（应用数学专业论文）有限群的算术条件与群结构.pdf

有限群的算术条件及其结构 摘要 本文主要研究有限群中共轭类和元素的阶的算术条件对群结构的影响 第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景及本文要解决的问题 第二章主要研究有限群的中心外的同阶元的共轭类个数对群结构的影响我仃】 首先研究了奇数阶的同阶元均共轭的有理群的结构，其次刻画了中心外的同阶元必 共轭的有限群的结构，我们得到的结果是w f e i t ，g m s e i t s 及张继平所得的一个 结论的推广，此外我们还给出了s y s k i n 问题的个简洁的新证明 第三章主要研究有限群的正规子群外的共轭类的个数对群结构的影响设g 为 有限群，为g 的一个正规子群我们研究了当g 中至多有3 个g 共轭类不在 中时群g 的结构 第四章主要研究有限群的对偶图的算术条件对群结构的影响对偶于e a b e r t r a m 等人定义的共轭类图，我们自然地定义了有限群g 的对偶图r c c ) ：它以 g 的非中心的元的共轭类作为顶点。任何两个不同的顶点d ( = 3 7 g ) 和c ( = 口o ) 之同 有一条边相连当且仅当o ( z ) 与d ( p ) 有非平凡的公因子若r c g ) 中不含有由n 个顶 点构成的其中任意两点连通的完全子图。我们称g 有性质r 我们研究了r ( c ) 的 连通分支数和直径，分别刻画了具有性质p 3 和r 的有限群的结构 第五章主要研究有限群中元素的阶的互索性对群结构的影响设g 是有限群 丌c ( g ) 表示g 的所有元素的阶的集合若g 的任意n 个互不相同的元素的阶是互素 的，即对任意互不相同的n 个元素d l ，勉，a n k ( g ) ，满足( d 1 ，屯，) = 1 ， 我们说g 有性质，我们给出了满足性质乜的有限群的分类 关键词：有限群，有理群，单群，共轭类，元素的阶，对偶图 作者；游兴中 指导教师：施武杰 有限群的算术条件及其结构 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i d e r sh o wt h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n so fc o n j u g a c yc l a s s e s a n de l e m e n to r d e r so faf i n i t eg r o u pi n f l u e n c ei t ss t r u c t u r er e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r1 ，w em a m l yi n t r o d u c et h ew o r k sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa n dp r o b l e m s t h a tw i l lb es o l v e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t eh o wt h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e s o fe l e m e n t s o u t s i d et h ec e n t e rw i t ht h es a m eo r d e ro faf i n i t eg r o u pi n f l u e n c e si t ss t r u c t u r e w e f i r s ts t u d yt h es t r u c t u r e so ft h er a t i o n a lg r o u p si nw h i c he l e m e n t sw i t ht h e 目9 m eo d d o r d e ra r ec o n j u g a t ea n dt h e nc h a r a c t e r i z et h ef i n i t eg r o u p si nw h i c he l e m e n t so u t s i d e t h ec e n t e rw i t ht h ei 始, n l eo r d e ra r ec o n j u g a t e ，o u rr e s u l ti sag e n e r a l i z a t i o no far e - s u i to b t a i n e db yw f e l t g m s e i t sa n dj p z h a n gr e s p e c t i v e l y , w ea l s og i v ea l l a l t e r n a t i v ep r o o fo ft h es y s k i np r o b l e m i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t eh o wt h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so u t s i d ean o r m a l s u b g r o u po faf i n i t eg r o u pi n f l u e n c e si t ss t r u c t u r e l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dn a n o r m a ls u b g r o u po fg w es t u d yt h es t r u c t u r e so ft h eg r o u pgw h e nt h e r ea r ea tm o s t t h r e ec o n j u g a c yc l a s s e so fgo u t s i d en i nc h a p t e r4 ，w ee x h i b i th o wt h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n so ft h ed u a lg r a p ho fa f i n i t eg r o u pi n f l u e n c ei t ss t r u c t u r e s d u a l i z i n gt oa g r a p hr e l a t e dt oc o n j u g a c yc l a s s e s o faf i n i t eg r o u pgd e f i n e db ye a b e r t r a me t c ，w ed e f i n ead u a lg r a p hr ( a ) o fg ：i t s v e r t i c e ss e ti st h es e to fn o n - c e n t r a lc o n j u g a c yc l a s s e so fg ，a n yt w od i s t i n c tv e r t i c e s d ( = 卫g ) a n dc ( = y g ) a r ec o n n e c t e db ya ne d g ei fa n do n l yi fo ( z ) a n do ( 口) ，t h eo r d e r s o fza n dy h a v ean o n t r i v i a lc o m m o nd i v i s o r w es a ygs a t i s f i e st h ep r o p e r t yp n ，i f r ( a 1c o n t a i n sn oac o m p l e t es u b g r a p hc o n s i s t i n go fn v e r t i c e si nw h m ha n yt w oo n e s a r ec o n n e c t e d w es t u d yt h en u m b e ro fc o n n e c t e dc o m p o n e n t sa n dt h ed i a m e t e ro f r ( g ) ，c l a s s i f yt h ef i n i t eg r o u p sw i t ht h ep r o p e r t yp 3a n dp 4r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，w es t u d yh o wt h ec o p r i m e n e s so fe l e m e n to r d e r so faf i n i t eg r o u p i n f l u e n c e si t ss t r u c t u r e l e t 仉( g ) b et h es e to fa l le l e m e n to r d e r so faf i m t eg r o u pg w es a ygs a t m f i e st h ep r o p e r t y 中n ，i fa n ynd i s t r a c te l e m e n to r d e r sa r es e t w m ee o p r a n e ， t h a ti s ，f o ra n ynd i s t i n c te l e m e n t sa l ，a 2 ，a n 丌c ( g ) ，( a l ，u 2 ，0 t i ) = 1 w e c l a s s i f yt h ef i n i t eg r o u p sw i t ht h ep r o p e r t y 垂3 i i 有限群的算术条件及其结构 a b s t r a c t k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ，r a t i o n a lg r o u p ，s i m p l eg r o u p ，c o n j u g a c yc l a s s ，e l e m e n t o r d e r ，d u a lg r a p h i i i w r i t t e nb yx i n g z h o n gy o u s u p e r w s e db yw u j i es h i 有限群的算术条件及其结构 术语和符号 术语和符号 在本文中，我们使用以下术语和符号 所有群均为有限群，术语和符号按通常的标准【1 l ，有关单群的术语和符号也可参 见| 2 】 字母g 总表示一个有限群 字母p 总表示一个素数 对有限集合a 表示集合a 中含有的元素的个数 设n 为自然数，”( n ) 表示n 中的素因子全体构成的集合 对有限群g ， 西( g ) 表示g 的f r a t t i n i 子群 g ，表示g 的导群，进一步归纳定义g ( i ) = ( g ( t 一1 ) ) ，g ( 1 ) = g i z ( a ) 表示g 的中心，进一步归纳定义五( g ) 互一a ( a ) = z ( g z , 一1 ( g ) ) ，z 1 ( g ) = z ( g ) s ( a ) 表示g 的基座( 8 0 c l e ) ，即由g 的所有极小正规子群生成的子群 a u t ( a ) 表示g 的自同构群 1 n n ( g ) 为g 的内自同构群 o u t ( a ) 表示g 的外自同构群 1 g i 表示g 的阶，丌c ( g ) 表示g 的所有元素的阶的集合，”( g ) = ”( i g i ) 对元素 z g ，c 台( z ) 和。g 分别表示。在g 中的中心化子和z 所在的g 一共轭类，o ( z ) 表示 。的阶；对g 的子集a ，k e ( a ) 为最小的非负整数使得a 是g 的个g 类的并的 子集，显然k a ( a ) = i z g ；。g n a 0 ，。g ) i 特征标总是指复特征标，i r r ( g ) 表示g 的不可约特征标集合 若n 日g ，令i r r ( g n ) = i r r ( g ) 一i r r ( g n ) 对g 的两个特征标x ，妒，比纠表示) ( 和妒的内积 若g 中p 阶元的中心化子为p 群，称群g 为群 设x ，y 为有限群，若有x 的子群a ，b 使得b q a 且y 皇a b ，称群y 为群x v 有限群的算术条件及其结构 术语和符号 的一个截断( s e c t i o n ) 若y 与x 的一个截断同构，称群y 与群x 有涉( i n v o l v e d ) 设g 为有限群，若存在一个非交换单群日使得h s g a u t ( h ) ，称群g 为几乎 单群( a l m c 6 ts i m p l eg r o u p ) 【h k 表示群日借助于群k 的半直积 d 8 表示8 阶二面体群 仉表示8 阶四元数群 g 表示竹阶循环群 v i y9 5 7 4 0 2 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名： 塑塑苹日期：型! 塑塑 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的伞部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盥兰叠日期： 导师签名： 逆叠生幽c ： 日期：型堇k 竺垒箩q 有限群的算术条件及其结构第1 章引言 第一章引言 本文共分五章，第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，本文要解决的同 题及得到的相关结果第二章研究中心外的同阶元均共轭的有限群的结构第三章 研究当一个有限群至多有三个共轭类不含在它的一个正规子群中时整个群的结构 第四章研究对偶图的算术条件对有限群结构的影响第五章研究有限群的元素阶的 互索性对群结构的影响 共轭类的长度及个数，元素的阶是有限群中重要的算术量利用共轭类及元素 的阶的一些算术条件来刻画有限群的结构是有限群理论研究中的重要课题，也是最 近有限群理论研究的热点问题本文围绕这方面的课题展开研究 以下总设g 是一个有限群 一共轭类的算术条件与群结构 共轭类是有限群理论中的非常重要的研究对象利用共轭类研究有限群可以追 溯到l a n d a u 证明的一个早期结果t 对给定的自然数r ，当巩( 1 r ) 为自然数时 方程l = e 二1 熹有且仅有有限多个解令g t ( 1 i r ) 为有限群g 的全体共轭类 的代表且m 。= i c g ) | 则类方程1 = e 毫l 硒了1 丽即为这样的一个解因此对给定的 自然数r ，具有r 个共轭类的有限群g 只有有限多个于是引起群论学家兴趣的问题 是；共轭类的算术条件( 共轭类的个数及长度) 怎样影响有限群的结构7 令g 为有限群g ，对任意的g ，矿表示。所在的共轭类，i i 表示矿的长 度，o ( x ) 表示z 的阶显然为g 在内自同构群i n n ( g ) 的作用下的个轨道令 c s ( a ) = i z g l ；z g ，即群g 的共轭类的长度之集；m a ( n ) = i 霉口；f 矿i = n c s ( v ) l ，即g 的长度为n 的共轭类的个数 在【3 】中b e r n m d e 证明了：任意非交换单群的共轭类的长度都不可能是某个素数 的方幂有意思的是迄今还没有不用特征标理论来证明这一结论的方法 b e r n s t d e 还给出了有一个共轭类的长度为i g i 2 的有限群g 的分类以及共轭类个数为5 的有 限群的分类 jp o l a n d ，a v l o p z e 及jvl p o z e 等人拓展了b e r n s l d e 用共轭类 个数刻画有限群结构的工作( 参见1 4 1 ，【5 】及1 6 ) 【7 1 - 【1 0 】研究了集合c s ( a ) 对有限群结构的影响例如，i t o 证明了，若l c s ( c ) l 2 ， 则g = p a ，其中p 为p 群且a 为交换群( 见【7 】) ；若i c s ( g ) ls3 ，则g 是可解的 ( 见l s d ；若g 为单群且l c 8 ( a ) i = 4 ，则g 竺s l 2 ( q ) ，其中q = 2 ，i 且m 2 ( 见【9 】) ；若 g 是满足i c s ( a ) i = 5 的单群。则g 垒s l 2 ( p ) ，其中p ( 5 ) 为素数( 见1 1 0 】) 有限群的算术条件及其结构第1 章引言 【1 1 1 ，( 12 】，1 1 3 】及1 1 4 】研究了共轭类的长度对有限群结构的影响例如。 1 1 l 】证 明了，如果对任意n c s ( c ) ，n 是一个平方自由数，则g 为超可解群且l g i f ( c ) i 和i f ( g ) ，i 均是平方自由数【1 2 j 进一步改进了这一结果 【13 】研究了c s ( g ) 和 c s ( g ) 一 1 ) 分别为连续的自然数的集合时有限群g 的结构【1 4 】给出了最大的两 个共轭类的长度是连续的自然数时的有限群的分类 对于对任意n c s ( g ) 满足m g ( n ) = 1 ( 即任意两个不同的共轭类有不同长度) 的 有限群，有一个较长时问以来一直没有完全解决的猜想，称为岛猜想， 岛- 猜想着g 是对任意n c 8 ( g ) 满足m g ( n ) = 1 的非平凡的有限群。则 g 矣岛 f m m a r k e l 证明了ts 猜想对超可解群成立( 见【1 5 1 ) ；m h a y a s h i 证明了t s 3 猜想对具有交换的s y l o w2 - 子群的可解群成立( 见1 1 6 1 ) ；a l g i l o t t i 证明了t s 猜想对 2 ，3 一群或 2 ，5 ) 群成立( 见1 1 7 1 ) ；m b w a r d 证明了，若g 为 2 ，3 ) 一 群或g 有个元素9 使得i c o ( g ) i 2 ，3 ，4 ，5 ) 时。s 3 一猜想成立( 觅1 1 8 】) ；张继平， k n o r r 等分别在1 1 9 】及1 2 0 l 中独立的证明了一岛猜想对所有的可解群成立对于非 可解的情形，s 3 一猜想还没有得到完全解决，z a r a d 等人刻画了对任意n c s ( g ) 满足m a ( n ) = 1 的非可解的群g 的子群s ( g ) ( 由g 的所有极小正规子群生成的子 群) 的结构( 见1 2 1 1 ) 由于岛猜想的条件不能被正规子群和商群所保持，因此不能 用归纳的方法证明岛猜想，这是解决岛- 猜想的困难所在 f 2 2 】证明了，若g 是对任意佗( g ) 一1 1 满足m g ( n ) = 1 的非交换的有限 群，则z ( a ) = 1 由此可得t 若g 是对任意n c s ( g ) 一 1 ) 满足m a ( n ) = 1 的非 交换的有限可解群。则g 竺s 3 j g t h o m p s o n 提出过下列猜想： 猜想若g 是满足z ( g ) = 1 的有限群，m 是一个满足c s ( c ) = c s ( m ) 的非交 换单群，则g 竺m 陈贵云在【2 3 】及【24 】中证明了：若m 是下列情形之一的单群 ( 1 ) 散在单群；( 2 ) 素图分支数3 的单群；( 3 ) g 2 ( q ) ，q 2 或g 2 ( 2 ) 7 则jg t h o m p s o n 猜想成立 w f e l t 和g m s e l t z 及张继平分别在【25 】和【2 6 】中独立地解决了著名的s y s k m 问题；若有限群g 中任何两个同阶的元素均共轭，则g 垒1 ，s 2 ，s 3 在1 2 7 】中，张继 平考虑了更一般的问题，给出了同阶元在自同构群作用下传递的有限群的分类 2 有限群的算术条件及其结构第1 章引言 本文第二章的工作主要推广了w f e l t 和g m s e i t z 及张继平分别在1 2 5 】和 1 2 6 1 中得到的上述结果因为一个群的中心内的元素只能与自身共轭，所以我们自然 考察下面的问题t 若g 是中心外的同阶元均共轭的有限群，g 有怎样的结构? 为 解决这一问题，我们先讨论了奇数阶的同阶元均共轭的有理群，给出了这一类群的 结构( 见定理2 1 2 ) ，再由定理2 1 2 解决了要讨论的主要问题( 见定理2 1 3 ) ，由定理 2 1 2 我们还给出了s y s k i n 阀题的一个简洁的新证明 在本文第三章中，设是有限群g 的一个正规子群。 1 2 s ，( 2 9 l ，1 3 0 】及1 3 1 l 研 究了当分别为g 的2 ，3 ，4 个共轭类的并时的结构例如，1 3 0 】证明了t 若 恰为g 的3 个共轭类的并。则或为个奇阶的初等交换p 群，或为一个亚交换 p - 群，或为以，为核的l 瞻o b e n i u s 群，其中，为初等交换群且l n v l 为素数本 文第三章考虑了相反的极端情形，即讨论了g 中至多有3 个g - 共轭类不包含在 中时g 的结构( 见定理3 2 1 ，定理3 3 5 及定理3 3 6 ) = 有限群中的图与群结构 为了从不同的角度研究有限群的性质或结构，可以在有限群中定义不同的图 例如。0 m a n z 等人在1 3 2 】中定义了有限群的特征表次数图；k w g r u e n b e r g 和 o k e g e l 在【3 3 l 中定义了有限群的素图；e b e r t r a m 等人在【3 4 】中定义了共轭类 图下面我们主要介绍和本文的工作相关的共轭类图与素图 对有限群g ，1 3 4 】中定义了与共轭类相关联的图，称为共轭类图t 它以g 的非中 心元的共轭类为顶点，任何两个不同的顶点d 和c 之间有一条边相连当且仅当d 与c 的类长有非平凡的公因子1 3 4 】，【3 5 1 及【3 6 l 等研究了共轭类图的性质及其对 群结构的影响例如，【3 4 1 证明了任意有限群g 的共轭类图的连通分支数2 ，其 中当且仅当g 为q u a s l - f r o b e n i u s 群( 即g z ( g ) 为f r o b e n i u s 群) 时等号成立；若共 轭类图不连通时每个分支为完全图，因而直径等于1 ；1 3 5 】证明了，若共轭类图连通 时，其直径3 ，由【3 7 】的一个结论知道非交换单群的共轭类图为完全图 1 3 6 】给出 了共轭类图不含三角形的有限群的分类 在本文第四章中，对偶于上面定义的共轭类图，我们按自然的方式定义有限群g 的一种新的图，称为对偶图。记为r ( g ) ：它以g 的非中心的元的共轭类作为顶点， 任何两个不同的顶点d ( = z 。) 和c ( = y g ) 之间有一条边相连当且仅当o ( x ) 与o ( y ) 有非平凡的公因子若r ( c ) 中不含有由n 个顶点构成的其中任意两点连通的完全 子图，我们称g 有性质r 从对偶图的定义及我们的研究知道，对偶图和有限群的素图有比较密切的联系 3 一 有限群的算术条件及其结构第1 章引言 对有限群g ，令7 f c ( g ) 表示g 的所有元素的阶的集合，7 r ( g ) 表示g 的阶的所有素 数因子的集合【3 3 l 中定义了g 的素图r c g ) 如下，r c g ) 的瑛点的集合为霄( g ) ， 两个不同的顶点p ，q 7 r ( g ) 是连通的当且仅当p q 丌c ( g ) t ( g ) 表示的r c g ) 连通 分支数。对i = 1 ，2 ，t ( g ) ，记7 r , = 霄l ( g ) 为r c e ) 的连通分支若g 的阶为偶数， 我们总假定2 丌1 1 3 8 1 ，1 3 9 】，1 4 0 ，1 4 1 】及1 4 2 1 研究了有限单群的素图，1 4 3 1 研究了 有限群的素图的直径 本文第四章研究了r ( g ) 的连通分支数和直径，分别刻画了具有性质尼和只的 有限群的结构( 见定理4 2 1 ，定理4 3 1 及定理4 4 1 ) 三元素的阶的算术条件与群结构 设g 是有限群，丌e ( g ) 表示g 的所有元素的阶的集合 旌武杰在1 4 4 1 中证明了：设g 为有限群，则g 笺a 当且仅当霄c ( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ) 这一结果开创了用群的元素的阶刻画群( 特别是单群) 的研究令h ( 霄o c e ) ) 表示满足 条件( g ) = 7 r , ( h ) 的有限群日的同构类类效，称，l ( ( g ) ) = h c g ) 为g 的h 的函 数如果h ( c ) = 1 ( 1 h ( v ) o o ，h ( c ) = o o ) ，称群g 为可用元素的阶的集合刻画的 群( 可分辨群。不可分辨群) 施武杰证明t 具有一个非平凡正规可解子群的有限群是 不可分辨群因此可分辨性同题的研究对单群有特别的意义施武杰对有限群的可 分辨性进行了深入的研究，到得了一些有意义的结果( 见【4 5 ，1 4 6 1 ，) 此外v d m a z u r o v 等人对上述问题也做了进一步的研究，并推广到了无限群中( 见【5 1 1 ，【5 2 1 ， ) 在i 5 7 l 中施武杰还提出了如下猜想； 猜想设g ，日为有限群，h 为单群则g 竺h 当且仅当仉( g ) = 7 r c ( h ) 且 i g l = i h i 【5 8 】， 57 】，【5 9 】，【6 0 】- 【6 3 】证明了上述猜想对除阶大于1 0 8 的辛群和正交群以外的 所有单群都成立 除了上述用元素阶来刻画单群的工作以外， 1 6 4 1 ，【65 】讨论了元素的阶几乎都是 素数的有限群，1 6 6 1 讨论了元素的阶是连续的整数的有限群 本文第五章考虑元素的阶的互素性质对有限群结构的影响若g 的任意n 个不同 的元素的阶是互素的，即对任意两两不同的a - ，a 2 ，一，a n 孔( g ) ，( n l ，n 。，a 。) = 1 ，我们说g 有性质西。显然这样的礼存在，例如当n = l 丌c ( g ) i 时，g 有性质巾。 我们对满足性质西3 的有限群进行了分类( 见定理5 1 1 ) 4 有限群的算术条件及其结构第2 章中心外的同阶元必共轭的有限群 第二章中心外的同阶元必共轭的有限群 2 1 引言和主要结果 w f e l t 和g m s e l t z 及张继平分别在【2 5 】和【2 6 】中独立地解决了s y s k i n 提出 的著名问题t 若有限群g 中任何两个同阶的元素均共轭，则g 掣1 ，岛，岛本章的目 的是推广这一结果 因为一个群的中心内的元素只能与自身共轭，所以我们自然考察下面的问题 若有限群g 的中心外的同阶元均共轭。g 有怎样的结构? 为了叙述的方便，称中心 外的同阶元均共轭的有限群为o d 群，满足1 z ( a ) 1 ，若g r 一1 1 2 3 2 5 7 ，则 口= 2 ，3 ，5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，2 9 ，3 1 ，4 1 ，7 1 ，1 2 7 且当口= 2 时r = 2 ，3 ，4 或6 ，g = 3 时 r = 2 或4 而对于g 的其它值均有r = 2 证明若q = 2 ，则口r 一1 为奇数于是g r 一1 1 3 2 5 7 ，得r = 2 ，3 ，4 或6 下设g 为奇素数若r = 2 t s ，其中s i 为奇数令d = ( 口2 ) s - i + ( ，) s - 2 + + ，+ l ，则q ，一i = ( q 2 一1 ) d 且d 为奇数因此由g r - 1 1 2 3 2 5 7 得d 1 3 2 5 7 ，直接验证 可得矛盾故r = 2 t 且由矿一1 = ( q 2 “1 + 1 ) ( ，- 2 + 1 ) ( 9 2 “3 + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( g + 1 ) 0 1 ) 整除2 d 3 2 5 7 得t 3 若q = 3 ，则由3 7 一l i 铲3 2 5 7 及r = ，t 3 得r = 2 或4 若口 3 且r = 2 = 4 或8 ，则总有g t l = ( 9 2 + 1 ) ( g + 1 ) ( q - i ) 整除2 d 3 2 5 7 若口一1 = 2 c ，则c = 2 或c 4 ，此时q 4 一i = ( 2 如1 + 2 c + 1 ) ( 2 c 一1 + 1 ) 2 c + 2 ，从而 ( 2 珏1 + 2 。+ 1 ) ( 2 c _ 1 + 1 ) 1 3 2 5 7 ，对c = 2 或c 4 都是不可能的同理q + 1 也不 能是2 的方幂这样9 2 + 1 ，q + 1 ，q 一1 都含有奇素因子且三者所含的奇素因子是两 两不同的，因此g 一1 = 2 。3 ，2c | 5 ，2 c 7 或2 c 3 2 若c = 1 ，则q = 7 ，1 1 或1 9 ，均 有9 4 1 不整除铲3 2 5 7 ，矛盾；若c 1 ，则q 十1 = 2 3 ，2 5 ，2 7 或2 3 2 ，得 q = 5 ，1 3 或1 7 ，同样可得矛盾 若q 3 且r = 2 ，q 2 1 l 铲3 2 5 7 类似于上面的推理由直接计算可得 q = 5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，2 9 ，3 1 ，4 l ，7 1 ，1 2 7 由文献【6 9 第9 4 页习题5 8 ，我们得到 引理225 若g 是任意有限群，则g z ( c ) 不为广义四元数群 在本章的证明中，我们将自由地利用下面几个重要结果( 参见【6 9 1 ) 引理22 6 设p 群g 只含一个p 阶子群，则 ( 1 ) 当p 2 时，g 为循环群 ( 2 ) 当p = 2 时，g 为循环群或广义四元数群 7 有限群的算术条件及其结构第2 章中心外的同阶元必共轭的有限群 引理2 2 7 如果换位子【n ，6 j 与n 和b 均可交换，则对一切自然数n 有 ( 口6 ) n ：口n 扩忙，n 】丛专尘 引理2 2 8 设g 为p 群且忍( g ) 循环，则 ( 1 ) 当p 2 时g 循环 ( 2 ) 当p = 2 时g 有一个指数为2 的循环正规子群 引理2 2 9 若g 是非平凡的o c - 群，则g 不是幂零群 证明反设g 是个极小的非平凡的幂零o c 一群，我们通过若干步来推矛盾 断言1 g 是冬群 证事实上，令日是g 的正规2 - 补，显然h z ( h ) 是有理群g z i g ) 的直因 子，故h z ( h ) 有理注意到非平凡的奇数阶群不能是有理群，因此h = z ( 日) ，于 是g = p h ，其中p 是非交换二群易见p 是非平凡的o c - 群。由g 的极小性 得g = p 下面我们总设e 卫p ( z ) = 2 ，百= c z 断言2 1 2 2 z i = 2 ，这里z = 五= z i g ) ，互+ 1 z i = z i g z , ) 证 由引理2 2 2g z 是有理2 - 群，所以z 2 厂z 是初等交换群若i z 2 z l = i 夏i 2 ，令瓦瓦使得。( - ) = 2 ，i = 1 ，2 ，3 ，z z 使得o ( x ) = e x p ( z ) = 2 ，则 2 o ( x a , ) 2 抖1 因此必有 黜1 ，x a 2 ，x a 3 中两个是同阶元，从而在g 中共轭，这 又推出它们在虿中的象也共轭，矛盾因此易z 是2 阶群 断言3 汤一z 中元都是2 1 阶元；从而对任意y g z 2 ，若y 2 z ，则 o ( 可) 2 且y z 中有g 的2 阶元 证若z 2 一z 中元不都是2 1 阶元，则由e x p ( z ) = 2 ，而一z 中有2 阶元z 令9 g 一彩，满足y 2 历，即y z 2 是g 面的对合注意到y z 2 中元不能与 z 共轭，因此y z 2 中无2 阶元，从而y z 2 中的元都是2 1 阶元( 否则，y z 2 中有 元! ，1 使得o ( m ) s2 ，取w z 使得d ( 叫) = 2 ，则d ( ! ，l ) = 2 且y l w y z ：，矛盾) ， 于是y 与磊一历的某个固定的2 h 1 阶元t 共轭，从而g 易中的对合都共轭。于 8 有限群的算术条件及其结构第2 章中心外的同阶元必共轭的有限群 是由引理2 2 6 ，c 历是循环群或广义四元数群再由引理2 2 5 ，g 易为循环群，但 此时c z 交换，从而历= g 是交换群，矛盾 断言4 e x p ( z ) = 2 再由断言3 得。历一z 中都是4 阶元；而对每l g 一忍， 若y 2 z ，则o ( u ) = 2 证若e x p c z ) = 2 4 ，令z 历一z ，y g 一忍使y 2 z ( 由引理2 2 5 ， 可取到这样的y ) 由断言3 ，d ( 硝) 鲈于是由引理2 2 7 得 1 = ( z ! ，) 妒= 护。可吵协，叫, 2 , - 1 ( 2 。一1 ) = 妒b ，叫2 k - 1 垆一1 ) = 妒。l y e , x 2 k - 2 舻一1 ) = 矛盾 断言5 忍z = 瓦不是循环群 证否则由引理2 2 8 ，召有一个指数为2 的循环正规子群亍令亍是2 m 阶循 环群，则易见g 的2 i ( 2 m + 1 ) 阶元都在? 一z 中，且g t 中无2 竹h 。2 阶 元( 否则c z 循环。矛盾) ，因此g r 中都是g 的2 阶元由条件这些g 一? 中 元要全共轭。这使得其类长为i a l 2 ，显然不能成立 断言6 z 3 z 是4 阶初等交换群 证首先，因为g 邑是有理群，