（应用数学专业论文）rn上某些非线性椭圆偏微分方程的多重变号解.pdf

堡塞堡堇查兰墼矍堡堡圭竺堡丝苎 摘要 在本文，我们考虑的是一些非线性椭圆偏微分方程在r ”上变号解的存在性和 多重性问题 在第二章中，我们给出一些预备知识在第三章中，我们考虑下面这个p - l a p l a c i a n 问题多重变号解的存在性： 一+ i u r 2 n = ，( z ，u ) iu w 1 ，9 ( r ”) ， ( p 1 ) 其中一= d i v ( 1 v u l p l v ) ，1 a 时，问题( b ) 存在着一个无界的径向对称的变号解序列在n = 4 或n 6 时，运用喷泉定理 和对称临界性原理，我们证明了对任给的a 0 ，问题( p 2 ) 存在一个无界的非径向 对称的变号解序列 关键词；l 临界点理论，对称性山路引理，喷泉定理，多重径向和非径向变号解， p - l a p l a c i a n ，半线性椭圆方程，拟线性椭圆方程，下降流，下降流不变集 ， l | “z l 蹦 时州 一 u ，-f1【 堡壅堡苎奎兰鳖塑堡堡主兰堡丝苎 a b s t r a c t i no u r p a p e r ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs i g n c h a n g i n g s o l u t i o n sf o rs o m en o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nr i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r i e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w e c o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs i g n - e h a n g i n gs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g p - l a p l a c i a np r o b l e m ； ，-，；xpu。+，ru他j1p-2w u = ，( 毛掣) ) ( p 1 ) i 让1 1 p ( r v ) ， ru w h e r e p u = d i v ( v u p v n ) ，1 a a s n = 4o rn26 ，u s i n gf o u n t a i nt h e o r e ma n dt h ep r i n c i p l eo fs y m m e t r i c c r i t i c a l i t y , w eo b t a i nf o rg i v e na 0 ，p r o b l e m ( 恳) h a sa nu n b o u n d e ds e q u e n c eo fn o n r a d a l s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n s k e yw o r d s ：c r i t i c a lp o i n tt h e o r zs y m m e t r i cm o u n t a i np a s st h e o r e m ，f o u n - t a i nt h e o r e m ，m u l t i p l er a d i a la n dn o n r a d i a ls i g n c h a n g i n gs o l u t i o n s ，p - l a p l a c i a n ， s e m i h n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，t h ed e s c e n d i n gf l o w ，t h e i n v a r i a n ts e to ft h ed e s c e n d i n gf l o w i i 福建师范大学洪明理硕士学位论文 中文文摘中又又摘 近几年来，非线性椭圆方程变号解的存在性问题和多解问题受到了许多学者的 关注在有界区域以及r 上，都取得了不少的成果，参见【2 - 6 ，1 4 ，1 7 ，1 8 ，2 8 3 3 】 以及相关的参考文献特别是文 5 ，6 ，2 9 ，3 1 ，3 2 】等在不同的情况下结合不变集的 思想和极小极大的方法来寻找多重的变号解他们通过建立不同的不变集使得这些 不变集包含所有的正解和负解，然后用极小极大的方法在这些集合外面寻找对应泛 函的多重临界点，从而得到对应方程的多个变号解这种找多重变号解的方法可以 应用到许多一般的问题中 在本文，我们考虑的是一些非线性椭圆方程在r v 上变号解的存在性和多重性 问题我们的方法主要是受到文【6 ，2 8 ，2 9 】的启发，并推广了他们的一些结论 在第二章，我们给出一些预备知识在第三章中，我们考虑下面这个p - l a p l a c i a n 问题多重变号解的存在性： f ，- ，a p u 。+ uj p - 1 2 wp “= ，( z ，u ) 1 (p1)(r【u 1 1 ) ， r u 其中a p u = d i v ( i v u l p - 2 v 钍) ，1 0 使得对所有z r ，t r ，扛，t ) l 9 1 + c e l t l 。一1 ，其中p 0 使得 i n f f ( z ，t ) 0 ， ；c e r n ， t l _ r o 7 ) f ( x ，t ) = y ( g z ，t ) ，对所有z r ，g o ( n ) ，5 ) f ( x ，一t ) = 一f ( x ，) ，对所有z r v ，t r i i i 福建师范大学洪明理硕士学位论文 用变分方法，问题( p 1 ) 的解对应着一个泛函的临界点首先，我们证明正锥 x = u x gu 0 ( x c 是w i , 9 ( r 。) 的球对称子空间) 和负锥x 一= “x a u o ) 的充分小邻域 ( 豇) 忙大于。小于某个o ) 是下降流不变集然后建立适 当的形变引理，结合极小极大的方法，获得了问题( p 1 ) 对应泛函的一列无界的球 对称的变号的临界点序列同时，在n = 4 或n 6 的情况下，通过选择适当的 非球对称子空间使之得它所包含的非零函数都是变号的，运用对称性山路引理，同 样获得对应泛函的一列非球对称的变号的临界点序列运用对称临界性原理，我们 获得了问题( p 1 ) 的一列无界的球对称的变号解和一列无界的非球对称的变号解 把文【5 】的一些结论从p = 2 的情况推广到一般的1 p 0 ， a 2 ) a ( g x ) = 口( z ) ，对所有g d ( ) ， ，i ) f c ( x ，r ) ，i ，( t ) i 冬c o ( 1 + _ 1 ) ，对所有t r ，其中2 0 使得 i n ff ( t ) o ， i t l r o 福建师范大学洪明理硕士学位论文 丘) 存在一n o t 一 0 f ( t + ) 五) f ( t ) = o ( i t l ) ，当i t l o 时， 厶) f 关于t 是奇的，即f ( - t ) = - f ( t ) ，对任意t r 首先，我们证明p + = “xu 一) ( x 是日1 ( r ) 的球对称子空间) 和 p - = u xi “) 的充分小邻域m ( p 士) 0 大于0 小于某个e 0 ) 是下降流不变 集，然后结合对称的临界性原理和极小极大的方法。证明存在a 0 使得当a a 时，问题( p 2 ) 存在着一列无界的球对称的变号解在n = 4 或n 6 的情况下， 运用喷泉定理和对称临界性原理，证明了对于任给的a 0 ，问题( p 2 ) 存在一列无 界的非球对称的变号解 我们的结论为： 定理i i i 如果a 满足a 1 ) 一a 2 ) ，f 满足，；) 一五) ，则存在a 0 使得当a a 时， 问题( p 2 ) 存在着一列无界的球对称的变号解 定理i v 当n = 4 或n 6 时，如果。满足a 1 ) 一a 2 ) ，满足，i ) 一厶) ，以) ，厶) ， 则对任给的a 0 ，问题( p 2 ) 存在着一列无界的非球对称的变号解 v 第1 章绪论 第1 章绪论 人们对非线性椭圆偏微分方程进行深入地研究从对解的存在性和多解性的研 究，到对解的性质的研究，从对有界区域的研究。到对无界区域的研究，都已经取 得了丰硕的成果在计算机发达的年代，有些学者还试图结合临界点理论和算法来 直接给出解的形式，描绘出解的图象，参见1 3 4 ，3 5 】同时，对解的符号的研究也取 得了很多的成果有很多文章致力于对正解。负解，变号解存在性和多解问题的研 究特别是近几年来，非线性椭圆方程变号解的存在性问题和多解问题受到了许多 学者的关注在有界区域以及r 上，都取得了不少的成果，参见【2 6 ，1 4 ，1 7 ，1 8 ， 2 8 - 3 3 1 以及相关的参考文献 我们知道，求解e u l e r 方程可归结为求其对应泛函的临界点如果一个泛函，是 b a n a c h 空间e 上的c 1 泛函，根据p a l a i s 3 “，有一个伪梯度向量场w ：e o e ， 其中e o = 让ei ，。( 让) o ) w 从岛到e 是局部l i p s c h i t z 连续的由这个伪 梯度向量场所定义的初值问题( ( u ) 视不同的情况而定) j 业o t 生= 一h ( u ) w ( q ( t ，让) ) ， 1 町( o ，“) ：u e 0 ， 的解为泛函，的下降流人们通常使用这个下降流来建立不同的形变引理这些形 变引理在临界点理论( 例如，极小极大定理，m o f s e 理论，l u s t e r n i cs c h n i r e l m a n n 定理) 中，起着极其重要的作用，参见 1 3 ，3 7 ，3 9 】在文【2 8 】中，作者不是去建立形 变引理，而是转向研究下降流本身，分析流的性质他们通过建立下降流不变集来 获得泛函的临界点同时，为了得到多重临界点，他们把空间分割成不同的下降流 不变子集，然后在不同的不变集上寻找泛函的不同的l 陌界点当时，他们用这种方 法得到一个带有超线性非线性项的半线性椭圆方程的四个解在此基础上，文【5 ， 6 ，2 9 ，3 1 ，3 2 等在不同的情况下结合这种不变集的思想和极小极大的方法来寻找多 重的变号临界点他们通过建立不同的不变集使得这些不变集包含所有的正解和负 解，然后用极小极大的方法在这些集合外面寻找泛函的多重i | 缶界点，从而得到对应 方程的多个变号解 在本文，我们考虑的是一些非线性椭圆方程在r 。上变号解的存在性和多重性 问题我们的方法主要是受到文 6 ，2 8 ，2 9 】的启发，并推广了他们的一些结论 在第二章，我们给出一些预备知识在第三章中，我们考虑下面这个p - l a p l a c i a n 福建师范大学洪明理硕士学位论文 问题多重变号解的存在性t j 一+ j “ p - - 2 u = f ( x ，让) ，11 、 i 让w i ，p ( r ) ， 、 其中p u = d i v ( ) v u ) p 一2 v u ) ，1 p n 关于半线性的情况0 = 2 ) ，多重变号解的存在性已经有取得很多的结论，参见 【5 ，1 7 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，4 6 1 等关于拟线性的情况，解的存在性和多重性近几年也引起了 人们的兴趣，例如，文【4 ，1 1 ，1 9 2 l ，2 3 ，2 4 ，4 8 ，4 9 】等当区域是有界的情况，如果 ，是奇的，且满足一定的增长性条件，文【1 9 】获得了一列无界的解序列，但未给出 解的符号；文【4 】获得了四个解，其中有一个是变号解同样也是在有界区域上， 文【6 】在f ( x ，t ) l l t l _ 2 超线性和，次临界的情况下，获得了三个解，其中有一个是 变号解，如果，还满足关于是奇的，他们获得了无穷多个变号解 用变分方法，问题( 1 i ) 的解对应着一个泛函的临界点首先，我们证明正锥 x + = “iu o ) ( 其中x 0 是1 ，( r ) 的球对称子空间) 和负锥x 一= 扣 x cl 趾s0 ) 的充分小邻域m ( x 土) ( g 大于0 小于某个e o ) 是下降流不变集然后 建立适当的形变引理，结合极小极大的方法，获得了问题( 1 1 ) 对应泛函的一列无 界的球对称的变号的临界点同时，在n = 4 或n 6 的情况下，通过选择适当 的非球对称子空间使得它所包含的非零函数都是变号的，运用对称性山路引理，同 样获得对应泛函的一列无界的非球对称的变号的临界点序列运用对临界性原理。 我们获得了问题( 1 1 ) 的一列无界的球对称的变号解和一列无界的非球对称的变号 解把文【5 】的一些结论从p = 2 的情况推广到一般的i 0 足够大时存在多重解文 【2 9 】考虑非自治的问题( 1 2 ) ，当a 0 足够大时，获得了多重解和多重变号解，其 中，满足渐进线性条件且关于t 是奇的 我们在，满足存在t 一 s ( t + ) 和其他不同的假设 条件下，证明p + = 牡xi t 一 ( 其中x 是日1 ( r ) 的球对称子空间) 和 p _ = u xius4 ) 的充分小邻域m ( p 士) ( e 大于。小于某个e o ) 是下降流不 变集，然后结合对称临界性原理和极小极大的方法，证明存在a 0 使得当a a 时，问题( 1 2 ) 存在着一列无界的球对称的变号解在n = 4 或n 6 时，通过 选择适当的非球对称子空间，运用喷泉定理和对称临界性原理，我们得到对任给的 a 0 ，问题( 1 2 ) 存在一列无界的非球对称的变号解 3 福建师范大学洪明理硕士学位论文 第2 章预备知识 首先，我们介绍一些定义 定义2 1 1 4 7 ，d e f i n i t i o n1 2 7 】拓扑群g 对一个赋范空间e 的作用为一个连 续映射； g e d e ：【g ，u 】。9 u 使得 1 u = u ，( g h ) u = 9 ( h 札) ，u 一9 u 是线性，对任意的g ，h g 作用是等距，如果 怕u | | = | 不动点集合定义如下： f i x g ：= 让e lg u = 乱，v g g ) 集合ace 是不变的，如果9 a = a 对任意g g 函数i p ：e r 是不变 的，如果妒( g ( u ) ) = 妒( 让) 对任意g g ，让e 映射，：e e 是等变的，如果 ，( 9 ( u ) ) = 9 ( ，( 札) ) ，对任意的g g ，u e 下面我们介绍一下亏格的定义( 参见【3 9 ，p 4 5 】或【1 2 】) 和一些基本性质( 参见 【3 9 ，p 4 5 4 6 】或【4 4 1 ) 定义2 1 2 假设e 是一个实b a n a c h 空间，ace 是一个关于原点对称的子集， 即o a 一x a 定义a 的亏格为： 7 ( a ) = i n f n ni 存在一个连续奇映射妒c ( a ，r n o ) ) ) 如果这个下确界不存在，设7 ( a ) = + 。令7 ( o ) = 0 性质2 1 3 令a ，b 为e 中关于原点对称的子集，h c ( e ，e ) 是一个奇映射 则 ( i ) 如果acb ，则7 ( a ) ，y ( b ) ( i i ) 7 ( a o b ) s7 ( a ) 4 - 7 ( b ) ( i i i ) 7 ( a ) ，y ( ( a ) ) ( 抛) 如果a 是紧的，则存在a 的一个对称邻域使得7 ( a ) = ，y ( ) 4 叁! 塞堡鱼墅堡 0 ) 假设bce ，b n b = o 让a = b u b ，贝01 ( a ) = 1 为了寻找问题所对应泛函的下降流，我们需要下面这个引理，参见【6 ，l e m m a 2 1 】 引理2 1 4 假设x 是一个b a n a c h 空间，d + 是x 中的两个闭凸子集a ：x x 是一个连续算子，且i c 1 ( x ，r ) 令k = t u xi ，( u ) = o ) ，x o = x k 如果 ( a 1 ) a ( d + ) ci n t ( d 士) ， ( 1 ) 存在l 0 和a 2 0 使得对所有u x ， ( ，( u ) ，札一a ) ) x x a l l l 一a ) 1 1 2 ( 1 1 t 1 1 + l l a ( u ) 1 1 ) 9 2 且 ( u ) 恢。sa 2 1 l u a ( u ) l l 一， 或者 ( 如) 存在p 2 ，a l 0 和a 2 0 使得对所有u x ， ( ( u ) ，u a ( u ) ) x x a l l l 札一a ( u ) 1 1 9 且 l i i ( u ) 0 x 曼a 2 i l u a ( u ) l l ( 1 l u l i + i i a ( u ) 1 1 ) 9 2 则存在一个局部l i p s c h i t z 连续的算子b ：x o x 满足下面的性质： 1 b ( d + ) ci n t ( d 士) ， 2 l l u b ( u ) | i l l t 一a ( u ) l l 2 1 1 u b ( u ) l l ，v u x o ， 3 对所有u x o ，o l 由条件( ，1 ) 和( 如) 给定，都有 ( j ( 让) ，u b ( 让) ) 釉u a ( 洲( + u ) 旷2 ， 在( ) 情况下或者 ( ，( u ) ，u 一日( u ) ) 却钍一a ( u ) 1 1 9 ， 。 在) 情况下 4 如果j 是偶的，a 是奇的，d + = 一d 一，则b 是奇的 5 福建师范大学洪明理硬士学位论文 令g = o ( n ) 为r 上的正交线性变换群x a = u w 1 ，9 ( r ) lg u ( x ) = 札( g 。z ) = 让0 ) ，v g g 记的对偶空间为j 咕 1 9 7 9 年p a l a i s 【3 8 ，定理5 4 】给出了b a n a e h 空间上对称临界性原理的一般形 式在这里，我们写出w 1 , ，( r ) 上的对称临界性原理及其证明 定理2 1 5 p r i n c i p l eo fs y m m e t r i cc r i t i c a l i t y 在群g 的作用下是不变 的任给让x 0 ，如果f ( u ) = 0 ，在磁中，则，( 乱) = 0 ，在- 1 ，9 ( r ) 中，其中 ；1 + 手= 1 ，1 0 ，使得纠e n 品口 ( 妒2 ) 对e 的每个有限维子空间y ，都存在r y ，使得当z v ，忙0 r v 时 6 l p ( o ) 0 则妒有一个无界的临界值序列 定理2 1 7 陌泉定理】假设e = 酉磊丐是一个b a n a c h 空间，妒c 1 ( e ，r ) ，妒 在群d 的作用下是不变的如果对任意的k n ，存在m “ 0 ，使得 ( a 1 ) a k _ 。h m | 粱 妒( “) so ，k ：2 。；k = 。易， ( a 。) k _ 。；z 罐忙，。妒( u ) _ o o ，当女d0 0 ，玩：= 可。戛o d j - ， ( a 3 ) 对任意c 0 ，妒满足( p s ) 。条件，即对任意序列 u 。) ce 满足妒( “。) 一c ， i p ( 让。) 一0 ，都含有一个收敛的子列 ( 也) 紧致群g 对e 的作用是等距的，空间岛是不变的，又存在一个有限维空间 y ，使得对任意的j n ，弓! y ，且群g 对空间y 的作用是可允许的 则有一个无界的临界值序列 最后，我们给出偏微分方程理论中常用的一些不等式，参见 5 0 ，p 1 2 】或 2 2 ， s e c t i o n7 1 1 y o u n g 不等式：设o 0 ，b 0 ，p 1 ，q l ，且；14 - i 1 = 1 ，则有 q b 一a p4 - 一b q p q 带的y o u n g 不等式：设n 0 ，b 0 ，e 0 ，p 1 ，q 1 ，且；14 - ；1 = 1 ，则有 。b 5 a p4 - e - q p b q e a p + 一q p 6 口 h 6 1 d e r 不等式：设qcr 是一个可测集，p 1 ，q 1 ，且；14 - ；1 = 1 若 f p ( f 2 ) ，9 口( n ) ，则，g l 1 ( q ) ，且 | f ( x ) g ( x ) l d zs ( i ，( 。) | p 如) 1 p ( i g ( x ) q d x ) 1 q j nj i2 j n s c h w a r z 不等式：设qcr n 是一个可测集，若f 三2 ( q ) ，g l 2 ( n ) ，则f g l 1 ( q ) ，且 f ( x ) g ( z ) l d x ( f ( x ) 1 2 出) m ( j 9 ( z ) 1 2 出) j nj nn 记号：对1 s + o 。，我们记l s ( r ) 中的通常范数为f i 。令矿= m a x u ，o ) ， 让一= m i n u ，o ) 弱( 相应地，强) 被记为一( 相应地，一) 在以下的章节中，我们 用q 记各种各样的正常数 7 福建师范大学洪明理硕士学位论文 第3 章r 上一个p - l a p l a c i a n 问题的无穷多 个变号解 3 1 引言 这一章主要考虑下面这个椭圆方程的多重变号解： 。- a p u + 1 u l p - 2 w ip ”八置 (3-1)(rn)i 钆 ， p 叫 其中p 札；d i v ( 1 v u p _ 2 v u ) ，1 p 1 和，满足f ( x ，t ) i t l * - 2 是超线性的，是次临界的，在文【6 】，作 者不仅证明了问题( 3 2 ) 存在着三个解而且证明了它的第三个解是变号解除此之 外，如果，还满足关于t 是奇的，他们也证明了问题( 3 2 ) 有无穷多个变号解 关于半线性的情况0 = 2 ) ，球对称解的存在性，非球对称解的存在性，正解， 负解和变号解的存在性等许多解的存在性结果，已被人们证明参见【5 ，7 ，8 ，1 5 ， 1 7 ，2 5 ，2 7 ，2 9 1 和相关的参考文献 我们在考虑问题( 3 1 ) 的过程中碰到了一些困难其一，i , p ( r ) 扫2 ) 缺 少h i l b e r t 空间的结构，而这在考虑半线性问题中起着十分重要的作用其二，嵌 入w ( r ) 一口( r ) 0 使得对所有z r ，t r ， ，( z ，t ) lse l t l ”1 + c , l t l 州，其中p q r of ( z ，。) 0 ， ，4 ) f ( x ，t ) = ，( 妒，t ) ，对所有。r ，g d ( ) ， 厂5 ) ，( z ，一t ) = - f ( x ，t ) ，对所有z r ，t r 我们的主要结果如下： 定理3 1 1 假设，满足 ) 一，5 ) ，则问题( 3 1 ) 存在一列无界的球对称的变号解 定理3 1 2 如果n = 4 或n26 ，且，满足 ) 一，5 ) ，则问题( 3 1 ) 存在一列无界 的非球对称的变号解 本章安排如下：在第二部分，我们给出p a l a i s - s m a l e 条件的证明在第三部分， 我们构造出下降流不变集在第四部分，结合不变集的方法和极小极大的方法。运 用对称临界性原理，我们给出定理3 1 1 的证明同时。运用对称性山路引理和对 称临界性原理，给出定理3 1 2 的证明 3 2 p a l a i s s m a l e 条件的证明 设q 是r 中的区域d ( f 1 ) ：= t l c 。( q ) iu 的支集是q 的紧子集) w 1 , p ( r ) 是空间d ( r ) 在范数i i i | = ( ( v u l ，+ 川，) 出) ；下的完备化 j r 9 福建师范大学洪明理硕士学位论文 问题( 3 1 ) 所对应的泛函为 地) = ；上，( i w u h 如一上。脚m 出 ( 3 3 ) 其中让w i - , 9 ( r n ) 在假设 ) 下，我们容易验证，在1 ，( 酞。v ) 上是c 1 的，且对所有让， 1 ，9 ( r ) ， ( ，( “) ，t ， = ( 1 v 牡l ，一2 v u v u 十l i ，一2 让 ) d z 一f ( x ，u ) v d x + ( 3 4 ) j r n j r 通过定理2 1 5 ，i 在x c = i 龋) ( r ) 中的临界点为问题( 3 1 ) 的弱解 引理3 2 11 1 6 存在c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 使得对所有，q r n ，n l ， ( i 引，一2 f 1 7 7 一2 叩) 一q ) 2c 1 ( i 引十j 叩j ) ，一2 i f q 1 2 ， ( 引一一2 一i ? 7 1 9 2 卵) ( 一田) c 2 1 , 一 7 1 9 ，如果p 2 ， | f 引一一2 一f 7 7 i 一一2 q f c 3 ( j i + f 7 7 f ) 9 2 i 一叩l ， | | 引9 2 一 叩1 9 2 q isc 4 l 一7 7 j p 一1 ，如果1 p 2 最后，我们证明川蓠足p a l a i s - s m a l e 条件 引理3 2 2 在 ) ，2 ) 的假设下，满足( p s ) 条件，即如果 钍。) cx a 满足 d = s u p i ( u 。) 2 时，由引理3 2 1 得 | i t l n 一让0 = ( v u 。一v u r + l 让。一u l v ) d x 兄 1 0 堡垒塑二堡：三尘! 兰皇呈! ! 垒竺旦里竺垂窒塞尘壅量丝 靠厶。 i v “n f p 2 v 札n v ( u 。一札) 一j v 札p v 钍v 一“) 】出 j r 。 。一。、一n u ，j 山 + 铝乞。 i “n 1 9 - 2 u n ( j 让n u ) 一f 让j p 一2 u ( t 。一“) 】d z ( 3 5 )r 。 一一，j l o o j 当1 p 2 时，由引理3 2 1 和h s l d e r 不等式，我们得到 一让胪。上。( i v “n w 1 9 + j ”让 五。f v 一w 1 9 ( i v 让n i + i v 让i ) 牮( i v u 。i + i v 札i ) 掣如 + 五。k 一删札nj + i 札j ) 掣( i u 。i + 掣出 上。i v u ! 一v u r i v 训+ i v 硼”2 如汽z 。( j v u 。j + v ，u i ) p d z ) 警 + r , v u n - - j 2 “hh j ) ”2 如) 5 ( 上。( j + m ) 9 如) 争 c 6 1 厶f l y 札n p v u 。v ( u 。“) 一j v 札l p - 2 v u v ( t 正。一t 上) 】出) g j r 、 7 一i 一、”n 仙，j u 山，。 五。( i v u n l + v u j ) d x ) 2 1 2 + c 6 j r 2 1 【i u n l 9 2 乱n ( 也。一让) 一u i 一一2 ( 让。一u ) k b ) ； 。 一一，j 一一， ( 厶。( i 札n j + l u l ) 9 出) 争 c t ( r 。f l y 让n 1 9 2 v 札n v ( “。一u ) 一i v 让i ，一2 v 让v ( u 。一札) 】d z ) ； + 。，厶。”2 让n ( u n 一让) 一l u l p - 2 u ( u 。一乱) 】如) 因此，当1 0 ，其中，7 ( t ，“) 是泛函i 的下降流 定义 k = “l 札o ) ， 和 儿= 扣拖i 缸o ) 1 2 叁兰塞! 二圭垒兰竺! 竺垫呈塑里丝垂窒童尘窒量丝 霉竺里出s “已x a 中由范数o 诱导的距离，用d 溉，记x a 中由范数i j ， 诱导的距离令 。 札阢) = t 让jd i s t ( u ，噩) o 使得一4 ( 趸i j 砑cn d x - 。) ，任给 0 n 证明v u x a ，令 = 4 ( 让) = ( 一，+ h p ( ) ) 一，( z ，u ) 我们得到 是下面这个方程的弱解； 一p + i 1 9 2 = y ( x ，u ) ( 3 7 ) 由 ) ，我们得到i f ( x , ) ；1 t l ，一1 + c , o l t l 。，对所有z 豫，r 成立 。在( 3 7 ) 式两边同乘 一，然后在r 上积分，通过，2 ) 和h s l d e r 不等式，我们 得到 从而 一胪= 厶，( i v 训”2 v v 一+ q 一) 出 j r = ，( z ，u ) 一d x j r 2 乓掣。脚，“为口协+ 五删m 水。，m 舻如 z 。r 。i 。扛) 0 使得对所有0 o ，如果d i s t ( u ，x ) e ，则 d i s t ( v ，耳) s ，即，一4 ( 丽) cm ( 耳) ，当0 印 像上述那样讨论，我们同样可以得到4 ( 瓦刀日) c 札( x 一) ，当0 0 使得对所有让 且 ( ，( u ) ，牡一4 ( ) ) d , i i u 一- 4 ( 让) l l 。( 1 1 u l i + j | 4 ( u ) lj ) ，一。 ( u ) j | s 圳仳一4 ( 钍) 扩- ( ) 当p 2 时，存在d 3 o 和d 4 0 使得对所有u ( ，( 让) ，牡一4 ( 札) ) d 3 1 1 让4 ( u ) 1 1 一， 1 4 = 堑! 塞坚：圭= 尘丝兰塑! 竺! 竺垦壑丝垂窒童尘壅量堡 且 i i i ( u ) l l d 4 | i 让4 ( “) u 0 - t - 悄( u ) 胪 证明 由( 3 7 ) 式得 ( ，。( u ) ，u 一4 ( u ) ) = 厶。，【v 札1 9 2 v v ( u 一4 ( 让) ) + i u i ，一2 让( 让一4 ( 乱) ) 】出 j r 。、 一r 。m ，u ) ( 乱一a ( u ) ) 如 = ，( i v 札p - 2 v “一i v a n ) 1 9 _ 2 v 4 ( u ) ) v ( 让一a ( u ) ) d z j r 。 + ，( i u i ”2 让一1 4 ( t t ) i ，_ 2 4 ( 让) ) ( 牡一4 ( 让) ) 出( 3 8 ) j r 。一 、7 当1 p 2 ，由h s l d e r 不等式，我们得到 j | t 正一4 ( ) ps ，i v ( “一一4 ) ) i p q w + f v 4 ) i ) 掣“v 让i + i v 一4 ( u ) f ) 旦掣出 j r 、 + i u 一_ ( u ) f 9 ( i 让+ 1 4 ( 让) ) d 等型( f 让i + 1 4 ( 札) j ) d 等盥d z r n ” ( ，i v ( u 一4 ) ) 1 2 q w l + i v 一4 ( 让) f ) ，_ 2 如) 5 ( ( i w l j r 。 、r + i 聊( “) i ) 9 d x ) 譬 + ( 上。i u 一“| 2 ( 1 uj + 1 4 ( u ) 1 ) p - 2 d x ) 5 ( 上。( + f 4 ( u 如) 争 s c z 3 ( 正，f v 一一4 ( “) ) 1 2 ( i v u i + i v 4 ) i ) 9 - 2 d x ) ”2 ( ( 1 v “i j r 。 r n “ + c - 。( 厶。，j 仳一_ ( 札) 1 2 “u - t - 1 4 ( u ) f ) 一一2 出) ；( ( 1 让i 一+ i a ( u ) l p ) d x ) 字 j r j r c 3 【( 。i v ( 让一4 ( 钍) ) 2 ( i v u l - t - j v 4 ( 让) 旷2 出) 5 j r _ + ( 上。f 让一4 ( u ) 阶i + 忡) 1 ) p - 2 d x ) 钏让u ) 孚 从而，由引理3 2 1 ，我们得到，当1 p 2 时， i l u p ( u ) 酽( i t u 让) 孚 s c 1 3 ( f 。i v ( 让4 ( 让) ) 同v 钍i4 - i v 4 ( 钍) 旷2 出) ； j r + c 1 3 ( l ，i 乱一一4 ) 1 2 “u i + 1 4 ( u ) 1 ) - 2 d z ) ； j r ：塑壅堡里奎兰墼塑里堡圭兰堡丝塞 c “上，( i v 缸i p - - 2 v u + i v 艄妒司v 竹) ) ( v u v 舴) ) 出) ； + c - t ( 上。( j u i p - - 2 u _ _ f 4 ( 钍) i r 2 4 似) ) ( 札一4 ( 让) ) d z ) ； 因此，当1 2 时，由( 3 8 ) 式和引理3 2 1 ，存在d 3 0 使得 ( ，7 ( 札) ，让一4 ( 钍) ) d 3 。，l v 仳一v a ( 让) f 9 d x + d 3 i u 一4 ( “) | p d x jr ” j r 、“ 近辽引埋3 2 1 和( 3 7 ) 式，我们得到 ，( 札) i = s u p( ，( 乱) ，u ) w x g ，i i u u = i 2 s u p 。( i v 让1 9 2 v 札v u + 1 4 1 9 2 u w ) d x 一， ，u ) w d x w e x g i i u l l = lj r ” r 一 = s u p 。( i v u i p 一2 v “v u + 1 4 1 p 一2 u u ) d z 一 ( i v 一4 ( 札) i p 一2 v 4 ( u ) v u w e x g t l l , , , 1 1 = 1j r ” ，r ” 、“、7 + 1 4 ( u ) p 4 ( ? ) u ) d 叫 2 s u p 【，( i v 4 1 ”2 v 让一f v a ( 4 ) i 2 v a ( u ) ) v w d x w 6 x g ，i w i i = ij r + 上。( 。2 缸一1 4 ( u ) p 4 ( “) ) u 捌 s u 。p 。，【( 。i i v 4 1 v 4 一i v t ( 4 ) 1 9 2 v 一4 ( 让) j - ，2 一- - - d z ) ，( f v “，i p 。，1 w e x g ，i i i = 1j r “ 、 、- ，r 。7 + ( 上。i i 让p - 2 , z _ 1 4 ) i ”2 4 ) i 寿出) 宁( 上。i u i 如) ；】 1 6 ：! ! 塑：坚：圭三尘丝塞竺! 竺! 竺旦壑竺垂窒童尘壅量墅 ( 上。i l v up - - 2 v , z _ _ i v 撕胪q v 艄) l 舟出) 宁 + ( 上。i i u r 2 u 一训r 2 帅) i 南如) 宁 ( 3 9 ) 当1 o 使得 忪( 让) 1 1 c - e ( z 。i v u - v a ( 让) 阳。) 宁+ c 。e ( 上。i u 一4 ( 训一出) 学 d 2 l l u j t ( = ) l l ， 当p 2 时，由引理3 2 1 ，( 3 9 ) ，和h s l d e r 不等式，可得存在d 4 0 使得 ，。( 让) o c 1 7 ( 刘v 训+ i v 一4 ( 札) 旷2j v 札一v , a ( u ) i ) - 。i d z ) 孕 j r +cr(上(i“f+14(乱)i)”2lu一一4(让)1)寺出)宁v j r 2c 1 7 ( 上。( i v 让i + i v a ( 让) i ) 督i v 让一v a ( 札) f 寺出) 宁 + c - ，( 。，( i u + 1 4 ( 札) i ) 眢j 一4 ( 让) f 者如) 宁 j r s c 1 8 ( 上 ，( i v 让i p - ff v 4 ( 让) 1 9 ) 署i v 让一v 一4 ( 让) f 南出) 宁 + c 1 8 ( ，( 1 u i 一+ f 一4 似) 1 9 ) 署i u 一一4 ) l - 。 d x ) 。蔓p j r c19(。(1vuiv4(让)mz)宁(“v札一va(j 让) ) ； r “ 、j