1981年全国统一高考数学试卷(理科).doc

1981年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分120分）1（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：（1）AB，（2）AB2（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果3（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是4（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明5（10分）解不等式（x为未知数）：6（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立7（16分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8（17分）在120的二面角PaQ的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角9（17分）给定双曲线（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由10（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=ab，u2=a2ab+b2，u3=a3a2b+ab2b3，uk=akak1b+ak2b2+（1）kbk；求证：un=un1+un2（n3）1981年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分120分）1（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：（1）AB，（2）AB考点：交集及其运算；并集及其运算分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得AB，又由有理数、无理数的定义，可得AB解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得AB=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则AB=点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小2（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式专题：计算题；阅读型分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素3（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：阅读型分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可解答：解：见表对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3则|a|=3，但|a|=3则a=3，故答案为：充分条件；对于第三个：=150则sin=，但sin=则可能为30，故答案为：充分条件；对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系4（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明考点：余弦定理 专题：证明题分析：建立坐标系，用解析法证明余弦定理解答：解：a2=b2+c22bccosA下用解析法证明证：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）由两点距离公式得：a2=|BC|2=（cbcosA）2+（bsinA）2=b2+c22bccosA点评：解析法证明代数几何中的某些定理与公式是一个很有效的武器答题者应好好体会在本证明中的作用，并以所得的心得体会来证明余弦定理的其它形式5（10分）解不等式（x为未知数）：考点：三阶矩阵 专题：计算题分析：根据三阶矩阵的计算法则=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32化简不等式的左边，求出不等式的解集即可解答：解：不等式的左边=（xa）（xb）（xc）abcabcac（xb）ab（xc）bc（xa）=x3ax2bx2cx2=x2（xabc），所以不等式变形为：x2（xabc）0，当x0时，x20得到xabc0即xa+b+c则原不等式解是xa+b+c且x0点评：此题是一道以三阶矩阵为平台，利用它的计算法则对不等式进行变形并会求不等式解集6（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立考点：数学归纳法 专题：证明题分析：要证明等式对一切自然数n都成立，则我们要先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而n=k+1时等式也成立解答：解：当n=1时，假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，=即此时等式也成立，故等式对一切自然数n都成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立7（16分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用 专题：应用题分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10（1.02）20，两边取对数可的答案（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%）2012，（1+y%）201.2由此解可得答案解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，101.02，10（1.02）2，的第21项，即x=10（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%）2012，（1+y%）201.2根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）lg1.2，即lg（1+y%）0.00396，1+y%1.0092，y%0.0092点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用8（17分）在120的二面角PaQ的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角专题：空间角分析：（1）如图所示，在平面P内作直线ADa于点D，在平面Q内，作直线BEa于点E，过点D作DCa，与从点B作CBa相交于点CABC等于AB和a所成的角，ADC为两面角PaQ的平面角，利用余弦定理即可得到AC，由a平面ACD，BCa即可得到BC平面ACD，在直角ABC中求出sinABC即可；（2）在ACD所在的平面内，作AFCD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF平面Q，从而得到ABF是直线AB和平面Q所成的角解答：解：（1）在平面P内作直线ADa于点D，在平面Q内，作直线BEa于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点CABC等于AB和a所成的角，ADC为两面角PaQ的平面角，ADC=120，又AD=2，BCDE为矩形，CD=BE=4连接AC，由余弦定理得AC2=AD2+CD22ADCDcosADC=22+42224cos120=28又ADa，CDa，a平面ACD，BCa，BC平面ACD，BCAC在直角ABC中，（2）在ACD所在的平面内，作AFCD交CD的延长线于点F平面ACD平面Q，AF平面Q在ADF中，ADF=60，AD=2，AF=连接BF，于是ABF是AB和平面Q所成的角，在ABF为直角三角形，点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的辅助线是解题的关键9（17分）给定双曲线（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由考点：双曲线的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程（2）设所求直线方程为y=k（x1）+1，代入双曲线方程，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）根据韦达定理表示出x1+x2求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在解答：解：设直线L的方程为y=k（x2）+1，（1）将（1）式代入双曲线方程，得：（2k2）x2+（4k22k）x4k2+4k3=0，（2）又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有按题意，因为在直线（1）上，所以再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程（2）设所求直线方程为y=k（x1）+1，代入双曲线方程，整理得（2k2）x2+（2k22k）xk2+2k3=0，（3）设必须是（3）的两个实根，即如果B是Q1Q2的中点，就有（x1+x2）=1，所以有综合起来，k应满足由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解故满足题设中条件的直线不存在点评：本题主要考查了双曲线的应用解题的结果一定注意放到判别式中进行验证10（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=ab，u2=a2ab+b2，u3=a3a2b+ab2b3，uk=akak1b+ak2b2+（1）