高考数学总复习第二章函数第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性练习理新人教版.docx

第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性夯实基础【p17】【学习目标】1 理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值3掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用【基础检测】1下列函数中，是偶函数的是()Ay|x2x| By2|x|Cyx3x Dylg x【解析】A项代入x，得y|x2x|，与原函数不相等，所以不是偶函数B项代入x，得y2|x|，与原函数相等，所以是偶函数C项代入x，得yx3x，与原函数不相等，所以不是偶函数D项定义域没有关于原点对称，所以不是偶函数【答案】B2设函数yf(x)定义在实数集R上，则函数yf(ax)与yf(xa)的图象()A关于直线y0对称 B关于直线x0对称C关于直线ya对称 D关于直线xa对称【解析】令txa，因为函数yf与yf的图象关于直线t0对称，所以函数yf与yf的图象关于直线xa对称【答案】D3若函数f(x)为奇函数，且在(0，)上是增函数，又f(2)0，则0的解集为()A(2，0)(0，2) B(，2)(0，2)C(，2)(2，) D(2，0)(2，)【解析】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：由奇函数定义化简解析式：0，即f(x)与x异号即可，由图象可知当2x0或0x2时f(x)与x异号【答案】A4已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)对xR恒成立，当x0，2时，f(x)2x，则f()A. B. C. D1【解析】f(x2)，f(x4)f(x)对xR恒成立，f(x)的周期为4，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，fff，当x0，2时，f(x)2x，f.【答案】B5设f(x)是定义在R上的奇函数，在上单调递减，且f(x1)f(x)，给出下列四个结论：f(1)0；f(x)是以2为周期的函数；f(x)在上单调递减；f(x1)为奇函数其中正确命题序号为_【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，f(x)f(x)，又f(x)f(x1)，f(1)f(1)f(0)0，正确f(x)是奇函数，且f(x)f(x1)，f(x1)f(x)，f(x2)f(x)，函数f(x)的周期是2，正确f(x)是奇函数，f(x1)f(x)，f(1x)f(x)，即函数f(x)关于x对称，f(x)在上单调递减，f(x)在上单调递增，不正确f(x)是奇函数，函数f(x)的周期是2，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x1)是奇函数，正确【答案】【知识要点】1函数奇偶性的定义一般地，如果_对于函数f(x)的定义域内任意一个x_：(1)都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数的图象是关于_原点_成_中心_对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有_f(0)0_；偶函数的图象是关于_y轴_成_轴_对称图形，对定义域内的任意x的值，必有_f(x)f(x)f(|x|)_3奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性(2)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数4周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5三个重要结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T|ab|.典 例 剖 析【p17】考点1函数奇偶性的判断(1)下列函数为奇函数的是()Ayln x ByexCyxsin x Dyexex【解析】对于选项A，定义域为(0，)，不关于原点对称，故不是奇函数所以选项A错；对于选项B，f(x)exf(x)，故选项B错；对于选项C，f(x)xsin(x)x(sin x)xsin xf(x)，所以yxsin x为偶函数，故选项C错；对于选项D，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选项D正确【答案】D(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数【解析】因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数；因为|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数；因为f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数；因为|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数【答案】C(3)已知函数f(x)x2，则下列判断正确的是()Af(x)是偶函数不是奇函数Bf(x)是奇函数不是偶函数Cf(x)既是偶函数又是奇函数Df(x)既不是偶函数也不是奇函数【解析】该函数的定义域为R，f(x)(x)2x2x2f(x)，所以函数f(x)是奇函数，f(1)1，f(1)1，所以函数f(x)不是偶函数【答案】B【点评】判断函数的奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立考点2函数的奇偶性的应用(1)已知函数f(x)asin xbtan x1(a，bR)，若f(2)2 018，则f(2)()A2 020 B2 019 C2 018 D2 017【解析】函数f(x)asin xbtan x1(a，bR)，则f(x)asin(x)btan(x)1asin xbtan x1，即有f(x)f(x)2，又f(2)2 018，则f(2)2f(2)22 0182 020.【答案】A(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是增函数，则有()Afff BfffCfff Dfff【解析】由题设知f(x)f(x2)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0，1上是增函数，故f(x)在1，0上也是增函数，综上，函数f(x)在1，1上是增函数，在1，3上是减函数又fff，所以ffff.【答案】B(3)若函数f(x)是偶函数，则该函数的定义域是_【解析】因为函数f(x)是偶函数，则a0，函数f(x)的定义域满足82x20，解得2x2，故函数的定义域为2，2【答案】2，2(4)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_【解析】由函数特点绘出函数的图象如图，可求得函数与y5的交点坐标为(5，5)，(5，5)，要使f(x2)5，则有5x257x1)时，f(xa)4x成立，则m的最大值为()A3 B6 C9 D12【解析】由于函数f(x)与函数g(x)(x1)2的图象关于y轴对称，因此f(x)(x1)2，由f(xa)4x得(xa1)24x，把x1代入得4a0.当a0时，(x1)24x，解得x1，当a4时，(x3)24x，解之得1x9，因此m的最大值为9.【答案】C(3)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围是()A1a4 B2a1C1a2 D1a0【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且以3为周期，所以f(5)f(2)f(23)f(1)f(1)1，即1，解得1a0)：若f(xa)f(x)，则T2a，若f(xa)，则T2a，若f(xa)，则T2a.(5)函数对称性代数表示：函数f(x)为奇函数f(x)f(x)，函数f(x)为偶函数f(x)f(x)(定义域关于原点对称)；函数f(x)关于点(a，b)对称f(x)f(x2a)2b，函数f(x)关于直线xm对称f(x)f(x2m)考点4函数性质的综合应用(1)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2 B1 C1 D2【解析】f(x1)为偶函数，f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.【答案】A(2)函数f(x)对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的图象关于x1对称，且f(0)2，则ff()A0 B2 C3 D4【解析】因为yf(x1)的图象关于x1对称，所以yf(x)的图象关于x0对称，即f(x)为偶函数，因为f(x2)f(x)2f(1)，所以f(12)f(1)2f(1)，所以f(1)0，f(x2)f(x)，因此ff0，ff2，ff2.【答案】B(3)已知函数f(x1)为偶函数，且f(x)在(1，)上单调递增，f(1)0，则f(x1)0的解集为()A(，0)(4，) B(，1)(3，)C(，1)(4，) D(，0)(1，)【解析】因为函数f(x1)为偶函数得，所以f(x)关于x1对称，因为f(x)在(1，)上单调递增，所以f(x)在(，1)上单调递减，因为f(1)0，所以f(3)0，因此由f(x1)0得x13或x14或x1时，有f(x)0.(1)判断并证明yf(x)的奇偶性；(2)求证：函数f(x)在(0，)上为增函数，并求不等式f(x1)x20，则1，f0.所以f(x1)fff(x2)f(x2)，所以f(x)在(0，)上为增函数因为f(x1)0f(1)，又f(x)是偶函数，所以有|x1|1，解得0x2.不等式f(x1)0的解集为(0，2)8已知函数f(x)x22x.(1)当x时，求函数f(x)的值域；(2)若定义在R上的奇函数g(x)对任意实数x，恒有g(x4)g(x)，且当x0，2时，g(x)f(x)，求g(1)g(2)g(2 020)的值【解析】(1)由题意得f(x)x22x(x1)21，x，f(x)在上单调递减，在1，3上单调递增当x1时，f(x)取得最小值，且f(x)min1.又f，f(3)3，f(x)max3.函数f(x)的值域是1，3(2)由g(x4)g(x)可得函数g(x)的周期T4，g(1)f(1)1，g(2)f(2)0，g(3)g(1)g(1)1，g(4)g(0)f(0)0，g(1)g(2)g(3)g(4)0，g(1)g(2)g(2 020)505g(1)g(2)g(3)g(4)0.B组题1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称，若函数f(x)(0x1)，则f(5.5)()A. B1.5 C D1.5【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以可得f(x)f(x)又因为它的图象关于直线x1对称，所以可得f(x)f(2x)由上面两式可得f(x)f(2x)由此可递推得f(2x)f(x)f(2x)所以函数f(x)周期为4.所以f(5.5)f(1.5)f(1.5)f(21.5)f(0.5).【答案】C2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x22x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a1.【答案】(2，1)3已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf是奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)是偶函数；函数f(x)在R上是单调函数在述四个命题中，正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)【解析】对于，f(x3)ff(x)，函数f(x)是以3为周期的周期函数，故正确；对于，yf是奇函数，其图象关于原点对称，又函数f(x)的图象是由yf的图象向左平移个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点对称，故正确；对于，由知，对于任意的xR，都有ff，用x换x，可得：ff(x)f，令tx，则f(t)f(t)，函数f(x)是偶函数，故正确；对于，由知f(x)是偶函数，偶函数的图