（等离子体物理专业论文）平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 等离子体的比压极限制约着托卡马克装置的效率，而先进托卡马克装置可以通过在 等离子体外加上理想导体壳从本质上提高比压极限，从而提高托卡马克装置的效率。但 是，理想导体在实际中是不存在的，导体壳中总会带有有限电阻。导体壳中的有限电导 会激发出新的不稳定模式。由于这种不稳定模式是由等离子体外的导体壳中有限电阻引 起的，有人称这种导体壳为电阻壁，称这种不稳定模式为电阻壁模式。这种不稳定模式 可以通过等离子体与电阻壁的相对旋转来稳定，但同时会引入一种新的不稳定性，称为 流驱动电阻壁不稳定性。这种大尺度磁流体模式的稳定对于环形磁约束等离子体装置是 十分必要的，尤其在i t e r 装置上要实现长时间放电，流驱动电阻壁不稳定性是必须面 对的问题。 本文在平板模型中分别考虑不可压缩的理想等离子体和带有粘滞的等离子体，用简 正模分析法得到其本征方程。从系统的本征方程出发，研究了流驱动电阻壁不稳定性的 性质及不同的壁参数和粘滞系数对其产生的影响。 第一章，简述了本课题的研究背景，介绍了磁流体不稳定性模式和研究等离子体不 稳定性的各种方法，着重介绍了电阻壁不稳定性的研究概况和研究意义。 第二章，考虑理想等离子体，从理想磁流体方程出发研究流驱动电阻壁不稳定性， 用简正模分析法给出了系统的本征方程，并用数值方法求出本征方程的全部解。从本征 方程的解得到两条增长率为零的等值线，其中一条为系统的稳定边界，另一条表示不稳 定窗的位置；在不稳定窗内，系统的增长率远高于不稳定区其他位置的增长率。 第三章，研究了电阻壁的参数对流驱动电阻壁不稳定性的影响。通过分析发现，电 阻壁位置对系统的稳定边界没有明显影响，但从不稳定窗的位置得到当电阻壁放置在足 够靠近等离子体的区域时，系统增长率较小，不稳定性增长更为缓慢；随等离子体平衡 流速的增大系统越不稳定，但可以通过改变电阻壁的位置使电阻壁不稳定性得到一定的 抑制；电阻壁主要用于稳定长波扰动，因此对于流驱动电阻壁不稳定性，短波扰动更容 易发展起来；电阻率对系统的稳定边界没有明显的影响，但随着电阻率的增大，电阻壁 扩散磁通的能力越强，此时系统不稳定区的增长率的值会越高。 第四章，采用简正模分析法研究粘滞对流驱动电阻壁不稳定性的影响。通过分析发 现，粘滞对激发流驱动电阻壁不稳定性的稳定边界影响不大，但是可以降低不稳定区内 增长率的值；对于带有粘滞的非理想等离子体，系统会出现第二稳定区；在带有粘滞的 非理想等离子体中，扰动频率会对系统稳定性产生一定影响，因此在用简正模分析法分 析时，频率皱不能再直接令为零。 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 最后，给出了本文的主要结论及以后工作的展望。 关键词：电阻壁；不稳定性；流驱动；平板模型 大连理工大学硕士学位论文 s t u d i e so nr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb yp l a s m af l o wi nas l a b m o d e l a b s t r a c t t h ee f f i c i e n c yo ft o k a m a ki sc o n f i n e db yt h eb e t al i m i ti nm a g n e t i cc o n f i n e m e n to f t o r o i d a lp l a s m a , a n dt h ec o n c e p to fa d v a n c e dt o k a m a kp r o p o s e dc a ni m p r o v et h ep l a s m a p r e s s u r et h r o u g hat h i np e r f e c tc o n d u c t i n gw a l la r o u n dt h ep l a s m a a n di tc a nl e a dt ot h e i n c r e a s eo ft h et o k a m a ke f f i c i e n c y h o w e v e r ，t h e r ei sn op e r f e e tc o n d u c t o r ，a n dt h e nan e w i n s t a b i l i t ym o d ew i l lb ee x c i t e db yt h ef i n i t er e s i s t i v i t yo fc o n d u c t o r t h i sc o n d u c t o rw h i c h h a sf i n i t er e s i s t i v i t yi sc a l l e dr e s i s t i v ew a l l ，a n dt h i sm o d ei sc a l l e dr e s i s t i v ew a l lm o d e r e s i s t i v ew a l lm o d ec a nb es t a b i l i z e db yw a l lr o t a t i o n ，a tt h es a m et i m ean e wi n s t a b i l i t yc a l l b ei n s p i r e db yt h i sr o t a t i o n ，w h i c hi sn a m e da sr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb yf l o w t h i s l a r g es c a l ei n s t a b i l i t yi sc r i t i c a lt om a g n e t i cc o n f m e m e n to ft o r o i d a lp l a s m a s ，e s p e c i a l l yt o i t e r i nt h i st h e s i s ，w es t u d yo nt h ec h a r a c t e r so fr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb yp l a s m a f l o wi ns l a bm o d e lf o ri d e a lp l a s m aa n dn o n i d e a lp l a s m aw h i c hh a sv i s c o s i t yr e s p e c t i v e l y w e o b t a i ne i g e n m o d ee q u a t i o n sb yn o r m a lm o d em e t h o d ，a n ds t u d yo nt h ee f f e c to fp a r a m e t e r so f w a l la n dv i s c o s i t yo nr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb y p l a s m af l o w i nc h a p t e r i ，r e v i e w so nb a c k g r o u n d ，m h di n s t a b i l i t ym o d e sa n dm e t h o d sf o r s t u d y i n gt h e ma r eb r i e f l yd i s c u s s e d ，i n c l u d i n gt h er e s e a r c hs i t u a t i o na n dn e c e s s i t yo fr e s i s t i v e w a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb yp l a s m af l o w i nc h a p t e ri i ，w ea d o p ti d e a lm h d e q u a t i o n s t os t u d yr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e n b yp l a s m af l o w ，g i v et h ee i g e n m o d ee q u a t i o nb yn o r m a lm o d em e t h o d ，a n dt h e no b t a i na l l s o l u t i o n so ft h i se i g e n m o d ee q u a t i o nt h r o u g hn u m e r i c a lm e t h o dd i r e c t l y a m o n ga l li s o l i n e s ， t h e r ea r eo n l yt w oo fw h i c ht h eg r o w t hr a t e sa r ez e r o o n eo ft h e mi ss t a b i l i t yb o u n d a r yo f s y s t e m ，a n dt h eo t h e rs t a n d sf o rt h el o c a l i t yo fi n s t a b i l i t yw i n d o w t h eg r o w t hr a t ei nw i n d o w i sh i g h e rt h a no t h e rr e g i o n si nu n s t a b l ea r e a i nc h a p t e ri l l ，t h ee f f e c to fp a r a m e t e r so fw a l lo nr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb y p l a s m af l o wi si n v e s t i g a t e d t h el o c a l i t yo fr e s i s t i v ew a l ld o e s n te f f e c to nt h es t a b i l i t y b o u n d a r yo fs y s t e mb u tt h ev a l u eo fg r o w t hr a t ei nu n s t a b l er e g i o n t h el a r g e rt h ep l a s m a f l o we q u i l i b r i u mv e l o c i t yi s ，t h em o r eu n s t a b l et h es y s t e mi s b u tt h ep l a s m af l o we q u i l i b r i u m v e l o c i t yc a nb es l o w e db yc h a n g i n gl o c a l i t yo fr e s i s t i v ew a l l r e s i s t i v ew a l li su s e dt o s t a b i l i z ep e r t u r b a t i v ef o rl a r g ew a v e l e n g t h , s ot h a tt h o s ep e r t u r b a t i v ef o rs h o r tw a v e l e n g t ha r e 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 e a s yt og r o wu p t h er e s i s t i v i t yo fw a l lh a sn oe f f e c to i ls t a b i l i t yb o u n d a r y ，b u ta b i l i t yi n m a g n e t i cd i f f u s i o ni ss t r o n g e rw h i l er e s i s t i v i t y i sl a r g e r , a n dt h e ns y s t e mi sm o r eu n s t a b l e i nc h a p t e ri v ，t h ee f f e c to ft h ev i s c o s i t yo nr e s i s t i v ew a l li n s t a b i l i t yd r i v e nb yp l a s m a f l o wi ss t u d i e d t h ev i s c o s i t yd o e s n te f f e c t0 1 1s t a b i l i t yb o u n d a r y ，b u tc a l ld e c r e a s et h ev a l u e o fg r o w t hr a t ei nu n s t a b l er e g i o n t h e r ei st h es e c o n ds t a b l er e g i o nf 1 0 rn o n i d e a lp l a s m aw h i c h h a sv i s c o s i t y b e c a u s eo ft h ev i s c o s i t y ，t h ep e r t u r b a t i v ef r e q u e n c ye f f e c t so nt h es t a b i l i t yo f t h es y s t e m ，s ot h a tt h ef r e q u e n c yc a n tb ee s t e e m e dt oz e r o f i n a l l y ，ab r i e fs u m m a r ya n df u t u r ew o r k se n dt h et h e s i s k e yw o r d s ：r e s i s t i v ew a l l ；i n s t a b i l i t y ；d r i v e nb ，yp l a s m af l o w ；s l a bm o d e ! 一i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他己申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：垩拯搓型主速壅盈皇堕壁丕煎度性鲍珏窒 作者签名： 盔垄j日期：q ! 年也月j 三日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 日期：竺盘年上乙月监日 日期：2 1 竺生年上兰月三日 大连理工大学硕士研究生学位论文 1绪论 1 1核聚变能源与高温等离子体 能源对社会发展起着重要的促进作用，同时也是社会发展的重要因素之一，人类生 活的衣食住行与能源都有着千丝万缕的联系，因此离不开能源的支持。能源已经称为推 动科学、技术、经济及社会高速发展的动力保障，同时人类对能源的需求量以不可思议 的速度增长。据联合国统计，在未来5 0 年内，世界人口将从现在的6 0 亿增加到9 0 亿n 】， 单单人口的持续增长，对能源的需求就造成巨大压力。在过去的1 0 0 年中，人类对能源 的研究和使用已从煤炭、石油等化石燃料的单一化结构，发展到以化石能源为主，核能 和水能互补的多元格局。化石能源不可再生，资源日益枯竭，而且给地球带来了巨大的 污染，这些因素都促使人们更加重视寻找洁净的可持续发展的新能源乜1 。中国是发展中 国家，其能源消费水平比世界平均水平低得多，约为日本的1 8 ，美国的1 2 0 。为了满 足生产发展、经济繁荣、人口增长对能源需求的增加，我国的能源生产必须迅速发展1 ， 加速新能源开发势在必行。 1 1 1 核聚变能源 科学家早就认识到，要解决人类的能源问题，核能是很好的解决途径。核能是能源 家族的新成员，包括核裂变能和核聚变能两种形式。 将重核分裂成质量数中等的原子核，称为重核的裂变，又叫做核裂变。核裂变是1 9 3 8 年由德国科学家哈恩和斯特拉斯曼发现的。他们用中子轰击铀原子核，导致了铀原子核 的裂变。可见，快速中子的轰击是实现核裂变的条件。在重核裂变时，放出新的中子， 新中子又引起其它重核裂变。这种不断进行的核裂变反应，称为链式反应。重核材料( 如 含铀的同位素2 3 8 u 和2 3 5 u 的材料) 能够产生核裂变链式反应的最小体积，称为重核材 料的临界体积。重核材料的体积一旦超过其临界体积，核裂变链式反应就迅速进行，同 时在极短的时间内释放出巨大的能量，引起猛烈的爆炸。重核在核裂变反应过程中释放 出的巨大能量，称为核裂变能。例如，1 克2 ”u 完全裂变所释放的核裂变能，相当于2 4 吨煤完全燃烧所释放的化学能【4 1 。用低2 3 5 u 浓度的核原料进行裂变反应时，为使裂变反 应持续稳定的进行，一个裂变2 3 5 u 原子核产生的更多中子中只有一个能撞上另一个未反 应的2 3 5 u 原子核，其他多余的被减速至无法引发裂变反应或逃逸、或被吸收，称其为受 控核裂变。但是，目前世界上裂变需要的铀等重金属元素在地球上含量稀少，而且，常 规裂变反应堆会产生放射性较强的核废料，这些因素限制了裂变能的发展。 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 另一种核能形式是目前尚未实现商用化的聚变能。核聚变是两个较轻的原子核聚合 为一个较重的原子核，并释放出能量的过程。聚变能是一种无限的、清洁的、安全的新 能源。首先，单位质量的氘聚变所放出的能量是单位质量的2 3 5 u 裂变所放出的能量的4 倍左右，即单位质量的氘核聚变时放出的能量多，这是聚变反应作为潜在新能源的突出 优点之一。如果将它跟化石燃料相比，则优点更为突出，聚变的燃料氘资源丰富，贮存 在自然界的水中，地球上总水量( 主要是海水) 约1 4 0 亿亿m 3 ，每升海水中含0 0 3 9 氘，如果完全燃烧，1 l 海水可产生相当于3 0 0 l 汽油的能量。氚可以从锂得到，而锂在 地球上的储量是十分丰富圈。我国可采的锂有数百万吨。聚变反应产生一万亿度电只需 1 0 0 吨锂。因此受控核聚变一旦实现，这一聚变新能源可供全世界享用亿年。同时核聚 变能又是一种洁净安全的能源。聚变燃料是按一定的速度和数量加入的，任何时候在反 应室内的燃料数量都不大，在进行核聚变反应时，即使失控也不会产生严重事故。此外， 它不产生二氧化碳和二氧化硫等有害气体，也不会像核裂变反应堆那样产生大量裂变产 物，特别是半衰期长的锕系元素。核聚变的反应产物是无放射性的惰性气体氦，而且反 应过程中不产生长寿命的放射性废物，产生的放射性物质只能是泄漏的微量氚和弱辐射 中子激活的某些材料，半衰期也很短，对环境没有严重的污染问题。这就是世界各国尤 其是发达国家不遗余力，竞相研究、开发聚变能的原因所在。 1 1 2 实现核聚变的途径 聚变反应需要数亿度的高温条件，这时原子核正以极高的速度作无规运动，这些粒 子具有极高的能量，目前主要有两种约束方式将它们约束住：惯性约束聚变和磁约束聚 变。 惯性约束聚变除具有长远的能源意义外，还在国防和科学等方面具有重要的应用。 惯性聚变 3 1 是依赖物质惯性压缩、加热热核燃料，使之发生热核反应，释放能量的过程。 自从2 0 世纪6 0 年代激光问世以来，科学家就设想用它实现热核聚变，并逐步具体化。 它的最终目标是为人类提供干净、丰富的能源。惯性约束聚变的核心是内爆，驱动源在 靶丸表面沉积能量，加热表面一层物质生成热等离子体，它向外快速膨胀，由于动量守 恒产生向靶丸内部传播的冲击波，这就是烧蚀过程，这一烧蚀过程引起聚变靶丸的聚心 运动，称为内爆。通过内爆增压使热核燃料达到高能量密度状态。 磁约束聚变经过半个多世纪的各国科学家的努力研究，在投入了几百亿美元的经费 和大量人力，克服了很多科学和技术难题后，科学家终于验证了它的科学可行性。磁约 束聚变主要是通过电磁场对等离子体的作用，将高能粒子箍缩在一定区域内，从而实现 聚变。我们将在下一节中稍详细地介绍磁约束聚变。 - 2 - 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 2 磁约束聚变和托卡马克装置的磁场位形 1 2 1 磁约束基本原理 磁场对等离子体的约束能力在于磁场与等离子体之间的相互作用力。这些作用力包 括三个方面，即磁场对等离子体中每个带电粒子的洛仑兹力；以及由此对等离子体产生 的宏观效果磁应力；当等离子体中有电流通过时，除外加磁场产生的作用力外，电流本 身产生的磁场还会产生一种箍缩力垆j 。 洛仑兹力即垂直于磁场，也垂直于带电粒子的运动方向，带电粒子在该力的作用下 作匀速圆周运动。当磁场足够强时，带电粒子的回旋半径很小，实际上等离子体中的带 电粒子就像粘在磁力线附近一样。磁场的洛仑兹力可以在垂直于磁场的方向将等离子体 约束住，但是在平行方向上带电粒子却是自由的，它可以沿磁力线损失掉，这是它致命 的弱点。 磁应力是等离子体的整体感受到的磁场给予的宏观作用力，又叫磁张力，它包括磁 拉力和磁压力两部分。在不受外力的情况下，磁力线分布的形状总是使得磁力线上各点 都不再受力，也就是磁力线上每一点的总磁张力为零。如果磁场连续地分布在等离子体 内外时，由于磁张力在平衡状态下处处为零，因此无论在等离子体边界上或是等离子体 内部都感受不到磁张力的约束。所以，要使磁张力能够约束等离子体，就必须使磁场在 等离子体内外有个不连续的跳跃。也就是说，在磁约束等离子体中必须使磁场和等离子 体之间有一个明确的分界面，等离子体中没有磁场，磁场中也没有等离子体。于是在它 们的界面上就只存在从磁场指向等离子体内部的磁张力，造成相应的磁压强。和它相平 衡的是从等离子体内部指向磁场的热压强。 在等离子体中施加电场后，电子和离子在相反方向上被加速，这些离子通过碰撞而 损失掉电场方向的速度，最后达到平衡，维持一个稳定的速度。由于电子质量小、速度 大，因此就会形成等离子体电流，产生自收缩效应或箍缩效应，这是由电流本身产生的 磁场对自己的洛仑兹力。 磁场就是通过以上几种效应来约束等离子体的。 1 2 2 磁约束聚变装置 在核聚变研究的发展过程中，为了探索能够较好地约束住等离子体的磁场位形，曾 经提出了各种各样的方案，建成了种类繁多的各种聚变实验装置1 5 】。这些装置都有各自 的优缺点。经过几十年的发展历史，有些早期提出的实验装置已完成了使命，有些己演 化成其它装置。例如早期的天体器、漂浮器、直线的角向箍缩和z 箍缩，带状箍缩装置 等目前已经基本上退出了聚变研究的舞台。目前托卡马克装置在各类装置中独占鳌头， 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 受到最广泛的重视，取得了十分重大的进展。仿星器也在继续发展。磁镜系列的装置也 有几种不同类型，其中串列磁镜较受重视。箍缩类装置中的环形反向场箍缩装置也有较 大进展，受到更多人的重视。此外，还有各种类型的紧凑装置如球马克装置等也在继续 探索中。 1 。2 3 托卡马克装置及其磁场位形 在磁约束核聚变的研究过程中，托卡马克装置取得了十分重大的进展，因此受到最 广泛的关注。 5 0 年代初期，苏联物理学家萨哈洛夫和塔姆【6 1 ，美国物理学家斯必掣7 】分别独立地 提出了这样一个想法，由环形方向通过大电流感应产生的极向磁场和很强的纵向磁场结 合起来，有可能建立等离子体的平衡位形。这就是后来建造托卡马克装置的基本思想。 5 0 年代中期，库尔恰托夫研究所的物理学家阿奇莫维奇带领一个小组开展了小型托卡马 克装置的实验研究。“托卡马克 一词俄文中意为“环形真空磁笼”的几个词的开头字 母的缩写词1 5 l 。 托卡马克装置的磁场位形主要是由纵向磁场和极向磁场两部分构成的，如图1 1 所 示。纵向磁场是由一系列圆环形线圈并联组成的纵场线圈产生的。极向场是等离子体电 流产生的。托卡马克磁场位形的重要特点之一是纵向磁场比极向磁场强好几倍。合成后 的磁场具有螺旋结构，其螺距大于托卡马克大环的周长，如图1 2 所示，此时磁力线是 空间曲线。因此，这种空间曲线将在某种曲面上来回缠绕，有时一条磁力线还可以经无 限多次缠绕后自身形成一个曲面，这种曲面只能是拓扑环面1 8 】，我们称其为磁面。 一般情况下磁力线沿大环方向转一周后都不会闭合，这种性质成为托卡马克磁力线 的旋转变换性。如果磁面上某根磁力线沿大环方向绕n 圈，同时沿小环方向转m 圈，当 n m 为有理数时，说明磁力线回到原始出发点，磁力线闭合，这样的磁面称之为有理磁 面。如果r g m 为无理数时，则磁力线始终不能闭合，该磁面为无理磁面。在托卡马克装 置中，磁流体不稳定性一般发生在有理磁面上。通常称q - - m n 为安全因子，它是用来划 分磁约束装置类型的一个重要参数【5 】。托卡马克装置的大环半径要远大于小环半径，因 此在计算过程中，通常将轮胎形的托卡马克装置拉直，近似为圆柱模型，在柱坐标系下 对其进行研究。考虑圆柱为无限长且为简化计算位形，最终可在轴对称的平板模型下进 行研究。 人连理工大学硕士研究生学位论文 轴千体8 鼍跳目钢早体纵场线圈 图1l 托卡马克装置的示意图，摘自文献 9 f i g 11as k e t c ho f t o k a r n a ke q u i p m e n hf r o mr e f 9 t o k a m a k s t r o n gt o r o i d a lm a g n e t i cf i e l d 图12 托卡马克装置中磁场位形的示意图，摘自文献【i 0 】 f i g i2as k e t c ho f m a g n e t i cc o n f i g u r m i o n i n t o k a m a ke q u i p m e n ta d a p t e d f r o mr e f 1 0 】 1 3 磁流体不稳定性模式 一个处丁力学平衡状态的系统，当它受到某种扰动而偏离平衡态时，系统可能越来 越偏离平衡忐，最后导致平衡志的破坏，也可能很快就将扰动抑制而回到平衡态。前者 是不稳定的平衡，后者是稳定的平衡。 等离子体通常处于高度非热力学、r 衡状态，而系统偏离热力学甲衔的方式和层次_ 自 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 几种：( 1 ) 粒子的局域速度分布函数不是麦克斯韦型；( 2 ) 不同粒子种类之间未达到热平 衡，各成分的温度不同；( 3 ) 粒子密度的空间分布不均匀，或未达到玻尔兹曼分布。非 热( 力学) 平衡系统走向热平衡方式可以有多种，可以以扩散、输运等缓和、渐变的热 力学过程来实现，但也可以是以涉及整体的、剧烈的不稳定性过程来达到。不稳定性是 指系统扰动随时间指数增长的物理过程，其驱动的根本因素就是系统偏离热力学平衡的 自由能，在不稳定性发展的过程中，自由能得到释放，最终化为系统的无规热运动能量。 等离子体不稳定性丰富多彩，有多种不同的分类方法。按照偏离热力学平衡的方式 其可以分成： ( 1 ) 宏观不稳定性。此时体系粒子之间达到了麦克斯韦分布，但空间处于非均匀状态， 宏观不稳定性导致粒子宏观整体的运动，可以用流体模型来描述，故也称为磁流体( m h d ) 不稳定性； ( 2 ) 微观不稳定性。此时体系的粒子速度分布不是热平衡的麦克斯韦分布，或各种粒 子总的速度分布未达到热平衡的分布。微观不稳定性涉及的是速度分布空间，不是我们 所感知的实空间，所考虑的出发点是微观的粒子速度分布，故有“微观 之称。微观不 稳定性一般用动理学( k i n e t i c ) 理论描述。 一般而言，宏观不稳定性发展比较剧烈，但微观不稳定性的发展也会显示出宏观效 果。如果需要控制系统的不稳定性，那么首先应关注宏观，然后才是微观n 1 1 。下面介绍 几种典型的磁流体不稳定性模式。 ( 1 ) 瑞利一泰勒不稳定性拍】 这是一种经典的流体不稳定性。因为这种不稳定性是由重力驱动的，故又称重力不 稳定性。当流体的密度梯度方向与受到的重力方向相反时就会产生不稳定性，说明质量 较重流体在上面而质量较轻流体在下面的这种平衡是不稳定的。只要有微小扰动，就可 以破坏原来的平衡状态，直到达到另一种新的平衡为止。此时重流体在下而轻流体在上， 正好与原来交换了位置，所以这种不稳定性又叫做交换不稳定性。 在磁约束等离子体中也存在瑞n - 泰勒不稳定性。当磁场梯度与等离子体密度梯度 相同，即v p o 0 时，就会产生不稳定性。磁力线是凹向等离子体时，这种曲率被 称为“坏曲率”；当磁力线是凸向等离子体时，系统是稳定的，称其为“好曲率 。 ( 2 ) 开尔文一亥姆霍兹不稳定性n 2 1 开尔文一亥姆霍兹不稳定性是适用于等离子体动力学的一种经典流体不稳定性，它 是由速度剪切激发的，如图1 3 所示，两种流体作平行相对运动，对于沿流速方向的小 扰动，运动流体是不稳定的，称为开尔文一亥姆霍兹不稳定性。如果在流速方向存在一 个平行于分界面的磁场，则它对沿流速方向的小扰动有致稳作用。如果两种流体流速差 琏理r 大学颂 + ，牛学位论文 引起的失稳作川大于磁场的致稳作用，就出现磁流体力学开尔文亥姆霍兹不稳定性。 祚天体物理领域，经常出现这种不稳定性的现象。 斋矗；7 7 7 。7 _ 丌7 聊 互李 q j 十 幽13 开尔文亥姆霍兹不稳定性，摘自文献1 2 f i g13 k e l v i nh e l m h o l t zi n s t z b i l i t ya d a p t e df r o mr e f 【1 2 】 1 ， h14 腊胼不稳定陡，摘自文献 5 1 f i g i4 s a u s a g ei n s t a b i l i t y ，f r o mr e f _ 【5 】 图l5 扭曲不稳定性，摘自文献1 5j f i g i5k i n ki n s t a b i l i t y ，f r o mr e f 【5 】 ( 3 ) 扭曲小稳定性“1 考虑在个平衡半径为n 的等离子体直圆柱，流过等离了体的电流，。冉j 柱面r 产佳 的极向磁场为b o ，= “，。2 a 。如果等离子体内部没有纵向磁场，这个平衡足不稳定的。 假定由j 某种扰动使某处的半衽口略微娈小，即发牛局部颈缩现象。f r _ 丁极向场鼠，、f 崎 。黟 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 径成反比，该处的磁场增加，磁压强霹2 增大，产生了一个指向中心的力。结果使该 处的半径a 进一步缩小，起始扰动进一步增长。由于这种不稳定性使等离子体柱变成腊 肠状( 图1 4 ) ，因此称之为“腊肠”不稳定性。 如果平衡的等离子体柱受到扰动后发生局部微小弯曲，则由于凹边的极向磁场增 加，凸边的极向磁场减小，由此引起的磁压强差将使初始扰动进一步增长。这就是扭曲 不稳定性，如图1 5 所示。 t - o l l t = t 2t _ t 3 图1 6 磁场重联示意图。摘自文献 1 3 f i g 1 6 as k e t c ho f m a g n e t i cr e c o n n e c t i o n a d a p t e df r o mr e f 【1 3 ( 5 ) 撕裂模不稳定性 所谓磁场重联，是指具有有限电导率的磁等离子体中，电流片中的磁力线自发或被 强迫断开和重新联结的过程，伴有磁能的突然释放并转化为等离子体的动能和热能，引 起带电粒子的加速和加热n 3 1 ，图1 6 给出了磁场重联过程的示意图。当等离子体电阻率 为零时，磁场与等离子体将相互“冻结 ，此即完全导电近似。当等离子体的电阻率不 为零时，必须要考虑磁扩散的影响。有限电阻率不仅仅会引起电流耗散和产生欧姆加热， 更重要的是它解除了理想方程组的某些约束，从而允许等离子体有可能到达一种比原来 更低的势能态，引起新的不稳定性。由于有限电阻影响而产生的不稳定性称为电阻不稳 定性，这时磁力线不再与等离子体“冻结 在一起，磁力线可以断开并重新联结，形成 若干个称为磁岛的约束，且使得输运增强。这种由于有限电阻效应导致磁力线撕裂和形 成磁岛的不稳定性过程，又称为撕裂模不稳定性n 引。 1 4 研究等离子体不稳定性的几种分析方法 研究等离子体不稳定性，通常采取直观分析法、简正模分析法、能量原理及数值求 解等几种方法，下面对这几种方法作简单介绍。 ( 1 ) 直观分析法n - 8 - 大连理工大学硕士研究生学位论文 直观分析法是给平衡位形以某种扰动后分析作用于等离子体上的力的变化，如果扰 动引起的作用力使起始扰动增长，则等离子体是不稳定的，反之则为稳定。但是这种分 析方法给不出不稳定性的增长率等信息，只能帮助人们了解不稳定性的物理机制，并且 是进一步理论分析的基础。 ( 2 ) 简正模分析法6 1 简正模分析法是将不稳定性的增长作为本征问题来处理的一种方法。先将描述所研 究对象的状态量写成平衡量( 零级量) 和扰动量( 一级小量) 之和，然后把它们代入所用的 磁流体力学方程组，从中减去平衡方程并略去二级小量就得到了线性化的方程组。对这 些方程作( 时间) 拉氏变换和( 空间) 傅氏变换么( r ，r ) = 以je x p ( i k r f 耐) 后可能出现下列 几种情况： ( i ) 全空间坐标都能进行傅氏变换。这样线性微分方程组就变成了线性的齐次代 数方程组，它的有非凡解的条件( 系数行列式为零) 就给出了关于国= 国( 霓) 的色散关系。 ( i i ) 只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程组。 这时要设法先得到它的通解，然后利用边界条件或连接条件也可以得到国= 彩( 七) 的色散 关系。 ( i i i ) 所得出的约化微分方程如果是奇异的，如连续谱a l f v c n 波所满足的方程 丢im ) 丢卜g ( x ) 沙= o ( 1 1 ) 它有非凡解的条件是厂( 而) = 0 ，由此可以得到连续a l f v c n 波的色散关系。 在得到了色散关系后，如果复数频率的虚部i m ( c o b 0 ，相应的波就是随时间指数 增长的，也即为不稳定的波；如果i r a ( o , 1 = 0 ，则相应的波是幅度不随时间变化的普通 稳定波；而当i l l l ( 彩) 彻( 删 将磁通函数代入方程( 2 2 8 ) ，得到内真空与外真空的连接条件， 警l 撕一尝l d = 一苦儿 功 其中，g = ( 熊砸) 一。 2 2 4 边界条件 在前几节中我们给出了各个区域磁通函数的表达式，为确定其系数， 的边界条件及各个区域之间的连接条件： ( 1 ) 在等离子体区中心处，即x = 0 处，采用对称边界条件： 。0 弘：0 ， 下面给出系统 ( 2 3 0 ) ( 2 ) 在等离子体区与内真空区的交界面上，即x = 三处，采用磁压平衡及磁通连续 作为连接条件： 警l = ， ( 2 3 1 ) r 其中磊为真空区的平衡磁场，将磁通函数代入方程( 2 3 1 ) ，从方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 9 ) 解出 扰动压强飙的表达式，代入方程( 2 3 1 ) ，则x = 三处的连接条件为： 咿七w ) 2 剖心= 圪啊剖 ( 2 3 2 ) l = b = ， ( 2 3 3 ) ( 3 ) 在电阻壁假设薄壁近似，应用方程( 2 2 9 ) 将内真空与外真空连接起来，并考虑 磁通连续： 平板模型中流驱动电阻壁不稳定性的研究 魏一面a g 卜一瓢 亿3 4 ， 少i = y l + 占= ( 2 3 5 ) y i ，= 0 ( 2 3 6 ) 2 3 本征方程 肘= 0 ， ( 2 3 7 ) 其中，沙肼为等离子体区与内真空区的交界面上的磁通，且 m = l 叼后2 一( 缈一后) 2l t a n h k l + v a i a k 2c o t h k d 碱酽繇与丽1 其中吃= 霹厶岛，吃为真空区的a l f v 6 n 速度。 已知等离子体与内真空区交界面处的磁通y 胛不能为零，因此只能令膨= 0 ，从而 p 2 - ( 6 0 - ，v o k ) 2 1 2 i k c w 、+ c o ( 1 - 1 e 删) 枞 + 4 i - 硒k 2e o ( i + p - 2 材) + 2 慨 = 0 p 叫 其中表示等离子体比压，取= 0 0 2 。长度、密度和磁场强度分别用l 、p o 和s o 来 进行无量纲，其中l 为x 方向上等离子体区域的宽度，p o 和s o 分别为等离子体密度的 平衡量和磁场的平衡量。另外，在等离子体区和真空区的a l f v o a 速度分别用圪和i ；：i 来 表示，其中圪= 鼠以丽，且吃= 磊瓦石，并且考虑到等离子体比压，可知两个区 域a l f v 6 n 速度的关系为吃= 币干矾。 人连理1 = 太学硕士研究生学位论文 l 文献 3 8 对比，我们只得到了其中一个本征方程。原因正是在前面提到过的，考 虑到在实际的托卡马克实验装置r f l 都是关于磁轴轴对称的，反对称条件没有实翰、意义， 因此我们在计算时在等离子体中心处去掉了反对称的边界条件。 24 结果与讨论 24 1 本征方程的解 v e e r e s h a 等人研究了系统的稳定边界，并且给出了系统稳定边界的表达式“2 1 ： v 0 2 = 嵋+ 吒圪c o t h k l ( 23 9 ) 但是，在推导稳定边界时，他直接将直接设为零。然而，直接反映系统不稳定性 的增长率的是c o 的虚部，但此时对应的的实部不一定为零，然而非零的扰动频率反过 柬又会对系统的增长率造成一定的影响。 周此，为真实的讨论此时系统的稳定性情况，我们将吐) 分为实部和虚部，虚部代表 系统的增长率，用r 表示，实部为扰动频率，用m ，表示。系统的本征方程( 23 8 ) 是关于 。的一元三次方程，因此c o 会有三个解，为方便表述，分别用1 、 2 和3 标 记。 图25 【削定参数d = 0 1 和t = ix 1 0 一，在闺25 a 和倒25 b 中分圳绘出和 随等离子体平衡流 速h 和扰动波数 的变化曲面。 f i g2 5 f o r f i x e d t h ep a r a m e t e r sd = 0 1a n d 巴= j 1 04 ，p l o tq ，a n d v a r y i n g w i t hp l a s m a f l o w e q u i l i b r i u mv e l o c i t y v o a n dp e r t u r b a t i o nw a w n u m b e r i nf i g2 5 aa n df i g2 , 5 b r e s p e c t i v e l y 一舞匆 平板模型中流驰动 u m 譬币稳定性的研究 令d = 01 和o 。= lx 1 0 。为定值，用打靶法数值求解本征方程( 23 8 ) 的扰动频率啡和增长率，随等离子体平衡流速和扰动波数k 的变化曲面 2 52 7 中给出。 得到三个解 ，分别在图 幽27 m 定参数d = o i 和q = i x l 04 - n ：吲27 e 押i 图27 f 中分别绘出m ，和 随等离子体平衡流 速v o 雨i 扰动波数t 的变化曲面。 f i g2 7 f o r f i x e d t h ep a r a m e t e r sd = 0 ia n d 0 = l 1 0 4 ，p l o t 吐，a n d v a r y i n g w i t hp l a s m a f l o we q u i l i b r i u mv e l o c i t yha n dp e r t u r b a t i o nw a v e n u m b e rti nf i g27 ea n df i g2 7 f , r e s p e c t i v e l y 大连理工大学硕士研究生学位论文 图2 5 显示本征值方程的第一个解随等离子体平衡速度和扰动波数的变化关系。图 2 5 b 中的乃均为负值，说明这支解是稳定的，其对系统的不稳定性没有贡献，因此本 文对第一个解不做讨论。 图2 6 和图2 7 分别给出了本征方程的第二个解和第三个解随和k 的变化曲面。 从图中可知两个解的增长率都有正值，而其对应的实部是不为零的，尤其是第二个解的 实部鳞的值很大，在图2 7 e 中给出。因此在计算系统增长率的过程中，我们有必要对q 也做一定的讨论。 2 4 2 系统的稳定边界及不稳定窗 我们在图2 6 d 和图2 7 f 的底面上给出了增长率为零的等值线，用以分析系统的稳 定性及确定系统稳定边界的位置，其中图2 6 d 中显示乃= 0 的等值线有一条，而图2 7 f 中殇= 0 的等值线有两条。为便于说明，我们将两幅图增长率为零的等值线同时取出， 在图2 8 中给出。 图2 8 在( 七，v o ) 平面上，本征方程第二个解托= o 和第三个解乃= o 的等值线，其中分别用s 2 和u 2 标记第二个解的稳定区域及不稳定区域，用s 3 和u 3 标记第三个解的稳定区域和不稳定区域。 f i g 2 8 t h ei s o l i n e so f 尼= oa n d 乃= oi n ( 七，1 , o ) p l a n