人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程因式分解法

合作探究探究点1 用因式分解法解一元二次方程情景激疑直接开平方法解方程比较简单,配方法、公式法非常麻烦，运算量较大，有没有简单的解一元二次方程的方法呢?知识讲解(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程进行了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)。(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项,使方程的右边为零;将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。注意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的形式,右边一定要化为0,否则求得的解是错误的。如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,则x+3=0,或x-2=0得原方程的解为是错误的。典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x=11x；(2)(x-2)=2x-4.解析 (1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即2(x-2),再提取公因式x-2,便可达到分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的形式。答案 (1)移项,得4x-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)-2x+4=0,(x-2)-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移(方程的右边为0);二分(将方程左边进行因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。类题突破1 用因式分解法解一元二次方程:3x(2x+1)=4x+2.答案 移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0.因式分解,得(2x+1)(3x-2)=0.于是,得2x+1=0,或3x-2=0所以点拨 先把右边的代数式移到左边,使右边为0,再把左边进行因式分解。例2 用因式分解法解方程:(1)(3x+1)-5=0；(2)4x-4x+1=0.解析 (1)可以用平方差公式；(2)可用完全平方公式。答案 (1)原方程可化为=03x+1+=0,或3x+1-=0.(2)原方程可化为(2x-1)=0.所以2x-1=0,x=所以规律总结 用因式分解法解一元二次方程,常用的方法有提取公因式法、平方差公式、完全平方公式。类题突破2 用因式分解法解方程:x(2x+3)-2x-3=0.答案 原方程可化为x(2x+3)-(2x+3)=0因式分解,得(2x+3)(x-1)=0.2x+3=0,或x-1=0.所以.点拨 先变形得到x(2x+3)-(2x+3)=0,然后利用因式分解法解方程。探究点2 选择恰当的方法解一元二次方程情景激疑 一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。那么对于一元二次方程，采用哪种方法较为简便呢?知识讲解 解一元二次方程常用四种方法，即开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其中开平方法是配方法的基础，配方法是公式法的来源，公式法是通法，因式分解法是最快捷的方法，使用时需根据方程的具体特点，首先考虑开平方法和因式分解法，再考虑公式法，最后考虑配方法。典例剖析例3 用适当的方法解方程：(1)3x+15=-2x-10x；(2)2x-12x+9=0.解析 配方法要先配方,再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使每一个一次因式等于0,配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程,解方程时应观察方程特点,灵活选择方法,方程(1)可用因式分解法,方程。(2)可用公式法。答案 (1)移项，得3x+15+(2x+10x)=0.因式分解,得3(x+5)+2x(x+5)=0,即(x+5)(3+2x)=0.于是,得x+5=0,或3+2x=0.(2)a=2,b=-12,c=9,b-4ac=(-12)-429=72.x=规律总结 根据方程的特点,灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法,难以用因式分解法的用公式法。类题突破3 用适当的方法解下列方程:(1)9(2x+3)-4(2x-5)=0;(2)(2x-1)+3(2x-1)+2=0;(3)x-x+x-=0.答案 (1)9(2x+3)=4(2x-5),3(2x+3)=2(2x-5).6x+9=4x-10x=-，6x+9=-4x+10x=.(2)(2x-1)+3(2x-1)+2=0.(2x-1+2)(2x-1+1)=0.2x=-1,2x=0.(3)解法一:x-x+x-=0,x-(-)x-=0.(x-)(x+)=0.x-=0,或x+=0x=,x=-解法二:方程变形为（x-x）+(x-)=0,x(x-)+(x-)=0.(x-)(x+)=0.x=,x=-. 点拨 (1)本题符合用直接开平方的方法解,将一4(2x-5)移到方程的右边;(2)用因式分解法解,将(2x-1)看成一个整体;(3)用因式分解法解较简单。 方法提示 (1)用直接开平方法求解时,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)将多项式分解成两个因式的积,每个因式分别等于零,将方程降为两个一元一次方程求解。重点难点重难点1 用因式分解法解一元二次方程(1)用因式分解法解一元二次方程,方程的右边必须化为0，左边能够分解成两个一次因式的积，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程。这两个一元一次方程的解,都是原一元二次方程的解。这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)。否则不能用因式分解法，这也恰恰是它的局限性。(2)常用的因式分解法用提取公因式法解一元二次方程若一元二次方程化为一般形式后，常数项为0，即可化为=0（a0)的形式，则可用提公因式法将方程变形为，进一步方程得x=0，或或ax+b=0,所以=0（a0)的解.若方程的右边化为0后，方程的左边可化为两个一次因式，且其中有个因式相同时，也可用提取公因式法求解。例如,可化为)=0,即(x-1)(x-3)=0，得x-1=0，或x-3=0.所以.用公式法解一元二次方程常用的公式有：平方差公式，完全平方公式。运用这两个公式把一元二次方程化为形如)=0或=0的形式,就能求得方程的解了。例1 用因式分解法解方程（1）x-2=x(x-2)；（2）(y-3)(3y-4)=12解析 （1）可用提公因式法，(2)应先化为一般形式。答案 （1）原方程可化为x-2-x(x-2)=0.因式分解,得(x-2)(1-x)=0.于是得x-2=0,或1-x=0所以.(2)原方程可化为=0,即y(3y-13)=0所以.类题突破1 用因式分解法解方程:(1+x)(x-7)=-16答案 原方程可化为x-3=0点拨 应先化为一般形式，再用完全平方公式。类题突破2 用因式分解法解方程:=0答案 原方程可化为=0(3x-1+20)(3x1-20)=03x+19=0，或3x-21=0.点拔 观察方程的特点，灵活应用平方差公式、完全平方公式。类题突破3 已知,是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根。(1)求,的值；(2)若,是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时,此直角三角形的面积最大？?并求出其最大值。答案 (1)原方程变形为x.=0,(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,即(x-p)(x+p-m-2)=0.,=m+2-p(2)直角三角形的面积为=p(m+2-p)当且m-2时，所以,为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或。重难点2 用多种方法解一元二次方程解一元二次方程有四种方法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。对于一元二次方程的方法的选择要根据实际方程来确定，公式法和配方法适用于所有的一元二次方程。例2 已知一元二次方程，可以用几种方法来解这个方程?解析 要考虑所有的一元二次方程的解法。答案 解法一：方程两边直接开平方，得x-2=(2x+5)，即x-2=2x+5，或x-2=-(2x+5)，原方程的解是,=-1.解法二：移项，得=0.左边因式分解，得(x-2)-(2x+5)(x-2)+(2x+5)=0即（-x-7)(3x+3)=0-x-7=0，或3x+3=0原方程的解是,=-1.解法三：将原方程变形为=0.这里a=1，b=8，c=7.=36.原方程的解是,=-1.解法四：将原方程变形为=0移项，得=-7.配方，得=-7-+4,即(x+4)=9.开平方，得x+4=3.原方程的解是,=-7.规律总结解法一使用的是开平方法，若方程能写成A=B的形式，就可用直接开平方法求解，开平方时要注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数，防止出现A=B的错误；解法二使用的是因式分解法,若方程的一边为零,另一边能分解成两个一次因式的积,就可用因式分解法来解；解法三和解法四是先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再选用适当方法来解,这是解一元二次方程的常规方法,解一元二次方程时要同时掌握这些方法,以便灵活运用。类题突破4 用配方法和公式法分别解一元二次方程：x2-2x-1=0.答案 解法一：x-2x-1=1x-2x+1=1+1，即(x-1)=2.x-1=解法二：=(-2)-41(-1)=8,点拨 配方法：先移项得到x-2x=1,再把方程两边都加上1得到x-2x+1=1+1,即(x-1)=2,然后利用直接开平方法求解；公式法：先计算出=(-2)-41（-1)=8,然后代入一元二次方程的求根公式进行计算即可得到方程的解。类题突破5 用合适的方法解方程:(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)3x=4x+1；(3)5x=4x-1.答案 (1)原方程可变形为3x(x+5)-5(x+5)=0,即(x+5)(3x-5)=0.x+5=0,或3x-5=0.(2)将方程化为一般形式,得3x-4x-1=0这里a=3,b=-4,c=-1.b-4ac=(-4)-43(-1)=28x=(3)将方程化为一般形式,得5x-4x+1=0.这里a=5,b=-4,c=1.b-4ac=(-4)-451=-40.在实数范围内负数不能开平方,方程无实数根。点拨 方程(1)移项后，一边为零另一边易进行因式分解,故用因式分解法求解,方程(2)(3)化为一般形式后用求根公式求解。规律总结一个一元二次方程可能有多种解法。解方程时,若没有具体的要求,应尽量选择最恰当的方法去解,能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法,可用公式法求解。在用公式法时,要计算b-4ac的值，若b-4ac0,则判断原方程无实数根,如本例中的(3),否则会走弯路。易错指导易错点1 不能正确运用分式因解法解方程例1 解方程:.错因分析此题忽略了因式分解法的一个使用条件:方程错解 方程两边同时除以(x-4),得x-4=3,x=7,即方程的解是x=7.错因分析 错解是因为在等式两边同时除以(x-4),忽略了x-4=0的情况,从而导致漏解。正解 移项,得=0.x-4=0,或x-7=0,=4,=7.纠错心得 方程的两边同时除以一个不为零的整式,方程的解不变，而对于这种类型的方程，含有未知