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四、函数的连续性,1.函数的增量,(一)、连续的定义,2.连续的定义,例1,证,由定义2.9知,3.单侧连续,性质2.14,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.,定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.,f(x)在(a,b)内连续:,(二)、函数的间断点及类型,1,x=2,例4,1.第一类间断点,1)跳跃间断点,2)可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,例5,2.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,12/16,例8,解,(三)、连续函数的性质,例如,结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,复合函数的连续性,(四)、闭区间上连续函数的性质,定理1 (有界性定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上有界.,连续但无界,例如,定义:,定理2 (最大、最小值定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上可取到最大值,最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,Th3 (介值定理),几何解释:,定义:,推论(零点存在定理),几何解释:,注意(1) 若f(x)在a,b上单调,则只有唯一零点.,(2)若a,b改为(a,b)结论未必成立.,在(1,2)连续,但Th2.6 不成立.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,证:,在0,1连续,由零点定理,(五)、 小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,求极限的又一种方法.,反函数的连续性.,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,思考题,下述命题是否正
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