高数知识点总结

1 / 105 高数知识点总结 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 (1)数列 : *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初 等函数 : (3)分段函数 : *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合 (含 f)函数 : y?f(u),u?(x) (5)隐式 (方程 ): F(x,y)?0 (6)参式 (数一 ,二 ): ? 2 / 105 ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数 : F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数 (数一 ,三 ): S(x)? 2. 特征 (几何 ): ?ax,x? nnn?0 ? 3 / 105 (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判别 ); (f(x) 单调 ?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y?f(x)?x?f 二 . 极限性质 : 1. 类型 : *liman; *limf(x)(含 x?); *limf(x)(含x?x0?) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大 (注 : 无穷量 ): 3. 未定型 : 4 / 105 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)?, lim, lim? 5 / 105 x?x?x?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n ?0x? , ?x? 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当 u(x)?0时 , ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? sin 12 6 / 105 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi 2. 泰勒公式 : 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 7 / 105 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(?1)2? x?o(x2). (5)(1?x)?1?x? 2! (1)e?1?x? x 五 . 常规 方法 : 前提 : (1)准确判断 , 1. 抓大弃小 ( 0?1 ,1,?M(其它如 :?,0?,00,?0); (2)变量代换(如 :?t) 0?x 8 / 105 ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注 :sin ? 1 ?1,x?) x 3. 1处理 (其它如 :0,?) 4. 左右极限 (包括 x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数 : x, x, maxf(x) x 9 / 105 00 5. 无穷小等价替换 (因式中的无穷小 )(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先 ” 处理 ”, 后法则 ( 0xlnxxlnx 最后方法 ); (注意对比 : lim 与 lim) x?11?xx?01?x0 v(x) (2)幂指型处理 : u(x) (3)含变限积分 ; ?e v(x)lnu(x) (如 : e 1x?1 ?e?e(e 10 / 105 1x1x11?x?1x ?1) (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f(x)?limF(x,n)(?分段函数 ) n? 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹 : *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤 : an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f(x)?0? 11 / 105 ?f ?fx0( ) ?x?0?x 1112n lif?)f(?)?f(?)fxd( 3. 积分和 : , x)?0n?nnnn 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): li 4. 中值定理 : limf(x?a)?f(x)?alimf(?) x? x? 5. 级数和 (数一三 ): ? 2nn! 12 / 105 (1)?an 收 敛 ?liman?0, ( 如 limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? ? (3)an与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 13 / 105 七 . 常见应用 : 1. 无 穷 小 比 较 ( 等价 , 阶 ): *f(x)?kx,(x?0)? (1)f(0)?f(0)?f (2) (n?1) n (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 14 / 105 2. 渐近线 (含斜 ): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性 (附 :极限函数 , f(x)连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 1. 连通性 : f(a,b)?m,M ( 注 :?0?1, “ 平均 ”值 :?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理 : (附 : 达布定15 / 105 理 ) (1)零点存在定理 : f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数 ); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx)?0. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) 16 / 105 ; f(x0)?lim x?x0?xx?x0 (1)f(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续 )?f(0)?0,f(0)?A) (注 :lim x?0xx (2)左右导 : f?(x0),f?(x0); (3)可导与连续 ; (在 x?0 处 , x连续不可 导 ; xx可导 ) 2. 微 分 与 导数 : ?f?f(x?x)?f(x)?f(x)?x?o(?x)?df?f(x)dx (1)可微 ?可导 ; (2)比较 ?f,df 与 0的大小比较 (图示 ); 17 / 105 二 . 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; (注 : (f(x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数三 . 各类求导 (方法步骤 ): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导 : (1)f(a)与 f(x)x?a; (2)分段函数左右导 ; (3)lim h?0 (注 : f(x)? 18 / 105 ?F(x)x?x0 , 求 :f(x0),f(x)及 f(x)的连续性 ) , x?x0?a 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)u?fg(x), 求 :u(x0)(图形题 ); (2)F(x)? ? x a f(t)dt, 求 :F(x) ( 注 : (?f(x,t)dt),(?f(x,t)dt),(?f(t)dt) a a 19 / 105 a xbb ?f1(x)x?x0 , (3)y?,求 f?(x0),f?(x0)及 f(x0) (待定系数 ) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式 (f(x,y)?0)导 : dxdx2 (1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性 ). (3)对数求导法 . ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导 (数一 ,二 ): ?, 求 : 20 / 105 dxdx?y?y(t) 5. 高阶导 f(n)(x)公式 : (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; ( a?bx(a?bx)n?1 nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 21 / 105 ?n); (cosax)(n)?ancos(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv?Cnuv? 注 : f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式 : f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! 22 / 105 n 四 . 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : y?f(x)上点 M0和过点 M0的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率 ?速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): ? 曲率半 径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五 . 单调性与极值 (必求导 ) 1. 判别 (驻点 f(x0)?0): (1) f(x)?0?f(x)?; f(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f(x)?0?零点唯一 ; f(x)?0?驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : 23 / 105 (1)表格 (f(x)变号 ); (由 lim x?x0 f(x)f(x)f(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0 的特点 ) x?x0x?x0xxx (2)二阶导 (f(x0)?0) 注 (1)f 与 f,f的匹配 (f图形中包含的信息 ); (2)实例 : 由 f(x)?(x)f(x)?g(x)确定点 “x?x0” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 ) 高等数学知识点总结 导数公式： 24 / 105 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(secx)?secx?tanx(cscx)?cscx?cotx(a)?alna(log ax x 2 (arcsinx)?(arccosx)?(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 25 / 105 1?x 2 x)? 1xlna (arccotx)? 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncosx?C 26 / 105 ?cotxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cos?sin dx 2 xx ? ?sec?csc 2 xdx?tanx?Cxdx?cotx?C dx 27 / 105 2 2 ?cscxdx?lncscx?cotx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 28 / 105 2 2 ? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?cot?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa 29 / 105 lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 30 / 105 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? 31 / 105 ?sin 02 n xdx?cos n xdx? 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 32 / 105 2 2 2 2 ? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 2 2 2 33 / 105 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 34 / 105 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， cosx?2 1?u1?u 2 ， u?tan2 x2 ， dx? 35 / 105 2du1?u 2 一些初等函数： 两个重要极限： e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦 :shx? 双曲余弦 :chx? 双曲正切 :thx?arshx?ln(x?archx?ln(x?arthx? 36 / 105 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x lim e?ee?e xx 37 / 105 ?x?x x? ?e ? x?1） x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差角公式： 和差化积公式： sin(?)?sin?cos?cos?sin?cos(?)?cos?cos?sin?sin38 / 105 ?tan(?)?cot(?)? tan?tan?1?tan?tan?cot?cot?1cot?cot? sin?sin?2sinsin?sin?2cos ?2 cossin ?2 ?2 ?2 cos?cos?2coscos?cos?2sin ?2 cossin 39 / 105 ?2 ?2 ?2 倍角公式： sin2?2sin?cos? cos2?2cos?1?1?2sin?cos?sin?cot2?tan2? cot?12cot?2tan?1?tan? 222 2 2 2 40 / 105 sin3?3sin?4sin?cos3?4cos?3cos?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 3 3 半角公式： sintan ? 2 ? 41 / 105 ?cos? 21?cos?1?cos? asinA 1?cos?sin?bsinB ? cos cot ? 2 ? 1?cos? 2 42 / 105 ? 2 1?cos?sin? 2 ? 2 ?c sin?1?cos? ? 2 ? 43 / 105 1?cos?1?cos? 2 ? sin?1?cos? 正弦定理： ? sinC ?2R 余弦定理： c?a?b?2abcosC 反三角函数性质： arcsinx? ? 2 44 / 105 ?arccosx arctanx? ? 2 ?arccotx 高阶导数公式 莱布尼兹公式： n (uv)?u (n) ? ?C k?0 45 / 105 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) v? n(n?1)2! u 46 / 105 (n?2) v? n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) ?uv (n) 中值定理与导数应用： 47 / 105 拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?) 拉格朗日中值定理。 f(b)?f(a)F(b)?F(a) 当 F(x)?x时，柯西中值定理就是 曲率： 弧微分公式：平均曲率： K? ds?s ?y?dx,其中 y?tg? ?:从 M点到 M?点，切线斜率的倾角变 48 / 105 ?s d?ds y?(1?y?) 2 3 2 化量； ?s： MM?弧长。 M 点的曲率：直线： K?0; K?lim ?s?0 ?. 49 / 105 半径为 a 的圆： K? 1a . 定积分的近似计算： b 矩形法： ?f(x)? ab b?an (y0?y1?yn?1) 梯形法： ?f(x)? a 50 / 105 b b?a1 (y0?yn)?y1?yn?1n2b?a3n (y0?yn)?2(y2?y4?yn?2)?4(y1?y3?yn?1) 抛物线法： ?f(x)? a 定积分应用相关公式： 功： W?F?s 水压力： F?p?A 引力： F?k m1m2r 2 ,k为引力系数 51 / 105 函数的平均值： y? 1b?a b ?b?a a 1 b f(x)dx 均方根： ? a 52 / 105 f(t)dt 2 空间解析几何和向量代数： 空间 2点的距离：向量在轴上的投影： d?M1M 2 ? (x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 222 PrjuAB?cos?,?是 AB与 u轴的夹角。 ? 53 / 105 Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2? a?b?a?bcos?axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角： cos?k , axbx?ayby?azbz ax?ay?az?bx?by?bz 2 2 2 2 54 / 105 2 2 i? c?a?b?ax bx jayby ? az,c?a?bsin?.例：线速度： bz aybycy azbzcz ?v?w?r. 55 / 105 ax ? 向量的混合积： abc?(a?b)?c?bx cx 代表平行六面体的体积 。 ? ?a?b?ccos?,?为锐角时， 平面的方程： 1、点法式： ? A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 ，其中n?A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1 56 / 105 d? Ax0?By0?Cz0?D A?B?C 空间直线的方程： 2 2 2 2、一般方程： 3、截距世方程： 平面外任意一点到该平面的距离： ?x?x0?mt x?x0y?y0z?z0? 57 / 105 ?t, 其中 s?m,n,p; 参 数 方程： ?y?y0?ntmnp?z?z?pt 0? 22 22 二次曲面： 1、椭球面： 2、抛物面： 3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面： xaxa 2222 xa 222 ? 58 / 105 yb ? 2 zc ?1 xy 2p2q ?z ? ybyb 2222 59 / 105 ? zczc 2222 ?1 ?1 多元函数微分法及应用 全微分： dz? ?z?xdx? ?z?y dy du? ?u?xdx? ?u?ydy? 60 / 105 ?u?zdz 全微分的近似计算：多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y： dz?z?u?z?v z?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v z?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x 当 u?u(x,y)， v?v(x,y)时， du? ?u?xdx? ?u?y dy dv? 61 / 105 ?v?xdx? ?v?ydy 隐函数的求导公式： FFFdydy?dy 隐函数 F(x,y)?0?x2?(?x) (?x)? dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z 隐函数 F(x,y,z)?0? ?xFz?yFz 2 专接本高数知识点总结 北雁友情提供 62 / 105 函数： 极限与连续性： 数列的极限： 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！ 梦想 这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！ 梦想这东西和经典一样，永远不 会因为时间而褪色，反而更显珍贵！ 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！ 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！ 63 / 105 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx)，幂函数 (y=x)，指数函数 (y?ax)，三角函数 (y=sinx)，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限： (1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e x?0 64 / 105 1 x ?1? lim?1?e x? ?x? g(x) x 经验公式：当 x?x0,f(x)?0,g(x)?， lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 65 / 105 limf(x)g(x) 例如： lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim? x? ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： lim ?x?0 66 / 105 f(x?x)?f(x) ?f(x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f?x0? x?x0 7、复合函数求导： df?g(x)?f?g(x)?g(x) dx 例如： y?x?x,y? 67 / 105 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2?y2?1 例如：解：法 (1),左右两边同时求导 ,2x?2yy?0?y? x ydyx 法 (2),左右两边同时微分 ,2xdx?2ydy? dxy 68 / 105 9、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?g(t)dydy/dtg(t)? ， 则 ， 其 二 阶 导 数 ：dxdx/dth(t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g(t)/h(t)? dyd?dy/dx? 2dxdxdx/dth(t) 2 10、微分的近似计算： f(x0?x)?f(x0)?x?f(x0) 例如：计算 sin31? 11、函数间断点的类型： (1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? sinx ， y?sgn(x)(2)第二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f(x)?sin?， y?断点） 69 / 105 12、渐近线： 水平渐近线： y?limf(x)?c x? ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f(x0)?0， f(x0)不存在 20、可导函数 f(x)的极值 点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： (1)罗尔定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(?)?0 (2)拉格朗日中值定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f(?) 70 / 105 (3)积分中值定理： f(x)在区间 a,b上可积，至少存在一点 ?，使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 22、常用的等价无穷小代换： xsinxarcsinxarctanxtanxex?12(?x?1)ln(1?x)1?cosx 12x2111 tanx?sinxx3,x?sinxx3,tanx?xx3 263 23、对数求导法：例如， y?xx，解： lny?xlnx? 71 / 105 1 y?lnx?1?y?xx?lnx?1? y 24、洛必达法则：适用于 “ 0?” 型， “” 型， “0?” 型等。当 0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?， f(x),g(x)皆存在，且 g(x)?0，则 f(x)f(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1 lim?lim 例 如 ， limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g(x)x?0x?0x?0x2x22 25、无穷大：高阶 +低阶 =高阶 例如， 26、不定积分的求法 (1)公式法 72 / 105 (2)第一类换元法 (3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 ?x?1?2x?3?lim? x? 2x5 x2?2x?lim?4 x?2x5 3 a2?x2，可令 x?asint； x2?a2，可令 x?atant； x2?a2，可令 x?asect 2)73 / 105 当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换 x? 1 t 27、分部积分法： udv?uv?vdu，选取 u的规则 “ 反对幂指三 ” ，剩下的作 v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如： ecosxdx,secxdx ? ? 28、有理函数的积分： 例如： 74 / 105 3x?22(x?1)?x11 dx?2dx?x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx?需要进行拆分，令 ?x(x?1)2 x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中，前部分 ? 111? 2xx?1(x?1) 29、定积分的定义： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim? a ?0 75 / 105 i i i?1 b n 30、定积分的性质： b (1)当 a=b时， ?f(x)dx?0； ab a 76 / 105 (2)当 ab时， ?f(x)dx?f(x)dx a b a?aa (3)当 f(x)是奇函数， ?f(x)dx?0,a?0 a (4)当 f(x)是偶函数， b ?a 77 / 105 ?f(x)dx?2?f(x)dx cb (5)可加性： ?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx a a c x x d 31、变上限积分： ?(x)?f(t)dt?(x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa 78 / 105 d 推广： dx u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u(x) a b 32、定积分的计 算： b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) 79 / 105 a 33、定积分的分部积分法： udv?uv?vdu 例如： xlnxdx ? a b a ? a ? ?b b? 80 / 105 34、反常积分： (1)无穷限的反常积分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx a a b bt?a? (2)无界函数的反常积分： 35、平面图形的面积： (1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t 81 / 105 d ?f(x)?f(x)?dx (2)A?(y)?(y)?dy 2 1 2 1 a c 2 (2)绕 y轴旋转， ?f(x)dxV?(y)dy ? 2 82 / 105 a c b d b 36、旋转体的体积： (1)绕 x轴旋转， V? 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 (1)数列 : *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数 : (3)分段函数 : *F(x)? 83 / 105 ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ,; *F(x)?;* ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合 (含 f)函数 : y?f(u),u?(x) (5)隐式 (方程 ): F(x,y)?0 (6)参式 (数一 ,二 ): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数 : F(x)? ? x 84 / 105 a f(x,t)dt (8)级数和函数 (数一 ,三 ): S(x)? 2. 特征 (几何 ): ?ax,x? nnn?0 ? (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判别 ); (f(x) 单调 ?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y?f(x)?x?f 二 . 极限性质 : ? 1. 类型 : *liman; *limf(x)(含 x?); *limf(x)(含85 / 105 x?x0) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大 (注 : 无穷量 ): 3. 未定型 : 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an 86 / 105 n?1, a(a?0)?1, (a?b?c)?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn xnlnnx1x x?1, lix?, 0 lim?0, (x?0)?, lim? x?x?x?0exxxlnx? lim? x?0 n , 0 e? 87 / 105 x ?0x?, ?x? 四 . 必 备公式 : 1. 等价无穷小 : 当 u(x)?0时 , sinux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? e u(x) 12 u(x); 2 ?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); arcsiunx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) 2. 泰勒公式 : 88 / 105 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(?1)2? (5)(1?x)?1?x?x?o(x2). 89 / 105 2! (1)ex?1?x?五 . 常规方法 : 前提 : (1)准确判断 1. 抓大弃小 (), 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注 :sin ? 3. 1处理 (其它如 :0,?) 0?1 ,1,?M(其它如 :?,0?,00,?0); (2)变量代换(如 :?t) 0?x ? 1 ?1,x?) x 90 / 105 4. 左右极限 (包括 x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数 : x, x, maxf(x) x 5. 无穷小等价替换 (因式中的无穷小 )(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先 ” 处理 ”, 后法则 ( 0xlnxxlnx 最后方法 ); (注意对比 : lim 与 lim) x?1x?001?x1?x v(x) (2)幂指型处理 : u(x)?e 91 / 105 v(x)lnu(x) (如 : e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f(x)?limF(x,n)(?分段函数 ) n? 92 / 105 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹 : *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤 : an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f(x)?0? ?f ?fx0( ) ?x?0?x 1112n 3. 积分和 : lif, x)?)f(?)?f(?)fxd( 0n?nnnn 93 / 105 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): li 4. 中值定理 : limf(x?a)?f(x)?alimf(?) x? x? 5. 级数和 (数一三 ): ? 2nn! (1)?an 收敛 ?liman?0, ( 如 limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?n?nn?1n?1 ? (3)an与 94 / 105 ?(a n?1 ? n ?an?1)同敛散 七 . 常见应用 : 1. 无 穷 小 比 较 ( 等价 , 阶 ): *f(x)?kx,(x?0)? (1)f(0)?f(0)?f (2) (n?1) n (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana 95 / 105 x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 2. 渐近线 (含斜 ): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) 96 / 105 x (1)a?lim 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性 (附 :极限函数 , f(x)连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 1. 连通性 : f(a,b)?m,M ( 注 :?0?1, “ 平均 ”值 :?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理 : (附 : 达布定理 ) (1)零点存在定理 : f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数 ); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx)?0. 97 / 105 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f(x)?lim ?x?0 f(x)?f(x0)f(x?x)?f(x) ; f(x0)?lim x?x0x?x0?x (1)f(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) 98 / 105 (注 :lim?A(f连续 )?f(0)?0,f(0)?A) x?0xx (2)左右导 : f?(x0),f?(x0); (3)可导与连续 ; (在 x?0 处 , x连续不可导 ; xx可导 ) 2. 微 分 与 导数 : ?f?f(x