人教版选修21第二章右曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 求曲线方程的步骤根据条件求曲线的方程的一般步骤可以简述为“建系、列式、变换、化简、证明”这五步这五步构成一个有机的整体,每一步都有其特点和重要性。第一步,“建系”在具体问题中有两种情况所研究的间题中已给定了坐标系.此时就在已给定的坐标系中求曲线的方程即可:原题中没有确定坐标系,此时必须首先选取适当的坐标系,通常总选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等;第二步,是求方程的重要一环,应仔细分析曲线的特征,注数)的动点P的轨迹方程意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系列出几何等式；第三步,在将几何条件转化为代数方程的过程中,常用到一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等；第四步,在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”和“增解”;第五步,是证明,从理论上讲是必要的,但在实际处理上常被省略掉,这在多数情况下是没有问题的,如遇特殊情况,可适当予以说明。知识点二 求动点的轨迹求动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系,即动点坐标x,y所适合的等式f(x,y)=0,因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式,建立等式,一般方法有：（1）直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确，,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法，用直接法求动点轨迹的方程一般有:设点、列式代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略。（2）定义法:运用解析几何中常用定义(例如圆锥曲线的定义),可以从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程（3）代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)都随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运当动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x,y表示成x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。(4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数）,使x,y之间建起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。（5）几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。（6）交轨法:求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点轨迹方程时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。 不管是用哪一种方法求曲线的方程，其本质都是求曲线上任意一点的横纵坐标x、y所满足的关系式，这一点必须要明确。典型例题分析题型1直接法求曲线的方程【例1】求与两定点A,B满足|PA|2-|PB|2=k2（k2是常数)的动点P的轨迹方程。解析 本题条件中没有坐标系,因此首先要考虑建立适当的平高直角坐样系,再通过设动点坐标,将几何条件量化，从而求出动点P的轨迹方程。答案 解法一：取两个定点A，B的连线为x轴,过AB的中点且与x轴垂直的直线为y轴,建立坐标系,如下图所示.设A(-a.0）,B（a,0）,P(x,y),依题意得:(x+a)2+y2-(x-a)2+y2=k2,化简得x=这就是所求的P点的轨迹方程。解法二:取两个定点A,B的连线为x轴,过点A且与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系,设A(0.0）,B（a,0）,P(x,y),依题意得:(x2+y2)-(x-a)2+y2=k2,化简得x=即为所求P点的轨迹方程。规律总结 由曲线求它的方程的基本思想是从给出的轨迹几何条件,通过适当选取坐标系,把几何条件中的等量关系坐标化，从而建立轨迹方程；选择坐标最为关键，若坐标系建立适当,则所求的曲线方程会很简单,否则很烦琐，本题即是一例。【变式训练1】 已知点A(-5,0)、B(5,0,曲线上任意一点M与A,B连结的线段MA,MB互相垂直,求曲线的方程。答案 曲线已在坐标系中，依据坐标法，把曲线上的点转化为坐标，设点M的坐标为M（x，y），依据方程的等式，数形结合(如下图）,把点M适合条件P的曲线转化为用相等关系表示的点M的集合：P=M|MAMB=M|kMAkMB,=-1或=M|MO|=|AB|,用MA,MB或=M|MA|2=|MB|2=|AB|,且M与A、B不共线依据方程是含有未知的等式,把相等关系转化为用点M的坐标x、y表示的方程: =-1；或10(且x5,或y0)；或(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=100(且x5,或y0)；同解化简x2+y2=25(x5). 其中对方程化简时,增加了x=5的解,须舍去. 【例2】已知点G是ABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在轴上有一点M满足|=|,=(R),求点C的轨迹方程. 解析 利用重心坐标公式与题中等量关系列出关于点C(x,y)的等式即可. 答案 设点C的坐标为(x,y),则G(,),设M(x0,0),则=(-x0,-1),=(x-x0,y)=(x0-,-),=(0,2）由=得(x0-,-)=（0,2),所以x0=由|,得,即+1(x-x0)2+y2将式代入式,得+y2=1.因为C点不与A、B重合,所以x0.所以点C的轨迹方程为+y2=1(x0). 规律总结 此类求轨迹方程,寻求等量关系为关键所在. 【变式训练2】在ABC中,已知顶点A(1,1)、B(3,6),且ABC的面积等于3.求顶点C的轨迹方程.答案 设顶点C的坐标为(x,y),作CHAB于H,如右图,则动点C属于集合P=.因为kAB=,所以直线AB的方程是y-1=(x-1),即5x-2y-3=0.所以|CH|=.因为|AB|=29,所以=3,化简,得|5x-2y=3|=6,即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0,这就是所求顶点C的轨迹方程. 题型2 代入法求曲线的方程 【例3】已知点A(3,0),点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y0),AOP的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程. 解析 本题求动点Q(x,y)的轨迹方程,即要建立关于x,y的方程,直接建立x,y的关系十分固难,但可以先寻找x,y与中间变量P(x0,y0)之间的关系,利用已知关于x0,y0点之间关系的方程,得到关于x,y之间的方程. 答案 设点Q(x,y)、P(x0,y0)(y0),如下图.由角平分线定理得=3, 点Q分所成的比=3,又点P(x0,y0)在圆x2+y2=1的上半圆周上,()=()2=1(y0)即(4x-3)2+16y2=9(y0),故点Q的轨迹方程为(4x-3)2+16y2=9(y0).规律总结 用代入法即相关点法求轨迹的关键是寻求关式:x=f(x,y),y=g(x,y),然后代入已知曲线,若求对称曲线(轴对称,中心对称)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题. 【变式训练3】如下图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.答案 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(n,y),则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1). N在直线x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2.又PQ垂直于直线x+y=2,=1,即x-y+y1-x1=0.由联立解得: 又点Q在双曲线x2-y2=1上,x-y=1 代人,得动点P的轨迹方程是: 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 题型3 参数法求曲线的方程 【例4】在边长为a的正方形ABCD中,AB、BC边上各有个动点Q、R,且|BQ|=|CR|,试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 解析 建立直角坐标系后,注意到|BQ|=|CR|,即有|AQ=|BR|,而P为两直线AR与DQ的交点,因而应引进参数,用参数法求其轨迹方程. 答案 以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系(如右图所示),设B(a,0),C(a,a),D(0,a),|AQ|=t,即Q(t,0),R(a,t),直线DQ、AR的方程分别为=1 y= 由得t=,代人得=1,即x2+y2=ay.故所求的轨迹方程为x2+y2-ay=0(x0).规律总结 用参数法求轨迹方程的步骤是:先引进参数,用此参数表示动点的横、纵坐标x，y,再消去参数,得到关于x,y的方程,即为所求的轨迹方程. 【变式训练4】 已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程. 答案 线段AB在直线l:y=x上,且线段AB的长为. 设M(x,y),A(t,t),B(t+1,t+1)(t为参数),则直线PA的方程为y-2=(x+2)(t-2) 直线QB的方程为y-2=x(t-1), M(x,y)是直线PA、QB的交点,x、y是由、组成的方程组的解,由、消去参数t,得x2-y2+2x-2y+8=0.当t=-2时,PA的方程为x=-2,QB的方程为3x-y+2=0,此时的交点为M(-2,-4).当t=-1时,OB的方程为x=0,PA的方程为3x+y+4=0. 此时的交点为M(0,-4). 经验证,点(-2,-4)和(0,-4)均满足方程. 故点M的轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0 题型4 确定曲线的形状 【例5】 (1)方程(x+y-1)=0表示什么曲线? (2)方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 解析 第(1)问中两式的积为0,只要其中一个为0即可注意有意义. 第(2)问中式子需先配方、变形再判断所表示的曲线. 答案 (1)由方程(x+y-1)=0, 可得或即x+y-1=0(x1)或x=1.表示直线x=1和射线x+y-1=0(x1).(2) 方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,2(x-1)20,(y+1)20方程表示的图形是点A(1,-1).规律总结 判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分解法等. 【变式训练5】方程=表示什么曲线 （ ） A.两条线段 B两条直线 C.两条射线 D.一条射线和一条线段 解析 此类问题要充分考虑题目的条件,由已知1-|x|=1-y,1-y01-|x|0.有y=|x|,|x|1. 曲线表示两条线段,故选A. 答案 A 规律 方法 总结 (1)求曲线方程,要注意数形结合思想的运用,化简过程应注意转化的等价性.恰当地建立坐标系,一般地,坐标原点选在线段的端点或中点或直角顶点处. (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:建立适当的坐标系后,设动点坐标为(x,y),根据几何条件寻求x、y之间的关系式; 代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体说,就是用所求动点的坐标x,y来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x,y之间的关系. 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别表示动点的坐标x和y,间接地把坐标x和y联系起来,得到用参数表示的方程,如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程(3)准确理解“方程的曲线”和“曲线的方程”这两个概念:定义中的两个对应条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则,缺一不可.可以看到第一个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的必要条件;而第二个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的充分条件因此,在证明f(x,y)=0为曲线C的方程时,必须证明两个条件同时成立. (4)曲线的交点问题: 曲线C1:F(x,y)=0,曲线C2:G(x,y)=0, 方程组 (I)若消去变量y得g(x)=0.()一般地,方程组(I)的解的个数与方程()的根的个数不等价.(5) 求出轨迹方程时,易忽视对变量的限制条件.在化简变形的过程中若出现了非等价变形,在最后应把遗漏的点补上,把多余的点删去. 由方程研究曲线类型时,应联想常见的曲线方程的类型 (6)由方程研究曲线的性质时,应注意以下几个方面:曲线的组成,曲线与坐标轴的交点,曲线的对称性,曲线的变化情况,画方程的曲线等.定时 巩固 检测基础训练1.方程x2-y2=0表示的图形是 （ ） A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两条重合直线 D.一个点 【答案】A(点拔:方程x2-y2=0表示两条直线y=x和y=2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程是（ ） A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x1) C.x2+y2=1(x0) D.y= 【答案】B(点:设P(x,y),则由题意=-1(x1).)3.到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是 （ ） A.x+y=1 B.x+y=1 C.|x|+|y|=1 D.|x+y|=1 【答案】C(点拨:注意是距离)4.到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是 . 【答案】x+y-1=0(点拨:动点的轨迹是线段AB的垂直平分线.)5.到F(2,0)和y轴的距离相等的点的轨迹方程是 . 【答案】y2=4(x-1)(点拨:由题意=|x|.)能力提升6.动点P在曲线y=2x2+1上运动,则点P与定点(0,-1)连线的中点M的轨迹方程是 ( ) A.y=2x2 B.y=4x2C.y=6x2 D.y=8x2【答案】B(点拨:设M(x,y),P(a,b),则解得将其代入曲线y=2x2+1方程中得M轨迹方程为y=4x2.)7.已知log2x,log2y,2成等差数列,则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为 ( ) A B C D 【答案】A(点拨:由2log2y=2+log