2014年五一高中数学联赛提高班后端习题2答案

2014 年 五一 高中 数学联赛 提高班 后端习题 答案 （第 二 次） 试卷说明 本测试与 2014 年 全国高中数学联赛 加试 难度相当 ，并与实际授课难度接近 。 希望学员经由本试卷了解数学联赛加试题型及难度，对 14 年 10 月 全国高中数学联赛 举办之前的学习进度给出合理安排。 本习题用于学生对水平进行自我评估， 如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 模拟试题 将于 2014 年 5 月 20 日 12:00 发布。 清北学堂集中培训课程后端 习题答 案 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-2-4 2014-5-20 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年五一高中 数学联赛 提高班后端习题 2 答案 1. 设 D 是已知三角形 ABC 的边 AB 上的任意一点，点 E 在该三角形内部且是三角形ACD 和三角形 BCD 的内切圆的外公切线与 CD 的交点， 证明：点 E 的轨迹是一段圆弧。 【证明】如图所示，设 AB 分别切两圆于 H， I， CD 分别切两圆于 F， G，两个内切圆的另一条外公切线为 PQ，其中 P， Q 是切点。 因此， PQ=PE+EQ=EF+EG=2EF+FG 同理 HI=2DG+FG 由于 PQ=HI，所以 EF=DG 又因为 CF=AC+CDAD2 DG=CD+BDBC2 所以 CE=CF-EF=CF-DG=AC+BCAB2 故点 E 的轨迹是以 C 为圆心， AC+BCAB2 为半径的在三角形 ABC 内部的一段圆弧 。 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 2. 设 m 是已知的正整数，若存在 n 个实数 12, , , 1,1na a a ，满足2 2 21 2 1 20,nna a a a a a m ，求正整数 n 的最小值。 【解答】 因为 2 2 212 nm a a a n ，所以 1nm。 （ 1）当 m 为奇数时， 1m 为偶数。若 1nm，设 12n m k ，取1 2 1 2 2,22k k k kmma a a a a akk ，则这样的1 2 1, , , ma a a 满足已知条件，因此 n 的最小值为 1m 。 （ 2）当 m 为偶数时， 1m 为奇数。若 1nm，则存在 1 2 1, , , 1,1ma a a ，满足 2 2 21 2 1 1 2 10,mma a a a a a m 。因为 n 是满足条件的最小的正整数，所以 0 1, 2 , , 1ia i m ，不失一般性，假设 1 2 111ma a a 。由于 1 2 1 0ma a ，则存在正整数 1j j m ，使得 1 1 11 0 1j j ma a a a 。若用1 2 1, , , ma a a 代替 1 2 1, , , ma a a ，仍然满足条件，因此不妨假设 2mj ，于是有 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1m j j mm a a a a a a a a 2 2 21 2 1 2jja a a a a j m ， 矛盾。 若 2nm，设 22n m k ，取1 2 1 2 2,22k k k kmma a a a a akk ， 则这样的 1 2 2, , , ma a a 满足已知条件，因此 n 的最小值为 2m 。 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 3. 求不定方程 n14 +n24 +n134 = 2014的所有非负整数解。 【解答】 因为（ 2n） 416n40(mod 16) (2n+1)48n(n+1)+11(mod 16) 所以 4131 0,1,2,13( 16) 而 201414（ mod 16） 故原不定方程无非负整数解 4. n 个人参加训练赛，训练赛共由 12 轮比赛组成。每一轮比赛之后，每一个参赛者都根据他在该轮比赛中所排的名次 k 获得一个分数 ka （ ka 为正整数，且12 na a a ）。所有比赛都结束后，再根据每个人在 12 轮比赛中所得分数之和排列总名次。试问，对于怎样的最小的 n ，有可能如此选择 12, , , na a a ，使得在倒数第二轮结束之后，无论名次是如何排列的 ,都有两个人具有最终获得冠军的可能性？ 【解答】 n 的最小值为 13。 如果 12n ，让某个人（称其为 A ）在前 11 轮比赛的每一轮中都排在第一，而其余 1n 个中的每一个都有一轮排在最后。那么 A 在所有 12 轮比赛 中 所 得 的 分 数 111 naa， 而 其 余 每 个 人 则2 1 11 0 1 1nna a a a a ，所以只有 A 一个人可以成为冠军。 对 13n ，取 1 2 1 2 1 31 0 1 1 , 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 , 1a a a a ，设在前 11 轮比赛之后总分排在第一的为参赛者 A ，此时在其余 12 个参赛者之中，至少有一人在任何一轮比赛中都没有排在最后（称为 B ）。此时， A 所得的总分 11 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1a ， B 所得的总分21 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0a ，