《重积分例题》PPT课件.ppt

第十章 重积分 10-1 二重积分的概念与性质 定义 设 是有界闭区域D上的有 界函数，将闭区域D任意分成 个小闭 区域 其中 表示第 个小闭区域， 也表示它的面积， 在每个 上任取一点 作乘 积 并作和 如果当各个小闭区域的直径 中的最大值 趋于零时，这和的极限 总存在，则称此极限为函数 在 闭区域 D 上的二重积分， 记作 即 其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 叫做积分变量，D 叫做积分区 域， 叫做积分和。 例1据二重积分的性质，比较下列积分 的大小 其中积分区域是由圆周 所围成。 例利用二重积分的性质，估计积 分 的值，其中D是圆周 所围成的闭区域。 10-2 二重积分的计算法 例1 计算 ， 其中D是由直线 所围成的闭区域。 例2计算 其中D是由直线 所围成的闭区域。 例计算 其中D是由抛物线 及直线 所围成的闭区域。 例求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体 的体积。 例计算 其中D由 围成。 例改换积分的积分次序 。 例计算二重积分 其中积分区域D是由 确定。 例计算 例计算 其中 由 及 所围成的闭区域。 定理 设 平面上的闭区域 D上连续，变换 将 平面上的闭区域 平面上的D，且满足 上具有一阶 连续偏导数； 上雅可比式 是一对一的， 则有 公式（8）称为二重积分的换元公式 例10求直线 所围成的闭区域D的面积 。 例11计算 其中D是由中心在原点半径为 的圆周所围成的闭区域。 例12将 化成极坐标形式下的二次积分。 例13求球体 被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分） 立体的体积。 例14设 内 连续，试将二重积分 化成先对 后对 的积分， 其中 。 例15计算积分 例16计算 为由不等式 所围成的闭区域。 10-3三重积分 定义 设 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分成 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也 表示它的体积， 在每个 上任取一点 作乘 积 并作和 如果当各小区域直径中 的最大值 趋于零时这和的极限总存 在， 则称此极限为函数 在闭区 域 上的三重积分，记作 其中 叫做体积元素。 例1计算三重积分 其中 为三个坐标面及平面 所围成的闭区域。 例2计算三重积分 其中 是由椭球面 所围成的空间闭区域。 例3计算 其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域。 例4计算下列三重积分 例5利用柱面坐标计算三重积分， 其中 是由曲 面 与平面 所围成的闭区域。 例6求半径为 的球面与半 顶角为 的内接锥面所围成 的立体的体积。 例7求 其中闭区域 由不等式 确定。 例8计算 其中 为 。 例9.计算 ， 其中 由 确定。 10-4 重积分的应用 例1求半径为 的球的表 面积。 例2设有一颗地球同步轨道通 讯卫星，距地面的高度为 h=36000km，运行的角速度与地 球自转的角速度相同，试计算该 通讯卫星的覆盖面积与地球表 面积的比值（地球半径 R=6400km）。 例3求位于两圆 之间的均匀薄片的质心。 例4 求均匀半球体的质心。 例5求半径为 的均匀半圆 薄片（面密度为常量 ）， 对于其直径边的转动惯量。 例6求密度为 的均匀球体 对于过球心的一条轴 的转 动惯量。 例7设物体占有空间闭区域 它在点 外的密度为 ，函数 在