 T 加上初始条件 - 19 - (2.2.9) 22 2 ,0, 22 00,0 0 ( ),( ),0 00 uu xL t tx UUt x Lx u UxxxL tt t 0 ， 这样就建立了上述偏微分方程，加上初始条件与边界条件，就只需对上述方 程求解，下面采用纯数学的方法来解，即分离变量法。 令 (2.2.10) ( , )( )( )x txt UXT 则 (2.2.11) 2 ( )( ) 2 xt u XT t 2 ( )( ) 2 xt u XT x 代入(10)中 变形得 (2.2.12) ( )( ) 2 ( )( ) XT xt Xa T xt 得 (2.2.13) 0 0 2 XX tt XX TaT 1. 对(11)式求解,加入边界条件 (2.2.14) ( )( ) (0)( ) 0 0 xx i XX XX 0 时, (2.2.15) ( ) xx x XA eB e - 20 - 代入边界条件得 (2.2.16) 0, 0 ll ABAB A eB e 得 A=B=0, 不符,舍去. 0 时,令=, 得 2 (2.2.17) ( ) cossin x XAxBx 代入电解条件得 (n=1.2.3.) (2.2.18)0sin0lBA，ln (n=1.2.3) (2.2.19) ( ) sin x n XBnx l 2. (2.2.20) lx t u U Ta l n T txT tt 0 0 00 2 2 22 同理可求得其通解为 (n=1.2.3.) (2.2.21) ( )cossin n an a TtC ntD nt n ll cossinsin ( , )( )( ) n an an x UTXCntDnt n x tn tx lll (2.2.22) 将所有函数 Un(x,t)叠加起来 (解满足叠加原理) (2.2.23) cossinsin ( , ) 1 n an an a UCntDnt n x t n lll (2.2.24) (, )0() 1 sin n x ttx n n UCnx l (2.2.25) sin 0( ) 1 un an Dnx tx n tll - 21 - 由傅立叶级数 (2.2.26) l l xdx l n x n Dn xdx l n x l Cn 0 0 sin 2 sin 2 ( , ) 22 sincossinsinsin 00( )( ) 1 x t nn ann an ll xdxtxdxtx xx n lllnlll U (2.2.27) 上述求解方法称为分离变量法，其主要步骤为：求问题的变量分离解，归 结为解常微分方程的特征值问题；通过叠加组成无穷级数；然后把初值函数展 开成关于特征函数序列的傅立叶级数，以确定叠加系数。分离变量法与傅立叶 级数理论密不可分，故也称傅立叶方法。分离变量法还适用于其它类型边界值 问题，甚至是用于解其他类型方程的边值问题。将在下面逐一介绍。 2.2.2 具诺依曼与罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题 （1）在区间上，先考虑弦自由振动方程具有诺依曼边界条件的混合问 l , 0 题， 经过类似的讨论可得偏微分方程 (2.2.28) . 0 ,0),(), 0( ,0, )() 0 , ( ,0, )() 0 , ( , 0,0,0),(),( 2 ttlutu lxxxu lxxxu tlxtxuatxu xx t xxtt 令 (2.2.29) ( , )( )( )x txt UXT 则 (2.2.30) 2 ( )( ) 2 xt u XT t 2 ( )( ) 2 xt u XT x 代入(2.2.28)中 变形得 2 ( )( )( )( )xtxt XTaXT - 22 - (2.2.31) ( )( ) 2 ( )( ) XT xt Xa T xt 得 (2.2.32) 0)()0( ,0, 0)()( lXX lxxXxX 及 (2.2.33) . 0, 0)()( 2 ttTatT 经过类似的讨论，得特征值问题(2.2.32)的特征值与特征函数序列 (2.2.34) , 2 , 1 , 0,cos)(, )( 2 2 kx l k cxX l k kkk 相应的， (2.2.35) , 2 , 1,sincos)( , 22 )( 00 0 kt l ak Bt l ak AtT t BA tT kkk 其中是任意常数。令 kkk BAc, (2.2.36) ， , 2 , 1,cos)sincos(),( , 22 ),( 00 0 kx l k t l ak Bt l ak Atxu t BA txu kkk 再联系(2.2.28)方程及边界条件和初值条件，为此作形式解 (2.2.37) .cos)sincos( 22 ),(),( 1 00 0 x l k t l ak Bt l ak At BA txutxu k k k k k 满足初始条件，则要求 (2.2.38) .cos 2 ) 0 , ()( ,cos 2 ) 0 , ()( 1 0 1 0 k kt k k x l k B l akB xux x l k A A xux - 23 - 取在区间上关于函数系的傅里叶系数，得 xx及l，0 x l k cos (2.2.39) ., 2 , 1,cos 2 , 2 , 2 , 1 , 0,cos 2 0 0 0 0 kd l k ak B d l B kd l k l A l k l l k 如果，在上分段光滑，且满足 x l