（应用数学专业论文）格上矩阵几个问题的研究.pdf

博士学位论文 摘要 本文对完备的h e y t i n g 代数上的线性系统、分配格和i n c l i n e 上的幂零矩阵及 分配格上方阵的特征值进行了研究，讨论了完备的h e y t i n g 代数上线性系统解的 性质；分配格和i n c l i n e 上幂零矩阵的性质及幂指标的特征；分配格上矩阵的标准 特征向量等问题全文共分为六章 在第一章中，我们首先简单回顾了格上矩阵研究的背景、格上矩阵发展的历 史及其研究现状，然后，我们给出了本文所需要用到的一些基本概念、符号和基本 引理 在第二章中，我们研究了完备的h e y t i n g 代数上线性系统a z = 6 解的情况， 讨论了该线性系统解的性质，得到了线性系统有解的几个充分必要条件；并且具 体的找出了线性系统有解时该线性系统的最大、最小解；讨论了线性系统仅有唯 一解时的情况，得到了该线性系统仅有唯一解的几个充分和必要条件，在仅有唯 一解时，我们求出了该唯一解 在第三章中，我们定义了分配格上n 维向量组的线性相关和线性无关，研究 了分配格上向量组线性相关和线性无关的一些性质，并与古典线性代数中向量组 的线性相关和线性无关性做比较，得到了一些新的结论 在每四章和第五章中，我们对分配格和i n c l i n e 上的幂零矩阵进行了研究，讨 论了其上幂零矩阵的一些性质和幂零矩阵幂指标的特征通过定义方阵的一个特 殊的子矩阵集，我们得到了一个给定的几几幂零矩阵的幂指标为任意给定的正 整数r ( r n ) 的充分必要条件；同时我们定义了矩阵的伴随有向图，并根据图论 的有关知识，也得到了一个给定的礼n 幂零矩阵的幂指标为任意给定的正整数 r ( r n ) 的充分必要条件，这些结论回答了在相关文献中提出的一个公开问 题 在第六章中，我们讨论了分配格上方阵的特征值和特征向量问题，研究了一 个给定方阵的标准特征向量利用格论的有关知识和矩阵的伴随有向图，我们分 别获得了分配格上给定方阵的上标准特征向量的求法最后我们给出了竹矩阵 在微分方程上的一个具体的应用 关键词：h e y t i n g 代数；最小覆盖；分配格；线性相关；线性无关；i n c l i n e ；幂零 矩阵；幂零指标；特征向量；上标准特征向量 格上矩阵几个问题的研究 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e s c r i b es o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h el a t t i c em a t r b 【， w h i c hi n c l u d et h es o l u t i o n so f1 i n e a rs y s t e mo v e rt h ec o m p l e t eh e y t i n ga l g e b r a ， n i l p o t e n tm a t r i ) 【a n dn i l p o t e n ti n d i e xo v e rt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c ea n di n c l i n e ，a n d t h es t a n d a r de i g e n 、月e c t o r so fm a t r b 【o 、r e rd i s t r i b u t i v el a t t i c e i tc o n s i s t so fs 仅 c h 印t e r s a st h ei n t r o d u c t i o n ，i nc h a p t e rl ，t h eb a c k 铲o u n da n d1 l i s t o r yo f l a t t i c em a t r i ) ( a r eb r i e 丑ya d d r e s s e d ，a n ds o m en o t a t i o n s ，s y m b o l sa n dd e f i n i t i o n sa r e 百v e ni nt h i sc h 印t e r i nc h 印t e r2 ，t h es o l u t i o n so f t h eu n e 缸s y s t e ma z = b 0 v e r t h ec o m p l e t eh e y t i n ga l g e b r aa r es t u d i e d w bw i l lg i 、r es o m en e wn e c e s s 8 r ya n d s u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h es y s t e m ，t h em a 越m a l ( a n dt h em i n i m a l l ) 8 0 l u t i o no ft h es y s t e ma 1 1 dt h eu 1 1 i q u es 0 1 u t i o nw h e nt h es y s t e mh a u su 1 1 i q u e s o l v a b i t i t y i nc h a p t e r3 ，t h ec o n c e p t 8o ft h e1 i n e a r l yd e p e n d e n ta n dt h e1 i n e a r l y i n d e p e n d e n tf o rn d i m e n s i o nv e c t o ro v e rt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c ea r ei n t r o d u e e da n d s o l eo fi t sp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d s o m en e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h 印t e r4 a n di nc h a p t e r5 ，t h ei l i l p o t e n tm a t r i ) co v e rt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c ea n di n c l i n ea r e c o n s i d e r e d b yd e f i n i n gt h en e ws e to ft h es u b m a t r 仅，、7 l 伦c a no b t a i nan e c e s s a r ) r a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o ra n 扎礼n i l p o t e n tm a t r i ) 【t oh a et h ei l i p o t e n ti n d e x r ( r n ) f o ra n yg i v e ni n t e g e rr a n o t h e rn e c e s s a 可a n ds u m c i e n tc o n d i t i o nf o ra n 礼nn i l p o t e n tm a t r b ( t oh a 鹏t h en i l p o t e n ti n d e xr ( 7 i n ) f o ra n yg i v e ni n t e g e r ， i so b t a i n e db yd e f i n i n gt h ea u s s o c i a t e dd i r e c t e dg r a p ho ft h em a t r 仅t h e s er e s u l t s s o l v et h eo p e np r o b l e mp r o p o s e db yt i a l l l i nc h a p t e r6 ，t h es t a n d a r de i g e i l 、r e c t o r s o fm a t r i ) 【o 、r e rd i s t r i b u t i v el a t t i c ea r ed i s c u s s e d b yu s i n gt h ek n o w l e d g eo ft h e g r a p ht h e o r ya n dt h ea s s o c i a t e dd i r e c t e dg r a p ho ft h em a t r i ) 【，w eo b t a i nt h eu p p e r b a s i ce i g e m 伦c t o ro fag i v e nm a t r i ) ( f i n a l l yw eg i v ea na p p l i c a t i o no ft h em m a t r i ) 【 i nd i n e r e l l t i a le q u a t i o n s k e yw b r d s ：h e y t i n ga l g e b r a ；m i n i m a lc o 、厂e r i n g ；d i s t r i b u t i v el a t t i c e ； l i n e a r l yd 印e n d e n t ；l i n e a r l yi n d e p e n d e n t ；i n c l i n e ；n i l p o t e n tm a t r i x ； n i l p o t e n ti n d e x ；e i g e m r e c t o r s ； t h eu p p e rb a u s i ce i g e m r e c t o r s i i 博士学位论文 符号表 空集 属于 包含于 必要性 充分性 等价，当且仅当 集的交 集的并 偏序 集s 的并 集s 的交 集日的基数 口与6 的并。 o 与6 的交 z ，不可比 o 的伪补 任意的 求和7 一个代数结构 l 上m 礼矩阵全体所构成的集 l 上m 维向量的全体所构成的集 z 的转置 三上n 阶方阵全体所构成的集 小于z 的元的全体所构成的集 小于集x 中任一元的所有元所构成的集 i i i 叭e c一一一m叭怔肥阶川批一虬d n 炳k 郴 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 月1 惫需 日期：枷。彦年岁月影日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：用1 蠢、霭 导师签名： 日期：沙彦年夕月形日 日期：彻留年夕月“日 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 格上矩阵研究的背景 数学是人们在认识自然、改造自然的过程中对所遇到问题的一种抽象，数学 研究是人们对现实问题的一种抽象思考和归纳总结，并且数学研究的结果反过来 可以指导人们的社会实践，因此随着人们认识自然、改造自然的能力的加强，数学 研究的广度和深度也是不断增加的 到了近代，随着人们生产实践能力的加强，在人们的生产实践过程中，经常会 遇到这样一些现实问题： 问题1 。在一个企业生产某种产品的流水线作业中，假设有n 个工人分担着 n 种不同的工序，并且只有在这n 种不同的工序全部完成之后，我们才认为该产 品的生产完成了，那么显然的，完成一个产品的生产速度取决于其中完成得最慢 的工人的完成速度，用数学语言来说其实就是取。最大值”问题，即： m a x t 口1 ，q 2 ，a n ， r、 问题2 ：在运筹学的运筹对策中，有这样一个问题：设局中人1 有m 个策略 l = 1 ，2 ，m ；局中人2 有礼个策略歹= 1 ，2 ，礼若局中人1 选择策略i ， 局中人2 选择策略j ，记局中人1 从局中人2 处得到的支付为，显然在这种 对策里，局中人1 希望支付值越大越好，而局中人2 则希望付出的越小越 好 如果局中人1 选择他的第一个策略，即z = 1 ，则他至少可以得到支付。 一般地，如果局中人1 采用他的第i 个策略，则他至少可以得到支付； m l n 啦f i 1 0 s n 。 由于局中人1 希望越大越好，因此他可以选择i 使上式为最大这就是说 局中人1 可以选择z ，使得他得到的支付不少于： 思焉。燃。巧。1 t mi f 玩) ， 如( a ，6 ) = m ：o 巧) ， 坞( a ，6 ) = 勺( a ，6 ) u 如( a ，6 ) ， 1 ( a ，6 ) = d ：坞( a ，6 ) 0 ) ，( 2 2 ) 2 ( a ，6 ) = 歹：坞( a ，6 ) = 仍) = 1 ( a ，6 ) ， 坞( a ，6 ) = t m ：凸巧= 玩) 根据。一6 的定义以及符号( 2 2 ) ，很容易就可得到如下几个引理 引理2 3 1 设o ，6 l ，则。八( o _ 6 ) 6 证明：由命题2 2 ( 2 ) ，o ( o - 6 ) s6 = n 八6 6 证毕 引理2 3 2 如果歹2 ( a ，6 ) ，则对任意的i m ，口玎玩 证明：如果歹2 ( a j 6 ) ，则由符号( 2 2 ) ，歹一1 ( a ，6 ) ，即：对任意的 t m ，与玩可以比较大小且。巧不会大于玩，因此对任意的t m ，都有： 锄 玩证毕 引理2 3 3 如果歹j ( a ，6 ) 、z 譬坞( a ，6 ) ，则口巧饥 证明；对于歹，i 簪坞( a 6 ) 意味着与玩可以比较大小且不会大于 玩，因此必有：啦j 玩证毕 下面我们来证明本节的一个基本结论： 定理2 3 4 设4 己( m ，几) ，6 l m 如果s ( a ，6 ) d 且z = ( 窑1 ，玩，瓦) t 是s ( a ，6 ) 中的最大元，则对任意的歹，我们有： ( i ) 如果歹2 ( a ，6 ) ，则苟= 1 ； 一1 2 博士学位论文 ( i i ) 如果歹1 ( a ，6 ) ，则而八t 坞( a ，6 ) ( 一玩) 证明：( i ) 如果歹2 ( a ，6 ) 且毛 o 2 4 线性系统( 2 1 ) 仅有唯一解的讨论 在本节，我们将讨论线性系统( 2 1 ) 只有唯一解的情况首先，我们给出如下 定义： 定义2 4 1 设，k 都是集k 的子集如果u f s 巧= k ，则称 k 1 ，玩) 是集k 的一个覆盖； 如果 硷，虬) 满足下面二个条件： ( 1 ) 风，虬) 是k 的一个覆盖； ( 2 ) 对任一歹s ，必存在z k ，使得i 一u r j 坼， 则称 甄，虬) 是集k 的一个极小覆盖 为了进一步讨论线性系统( 2 1 ) 只有唯一解的情况，我们首先给出i s ( a ，b ) l = 1 的一个必要条件 引理2 4 1 设a l ( m ，佗) ，b l m ，且r ( 4 ，6 ) = 0 如果i s ( a ，6 ) i = 1 ，则 l 1 ( a ，6 ) ，k ( a ，6 ) ) 是m 的一个极小覆盖 证明：由定理2 3 8 可知， l 1 ( a ，6 ) ，厶( a ，6 ) ) 是m 的一个覆盖 现在假设 l l ( a ，6 ) ，k ( 4 ，6 ) ) 是m 的一个覆盖但不是一个极小覆盖则 由定理2 3 8 和定理2 3 7 ，z 是线性系统( 2 1 ) 的一个解假设对于某一尼， 有u ，一懈岛( a ，6 ) = m 令z = ( 两，硫一1 ，o ，硫+ 1 ，玩) t ，考虑到我们前 面总是假定z 0 ，所以z 玩或i l 玩，则 玩n 巧八( 口玎一玩) n 巧八( ( 。巧_ 鼠) ) = 啦j 而 埏 如( a ，6 ) 但歹岛( a ，6 ) ，因此苟，所以 6 苟口巧 故无论何种情况，对任意的歹一 ) ，都有玩口巧吩，即我们有s 玩 vn 巧6 j j 一 t ) 证毕 】m 格上矩阵几个问题的研究 由上面的引理，我们可以得到如下的结论 定理2 4 3 设a l ( 佗，n ) ，6 厶，且r ( a ，6 ) = 0 如果i s ( a ，6 ) i = 1 ，则 s ( a ，6 ) = p ) 证明：由引理2 4 2 ，对任意的i ，玩v ，一m ，且玩o 秭玩，所以 玩v j a 巧如，即玩( a 6 ) i 另一方面，由引理2 4 2 ，对任意的i ，o “魄，因此口饥玩= 玩，则 ( a 6 x = v f 口巧如啦i 魂= 兢 综上所述，6 确实是线性系统a z = 6 的一解，又由条件i s ( a ，6 ) i = 1 ，故6 是线性系统a z = 6 的唯一解证毕 附注已有的研究线性系统a z = 6 的解的性质及最大、最小解时，都是在一些线 性序结构( 如模糊代数、b o t t l e n e c k 代数、m a x - m i n 代数等等) 上讨论的，而本 章的内容都是在非线性序上得到的，其结论都是全新的 一2 0 博士学位论文 第3 章分配格上向量的线性相关性 3 1 引言 在古典线性代数的研究中，向量的线性相关和线性无关性是一个重要的研究 方面由第一章第四节里的介绍，我们可以把分配格己上的运算通过一种显然的 方式推广到m 维向量集l m 上去但格上向量的线性相关和线性无关性要比古典 线性代数中向量的线性相关和线性无关复杂得多，在古典线性代数中向量线性相 关的许多等价命题，在格上不再成立 首先，由于格l 上元运算的特殊性，对l 上向量的线性组合的定义就有其特 殊性： 定义3 1 1 设a 1 ，q 2 ，q n l 仇，我们称如下的表示形式： ( a 1 八q 1 ) v ( 入2 八q 2 ) v v ( h q n ) = v ( 八) = v ， j nj n 为向量组q 1 ，口2 ，的一个线性组合，其中0 ) 为中的元 定义3 1 2 设q 1 ，口2 ，a n ，6 l m ，如果存在入1 ，入2 ，入n 三，使得： 6 = v 哟 j n 则称6 可由q 1 ，q 2 ，q n 线性表示，或称6 是q 1 ，q 2 ，q n 的一个线性组合 我们在研究格上向量q 1 ，q 2 ，q 住，6 的线性组合时，如果我们把口1 ，a 2 ， 分别放到矩阵a 的第一列、第二列、一直到第礼列，记，= ( z 1 ，z 2 ，z n ) 为 格上向量，则上等式即可表述成如下线性系统： 4 z = 6 是否有解的问题 c e c h l 矗r o v 毛和p l 氲v k a 对b o t t l e n e c k 代数上向量的线性相关和线性无关进行 了研究，按不同的方式定义了向量的线性相关和线性无关，并研究了它们之间的 关系；文p 1 2 】在不同的代数结构上考察了线性系统a z = 6 的解的情况，根据解 的不同情况，定义了向量组的正则性、强正则性等概念，然后对向量组的正则性、 强正则性等进行了研究 但上述学者的讨论都是在线性序结构上进行的，本章我们将在非线性序结构 上对向量组的线性相关、线性无关等概念进行讨论 本章的讨论，我们都是在分配格l ( 或l m ) 上进行的，并且我们总假定格l 有 最大元1 和最小元o 显然，零向量0 = ( o ，0 ，o ) t 可以写成己m 中任一组向量 的线性组合 一2 1 格上矩阵几个问题的研究 在本章，如没有特别申明，为了方便起见，我们总是用符号，留，够，等 来表示集l m 中的一个向量组 3 2 向量的线性相关性 本节我们主要研究l m 中元与元之间的线性关系为此，我们首先给出如下 定义： 定义3 2 1 向量组中如果存在一个向量可以表示成其余向量的一个线性组合， 则称向量组为线性相关的否则称为线性无关的 在古典线性代数的讨论中，我们知道，一组向量= q 1 ，q 2 ，嘶) 线性 相关的定义还可等价地描述为；存在一组不全为零的数忌l ，七2 ，辟，使得： 南1 口1 + q 2 + + 磷r = 0 ， 成立 但是在一般的格中，这二个命题不再等价我们来看如下一个例子 例3 2 1 考虑如下图所示的格l a 0 b q = ( 兰) ，= ( 兰) ， 口= ( 至) ，p = ( 兰) ， 博士学位论文 显然p = ，但对于l 中的任意二个不全为零的元七，z ，等式： 后qv 咿= 0 ， 都不可能成立 对于分配格l 上向量的线性相关、线性无关性，我们可以得到如下一些基本 性质； 定理3 2 1 如果向量组中有零向量o = ( 0 ，0 ，o ) t ，则该向量组必线性相 关 证明；由定义即得 定理3 2 2 如果向量组中存在二个元q ，p 以及入l ，使得q = 入p ，则必 定线性相关 证明：这是因为；q = 入pv ( vo 啦) 证毕 。 一般的，我们也有： 定理3 2 3 对给定的向量组= q 1 ，口2 ，q ，) ，如果的一个部分组留= q 小q 锄，q 如) 线性相关，则向量组线性相关反之亦成立即：如向量组 线性无关，则的任一部分组绍也线性无关 证明：假设部分组留= 啦。，啦。，q “) 线性相关，则由定义，存在留中某一 q “，使得啦。可以由留中其余向量来线性表示，即： =v 2 p 卢i 穷一 a ) 因此： q 如=v蜩vo q 卢秽一 a q 一留 这就意味着a 饥可以由中其余向量来线性表示，因此线性相关 后一结论即为前一结论的逆否命题证毕 定理3 2 4 设向量组线性相关，则必存在中的某一向量与工，中元的数量 积可以表示为中其它元的线性组合 证明：设向量组= q 1 ，a 2 ，q n ) 线性相关，则必存在啦与a 1 ，九一1 ，入件l ， ，入竹l ，使得： o q = 入1 a 1v va i 一1 q 一lv + 1 q + 1v v 入竹q n ， 则对于入l 我们有： 入q t= 入( a 1 口1v va t 一1 q t 一1v 入t + 1 q t + 1v v 入n q n ) = a a l 口1v va 入t 一1 q t 一1v 入a t + 1 a + 1v va 入n ( 1 n ， 一2 3 格上矩阵几个问题的研究 这就意味着入啦可以表示成q 1 ，q 卜1 ，q t + 1 ，a n 的线性组合证毕 注1 ；定理3 2 4 逆命题不成立我们来看如下的例题： 例3 2 2 考虑如例3 2 1 中所示的格l 令： ( 兰) ，p = ( 曼) ，一y = 通过计算可知：研= qv 妒但对任意的a 1 ，入2 l ，都有入1 口v 入2 c d ，故入不 能表成口，p 的线性组合；因为要使等式n = a 1 0v 入2 口成立，必须有入2 o ，而要 使0 = a 1 6va 2 6