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,科学与工程计算方法,主要内容 常微分数值计算方法简介 偏微分方程数值计算方法 （差分法、有限元法、有限体积法） 统计方法简介 选讲内容 计算流体力学方法简介 计算电磁学方法简介,主要参考书 科学与工程计算方法 北京理工大学出版社 数值计算方法 北京理工大学出版社等 偏微分方程数值解法 清华大学出版社、华中理工大学出版社等 微分方程的数值方法(英文) springer出版社 实用多元统计方法与SAS系统 北京大学出版社 计算电磁学的数值方法 清华大学出版社,常微分方程的初值问题 第一节 几种经典方法,求解常微分方程初值问题,的数值解，就是寻求准确解,在一系列离散节点,上的近似值,只有初值问题的解存在且唯一时，使用数值解法才有意义， 这一前提条件由下 面定理保证。,1: 欧拉法(欧拉折线法),向前、向后欧拉(Euler)公式。以上方法称为欧拉法或欧拉折线法。,欧拉公式的几何意义,欧拉法的其它解释：,2: 改进的欧拉法(梯形法),欧拉法形式简单，计算方便，但曲线的曲率较大时，欧拉法 的效果差。于是，对欧拉法进行改进，用梯形公式计算,得到改进的欧拉公式,称为改进的欧拉法，也称为梯形法。,先用欧拉公式,3: 预估一校正法,预估校正公式也常写成下列形式：,公式的局部截断误差,欧拉法的局部截断误差,近似解与准确解比较，欧拉法的结果大致只有两位有效数字， 而预估校正法的结果则 有3位有效数字。,四 显式龙格库塔法,一 泰勒级数法,设有初值问题,由泰勒展开式,即公式(2)为k阶方法。,所以这种方法实际上不能用来解初值问题。,二 龙格库塔方法(R-K方法),R-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式，而是通过计算不同 点上的函数值，并对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再把 近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而 使近似公式达到一定的阶数。先分析欧拉法与预估校正法。,与二阶龙格库塔公式的讨论方法类似，只需8个参数满足,满足条件(6)的一族公式(5)统称为三阶龙格库塔公式。,一个比较简单的三阶龙格龙塔公式是,(6),(6)式中13个待定常数需满足下列11个方程的方程组,和吉尔公式,例 用标准四阶龙格库塔方法求解初值问题,解 计算过程和结果,五、常用的线性多步公式,四阶Adams显式公式,四阶Adams隐式公式,1. Adams公式,（二）Milne公式,（三）Hamming公式,第二节：常微分方程组与高阶方程的数值解法 经典方法的推广,前面几节介绍了一阶微分方程初值问题的各种数值解法，这些解法 同样适用 于一阶微分方程组与高阶方程。首先从简单的开始，下 面仅就两个未知函数的方程组和二阶方程为例说明各种方法的计算 公式。,3四阶标准龙格库塔公式,4四阶亚当斯显式公式,高阶方程,我们以二阶方程为例来说明高阶方程
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