（理论物理专业论文）dysonschwinger+equations+and+their+applications+to+qcd.pdf

摘要 红外禁闭行为和动力学手征自发对称性破缺是非微扰q c d 的两个独特的现象，为研究这 两种现象，必须采用非微扰的研究方法最近d s 方程的方法已经成为研究红外禁闭行为和动 力学手征自发对称性破缺的有效方法【1 ，2 ，3 】，这种方法已经被证明在将红外行为( 非微扰) 与紫外行为( 微扰) 平滑连接时是很成功的1 ，2 ，3 1 在本工作中，我们首先简要介绍d s 方程的方法，接着将其应用到非微扰问题研究的两个 方面在利用胶子和鬼传播子的d s 方程研究其红外行为时，在裸的三一胶子和胶子一鬼顶点 近似下，我们比较了两种重整化方案解析延拓和减除方案，结果表明，在研究传播子的红外 行为的时候，两种重整化方案得到的结果一1 ，n ( o ) = 4 1 9 ) 是一致的然后我们研究了当 选择一种特殊的三一胶子和鬼一胶子顶点( 利用s t 恒等式解出) 【3 ，4 的时候的胶子和鬼传 播子的d s 方程的红外解析行为，计算结果表明，文献【3 ，4 】中所用的三一胶子和鬼一胶子顶 点并不是。完全”顶点，因为我们将方程中的积分精确求解时，得不到k 的解接下来在研究 夸克传播子在外场中的线性响应时，我们利用q c d 求和规则两点外场公式推导出了一般的计 算真空磁化率的公式( 以变化的轴矢量外场为例) ，我们这里推导出的真空磁化率的计算公式 是模型无关的然后我们计算了轴矢量矢量和张量真空磁化率对于这三个真空磁化率的计 算，我们都在d s 方程的彩虹一梯近似的框架下给出数值解，并且和之前的方法给出的结果作 了比较结果表明，我们的方法在计算轴矢量和矢量真空磁化率时与以前的方法相比数值差别 是很大的，而张量真空磁化率的差别不大这里的差别起源于我们考虑了非微扰顶点的效应 关键词：d s 方法；红外行为；禁闭；重整化方法；动力学手征自发对称性破缺；q c d 真空；真空磁化率 a b s t r a c t c o n f i n e m e n ta n dt h ed y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n ga r et h et w og e n u i n ee f f e c t so f n o n p e r t u r b a t i v eq c d ( n p q c d ) t os t u d yt h e s et w oe f f e c t s ，n o n p e r t u r b a t i v em e t h o d s a r er e q u i r e d r e c e n t l yt h ed y s o n s c h w i n g e r ( d s ) a p p r o a c hh a sb e e nau s e f u l t o o lt o s t u d yt h e s et w oe f f e c t s ( 1 ，2 ，3 】- i th a sb e e np r o v e nt ob es u c c e s s f u li nd e v e l o p i n gah a d r o n p h e n o m e n o l o g yw h i c hi n t e r p o l a t e ss m o o t h l yb e t w e e nt h ei n f r a r e d ( n o n - p e r t u r b a t i v e ) a n d t h eu l t r a v i o l e t ( p e r t u r b a t i v e ) r e g i m e 【1 ，2 ，3 】 i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c eb r i e f l yt h ed se q u a t i o n ( d s e ) f o r m a l i s ma n dt h e n u s et h ed sa p p r o a c hi nt w oa s p e c t so fn o n - p e r t u r b a t i v es t u d i e s i nt h es t u d yo ft h ei n - f r a r e db e h a v i o ro fg h i o na n dg h o s tp r o p a g a t o r si nt h ec o u p l e dg l u o na n dg h o s td s e s ， w h e r et h et h r e e - g i u o na n dg h o s t 垂u o nv e r t e xf u n c t i o n s8 z et a k e nt ob eb a r e ，w eu s et w o a p p r o a c h e st od or e n o r m a l i z a t i o n ：t h ea n a l y t i cc o n t i n u a t i o na p p r o a c ha n dt h es u b t r a c t i o n a p p r o a c h t h er e s u l t ss h o wt h a tt h et w or e n o r m a l i z a t i o na p p r o a c h e sg i v et h es a i n er e s u l t s ( k _ 1 ，( o ) = 4 1 9 ) i nt h ei n f r a r e da n a l y s i so fp r o p a g a t o r st h e nw ed ot h ei n f r a r e d a n a l y s i su s i n gas p e c i a lc h o i c eo ft h r e e - g l u o na n dg h o s t - g i u o nv e r t e xf u n c t i o n sw h i c ha r e d e r i v e db yt h e i rs l a v n o v - t a y l o ri d e n t i t i e s ( s t i s ) 【3 ，4 】o u rc a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h e v e r t i c e su s e di nr e f s 【3 ，4 】a r en o t ”f u l l ”o n e s ，b e c a u s ei fw ed oe x a c ti n t e g r a t i o n so ft h e f u n c t i o n s ，n os o l u t i o no f e x i s t s i ns t u d y i n gt h el i n e a rr e s p o n s eo ft h ed r e s s e dq u a r k p r o p a g a t o ri nt h ep r e s e n c eo ft h ev a r i a b l ee x t e r n a lf i e l d ，w ed e r i v eag e n e r a le x p r e s s i o n f o rt h ev a c u u l ns u s c e p t i b i l i t yc a l c u l a t i o ni nt h eq u a n t u mc h r o m o d y n a m i c a l ( q c d ) s u m r u l et w o - p o i n te x t e r n a lf i e l df o r m u l a u s i n gt h ev a r i a b l ea x i a le x t e r n a lf i e l da sa ne x a m p l e t h ee x p r e s s i o n sw eh a v ed e r i v e df o rt h ec a l c u l a t i o no fv a c u u ms u s c e p t i b i l i t ya r em o d e l i n d e p e n d e n t t h e nw eu s et h ee x p r e s s i o n st ot h ec a l c u l a t i o no ft h ea x i a lv e c t o r ，v e c t o r a n dt e n s o rv a c u u n ls u s c e p t i b i l i t i e st h en u m e r i c u lv a l u e so ft h et h r e ey s c u u l us u s c e p t i b i l - i t i e sa r ec a l c u l a t e dw i t h i nt h ef r a x n e w o r ko ft h er a i n b o w l a d d e ra p p r o x i m a t i o no ft h ed s a p p r o a c hac o m p a r i s o nw i t ht h er e s u l t so ft h ep r e v i o u sa p p r o a c hi sg i v e n w es h o wt h a t t h ed i f i e r e n c e sb e t w e e nt h er e s u l t so fo u ra p p r o a c ha n dt h ep r e v i o u sf o rt h ea x i a lv e c t o r a n dv e c t o rv a c u u ms u s c e p t i b i l i t i e sa r el a r g e ，w h i l et h a tf o rt h et e n s o rv a c u u l t is u s c e p t i b i l - i t yi ss m a l l t h ed i f i e r e n c e sr o o ti nt h ed r e s s e de f f e c t so ft h en o n - p e r t u r b a t i v ev e r t i c e s k e yw o r d s d y s o n - s c h w i n g e ra p p r o a c h ，i n f r a r e db e h a v i o r ，c o n f i n e m e n t ，r e n o r m a l i z a t i o n a p p r o a c h ，d y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n g ，q c dv a c u u m ，v a c u u ms u s c e p t i b i l i t y 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：歪丛 日 期：2 塑垒皇! ! ! ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： 丕丛 日期：丝丝生姐堡! c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n q u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s ( q c d ) i st h eq u a n t u mf i e l dt h e o r yo ft h es t r o n gi n t e r a c t i o n s o ft h ef u n d a m e n t a lb u i l d i n gb l o c k so fm a t t e r ，t h eq u a r k sa n dg l u o n s i nc o n t r a s tt o a b e l i a ng a u g et h e o r i e sl i k eq u a n t u me l e e t r o d y n a m i c s ( q e d ) ，t h en o n a b e l i a nn a t u r eo f t h eg a u g es y m m e t r yo fq c dn o to n l yi n d u c e si n t e r a c t i o n sb e t w e e nq u a r k sa n dg l u o n s b u ta l s om n o n gg l u o n st h e m s e l v e s t h i sl a s te f f e c ti se x p e c t e dt ob er e s p o n s i b l ef o rt h e p h e n o m e n o no fc o n f i n e m e n t i th a sa l r e a d yb e e nk n o w nt h a tq c dr e p r e s e n t st h ep h e n o m e n o no fa s y m p t o t i cf r e e - d o m ，w h i c hm e a st h a tt h ei n t e r a c t i o ns t r e n g t ho fq c dt e n d st oz e r oa ts m a l ld i s t a n c e s a th i g he n e r g yo n ec a nd ot h ep e r t u r b a t i v ee x p a n s i o n sa c c o r d i n gt ot h ec o u p l i n gc o n s t a n ta n dc o m p u t et h ef e y n m a nd i a g r a m st of i n i t eo r d e r s i th a sb e e na f f i r m e dt h a t c o m p u t a t i o n st ot h eo n e - l o o po r d e ra c c o r dw e l lw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s h o w e v e r ， w h e ne n e r g yg o e sd o w nt oa r o u n d1 2 g e v t h ec o u p l i n gc o n s t a n tr i s e sa c c o r d i n g l y i t i sn o ts u i t a b l et od op e r t u r b a t i v ee x p a n s i o n sa n ym o r e i no t h e rw o r d s ，a ts u c hs c a l e s t h es t r o n gi n t e r a c t i o ni ss t r o n ge n o u g ht oi n v a l i d a t ep e r t u r b a t i v et h e o r y s oo n eh a st o e m p l o yc o m p l e t e l yd i f f e r e n tm e t h o d st od e a lw i t hw h a ti sc a l l e ds t r o n gq c d t h e r ea r et w op h e n o m e n ao fo c dw h i c ha r ei m p o r t a n tf o ro u rw o r k ：c o n f i n e m e n ta n d t h ed y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n g n e i t h e ro ft h e s ep h e n o m e n ac a nb ea c c o u n t e d f o ri np e r t u r b a t i o nt h e o r y , t h u st h e ya r et h eg e n u i n ee f f e c t so fn p q c d o no n eh a n d ， a l t h o u g l lal o to fp r o g r e s sh a sb e e nm a d e ，t h em e c h a n i s mf o rc o n f i n e m e n to fq u a r k sa n d d u o n si n t oc o l o r l e s sh a d r o n ss t i l li sl i t t l eu n d e r s t o o d s o m et h e o r e t i c a li n s ：i g h tc o u l db e o b t a i n e df r o md i s p r o v i n gt h ec l u s t e rd e c o m p o s i t i o np r o p e r t yf o rc o l o r - n o n s i n g l e tg a u g e - c o v a r i a n to p e r a t o r s 0 n ei d e ai nt h i sd i r e c t i o ni sb a s e do nt h ep o s s i b l ee x i s t e n c eo fs e v e r e i n f r a r e dd i v e r g e n c e s ，i e d i v e r g e n c e sw h i c hc a n n o tb er e m o v e df r o mp h y s i c a lc r o s ss e c t i o n s b yas u i t a b l es u m m a t i o no v e rd e g e n e r a t es t a t e sb yv i r t u eo ft h ek i n o s h i t a - l e e - n a u e n b e r g t h e o r e m 5 】s u c hd i v e r g e n c e sc a r ip r o v i d ed a m p i n gf a c t o r sf o r t h ee m i s s i o no fc o l o r e d n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 2 s t a t e sf r o mc o l o r s i n g l e ts t a t e s ( s e e 【6 ) h o w e v e r ，t h ek i n o s h i t a - l e e - n a u e n b e r gt h e o r e m a p p l i e st on o n - a b e l i a ng a u g et h e o r i e si nf o u rd i m e n s i o n so r d e rb yo r d e ri np e r t u r b a t i o n t h e o r ymt h e r e f o r e ，s u c had e s c r i p t i o no fc o n f i n e m e n ti nt e r m so fp e r t u r b a t i o nt h e o r y i si m p o s s i b l e i nf a c t ，e x t e n d e dt og r e e n sf u n c t i o n s ，t h ea b s e n c eo fu n p h y s i c a li n f r a r e d d i v e r g e n c e si m p l i e st h a tt h es p e c t r u mo fq c dn e c e s s a r i l yi n c l u d e sc o l o r e dq u a r ka n d 出u o n s t a t e st oe v e r yo r d e ri np e r t u r b a t i o nt h e o r y 【8 o nt h eo t h e rh a n d ，i nf o u rd i m e n s i o n a lf i e l dt h e o r i e s ，c o n f i n e m e n tr e q u i r e st h ed y n a m i c a lg e n e r a t i o no fap h y s i c a lm a s ss c a l e ，i n c l u d i n gi nt h ec h i r a ll i m i t h o w e v e r ，w ec a n s e et h a ti nt h ec h i r a ll i m i tw h e nt h er e n o r m a l z a t i o n - p o i n t - - i n v a r i a n tc u r r e n t - - q u a r km a s s v a n i s h e s ；i e r h = 0 ，ap e r t u r b a t i v ee v a l u a t i o no ft h ed r e s s e d - q u a r kp r o p a g a t o r 西v e s 扩胁( 一；h 嘲 ( 1 1 1 ) s of r o me q ( 1 1 1 ) w ec a ns e et h a tt h ep e r t u r b a t i v em a s sf u n c t i o ni si d e n t i c a l l yz e r oi n t h ec h i r a il i m i t t h e r e f o r e ，t os t u d yt h ef u n d a m e n t a l so fs t r o n gq c d ，n o n - p e r t u r b a t i v em e t h o d sa r e r e q u i r e db e i n gd e v e l o p e df o rm o r et h a nt h i r t yy e a r s ，l a t t i c eg a u g et h e o r y 【l g t 】【9 i n c l u d e sa l ln o n - p e r t u r b a t i v ep h ) 7 s i c sa n dt h e r e f o r et h eo n l ya bi n i t i oc a l c u l a t i o nm e t h o d a v a i l a b l es of a r h o w e v e r i ts u f f e r sf r o ml i m i t a t i o n sa ts m a l lm o m e n t ad u et of i n i t ev o l u m e e f f e c t s o n eh a st or e l yo ne x t r a p o l a t i o nm e t h o d st oo b t a i nt h ei n f i n i t ev o l u m el i m i t f u r t h e r m o r ec a l c u l a t i o n si n c l u d i n g ( 1 u 出k sa x es u b t l eo nt h el a t t i c e ，a si ti sv e r yd i f f i c u l t t oi m p l e m e n ti e r m i o n sw i t hs m a l lb a r em a s s e s s oi t i se q u a l l yi m p o r t a n tt od e v e l o p o t h e rc o m p l e m e n t a r yn o n - p e r t u r b a t i v em e t h o d sb a s e do nc o n t i n u u md e s c r i p t i o n s c r 0 8 s - f e r t i l i z a t i o nb e t w e e nl g ts t u d i e sa n dc o n t i n u u mt e c h n i q u e sm a yp r o v i d eau s e f u lm e a n s o fd e v e l o p i n gad e t a i l e du n d e r s t a n d i n go fn p q c d r e c e n t l yt h ed sa p p r o a c h ，e q u a t i o n so fm o t i o nf o rc o r r e l a t i o nf u n c t i o n so ft h ef i e l d s ， h a sb e e ne m p l o y e dt os t u d yt h ec o n f i n e m e n ta n dt h ed y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k - i n g 【1 ，2 ，3 】t h ed sa p p r o a c hh a sb e e np r o v e nt ob es u c c e s s f u li nd e v e l o p i n gah a d r o n p h e n o m e n o l o g yw h i c hi n t e r p o l a t e ss m o o t h l yb e t w e e nt h ei n f r a r e d ( n o n - p e r t u r b a t i v e ) a n d t h eu l t r a v i o l e t ( p e r t u r b a t i v e ) r e g i m e 【1 ，2 ，3 c e r t a i n l yag r e a ts t e pf o r w a r di nu n d e r - s t a n d i n gq c dw o u l db et h ed e t a i l e dk n o w l e d g eo ft h eb a s i cc o r r e l a t i o nf u n c t i o n s ，t h e p r o p a g a t o r s i n f o r m a t i o no nc o n f i n e m e n ti se n c o d e di nt h e s et w o - p o i n tf u n c t i o n s f u r - t h e r m o r et h ed y n a m i c a lc h i r a is y m m e t r yb r e a k i n gc a l lb es t u d i e dd i r e c t l yi nt h ed se q u a - t i o n ( d s e ) f o rt h eq u a r kp r o p a g a t o r ，w h i c hi st h eg a pe q u a t i o no fq c d b e s i d e sb e i n g r e l a t e dt ot h ef u n d a m e n t a l so fq c d ，t h eq u a x ka n dg l u o n p r o p a g a t o r sa r ev i t a li n g r e d i e n t s f o rp h e n o m e n o l o g j c a lm o d e l sd e s c r i b i n gl o wa n dm e d i u me n e r g yh a d r o np h y s i c s 【1 0 w b h a v et op o i n to u tt h a ta l t h o u g ht h ed s e sc a r lb es o l v e da n a l y t i c a l l yi nt h ei n f r a r e da n d a r et h ep r o p e rt o o lt oa s s e s st h ee f f e c t so fd y n a m i c a lq u a r k s h o w e v e r ，i no r d e rt oo b t a i n ac l o s e ds y s t e mo fe q u a t i o n so n eh a st oe m p l o ya n s a t zf o rh i g h e rc o r r e l a t i o nf u n c t i o n s ， a n dt r u n c a t i o n sm u s tb em a d e c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n3 n o wt h e r ea r et w oa s p e c t st os t u d yn p q c du s i n gt h ed sa p p r o a c h o n ei st os t u d y t h ei n f r a r e db e h a v i o ro ft h eg l u o na n dg h o s tp r o p a g a t o r si no r d e rt ou n d e r s t a n dt h e m e c h a n i s mo fi n f r a r e dc o n f i n e m e n tf 3 ，4 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 d i f f e r e n tr e s u l t sw e r e o b t a i n e di nd i f f e r e n tw o r k i nr e f s 3 ，4 1 ，t h ea u t h o r su s e dt h es t i st oc o n s t r a i n t h e t h r e e - g l u o na n dg h o s t g h i o nv e r t i c e s d o i n gt h ey - m a xa p p r o x i m a t i o n ，t h e yo b t a i n e dt h e i n f r a r e db e h a v i o ro fk = 09 2a n da ( o ) = 9 5 h o w e v e r ，t h ea u t h o r si nr e f s 1 1 1 ，1 2 1f o u n d t h e r em i g h tb es o m ep r o b l e mi nt h ea p p r o x i m a t i o n su s e di n 3 ，4 1 ，s ot h e yu s e dt h es i m p l y b a r et h r e e - g l u o na n d9 1 1 0 s t - g l u o nv e r t i c e si n s t e a d d o i n gt h ey - m a xa p p r o x i m a t i o n ，t h e i n f r a r e db e h a v i o ro fk = 0 7 7a n da f 0 1 = i i 4 7 0 2w a so b t a i n e d l a t e rt h e yd i dt h ee x a c t a n g u l a ri n t e g r a t i o n sw i t ht h eh e l po fg e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n si n s t e a do ft h e y - m a xa p p r o x i m a t i o n ，t h er e s u l t so fk _ 1 a n da ( 0 1 = 4 1 9w e r eo b t a i n e d w i t h i nt h e f a m e w o r ko ft h eb a r et h r e e - g l u o na n d9 1 1 0 s t g l u o nv e r t e xf u n c t i o n s ，r e f sf 1 3 ，1 生1 5 ，1 6 】 p e r f o r m e dt h ec o n t r a c t i o nu s i n ga na r b i t r a r y 一p a r a m e t e rt e n s o r ，a n dt h ei n f r a r e da n a l y s i s y i e l d e dt h eb u l ko fs o l u t i o n sb e t w e e nk = 0 5a n dk = 0 6f o rd i f f e r e n tfw h e nu s i n ga n o n - b r o w n - p e n n i n g t o nt e n s o rf 1 7 f o rk = o 5 9 5 ，t h ei n f r a r e df i x e dp o i n ti sn ( o ) = 29 7 i nr e d s 【1 8 ，1 9 ，c o n s i d e r i n gt h em u l t i p l i c a t i v er e n o r m a l i z a t i o n ，at w o - l o o pt r u n c a t i o n o ft h eg h o s t - g h i o nd s e sw a 8p e r f o r m e d a n dw i t hd i f f e r e n tg r o u p so fp a r a m e t e r s t h e y o b t a i n e dt h er e s u l t sb e t w e e nk = 0 1 7a n dk = o 5 3 f o rk = 0 5 t h ei n f r a r e df b ( e dp o i n t i s 口( 0 ) = 5 2 4 t h ei n f r a r e db e h a v i o ro ft h eg l u o na n dg h o s tp r o p a g a t o r si nt h ew o r k m e n t i o n e da b o v ei sc o n s i s t e n t ：t h eg l u o nr e n o r m a l i z a t i o nf u n c t i o ni si n f r a r e dv a n i s h i n g w h i l et h eg h o s tr e n o r m a l i z a t i o nf u n c t i o ni si n f r a r e ds i n g u l a rt h er u n n i n gc o u p l i n gh a s a ni n f r a r e df i x e dp n i n t b u tt h ev a l u e so fka n da ( o ) a r ed i f f e r e n t t h eo t h e ra s p e c ti st os t u d yt h ed y n a m i c a lc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n g 2 0 ，2 1 ，2 2 ， 2 3 】u s i n gt h eq u a r kp r o p a g a t o rd s e ，a n dt h eb e t h e 。s a l p e t e re q u a t i o n s ( b s e s ) t os t u d y m e s o n s 【2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 i nr e f s 【2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】，m a n yn e wa p p r o a c h e sw e r ed e v e l o p e d t oc a l c u l a t et h ep h y s i c a lq u a n t i t i e s ，i e t h eq u a r k - d u o nc o n d e n s a t e s ，e t c b o u n ds t a t e c a l c u l a t i o n sb a s e do nt h eb s e sf o rm e s o n s1 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 1o ro nt h e 蹦d e o ve q u a t i o n s f o rb a r y o n s 【2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，m i g h to n ed a yb ec a p a b l et ob r i d g et h eg a pb e t w e e n t h ef u n d a m e n t a lt h e o r yq c da n dp h e n o m e n o l o g y t h ea b o v em e n t i o n e dt w oa s p e c t so f s t u d y i n gt h en p q c dw i t h i nt h ed sa p p r o a c hi sb e c o m i n gl i n k e dt o d a y ( 1 3 t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s w ew i l li n t r o d u c et h ed s ef o r m a l i s mi nt h en e x t c h a p t e r t h et h i r dc h a p t e ri sd e v e t e dt os t u d yt h ei n f r a r e db e h a v i o ro ft h ed s e so ft h e g l u o na n dg h o s tp r o p a g a t o r s ，a n dc o m p a r et w or e n o r m a l i z a t i o na p p r o a c h e s i nc h a p - t e rf o u rw ew i l le x p l o r et h ed s eo ft h eq u a r kp r n p a g a t o ra n da p p l yi tt ot h ev a c s u s c e p t i b i l i t yc a l c u l a t i o n t h el a s tc h a p t e ri st h ec o n c l n s i o n so fo u rw o r k c h a p t e r2 d y s o n - s c h w i n g e re