多元函数微分学的几何应用

1 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 第六节 微分法几何应用 2 空间曲线 )()()(.,(,0000 时当);,(, 0000 设 M1. 空间曲线的方程为参数方程 一、空间曲线的切线与法平面 切线 tt t割线 方程 ,000,0, 时即当 3 曲线在 )()()( 000000切向量 法平面 0)()()( 000000 过 M M(),(),( 000 4 的切线与法平面方程在 t:求曲线 tt i c o s t ,s o s2 3 ,1)0( x ,2)0( y 3)0( 322110 0)2(3)1(2 解 2,1,0 0 时当 )()(1 00000()()(1 00000 曲线方程 在 M( , 切线方程： 两个柱面 的交线 )()(),(,1( 00 6 在抛物柱面 与 的交线上 , 求对应 的点处的 切向量 . ,1x ,12 4212 26 2122126 ),1(s交线方程： 7 空间曲线 ,0),(0),(隐函数 .)()(x 求全导数！ 两个曲面 的交线 )dd,(00 8 切向量 ,1,0,1 s 切线方程 ,110211 0)1()2(0)1( ,2,1(,1,2,1( 求曲线 6222 0 在点 )1,2,1( 处的切线及法平面方程 . 1,解9 1. 设曲面 ： 0),( 二、曲面的切平面与法线 曲线 : ),(),(),( ,0)(),(),( t 求全导数 : ,0 )(),( 0000 ),()(),( 00000000 ),( ,( 000 n10 ),(),(),( 000000000 切平面方程 0)(,()(,()(,(000000000000),(),(),( 000000000000切平面法向量：11 解 ,3),( 33 令 切平面方程 法线方程 ;0 ),0(),( )3,0,3( 22 处的上点求曲面例 ),0(33 33 z ) x ,3 y ,33 2z )1,01(.1)(0)0(1 . 曲面方程 ),( 曲面在 平面方程 : 曲面在 线方程 : (),(0000000 ,(),( 令 ,xx zF,yy ,)(,()(,( 0000000 )1,( yx 式方程 ),(),(),( 000000000 13 例 4 求旋转抛物面 122 点 )4,1,2( 处的切平面及法线方程 . 解 ,1),( 22 )4,1,2(n ,1,2,4 切平面方程 ,0)4()1(2)2(4 624 ,1,2(1,2,2 5 求曲面 2132 222 行于 平面 064 各切平面方程 . 解 设 为曲面上的切点 , ),( 000 00 ,10 x 切点 ),2,2,1( ),2,2,1( 064 15 842232 222 使此点处的切平面平行于 解 设点坐标 ),( 2,22,( )0,0,1(022 ),4()0,2,4( 及032 n16 解答： ,2,2,6 设切点 ),( 3,3 32236 , ,3 切点满足曲面和平面方程 016930169322222 如果平面 01633 与 椭球面 163222 ，求 . 18 求曲线 04532032221,1,1) 的切线 解 : 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 )2,2,1(因此切线的方向向量为 )