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3.1.2 椭圆的简单性质基础达标椭圆x28y21的短轴的端点坐标是()A(0,),(0,)B(1,0),(1,0)C(2,0),(2,0)D(0,2),(0,2)解析:选A.椭圆方程可化为x21,焦点在x轴,b2,b,故椭圆的短轴的端点坐标为(0,),(0,)椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(10,0),则焦点坐标为()A(13,0)B(0,10)C(0,13)D(0,)解析:选D.由题意知焦点在y轴上,a13,b10,c2a2b269,故焦点坐标为(0,)椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A.BC.D解析:选C.将椭圆化为标准方程为1,则必有m0.m1m0,b0)的顶点与焦点,若ABC90,则该椭圆的离心率为() A. B.1C.D1解析:选A.RtAOBRtBOC,即b2ac,又b2a2c2,a2c2ac,即c2aca20,e2e10,又e(0,1),e.已知椭圆的长轴长为20,离心率为,则该椭圆的标准方程为_解析:2a20,a10,e,c6,b2a2c264.故椭圆的标准方程为1或1.答案:1或1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是_解析:由题意2a,2b,2c成等差数列,即a,b,c成等差数列,2bac,又b2a2c2(ac)(ac),ac由可得,e.答案:已知与椭圆1有相同的离心率且长轴长与1的长轴长相同的椭圆的标准方程为_解析:易求得椭圆1的离心率为,椭圆1的长轴长为4,设所求椭圆的半长轴,半短轴,半焦距,离心率依次为a,b,c,e则a2,e,ca,b2a2c2826.故所求椭圆的标准方程为1或1.答案:1或1已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解:椭圆方程可化为1,m0,m,即a2m,b2,c.由e得 ,m1.椭圆的标准方程的x21.a1,b,c.椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为(,0),(,0);四个顶点坐标分别为(1,0),(1,0),(0,),(0,)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e.求椭圆E的方程解:设椭圆E的方程为1(ab0)由e,即,得a2c,b2a2c23c2,椭圆方程可化为1.将A(2,3)代入上式,得1,解得c24,椭圆E的方程为1.能力提升椭圆1(ab0),B为上顶点,F为左焦点,A为右顶点,且右顶点A到直线FB的距离为b,则该椭圆的离心率为()A.B2C.1D解析:选C.A(a,0),直线BF的方程为1,即bxcybc0,由题意得b,即,1,1,e1.已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|10,|AF|6,cosABF,则椭圆C的离心率e_解析:设椭圆的右焦点为F1,因为直线过原点,所以|AF|BF1|6,|BO|AO|.在ABF中,设|BF|x,由余弦定理得36100x2210x,解得x8,即|BF|8.所以BFA90,所以ABF是直角三角形,所以2a6814,即a7.又因为在RtABF中,|BO|AO|,所以|OF|AB|5,即c5.所以e.答案:求经过点M(1,2),且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程解:设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20),将点M的坐标代入可得k1或k2,解得k1,k2,故所求椭圆方程为或,即1或1.4已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解:(1)设椭圆方程为1(ab0),|PF1|m,|PF2|n,则mn2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a23()24a23
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