（凝聚态物理专业论文）光场与三能级原子相互作用系统中的量子效应.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西南科技大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 日期： 关于论文使用和授权的说明 本人完全了解西南科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文的复印件，允许该论文被查阅和借阅；学校可以公布该论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文利用相干态正交化展开方法，在非旋波近似下精确求解了光场与三 能级原子以及考虑了双光子跃迁的二能级原子相互作用的量子特性。主要研 究了与三能级原子相互作用的单模二项式光场的反聚束效应，以及光场与原 子相互作用的布居几率和量子纠缠的动力学性质。 数值计算的结果表明了，当参数7 7 较小时，光场的聚束效应与反聚束效 应交替出现，二阶相干度的振幅很大。随着7 7 的增大，二阶相干度的振幅都 将减小，并且聚束效应持续的时间都将减小，当参数r 足够大时，光场将完 全呈现反聚束效应。 光场与原子相互作用的布居几率会出现塌缩回复现象。而且塌缩回复的 周期随着平均光子数的增大而增大。随着耦合强度以及平均光子数的增大， 塌缩区不能够完全塌缩而是出现了小锯齿状的振荡，并且这种振荡随着耦合 强度以及平均光子数的增大而增大，这主要是非旋波项的贡献。另外本文也 对光场与原子相互作用产生的量子纠缠进行了精确求解，通过研究发现当初 始时刻平均光子数较大时纠缠的演化具有很好的周期性，通过与布居几率的 对比可以发现，量子纠缠与布居几率具有相同的周期。 关键词：三能级原子反聚束效应布居几率量子纠缠 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t a p p l y i n gt h em e t h o do fc o h e r e n t - s t a t eo r t h o g o n a l i z a t i o ne x p a n s i o n ，t h e q u a n t u mp r o p e r t i e so ft h el i g h tf i e l di n t e r a c t i n gw i t hat h r e e l e v e la t o ma n da t w ol e v e la t o mw h i c hc o n s i d e r dt w o - p h o t o nt r a n s i t i o n sh a v eb e e nc a l c u l a t e d e x a c t l yw i t h o u tr o t a t i n g - w a v ea p p r o x i m a t i o n ( w i t h o u t r w a ) t h ea n t i b u n c h i n g e f f e c t so ft h eb i n o m i a ls t a t ei n t e r a c t i n gw i t hat h r e e l e v e la t o m ，a n dt h e e v o l u t i o no ft h ep o p u l a t i o na n dq u a n t u me n t a n g l e m e n to ft h ef i e l di n t e r a c t i n g w i t ha na t o mh a v eb e e na l s oi n v e s t i g a t e d t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tw h e nt h ep a r a m e t e rr i ss m a l l ，t h e b u n c h i n ga n da n t i b u n c h i n ge f f e c t sa p p e a ra l t e r n a t e l y ，t h ea m p l i t u d eo ft h e d e g r e e o fs e c o n do r d e rc o h e r e n c ei sv e r yl a r g e w i t ht h ei n c r e a s eo ft h e p a r a m e t e r 刁，t h ea m p li t u d eo ft h es e c o n do r d e rc o h e r e n c ed e c r e a s e s ，w h e n p a r a m e t e r 刁i sb i ge n o u g ht h el i g h tf i e l dd i s p l a y sa n t i b u n c h i n ge f f e c tc o m p l e t e l y t h ec o l l a p s e - r e v i v a lp h e n o m e n a lo ft h ep o p u l a t i o nw i l lb ed i s p l a y e di nt h e i n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ef i e l da n dt h ea t o m t h ep e r i o do ft h ec o l l a p s e r e v i v a l i n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ea v e r a g ep h o t o nn u m b e r w i t ht h ei n c r e a s e so f t h ec o u p l i n ga n da v e r a g ep h o t o nn u m b e rt h ec o l l a p s er e g i m eo ft h ep o p u l a t i o n c a n t c o l l a p s ec o m p l e t e l yb u td i s p l a y s s m a l l z i g z a g s h a p e do s c i l l a t i o n ， m o r e o v e rb e c a u s eo ft h en o n - r w at e r m st h es m a l lz i g z a g s h a p e do s c i l l a t i o nw i l l i n c r e a s e sw i t ht h ee n l a r g i n go ft h ec o u p l i n ga n da v e r a g ep h o t o nn u m b e r i n a d d i t i o nt h ee n t a n g l e m e n te v o l u t i o nh a db e e nc a l c u l a t e de x a c t l yi nt h i sp a p e r i t i sf i n dt h a tw h e nt h ei n i t i a la v e r a g ep h o t o nn u m b e ri sb i g ，t h ee n t a n g l e m e n t e v o l u t i o nh a v eb e t t e r p e r i o d i c a l l y b yc o m p a r i n gw ef i n d t h a tp o p u l a t i o n e v o l u t i o nh a st h es a m ep e r i o dw i t ht h ee n t a n g l e m e n te v o l u t i o n k e y w o rds ：t h r e e - l e v e l a t o m ；a n t i b u n c h i n ge f f e c t ；p o p u l a t i o n ；q u a n t u m e n t a n g l e m e n t 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 目录 1 绪论1 1 1引言1 1 2j a y n e s c u m m i n g s 模型的推广1 1 3熵理论的建立与发展3 1 4本文的主要内容以及创新点4 1 5本课题的来源4 2 级联型三能级原子与单模光场的相互作用5 2 1模型与求解5 2 2与级联型原子相互作用的二项式光场的二阶相干度8 2 3 单模光场与级联型原子相互作用的布居几率12 2 4级联型原子与二项式光场相互作用的量子纠缠15 2 5本章小结2 0 3人型三能级原子与单模光场的相互作用2 l 3 1模型与求解21 3 2与人型原子相互作用的二项式态光场的二阶相干度2 3 3 3单模光场与人型原子相互作用的布居几率2 6 3 4人型原子与相干态光场相互作用的量子纠缠2 9 3 5本章小结3 3 4 v 型三能级原子与单模光场的相互作用3 4 4 1模型与求解3 4 4 2与v 型原子相互作用的二项式态光场的二阶相干度3 5 4 3单模光场与v 型原子相互作用的布居几率3 9 4 4v 型原子与相干态光场相互作用的量子纠缠41 4 5本章小结4 4 5 级联型三能级原子与双模光场的相互作用4 6 5 1模型与求解4 6 5 2双模光场与级联型原子相互作用的布居几率5 0 5 3级联型原子与双模相干态光场相互作用的量子纠缠5 1 5 4本章小结5 3 6人型三能级原子与双模光场的相互作用5 5 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 v 页 6 1 模型与求解j 5 5 6 2双模光场与人型原子相互作用的布居几率5 7 6 3人型原子与双模相干态光场相互作用的量子纠缠5 9 6 4本章小结6 1 7v 型三能级原子与双模光场的相互作用6 2 7 1模型与求解6 2 7 2双模光场与v 型原子相互作用的布居几率6 4 7 3 v 型原子与双模相干态光场相互作用的量子纠缠6 6 7 4 本章小结6 8 8 双光子跃迁的二能级原子与单模光场的相互作用6 9 8 1模型与求解6 9 8 2布居数反转以及量子纠缠7 2 8 3本章小结7 5 结论7 6 致谢7 8 参考文献7 9 附录8 7 攻读硕士学位期间发表的学术论文及研究成果9 1 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 页 1 绪论 1 1引言 量子光学是量子力学的重要研究领域之一，其中最主要的研究问题是光 场与原子的相互作用。量子光学研究的目的在于揭示光场与原子系统相互作 用的物理本质曙1 。量子光学的发展是曲折的，是随着量子力学一起逐渐被认 可的。爱因斯坦于1 9 0 5 年在研究光电效应时，首次提出了光的量子学说。但 是在这之后的近半个世纪里，关于光量子理论的发展一直十分缓慢。主要是 因为在这一时期里光的量子学说一直没有形成一个系统的理论。直到1 9 6 0 年，梅曼( t h m a i m a n ) 在实验上研制出了世界上第一台红宝石激光器n ， 从此有关光量子领域的科学研究工作进入了空前活跃的快速发展阶段，它使 得量子光学的研究工作有了实验的保障。 随后j a y n e s c u m m i n g s ( j - c ) 模型的提出标志着量子光学的正式诞生，此 后，人们围绕着标准的j - c 模型做了大量的而且是富有成效的理论与实验研 究工作。光场的本质是量子场，在光与原子相互作用的过程当中，尤其是非 线性作用过程中，会出现很多新的量子效应。如光场的反聚束效应幢1 ，、压缩 效应t 、副以及布居几率的塌缩回复效应等。这些量子效应在弱信号检测和光通 信方面存在潜在的应用前景。在过去的几十年中，人们在实验中已经能够制 备出多种多样的光场，例如相干态光场“、压缩态光场”、二项式态光场n 耵n ”、 s c h r o d i n g e r 猫态光场n o ，等。这样许许多多的光场无疑的丰富了量子光学的 研究方向，并且通过对它们的研究取得了宝贵而又丰富的理论以及实验结论。 近年来量子光学的发展尤为迅速，特别是1 9 9 7 年、2 0 0 1 年以及2 0 0 5 年的诺 贝尔物理学奖分别授予了研究原子的激光冷却与捕获、研究玻色一爱因斯坦 凝聚态以及发现光学相干态( 即g l o u b e r 相干态) 而做出杰出贡献的科学家 们，而他们的研究工作都是量子光学的研究领域。 1 2 j a y n e s - c u m m in g s 模型的推广 在自然界中，实际的原子能谱结构比较复杂，为了能够深入的研究光场 与原子相互作用的规律，1 9 6 3 年j a y n e s 和c u m m i n g s 在研究微波激射器 ( m a s e r ) 时共同提出了j a y n e s c u m m i n g s 模型1 ，j c 模型是由单个二能级 原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想模型，同 西南科技大学硕士研究生学位论文第2 页 时它也是量子光学中描述光场与二能级原子相互作用的最理想的模型。j c 模型的提出为人们研究光场与原子的相互作用奠定了坚实的基础，同时也为 量子光学理论的发展起到了重要的推动作用。自1 9 8 5 年m e s c h e d e 等人在实 验中利用高q 腔场在亚开尔文温度条件下实现了j - c 模型n ”，从此人们对于 j c 模型的研究具有了应用价值。自j - c 模型提出以后，光场与二能级原子 的相互作用便成为近年来人们研究的热点心3 ”。人们对它进行了大量的研究， 并且得到了许多有意义的结果，如原子或光场的压缩效应、偶极压缩、光场 的聚束反聚束效应、原子布居数反转等。这些重要的结果不仅在理论上为以 后的研究工作打下了基础，而且许多非经典效应也应用到了实验或生产实践 当中。不仅在量子光学中，而且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问 题中j c 模型都发挥了重要作用。 由于j c 模型过于简单，只描述了在旋波近似下单模光场与二能级原子 之间的相互作用，而如多模光场n “、二能级以上的原子抽n 引或非旋波近似- ” 等情形都没有考虑，因此在理论以及实验上都显示出了许多不足之处。在电 子跃迁的过程当中，电子从高能级跃迁到低能级时会放出光子，而电子从低 能级跃迁到高能级时会吸收光子，显然这两个过程是能量守恒的。然而在量 子力学中同时存在着从高能级跃迁到低能级吸收光子以及从低能级跃迁到高 能级放出光子的过程，这种过程显然是能量不守恒的。旋波近似就是忽略了 能量不守恒的两个过程。而能量不守恒的过程分别对应于系统哈密顿量中的 两个项，称之为非旋波项。理论上证明，当耦合强度以及失谐量比较小的时 候这种近似是非常有效的，因为由于光的频率非常高，因此在相互作用时间 内，相位因子将经历许多周期，那么非旋波项的平均贡献将很小。但是当耦 合强度以及失谐量增大的时候，非旋波项对原子与光场之间相互的作用会产 生显著的影响r ，。 在之后的研究中人们对不断的对j - c 模型做了很多推广。例如将二能级 原子推广到三能级甚至更多能级，将单模光场推广到了双模乃至多模光场， 另外还有如：频率随时间变化的光场与原子之间的相互作用n ”、考虑质心运 动的原子与光场的相互作用r ”，以及考虑了双光子跃迁的j c 模型等n “。这 些模型不但丰富了量子光学的研究领域，而且在这些模型中人们得到了很多 有趣的，并且在二能级原子中无法得到的量子现象，例如电磁诱导透明现象 ( e i t ) m 1 ”、纠缠的突然死亡与恢复，、量子相变2 7 引等，这些重要的推广也逐 渐的成为量子力学新的研究分支。另外这些研究成果许多也已经应用到了实 践当中，例如利用e i t 可以实现无反转的激光器，光速减慢以及光存储等， 西南科技大学硕士研究生学位论文第3 页 利用量子纠缠可以实现量子计算或量子通信。这些重要的结论无疑将成为日 后人们研究工作的重点。 1 3 熵理论的建立与发展 熵的概念首先是由德国物理学家克劳休斯提出的，并且以孤立系统熵增 加原理的形式表述了热力学第二定律。此后b o l t z m a n n 和p l a n c 给熵做了微 观统计公式，用熵代表系统的无序程度，无序度越高熵值越大。1 9 4 8 年 s h a n n o n 将熵理论应用于信息理论中，后来被成为s h a n n o n 熵，他的定义是 s ( p ，) = 一 l n n l p , l n ) ( 卜1 ) n = o 用以确立各种系统随基态变量的概率分布函数。1 9 3 2 年，v o nn e u m a n n 首先 将玻尔兹曼经典熵推广到量子熵。量子系统的y o nn e u m a n n 熵被定义为： s = 一t r p l n p ) ( 卜2 ) 其中p 是系统的密度矩阵。在这之后的时间里，不仅仅在物理学中，在其它 各个学科中熵都成为一个非常重要的概念而被引入。1 9 8 9 年，p h o e n i x 和 k n i g h t 等人首先利用量子熵理论研究了光场与原子相互作用时产生的量子 纠缠及其动力学特性 ”。通过研究人们发现熵在量子光学领域有很大的用处， 量子系统熵自动包含了系统密度算符的高阶统计矩，是一种十分灵敏的物理 量。而且通过熵可以很好的对量子纠缠进行度量，由此光场与原子之间熵的 特性开始引起了人们的高度重视n ”。 量子纠缠的定量研究是量子光学研究的重要方面之一”。对于一个好的 纠缠度的度量方法来说，应该不但能够区分量子态是否纠缠，而且能要对纠 缠进行定量的描述。量子纠缠的基本性质决定了纠缠度必须满足三个共同的 准则9 1 1 9 0 1 ( 1 ) 可分离态的纠缠度为零。 ( 2 ) 在局域幺正变换下，纠缠度保持不变。 ( 3 ) 在局域量子操作和经典通信下，纠缠度平均而言是不增加的。 v o nn e u m a n n 熵的主要性质是1 ( 1 ) 熵值是非负的，纯态的熵为零。 ( 2 ) 在d 维希尔伯特空间中，当系统处于完全混合态时，熵达到其最大值 i n d 。 ( 3 ) 在由两个子系统a 和b 组成的两体纯量子系统中，s ( 以) = s ( p b ) 。 西南科技大学硕士研究生学位论文第4 页 因此y o nn e u m a n n 熵是纯态系统纠缠的很好的度量方法。 1 4本论文的主要内容以及创新点 本文在非旋波近似下利用相干态正交化展开方法九“，研究光场与原子 之间的相互作用。本文主要对与原子相互作用的二项式光场的二阶相干度进 行精确求解。另外对光场与原子相互作用的布居几率、光场与原子之间相互 作用产生的量子纠缠也都进行精确求解。在量子光学领域中研究的物理模型 主要是旋波近似下的，而当耦合强度以及平均光子数较大的情况下，这种近 似不能得到可靠的结论。本论文研究的物理模型是在非旋波近似下的物理模 型。这样在耦合强度以及平均光子数很大的情况下，能够得到十分可靠的结 论。另外文中的哈密顿量是全量子化的，这相对与半经典的系统而言更加具 有研究价值。 1 5 本课题的来源 本课题来源于国家自然科学基金委员会一一中国工程物理研究院联合基 金资助项目( 1 0 9 7 6 0 2 5 a 0 6 ) 。 西南科技大学硕士研究生学位论文第5 页 2 级联型三能级原子与单模光场的相互作用 2 1模型与求解 研究如图1 所示的级联型三能级原子，原 子的三个能级从下到上分别用1 1 ) 、1 2 ) 和1 3 ) 表 示，其中能级1 3 ) 与i i ) 之间的跃迁是禁戒的，描 述光场与原子相互作用的哈密顿量，在非旋波 近似下可表示为( 取壳：1 ) h 1 = h f + h o + h l h f = 耐a j l 1r j l 1 r 3 ) 图2 - 1级联型三能级原子 f i g 2 1 c a s c a d et y p e t h r o e - i e v e ia t o m 也= q1 1 ) ( 1 i + 哆1 2 ) ( 2 i + 屿1 3 ) ( 3 i q = 甜( 口+ + 口) ( 1 2 ) ( 3 i + 1 3 ) ( 2 1 ) + v ( 口+ + 口) ( 1 2 ) ( 1 l + 1 1 ) ( 2 i ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 式中h i 、吃和马分别表示场、原子及其相互作用的哈密顿量，a + 和口为光 场的产生算符和湮没算符，q 、哆和鸭分别为原子各个能级的本征频率，0 9 。 为光子的频率，u = g s i n 8 和v = g c o s o 为光场与原子的耦合常数。为方便起见， 将系统的哈密顿量写成如下的矩阵形式 u ( a + + 口) 缈2 + 缈o a + a v ( a + + 口) 为了使系统的哈密顿量对角化，作s 0 ( 3 ) 旋转变换，引入幺正矩阵u ( 2 - 5 ) 西+ 二 + u。篡 口 + v 彩 d以叫 o 洲叶o + 口 3 鸭“ 。l = 日 西南科技大学硕士研究生学位论文 第6 页 一4 7 2 压c o s 8 2l , 7 2 压c o s 0 2i ( 2 6 ) 0s i n 0 i 旋转前的基矢1 1 ) 、1 2 ) 、1 3 ) 与旋转后的基矢1 1 ) 、1 2 ) 、1 3 7 ) 之间的变换关系为 1 3 ) 1 2 ) i l ，) = u 1 3 ) 1 2 ) 1 1 ) ：u 一1 1 3 ) 1 2 ) 1 1 ) ( 2 - 7 ) 由幺正变换h = u h u 叫可以得到对角化的哈密顿量： lh i l + c o o 口+ 口一g ( 口+ 口+ ) 啊2h , 3 l h ：l h 2 lh 2 2 + 口+ a + g ( a + a + ) h 2 3 i ( 2 8 ) 1 l 玩2 h 3 3 + 口+ 口j 其中：啊。= k = 孚s i n 2 秒+ 等+ ! - c o s 2 秒，啊z = = 警s i n 2 弘c o _ _ 2 l + 缈2 i c o s 2p j l l l 3 = h 2 3 = h 3 l = h 3 2 = 一半c o s 口s i n 秒( q q ) ，h 3 3 = 0 ) 3 c o s 28 + c o ls i n 2 臼运用相干 杰正交化展开方法，令系统的波函数为： 小嘲= 釜厶 n = 0 。 n 以k ) n - 0 。 至n 无l ，z ) 月= u ( 2 - 9 ) 其中i 吃) 、l 力+ ) 是平移f o c k 态，i 刀) 是f o c k 态，因此由i ，z 一) 、l ，+ ) 和l 力) 构 成了新的完备归一基。h ) 、f 以) 和i 刀) 的定义如下： ”去n “i 。) ( 2 _ 1 0 ) 皮皮， 纠纠汐 n n 叫 1 l _ 觚僦 | 宝 压压一 。l =， 口 西南科技大学硕士研究生学位论文第7 页 协去( 彳：n 一“i 。) ( 2 _ 1 1 ) 伊去( 州o ) ( 2 - 1 2 ) 其中彳一，企和彳+ ，么：是新的玻色算符定义如下m 1 叫 a ：口一旦彳+ ：a + 一互 ( 2 1 3 ) = 口一j l彳：= + 一j l ( 2 1 3 ) o 彳+ ：口+ 鱼彳：口+ + 旦 ( 2 1 4 ) c c ，o甜o 将( 2 8 ) 和( 2 9 ) 代入薛定谔方程h i y ) = e i ) 后分别左乘( m i 、( m + i 和( m i 得： ( 1 1 1 。+ ( - i ) o 朋一+ 啊：d 。m 一+ 啊，六( 聊一i 刀) = e c ， ( 2 1 5 ) c p o月；0，r ：0 h ：。( 聊+ i 力一) + ( j l z 2 ：+ ( o o m g - - 。- ) d 肘+ ：， ( 朋+ l ，2 ) = e d 。 ( 2 1 6 ) n=0，0n = 0 吃。巳( 聊h ) + ，：d n m 1 + ) + ( 鸭，+ 彩。聊) 厶= 既 ( 2 1 7 ) 本文中我们令： 卟耐攀南( _ 1 ) - ，肫分手一盖 ( 2 _ 1 8 ) 有： ( 朋一= ( 一l 尸d i n ( 2 g ) m l _ ) = ( 一1 ) 埘( g - - - ) ( 2 - 1 9 ) ( m i 刀) = ( m l + )( m + i 刀一) = ( 一1 ) ”一”m l 力+ ) ( 2 2 0 ) ( m + i 行) = ( 一1 ) ”辨 r a i n + )( r a i n 一) = ( 一1 ) 卜卅( 朋i 以) ( 2 2 1 ) 这部分有关内积的具体计算过程已经在附录中给出。通过求解由( 2 - 1 5 ) 、 ( 2 - 1 6 ) 和( 2 一l7 ) 组成的这3 n + 3 个本征方程，便可以得到系统的本征波函 、研， 和研。，细能谱e ) 。 西南科技大学硕士研究生学位论文第8 页 2 2与级联型原子相互作用的二项式光场的二阶相干度 1 9 8 5 年，s t o l e r o 等人提出了介于相干态和数态之间的二项式光场的 概念，因此通过研究二项式光场与原子的相互作用可以研究介于相干态和数 态之间的中间态的性质。1 9 8 7 年d a t t o n ，等人发现在自由电子激光中可以 产生二项式态。自此，人们对二项式光场的量子效应进行了大量的研究。一 个单模二项式态光场在数态中可以定义为 i l r i m ) = 三协( o 1 3 = 磊m 俐3 ) = 互m 雕愀u 。1 3 ) + u ：。1 2 ) + u ，。| 1 ) ) 2 x k ，( 磊c 纠k _ 1 3 ) + 以o h + 1 2 ) + 刀d i ”) 1 1 t ) ) ( 2 2 5 ) 对比上式等式两边1 3 ) 、1 2 ) 和1 1 1 ) 的系数可以得到： m3 u - - 磊雕i 力) 2 乏毛磊c 跏一) ( 2 2 6 ) 西南科技大学硕士研究生学位论文第9 页 m3 nn u 2 1 互雕l ，z ) 2 酗磊d m i + ) m3 n u ，- 磊胖l 门) 2 磊t 磊刀o i 刀) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 将( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 式两边分别左乘( m i 、+ i 和( m i 可以得到 k ，c = u 。m i 刀) f t on = o 3彳 毛d = u ：。( 朋+ i ，z ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) k 。以= u ，。雕 ( 2 3 1 ) 通过求解( 2 - 2 9 ) 、( 2 3 0 ) 和( 2 - 3 1 ) 式组成的3 n + 3 个非齐次线性方程组，便 可以得到阮) ，( f = o ，3 n ) 。因此任意时刻的波函数为 1 ) ) = 毛e - l e d 簖h 1 3 ) + d i 1 2 ) + i 州) 】 ( 2 3 2 ) 光场的聚束效应与反聚束效应由光场的二阶相干度g ：( f ) 来表示。g ：( f ) 定义为，： 刚归帮 ( 2 - 3 3 ) 当g ：( f ) = l 时，光场是二阶相干的，属于经典光场与非经典光场之l i l j 的 临近状态；当g ：( t ) 1 时，光场呈现聚束效应，此时属于经典光场；当g ：( f ) 1 3 ) 卅o i 以 1 2 ) + i 刀 1 1 ) ) 】 ( 2 - 3 6 ) 1 3 ) 、1 2 ) 和| 1 i ) 是通过s o ( 3 ) 变换后得到的新的原子部分的能级，u l 、u 2 l 和乩。是矩阵u 的矩阵元。通过( 2 3 6 ) 式可以得到： u 。8 小等i o ) ：3 n 尼，nc ? 儿i 一) ( 2 - 3 7 ) “ 3 n ， u j - l o ) = 尼羔碟o i _ ) ( 2 3 8 ) 一+ 口。 3 n| 。p 埘一了i o ) = 七，艺d i 以) ( 2 3 9 ) 将( 2 3 7 ) 、( 2 - 3 8 ) 和( 2 - 3 9 ) 式分别左乘( 巩i ，( m + l 和彻i 得到 3 n 继，：u l l 丁1p 一1 ( g - a m 广o ) 2 ( a - g - - - ) 册( 2 - 4 0 ) 酗c 磐丽p 硪册 ) 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 3 页 兰t d ：u ：，丁1 口一可( g + a a 3 0 ) 2 ( 口+ 马肼( 2 - 4 1 ) 1 = 0 科咄，丽m 口2 面( 口+ 睾肼v ! 倒o 也划。苦p 了口脚 ( 2 吨) i = of h l 通过求解( 2 - 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 和( 2 4 2 ) 式组成的非齐次线性方程组，便可以得到 伽，) ，( i = 1 9o , 0 3 + 3 ) 。所以任意时刻的波函数可以写成 ) ) = 后，p 喝滞l 1 _ ) + 刮佩1 2 ) + d 娜。) 】 ( 2 4 3 ) 利用么正矩阵，将任意时刻的波函数分别投影到1 3 ) 、1 2 ) 、1 1 ) ，便可以求出 各个能级的布居几率。 只= k j k j e 叫吗一砂 、v l f , - 2 。, 肼( 1 + u 2 2 ，“。( i 碟+ 阮以7 以o ) 。o m = o + , i v u ：，( c ? m 一+ ( 一1 ) ”钟c 以聊一) + u 。，u 3 ，( c ? d ( ml ) + 以g ( 一1 ) ”肼( 朋h + ) ) + u ：，u 。，( d ? 一( 一1 ) 肛册( r a i n + ) + 以d 以n ( mj n + ) ) 】) ( 2 4 4 ) 其中口= 3 1 ，= l 3 ，鼻，最和b 分别代表1 1 ) 、1 2 ) 和1 3 ) 能级的布居几率。 图2 - 4 给出了原子初始时刻处于激发态，平均光子数万= 1 6 ，耦合强度 取不同值时，原子三个能级布居几率鼻，足+ l 以及只+ 2 的演化曲线。其中 a ) = 5 0 0 9 ，b ) c o o = 2 0 0 9 ，c ) o ) o = l o o g ，d ) c o o = 5 0 9 。从图中可以清楚的 看到布居几率的回复塌缩现象，这主要是因为，各种具有不同光子数的拉比 振荡的相干叠加，而对叠加起主要贡献的是( 玎) 一( 门) 刀 ( 刀) + ( ，z ) 范围内的 光子数t ”。由于对应不同粒子数态的拉比振荡的频率各不相同，如果对应光 子数分别为( 甩) + ( 刀) 和如) 一0 ) 的两个拉比振荡的相位差为( 2 m + 1 ) z ，则光 子数在妇) 一( 玎) ( 2 1 + t o ，1 3 ) ( 3 i 珥= u ( a + a + ) ( | 1 ) ( 3 | + | 3 ) ( 1 i ) + v + 口+ ) ( | 2 ) ( 3 | + | 3 ) ( 2 1 ) ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 式中乃、见和q ，分别表示场、原子及其相互作用的哈密顿量，口+ ( 口) 为光场的产生( 湮没) 算符，q 、吃、鸭分别是原子各个能级的本征频率，c o 。 为光子的频率，令：u = g s i n0 1 ，= gc o s o 为光场与原子之间的耦合强度。系 统的哈密顿量可以写成如下的矩阵形式 ，( 口+ 口+ ) 国2 + 国o a + a o ( 3 - 5 ) 作s o ( 3 ) 旋转变换，可以使系统的哈密顿量对角化。所以引入幺正矩阵u ) 口 + f 妒 旧 机0 0 + 材 q形)一、 缈 + + + 口 口 3 叹“鸭“ _。l = 日 西 、u = 降豢 利用幺正变换h = u 。1 h u 可以得到对角化的哈密顿量 h = 啊l + 缈。口+ 至i g ( 口+ 口+ ) 啊： 红2 一a + a + g ( a 1 - a + ) 魄2 ( 3 - 6 ) 吃，h-i-毫口+口c37， 2 3l ( 3 7 ) 吃3 口+ 口l 其中：啊= h 2 2 - - 堕2 + - 王c o s 2 秒+ 导s i n 2 口，h 1 2 - - 鸣= 一竺2 + 0 2 ) 2c o s 2 口+ 导s i n 2 9 h 1 3 缟。= ，= 呜：= 一譬c 。s 秒s i n 秒( 吐一q ) ，h 3 3 - q s i n 28 + 0 ) 1c 。s 28 为常数。其 旋转前的基矢1 1 ) 、1 2 ) 、1 3 ) 与旋转后的基矢1 1 7 ) 、1 2 ) 、1 3 7 ) 之间的变换关系为 = u 1 3 ) 1 2 ) 1 1 ) 1 3 ) 1 2 ) 1 1 ) = u 一1 1 3 ) 1 2 ) 1 1 ) 运用相干态正交化展开方法，令系统的波函数为： 蚓= 巳k ) n - o d 。h ) n = o j v 六i 刀) n = o ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 其中i 一) 、l 刀一) 和i 门) 的定义与级联型的相同。将( 3 7 ) 和( 3 9 ) 式代入薛定谔 方程日i )