（概率论与数理统计专业论文）ruin+probability+with+copuladependent+claims.pdf

摘要 摘要 在关于破产概率的经典理论中，对于独立性的假设是其基础。在该论文中， 我们结合c o p u l a i 函数，去掉了独立性的假设，并通过模拟的方法得出了在相关的 条件下的破产概率和破产时间。该文主要通过将不同族的阿基米德c o p u l a i 函数假 如模型中，从而模拟了在不同相关类型下的不同的破产概率和破产时间，以及它 们和初始准备金的关系。并且，通过k e n d a l l 秩相关系数来度量不同的相关类型的 相依程度，从而将相同相关度下的不同相关类型的破产概率和破产时间进行了比 较。 关键词破产概率，相关索赔，阿基米德c o p u l a ，k e n d a l l 秩相关系数，盈余过 程。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nc l a s s i c a lt h e o r yo ft h er u i np r o b a b i l i t y , t h ea s s u m p t i o no ft h ei n d e p e n d e n c yi s b a s i cf o r t h em o d e l s ，w h i c hi st h ef u n d a m e r i to ft h eo t h e r so n e s i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ed e p e n d e n c yu s i n gt h ec o p u l af t m c t i o n st os i m u l a t et h er u i np r o b a b i l i t i e sa n d t t l et i m e t o - r u i n d i f f e r e n tf a m i l i e so ft h ea r c h i m e d e a na r ei n p u t e di n t ot h ec l a s s i c a l m o d e l ，a n df r o mt h es i m u l a t i o nr e s u l t sw ef i n dt h a td i f f e r e n tf a m i l i e so fc o p u l aw h i c h p o s s e sv a r i o u sc h a r a c t e r sm a yl e a dq u i md i f f e r e n tr u i np r o b a b i l i t i e sa n dt h et i m e - t 0 - r u i n w ea l s os h o w 血er e l a t i o nb e t w e e nt h ei n i t i a lc a p i t a la n dt h er u i np r o b a b i l i t i e s u n d e rd i f f e r e n td e p e n d e n ts t r u c t t t r c u s i n gt h ek e n d a l l sr a n kc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n tt o m e a s u r et h ed e p e n d e n c y , w ea l s os h o wt h ed i f f e r e n tr e s u l t sl e db yt h ed i f f e r e n td e p e n - d e n ts t r u c t u r e sa tt h es a m ed e p e n d e n tl e v e l s k e yw o r d sr u i np r o b a b i l i t y , d e p e n d e n tc l a i m , a r c h i m e d e a nc o p u l ak e n d a l l s r a n kc o r r e l a t i o nc o e 伍c i e n t , s u r p l u sp r o c e s s 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h es u r p l u sp r o c e s ss t u d i e di nc l a s s i c a lr i s kt h e o r yi sai m p o r t a n tf r a m e w o r kf o r u n d e r s t a n d i n gh o w t h ei n s u r a n c ec o m p a n i e s s u r p l u se v o l v e so v e rt i m e ，i ti ss t a t e da s ： u ( t ) = u o + 只一s( 1 1 ) i nw h i c h ，i sa ni n i t i a ls u r p l u st h a ti sr e v e r s e dt oe n s u r et h ec o m p a n yi sa b l et o p a y i t sp r o m i s e d o b l i g a t i o n sw h e nc l a i m so c c l i lp ( t ) i sas p e c i f i e da m o u n tc a l l e dp r e m i u m , w h i c hi sr e c e i v e du pu n t i lt i m eta n ds ( t ) i st h ea g g r e g a t ec l a i mp a i du pt o t i m et t h e n , u ( t ) i st h ei n s u r a n c ec o m p a n y ss u r p l u sa tt i m et ，as u r p l u sp r o c e s si s d e p i c t e di nf i g u r ei a d d i t i o n a ls o u r c e so fs u r p l u sa c c u m u l a t i o na rep o s s i b l es u c ha s i n v e s t m e n ti n c o m eb u tt h et r a d i t i o n a la p p r o a c ho fr i s kt h e o r yh a sb e e nt oi g n o r et h e e f f e c t h o w e v e hs o m el i t e r a t u r eo nt h i ss u b j e c ti sr i s i n gt h e s ey e a r s s e e ，f o re x a m p l e ， a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) - i 丁： ，一 f i 吕u 嘴l ：as a m p l ep a t ho ft h ei n s u r a n c ec o m p a n ys u r p l u sp r o c 豳s w i t ht h i se x p r e s s i o n ，w ec a l ld e f i n et h er u i nt i m ei st h ef i r s tt i m et h a tt h es u r p l u s i n ( 1 1 ) b e c o m e sn e g a t i v ea n di st h e r e f o r e ： c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n t = i n f t ：u ( t ) 0f o ra l lz 0 ，t h a ti s 。t h es u r p l u sn e v e rr e a c h e sz e r o t h e nw ed e f i n e t = o on o ww ea r ea b l et od e f i n et h er u i np r o b a b i l i t i e s t h ef i n i t e h o r i z o nr u i n p r o b a b i l i t yi s 霍( 如，t ) = p r ( t 0 ， w em a ys a yt h er a n d o mv a r i a b l e sa r ep o s i t i v ed e p e n d e n to t h e r w i s en e g a t i v ed e p e n d e n t a r c h i m e d e a nc o p u l a sa l l o wu st or e d u c et h es t u d yo fam u l t i v a r i a t ec o p u l at o as i n g l eu n i v a r i a t ef u n c t i o n ，t h eg e n e r a t o r 西f o ra r c h i m e d e a nc o p u l a s ，r kc a nb e e v a l u a t e dd i r e c t l yf r o mt h eg e n e r a t o r 击a sf o l l o w s p r o p e r t y2 1 p r o p e r t y2 1k e n d a l l sr a n kc o r r e l a t i o nc 0 蹲c i e n ta s s o c i a t e dw i t hc 由 s a y , i s g i v e nb y r ：- 4 f 0 1 筹1 偿3 ， 5 c h a p t e r2c o p u l aa n dk e n d a l l s7 w er e f e rt h er e a d e rt og e n e s ta n dm a c k a y ( 19 8 6 ) f o rt h ep r o o f t h e r ea let h r e em a i nk i n da r c h i m e d e a nc o p u l a ：c l a y t o n , f r a n k , g u m b e lc o p - u l a ，t h e i rc h a r a c t e ri sq u i t ed i f f e r e n t c l a y t o nc o p u l am e a n st h er a n d o mv a r i a b l e sa r e m u c hm o r ep o s s i b l et ob es m a l l e rv a l u e ，g u m b e lc o p u l am e a n st h er a n d o mv a r i a b l e s a r em u c hm o r ep o s s i b l et ob el a r g e rv a l u e ，a n db o t hw i l lb ei nf r a n kc o p u l ad e p e n d e n t s l l l l c t u r e 雒w es h o wi ti nt h ef i g u r e2 r e a d e r sc o u l df i n dm o r ed e t a i l si nn e l s e n ( 1 9 9 9 ) 言 之 名 一 旦 e ： o u v u - v u v 0 v f i g u r e2 ：t h r e ec o p u l a s c o m p a r i s o n w em a k et a b l e2 1t os h o wt h er e s u l t sw h i c hs h a l lb eu s e di nt h ef o l l o w i n gp a no f t h i sp a p e r , w eo n l yl i s tb i v a r i a t es i t u a t i o nh e r e ，m u l t i v a r i a t eo n e sc a l lb e e a s i l ye x t e n d e d w h e r et h ep a r a m e t e rm e a n st h el e v e lo ft h ed e p e n d e n c y , f o re x a m p l ew h e nt h e 口 i nt h ec l a y t o nc o p u l a o , c ( u ，口) = u u ，w h i c hi st h ei n d e p e n d e n ts i t u a t i o n d ( - a ) i sac a l l e d d e b y e ”f u n c t i o n d e f i n e d 硒 蹦卅= 刍王西t k 出 6 c h a p t e r2c o p u l aa n dk e n d a l l s 下 t a b l e2 1b r i e fl i s to ft h et h r e ec o p u l a s g e n e r a t o r 西g e n e r a t o rfb i v a r i a t ec o p u l ao ( t ，u )k e n d a l l st c l a y t o n t 一口一1 q 一1 ( u 一8 + 口一。一1 ) 一1 。a ( a + 2 ) g u m b e l ( - l n 2 ) o口1 e x p f - ( - i n u ) 口+ ( 一i n v ) q 1 一口一1 f r a n ki n e e a 。4 一_ 1 1 口r a q i n ( 1 + 沁“苦等。1 q 一1 ( d l ( - c t ) 一i j i nc l a s s i c a lr i s kt h e o r y , t h ea g g r e g a t ec l a i mp r o c e s s s ( ) ) c o n s i s t so ft h es u m i n d i v i d u a lc l a i ma m o u n t sa n di sa s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d r a n d o mv a r i a b l e s ，t o g e t h e rw i t har a n d o mn u m b e ro fc l a i m | ( n ( t ) i sa l s oa s s u m e d t 0b ei n d e p e n d e n to ft h ec l a i ms i z e s 1 1 1 ep r e m i u mp r o c e s st y p i c a l l yh a st h ef o r m ： e ( t ) = c t ，w h e r ee ，c a l l e dt h er a t eo fp r e m i u mp e ru n i to ft i m e ，i su s u a l l ye x p r e s s e d a s ： c = j e 7 ( ) e ( x ) ( 1 + 一) ( 2 4 ) t h i si so f t e nc a l l e dn e tp r e m i u mp r i n c i p l e d e n o t e st h er e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ，a n d i ti su s u a l l yp o s i t i v es i n c eo t h e r w i s er u i nw i l ls u r e l yo c c u r s e ea s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) f o r j u s t i f i c a t i o n a n d ( ) ) i sm o s tc o m m o n l ya s s u m e dt oo b e yap o i s s o np r o c e s sa ta r a t eo fha w e l l - k n o w nc l a s s i c a lf o rc o m p u t i n gt h er u i np r o b a b i l i t yi nt h i sm o d e li s ： 口一冗如 一 皿( 让。) 2 币高丽 ( 2 5 ) a p r o o ff o rt h i si sa v a i l a b l ei ns t a n d a r dt e x t b o o kl i k eb o w e r s ，e ta l ( 19 9 7 ) a n dk l u g - m a n ，e ta l ( 19 9 8 ) a n di su s u a l l yb a s e do nt h ec o m p o u n dp o i s s o na s s u m p t i o n ，i n s t e a d o fw h i c h , a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) a l s op r o v e dt h i sr e s u l t su n d e ram a r t i n g l er e q u i r e m e n to n t h ep r o c e s s e 粥( 2 ) ，rh e r er e f e r st ot h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n di st h es m a l l e s t p o s i t i v es o l u t i o nt o ： e e 一7 雠) - d ) = 1 ( 2 6 ) i nt 1 1 ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e l t h ep r o b a b i l i t yo fr u i ns a t i s f i e st h ef o l l o w i n g i n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 喇= 知小z 蜘皿( 乱0 - - x ) 蚓讲 ( 2 7 ) 7 c h a p t e r2c o p u l aa n dk e n d a l l sr t h e p r o o f c a l lb ef o u n di nr o l s k i ，e ta 1 ( 19 9 9 ) a n o t h e rf a m i l i a rr e p r e s e n t s t i o no f t h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni ss o - c a l l e dp o l l a c z e k - k h i n c h i n ef o r m u l aa n di sg i v e n b y ： 岫) = 【1 一会跗) 】叁【会跗胪防】 ( 2 8 ) w h e r e 户= 1 一f a n d 磺( 让) = 丽1 铲最( 缸) 砒 h 1 山ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e lw h e r ei n d i v i d u a lc l a i m sa r ea s s u m e dt ob ee x p o n e n t i a lw i t hm e a np a r a m e t e ra ，t h ef o r m u l af o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni sg i v e n b y ： 霍( 咖) = 磊ae 一( 口一a 咖 ( 2 9 ) f u r t h e r m o r e t h ee x p l i c i ts o l u t i o nf o rn l ep r o b a b i l i t yo fr u i nc a nb ed e r i v e df o ro t h e r c l a i md i s t r i b u t i o ns u c ha sm i x t u r eo fe x p o n e n t i a l s ，g a m m a , e r l a n g ，o rt h ef a m i l yo f d i s t r i b u t i o n sc a l l e dt h ep h a s e - t y p ef a m i l y b e c a u s ei ti sd i f f i c u l tt od e r i v ee x p l i c i ts o l u t i o n sf o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i nf o r m a n yc l a s s e so fd i s t r i b u t i o n sp a r t i c u l a r l yt h o s ew i t hh e a v yt a i l s ，w em a yu s ea p p r o x i - m a t i o n st oe s t i m a t et h er u i np r o b a b i l i t y , a n dt h em o s tw e l l - k n o w ni sl u n d b e r gi n e q u a l - i t y ： w h e r e c = 哥兀砑8 f e ( 石x ) 两酉可 皿( 咖) = c e r u o 8 ( 2 1 0 ) c h a p t e r3m o d e l sf o rs i m u l a t i o n c h a p t e r3m o d e l sf o rs i m u l a t i o n w ew i l lu s e ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) t os e tu po u rm o d e l s ，t h a ti sa s s u m i n gt h a te a c hi n d i v i d u a lc l a i mf o l l o w sab e r n o u l l ir a n d o mv a r i a b l ex k ，i fz 七 q ，t h ec l a i mo c c u r s ， o t h e r w i s e ，i ti ss a f ei nt h i sp e r i o d f u r t h e r m o r e ，w ec o n s i d e r