天津中考数学压轴题解析.doc

2008年2013年天津中考压轴题解析1. (2013天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线l，顶点为点M若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：()求y1与x之间的函数关系式；()若经过点T(0，t)作垂直于y轴的直线l，A为直线l上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x，y2)(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1y2恒成立，求t的取值范围x103y1=ax2+bx+c00ABCOTLPQMlxyl解：()抛物线经过点(0，)，c=y1=ax2+bx+，点(1，0)、(3，0)在抛物线y1=ax2+bx+上，解得，y1与x之间的函数关系式为：y1= x2+x+；(II)y1= x2+x+，y1= (x1)2+3，直线l为x=1，顶点M(1，3)由题意得，t3，如图，记直线l与直线l交于点C(1，t)，当点A与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，四边形ANMP为菱形，PAl，又点P(x，y2)，点A(x，t) (x1)，PM=PA=|y2t|，过点P作PQl于点Q，则点Q(1，y2)，QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在RtPQM中，PM2=QM2+PQ2，即(y2t)2=(y23)2+(x1)2，整理得，y2=(x1)2+，ABCOTLPQMlxyl即y2=x2x+，当点A与点C重合时，点B与点P重合，P(1，)，P点坐标也满足上式，y2与x之间的函数关系式为y2=x2x+ (t3)；根据题意，借助函数图象：ABCOTLPQMlxyl当抛物线y2开口方向向上时，62t0，即t3时，抛物线y1的顶点M(1，3)，抛物线y2的顶点(1，)，3，不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，62t0，即t3时，y1y2= (x1)2+3(x1)2+=(x1)2+，若3t110，要使y1y2恒成立，只要抛物线y=(x1)2+开口方向向下，且顶点(1，)在x轴下方，3t0，只要3t110，解得t，符合题意；若3t11=0，y1y2= 0，即t=也符合题意综上，可以使y1y2恒成立的t的取值范围是t2. (2012天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(02ab)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)、B(0，yB)、C(1，yC)在该抛物线上()当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求的值；()当y00恒成立时，求的最小值解：()若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10. y=x2+4x+10=(x+2)2+6，抛物线的顶点坐标为P(2，6).点A(1，yA)、B(0，yB)、C(1，yC)在抛物线y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7.()由02ab，得.由题意，如图过点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1.连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1.过点A作AFBC，交抛物线于点E(x1，yE)，交x轴于点F(x2，0).则FAA1=CBD.RtAFA1RtBCD. ，即.过点E作EGAA1于点G，易得AEGBCD. ，即=1x1.点A(1，yA)、B(0，yB)、C(1，yC)、E(x1，yE)在抛物线y=ax2+bx+c上，yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，化简，得x12x12=0，解得x1=2(x1=1舍去).y00恒成立，根据题意，有x2x11.则1x21x1，即1x23.的最小值为3. 解法2：()解：设m0，由于b2a0，令b=2a+m当y00恒成立时，应有b24ac0(2a+m)24ac0a0c=2m+2m=+2m0c2m点A(1,yA)、B(0,yB)、C(1,yC)在抛物线y=ax2+bx+c上yA=a+b+c, yB=c, yC= ab+c= 代入b=2a+m,得= = = c2m,= =3的最小值为3解法3：A(1,a+b+c)、B(0,c)、C(1,ab+c)由B(0,c)、C(1,ab+c)得直线BC为y=(ba)x+cAEBC 设直线AE为y=(ba)x+m将A(1,a+b+c)代入上式，得m=2a+c. 直线AE为y=(ba)x+2a+c由得x2+x2=0. 解得E点横坐标为x1=2(x1=1舍去)y00恒成立，根据题意，有x2x11.则1x21x1，即1x23.的最小值为3. 3. (2011天津)已知抛物线：点F(1，1) () 求抛物线的顶点坐标； () 若抛物线与y轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证： 抛物线上任意一点P()()连接PF并延长交抛物线于点Q()，试判断是否成立？请说明理由； () 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值ABOQNFMPxy解 (I)，抛物线的顶点坐标为()(II)根据题意，可得点A(0，1)，F(1，1)ABx轴得AF=BF=1，成立理由如下：如图，过点P()作PMAB于点M，则FM=，PM=()RtPMF中，由勾股定理，得又点P()在抛物线上，得，即即过点Q()作QNAB，与AB的延长线交于点N，同理可得图文PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF有这里，即 () 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，x0，且 x0，抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，观察图象随着抛物线向右不断平移，x0 的值不断增大，当满足，恒成立时，m的最大值在x0 处取得.可得当时所对应的x0 即为m的最大值于是，将带入，有解得或(舍)此时，得x0Oy3=xC22xyx0解得，x0=8 m的最大值为8.4. (2010天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、(点在点 的左侧)，与轴的正半轴交于点，顶点为.()若，求此时抛物线顶点的坐标；()将()中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = SABC，求此时直线的解析式；()将()中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = 2SAOC，且顶点 恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.解：()当，时，抛物线的解析式为，即. 抛物线顶点的坐标为(1，4) 2分()将()中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有， 抛物线的解析式为() 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为 方程的两个根为， 此时，抛物线与轴的交点为，如图，过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF SBCE = SABC， SBCF = SABCEyxFBDAOC 设对称轴与轴交于点，则由EFCB，得 RtEDFRtCOB有 结合题意，解得 点，设直线的解析式为，则 解得 直线的解析式为. 6分()根据题意，设抛物线的顶点为，(，)则抛物线的解析式为，此时，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，.()过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF.由SBCE = 2SAOC， SBCF = 2SAOC. 得.设该抛物线的对称轴与轴交于点.则 .于是，由RtEDFRtCOB，有 ，即结合题意，解得 点在直线上，有 由，结合题意，解得有， 抛物线的解析式为 10分5. (2009天津)已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，为方程y1y2=0的两个根，点M(t,T)在函数y2的图象上()若=，=，求函数y2的解析式；()在()的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B，当ABM的面积为时，求t的值；()若01，当时，试确定T，三者之间的大小关系，并说明理由.解:()，.将分别代入，得，解得.函数的解析式为 另解第()问：比较系数法，是方程的两个根，即 ， 方程，相同，比较系数得 ，即，另解第()问：韦达定理法+=、是一元二次方程的两个根又、是一元二次方程的两个根比较系数得 ，即，()由已知，得AB=，设ABM的高为h，即.根据题意，=由，得.当时，解得；当时，解得.t的值为另解第()问：方法1：过点M作x轴的垂线，与交于点N，解得 ，方法2：当时，SABMSABCSADMS梯形MDCB，即，解得 同理，当时，解得当时，即，解得方法3：， 设在ABM中以AB为底的高为h，则h，即将直线向上或向下平移个单位，得，解与的交点，得，解与的交点，得，注：第二问的每一种解法都充分利用了数形结合数学思想，特别是利用直线y=x的本质特征，使T、t转化为统一级别的量再运算.()由已知，得.，化简得.，得，.有.又，当时，；当时，；当时，. 第()问：图象分析法当对称轴在y轴左侧时，在0x1，y随x的增大而增大，当对称轴在y轴右侧时，是方程的两个根， 01，01， c对于函数，对称轴为，1， 21，即对称轴在左侧(如下图)另：对于函数，对称轴为，对称轴 综上，当0t时，T；当t时，T；当t1时，T6. (2008天津)已知抛物线，()若，求该抛物线与轴公共点的坐标；()若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；()若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由解()当，时，抛物线为，方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 ()当时，抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 当时，由方程，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 当时， 时，时，由已知时，该