台球运动中的理论力学.doc

理论力学课程学习论文台球运动中的理论力学摘要：如今，台球运动，包括斯诺克，八球等已经成为了深受人们喜爱的运动。当我们观赏台球比赛时，会看到高水平的运动员打出各种各样的旋转球，在碰撞后会“不规则”的运动，有时会反弹，有时碰撞后会突然加速，有的时候则会拐出一条曲线。这些现象似乎不满足我们脑中普通的碰撞原理。因此，本文将主要通过理论力学知识，来分析产生这种现象的原因。台球最简单的旋转主要是上旋和下旋，在台球运动中也成为高杆和低杆。本文也主要通过这两种简单的旋转方式，来分析高杆、低杆的形成、运动过程及碰撞情况。形成 高杆的形成中，观察到选手会撞击球的上半部分。设撞击的力大小为F，据中心水平面距离为h，同时设球的半径为r。首先可以将力F平移至中心水平线上，同时产生一个附加力偶 M=Fh。由于此时桌面的摩擦力相对F过小，因此击球过程中，摩擦忽略不计。设撞击时间为t，则有：动量定理： Ft=mv 动量矩定理：Mt=J 其中，J为小球相对质心的转动惯量，J=25mv2 由可得，=5hvc2r2. 所以击球后，设球的水平质心速度为vc，球同时也将以=5hvc2r2的角速度运动。引入纯滚动概念，若碰撞之后小球刚好纯滚动， r=vc = h=2r5所以当h=2r5时，无论F多大，击球后小球将做纯滚动。因此若要打出高杆球，则力的击球点与中心水平面的距离h2r5.击球后，小球的水平平动速度设为vc，则此时，小球同时将以=5hvc2r2的速度绕质心转动。且rvc. 同时，高杆形成之后，一开始的运动过程中会与地面产生相对位移，因此在之后的运动过程中会随着摩擦力产生的抵抗力矩最终变为纯滚动。对于低杆球，则是由于击球时击球点位于中心平面的下造成的。如图，同样的，力F与中心水平面距离为h，将力F向中心平面平移，同时也产生一个逆时针的附加力偶M=Fh。假设击球时间t，则有：动量定理： Ft=mv 动量矩定理：Mt=J 同样的也有=5hvc2r2, 但是由于小球相对质心向后转动，因此当h0，即只要力的作用点在球心下方，就能产生低杆的效果。击球后，假设路程足够长，最终小球会由于桌面摩擦力产生的阻抗力矩，最后做纯滚运动。运动过程：在实际的台球运动中，选手们选择低杆和高杆主要是为了让球按照自己理想的路径运动，再低杆中，选手们希望小球在碰撞后能够静止或者能够反向运动，而在高杆中，选手们则希望小球在碰撞后能够具有向前的较大的速度。高杆：选手击打高杆的目的是为了在与后面的球碰撞后能产生一个继续向前的动力，由于桌球中的小球很光滑，可以看成是刚性球，所以碰撞过程中有机械能守恒和动量守恒，因此碰撞后瞬间。质心速度vc变为零，由于要求碰撞后有个向前运动的动力，因此应有： vcr .假设小球从击球到碰撞所走过的路程为S，桌面的摩擦力为Ff，则有：初始时刻：1=5hv12r2, 其中1为击球后小球绕质心的转速，v1为初始的质心速度。设小球碰撞前经过了时间t，则有：s=vt ，其中： v=v1+at, a为质心加速度，且a=Ffm,代入式，两边积分，可得：0ss=0t(v1+Ffm)t 解得： t=m(-v1+v12+2Ffsm)Ff由动量矩定理：Mt=J,其中M为摩擦力产生的阻抗力矩，且M=-Ffr,带入后两边积分，可得：122mr25=-0tFfrt ,其中2为碰撞前瞬间小球的转动速度，相应的，v2为碰前的质心速度。解得：2=1-5Fft2mr,所以有2rv2, v2=v1+at，将a、t带入以上两式，可解得： v198Ffr2sm(25r+h2-49r2) 所以若要达到理想的效果，在击球高度一定的情况下，初速度应当超过一定 值。速度一定，则击球高度应当适当偏高些。这种情况下，选手才可能打出理想的高杆效果。低杆：与高杆不同，选手选择低杆主要是希望小球在发生碰撞后能够“回弹”或者不再继续前进，也就是使得在碰撞前的瞬间，0，且此时方向垂直朝外。同样的，设小球碰撞前走过的路程为S，桌面的摩擦力为Ff，v1、v2、1、2所代表含义相同。于是有：s=vt v=v1+at, a为质心加速度，且a=-Ffm，带入后两边积分，得： 0ss=0t(v1-Ffm)t 解得： t=m(v1-v12-Ffsm)Ff 0，所以有 v12Ffsm由动量矩定理：Mt=J,其中M为摩擦力产生的阻抗力矩，且M=-Ffr,带入后两边积分，可得：122mr25=-0tFfrt = 2=1-5Fft2mr ，因此应当有20。代入，解得：v12Ffsr2m(2hr-h2)，由于r22hr-h21， v12Ffsr2m(2hr-h2)所以选手在高度一定时，击球速度只有达到一定的大小，才可能击出理想的效果，而当速度有限时，击球点可以更低些，以达到低杆的目的。碰撞Ff如图，假设选手打出高杆后与其他球发生碰撞，由于侧碰后情况复杂，故只考虑正碰情况下的状况。由于台球均为表面光滑的实心均匀刚体球，故可认为在碰撞过程中动量和机械能守恒，由于两小球质量相同，故发生了“速度交换”。若之前击打的白球以质心速度为v1向前运动，则碰撞后白球的质心速度为零，被碰撞球的速度 v2=v1。首先考虑击打高杆的碰撞后情况，由于质心速度降为零，碰撞后瞬间只有角速度为的转动，此时小球受到一个向前的摩擦力，因此质心开始往前做匀加速运动，假设质心加速的时间为t，摩擦力产生阻抗力矩:M=-Ffr由纯滚动定义：r=vc，则有：r=v 其中、 v为小球最终纯滚动时的角速度和速度。同时有 动量矩定理：Mt=J(-) 动量定理： Fft=m(v-0)由以上三式可以解得：t=2mr7Ff, v=2r7所以当足够大时，会看到白球在碰撞后会不停反而加速，而且如果碰前的角速度越大，加速持续的时间也就越长。而且最后白球将以v=2r7的速度向前运动。而对于低杆：在低杆球中，碰撞前白球具有逆时针绕质心的角速度，设碰撞前瞬间白球的质心速度为v1，由于假设小球均为光滑均质球体，因此球之间的摩擦忽略不计，所以白球的转动不影响碰撞的结果。由动量守恒和机械能守恒，被碰撞的球碰后速度 v2=v1，白球碰后瞬间质心速度为零，但有一个逆时针的角速度，由于摩擦力Ff产生的阻抗力矩的作用，最终白球会做纯滚运动。设碰撞后t时间，白球开始纯滚动，且纯滚动时的角速度和质心速度分别为、 v。则由纯滚动条件有：r=v又有 动量矩定理：Mt=J(-) 动量定理： Fft=m(v-0)最后解得： t=2mr7Ff, v=2r7 所以可以看出，打出低杆后，最后白球将以v=2r7的速度反向运动，而且随着碰撞前的转动角速度而改变，因此只有使得碰撞前的角速度达到一定值，才可能打出理想的效果。结语 在台球运动中，无论是球的击打、运动、碰撞都按着严格的力学和运动学原理进行，同时，高水平运动员极具特色的杆法也是建立在力学和运动学的原理上，看似诡异的现象也只是这些理论的现象展示而已。因此本文主要粗略的探讨了台球运动中最基本的两种杆法：高杆和低杆。并用理论力学的知识和原理加以推倒和解释，鉴于水平有限，侧旋球