（计算数学专业论文）线性矩阵方程的分组迭代解法.pdf

摘要 在系统控制等工程研究领域， 经常遇到l y a p u n o v 矩阵方程a x+ x b= f和 a x b 十 c x d = f 以 及 一 般 线 性 矩 阵 方 程 艺戌 x b ., 二 f 的 求 解问 题 自 动 控 制 系 = 1 统最重要的一个特征是稳定性问题， 它表示系统能妥善地保持预定工作状态， 耐 受各种不利因素的影响， 因此这类矩阵方程在系统的稳定性理论， 极点配置等方 面具有重要的意义.在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式 r u n g - k w tt a 方法和块方法中， 需 要 求解矩阵 方程a x+ x b = f. 在设计观察 器的 计算中， 求解矩阵方程a x+ x b= f往往是最关键的一步. 此外， 在广义特征值 问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中，经常遇到矩阵方程 a x b + c x d = f的求解问题. 本文讨论这三类线性矩阵方程惟一解的分组迭代解法. 对三类矩阵方程的几 类迭代格式的分组迭代解法，主要解决了如下几个问题: 首先， 建立了求解线性矩阵方程.a x+ x b= f的j a c o b i 方法、 j g s 方法、 拟 - j g s 方法、块一 j a c o b i 方法、块一 j g s 方法的分组迭代格式，根据求解线性方程组 的j a c o b i 格式和j g s 格式收敛的条件导出了求解矩阵方程. a x + x b二 f的j a c o b i 迭代格式收敛的一个充分条件和一个充要条件， j g s 迭代格式收敛的两个充分条 件， 并且讨论了 拟一 j g s 方法、块一 j a c o b i 方法、块一 j g s 方法的分组迭代格式收敛 的两个充分条件. 然后，建立了求解线性矩阵方程a x b十 c x d二 f的j a c o b i 方法、 j g s 方法、 拟一 j g s 方法、块 j a c o b i 方法、块一 j g s 方法的分组迭代格式，导出了 求解矩阵方 程a x b + c x d = f的j a c o b i 迭代格式收敛的一个充要条件， j g s 迭代格式收敛 的一个充分条件，讨论了拟一 j g s 方法、块一 j a c o b i 方法、块一 j g s 方法的分组迭代 格 式 收 敛 的 一 个 充 分 条 件 . 并 将 上 述 结 果 推 广 到 一 般 线 性 矩 阵 方 程 乞 a ,x b , = f j = 1 的情形.最后，通过算例对所述分组迭代方法进行了数值比较. 关键词矩阵方程，分组迭代解法，拟一 j g s 方法，块一 j a c o b i 方法， 块一 j g s 方法 ab s t r a c t i n c o n t r o l t h e o ry a n d o t h e r e n g i n e e r i n g f i e l d s ,切a p u n o v m a t r i x e q u a t i o n s a x 十 x b = f、a x b 十 c x d = f a n d 艺 人 城 一 f a r e n e e d to b e s o lv e d . a s ， -, s t a b i l i t y i s a n i m p o rt a n t c h a r a c t e r i n c o n t r o l t h e o r y， it d e n o t e s t h a t s y s t e m c a n c o n s e r v e r e s e r v e d w o r k i n g c o n d i t i o n s a n d r e s i s t e ff e c t s o f a l l k i n d s o f d i s a d v a n t a g e f a c t o r s . ma t r i x e q u a t i o n a n + x b= f h a s i m p o rt a n t m e a n i n g i n s y s t e m s t a b i l i t y a n d s p o t d e v ic e s . i n c o n s t a n t s t u d i e s o f o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d b l o c k a n d r u n g - k w tt a a p p r o a c h o f s o l v i n g o r d i n a ry d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s , m a t r i x e q u a t i o n a x+ x b=f i s m e n t i o n e d . s o lv i n g m a t r i x e q u a t i o n s a x+ x b= f i s k e y t o t h e c o m p u t a t i o n o f o b s e r v e d e s i g n . f u r t h e r m o r e , i n d i s t u r b a n c e s t u d i e s o f g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e s p r o b l e m a n d c o m p u t a t i o n a l s o l u t i o n s o f o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s , m a t r i x e q u a t i o n a x b+ c a 刀= f i s o ft e n n e e d t o b e s o l v e d . i n t h i s p a p e r , i t e r a t i v e m e t h o d in g r o u p s f o r s o l v i n g t h e s e t h r e e m a t r i x e q u a t i o n s i s s t u d i e d w h e n t h e e q u a t i o n h a s d e s c r i b e d as f o l l o ws : a u n i q u e s o l u t i o n . t h e ma i n c o n t r i b u t i o n s a re f ir s t o f a l l , i t e r a t i v e m e t h o d i n g r o u p s j a c o b i . j g s、 q - j g s、b - j a c o b i a n d b - j gs i t e r a t i v e i n g r o u p s f o r s o l v i n g m a t r i x e q u a t i o n s a x+ x b= f i s c o n s t r u c t e d . a c c o r d i n g t o i t s c o n v e r g i n g c o n d it i o n s o f j a c o b i a n d j g s m e t h o d s o f l i n e a r a l g e b r a ic e q u a t i o n , w e o b t a i n a s u ff i c ie n t c o n d i t i o n a n d a i t e r a t i v e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o nj a c o b i m e t h o d c o n v e r g e a n d t w o s u ff i c i e n t c o n d i t i o n s wh i c h j gs c o n d i t i o n s wh i c h j gs, i t e r a t i v e m e t h o d c o n v e r g e , m o re o v e r , w e d i s c u s s t w o s u ff i c i e n t q - j g s、b - j a c o b i a n d b - j g s i t e r a t i v e m e t h o d c o n v e r g e t h e n , i t e r a t i v e m e t h o d i n g r o u p s j a c o b i . j g s . q - j g s . b - j a c o b i a n d b - j g s i t e r a t iv e m e t h o d i n g r o u p s f o r s o l v i n g m a t r i x e q u a t i o n s a x b+ c x d二 f i s c o n s t r u c t e d . w e d e r i v e a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n a n d a n e c e s s a r y a n d s u ff i c i e n t c o n d i t i o n w h i c h j a c o b i i t e r a t i v e m e t h o d c o n v e r g e s a n d o n e s u ff i c i e n t c o n d it i o n w h i c h j g s i t e r a t i v e m e t h o d c o n v e r g e s .f u r th e r m o r e , w e d i s c u s s a s u ff i c i e n t c o n d it i o n w h i c h j g s、q - j g s 、b - j a c o b i a n d b - j g s i t e r a t i v e m e t h o d f o r s o l v in g m a tr ix e q u a t i o n s a x b + c x d二f c o n v e r g e . t h e s e r e s u lt s a r e e x t e n d e d t o s o l v e g e n e r a l i z e d m a tri x e q u a t io n 艺a ,x b , = 二. c o m p a r e d b y n u m e r i c a l e x a m p l e s . f in a l l y , t h e s e i t e r a t i v e m e t h o d s i n g r o u p s a r e k e y w o r d s m a t r ix e q u a t i o n , i t e r a t i v e m e t h o d i n g r o 叩s , q - j g s m e t h o d , b - j a c o b i me t h o d , b - j gs me t h o d a 西北 f 业大学o ll t 学位论文 第一章序言 夸 1 . 1 引 言 考 虑l y a p u n o v 矩阵 方 程 【 1,2 1 月x +x召二f ( 1 . 1 ) 其中x e r 为所求的未知矩阵，ae r , be r , fe r ” 为已知矩阵， 方程( 1 . 1 ) 在常微分方程的定性研究、 稳定性 理论、 极点配置等方面具有重要的意 义. 在数值求解常微分方程的隐式 r u n g - k w t t a方法和块方法中，也需要求解方 程( 1 . 1 ) . 在设计观察器的计算中， 求解矩阵方程往往是最关键的一步. 在广义特 征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中，经常需要求解矩阵方程 axb+c x 刀 =f . 周硕等在1 9 8 4 年利用矩阵相似变换及约当 分解，给出一般形式的李雅普诺 夫矩阵方程的一种分类方法和有解的充分必要条件及解的具体表达形式， 并且提 出了方程解的特征确定法. 1 9 8 9 年， 丘 海明 等就方 程( 1 . 1 ) 的 情况 进行了 讨论， 并 给出了 ( 1 . 1 ) 的显 示 解法. 1 9 9 5 年， 王志忠就方程( 1 . 1 ) 有无穷多个解和无解的 情况进行了讨论， 给出 了 方程( 1 . 1 ) 有解的充分必要条件及其解的算法1 1 1 1 9 9 6年， 慕德俊等提出了 矩阵方程( 1 . 1 ) 的一种递推方法，用于并行求解方 程， 该方法首先用并行的q r方法， 对实矩阵a , b 进行正交相似变换将它们变成 上h e s s e n b e r g 矩阵， 然后阵列结 构并 列求解x， 对矩阵 方程a x b 十 c x d= f 的 并行计算也进行了 简要分析. 这种递推算法可以 用脉动阵列结构并行实现， 该算 法和结构还可求解其它几种类似的线性矩阵方程， 特殊情况下求解矩阵方程的阵 列结构可进一步简化.仿真结果表明，这种并行算法有较高的加速比及效率. 1 9 9 6 年，王卿文等给出了 矩阵方程a x b + c x d = f 有解的充要条件及其通 解表达式，并且给出了一种实用解法. 1 9 9 6 年， 张 凯院 对 矩阵 方 程a x + x a t 十 q = 0 任意 选定的 迭 代 格式 添 加 一 个校正 过程， 使得: ( 1 ) 当 选定的 格式收敛时， 改 造后的 格式收敛加快: ( 2 ) 当 选定的格式发散时，改造后的格式仍然收敛. 1 9 9 7年，贾利新利用矩阵的谱分解来研究线性矩阵方程，并给出当a , b 为 简单矩阵 ( 可对角化方阵) 时， 方程a x一 x b= c和x- a x b= c 有解的充要条 件及通解形式. 1 9 9 7年，陈芝等提出了一种求解矩阵方程a x- x b= f的参数迭代方法， 西北 f 业大学o ll t 学位论文 第一章序言 夸 1 . 1 引 言 考 虑l y a p u n o v 矩阵 方 程 【 1,2 1 月x +x召二f ( 1 . 1 ) 其中x e r 为所求的未知矩阵，ae r , be r , fe r ” 为已知矩阵， 方程( 1 . 1 ) 在常微分方程的定性研究、 稳定性 理论、 极点配置等方面具有重要的意 义. 在数值求解常微分方程的隐式 r u n g - k w t t a方法和块方法中，也需要求解方 程( 1 . 1 ) . 在设计观察器的计算中， 求解矩阵方程往往是最关键的一步. 在广义特 征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中，经常需要求解矩阵方程 axb+c x 刀 =f . 周硕等在1 9 8 4 年利用矩阵相似变换及约当 分解，给出一般形式的李雅普诺 夫矩阵方程的一种分类方法和有解的充分必要条件及解的具体表达形式， 并且提 出了方程解的特征确定法. 1 9 8 9 年， 丘 海明 等就方 程( 1 . 1 ) 的 情况 进行了 讨论， 并 给出了 ( 1 . 1 ) 的显 示 解法. 1 9 9 5 年， 王志忠就方程( 1 . 1 ) 有无穷多个解和无解的 情况进行了讨论， 给出 了 方程( 1 . 1 ) 有解的充分必要条件及其解的算法1 1 1 1 9 9 6年， 慕德俊等提出了 矩阵方程( 1 . 1 ) 的一种递推方法，用于并行求解方 程， 该方法首先用并行的q r方法， 对实矩阵a , b 进行正交相似变换将它们变成 上h e s s e n b e r g 矩阵， 然后阵列结 构并 列求解x， 对矩阵 方程a x b 十 c x d= f 的 并行计算也进行了 简要分析. 这种递推算法可以 用脉动阵列结构并行实现， 该算 法和结构还可求解其它几种类似的线性矩阵方程， 特殊情况下求解矩阵方程的阵 列结构可进一步简化.仿真结果表明，这种并行算法有较高的加速比及效率. 1 9 9 6 年，王卿文等给出了 矩阵方程a x b + c x d = f 有解的充要条件及其通 解表达式，并且给出了一种实用解法. 1 9 9 6 年， 张 凯院 对 矩阵 方 程a x + x a t 十 q = 0 任意 选定的 迭 代 格式 添 加 一 个校正 过程， 使得: ( 1 ) 当 选定的 格式收敛时， 改 造后的 格式收敛加快: ( 2 ) 当 选定的格式发散时，改造后的格式仍然收敛. 1 9 9 7年，贾利新利用矩阵的谱分解来研究线性矩阵方程，并给出当a , b 为 简单矩阵 ( 可对角化方阵) 时， 方程a x一 x b= c和x- a x b= c 有解的充要条 件及通解形式. 1 9 9 7年，陈芝等提出了一种求解矩阵方程a x- x b= f的参数迭代方法， 西北工业大学硕 卜 学位论文 并给出了一个最佳选择单参数的方法. 1 9 9 8年，汤学炳通过对矩阵的分解得到了求解李雅普诺夫矩阵方程的解析 方法，从而获得方程的精确解，该方法有广泛的适应性. 2 0 0 0年，韦茂星等针对矩阵方程( 1 . 1 ) 的求解问 题，利用标准的线性方程组 方法讨论了该矩阵方程解的存在性和惟一性， 并将其变换成了一组简单的线性方 程 组， 在 此 基 础 上可 求出 矩阵 方 程 ( 1 . 1 ) 的 解 2 1 . 此 方 法 充 分 利 用 其 线 性 ， 将 矩 阵 方程( 1 . 1 ) 转化为一组线性方程组 同时， 讨论方程( 1 . 1 ) 具有惟一解、多 解、 无解 的条件，为古典方法与通用的计算机程序相结合创造了条件. 2 0 0 2年， 杨明辉对 l y a p u n o v矩阵方程 ( 1 . 1 ) 的 迭代解法提出了 一 种修正 方 案. 采用了矩阵的相似变换和并行算法处理， 给出了计算复杂性、 速度增长倍数 和并行处理效率的指标，并证明了该修正方案是可行和有效的. 总之，关于矩阵方程的算法种种，目前仍以直接算法居多. 互 1 . 2 基本概念及迭代方法简介 本节介绍后面要使用的一些概念和相关结论， 如对角占 优矩阵， 实对称正定 矩阵， j a c o b i 迭代格式， j g s 迭代格式及j a c o b i 格式和j g s 格式收敛的 有关引 理. 设 a 。 ( a 。 ) . n ， 考 虑 线 性 方 程 组 a x = b( 1 .2 ) 将方程组( 1 .2 ) 等价变形为 x 二 b x + f ( 1 .3 ) 并建立迭代格式 x ( k . ) = b x ( + f ( k = 0 ,1 ,2 ， 一 )( 1 .4 ) 称b为迭代矩阵. 定义 1若 对任意初始向 量x ( a ) 以 及常向 量x ，由 迭代格式( 1 .4 ) 得出的向 量 序列 x ( ) 使得 l i m x w = x ( 1 . 5 ) 则称迭代格式( 1 .4 ) 是收敛的，否则 称为发散的. 引 理1 对 任意的x (0 ) 及f， 由 格 式 ( 1 .4 ) 产生 的向 量 序 列 x (x ) 收 敛于x 的 充 要条 件是p ( b ) 艺 卜 。 (i 一 1,2 , , n ) ， 则 称 a 为 按 行 弱 对 角 占 优 矩 阵 ， 若 a 满 足 a 卜 艺 一a 。 一 (i = 1,2 ，一 ，n ) ， 则 称 a 为 按 行 严 格 对 角 占优矩阵. 类似地还可定义按列弱对角占优矩阵和按列严格对角占 优矩阵的概念. 定义设矩阵a是。 阶矩阵( n _ 2 ) ， 如果存在n 阶排列矩阵p， 使得 尸 a pt= 其中a i 、 为; 阶 矩阵，a n 为。 一 ; 阶 矩阵， 则 称a为 可 约矩阵， 否则 称a为 不 可 约矩阵. 下面介绍求解线性方程组( 1 .2 ) 的j a c o b i 格式和j g s 格式收敛的有关弓 ! 理. 引 理2 设a e ( a , ) , . ， 是 实 对 称 矩 阵 ， 且a ,; 0 ( i 二 1 ,2 ， 二 ， n ) ， 则j a c o b i 格 式 收敛的充要条件是a和2 d一 a都是正定矩阵. 引理 3设a按行 ( 列) 严格对角占 优或按行 ( 列)弱对角占优且不可约， 则j a c o b i 格式和j g s 格式都收敛， 引理4设a是实对称正定矩阵，则j g s 格式收敛. 引理5设矩阵a和b都是实对称正定矩阵， 则a+ b也是实对称正定矩阵. 引理6设矩阵a和b都是实对称( 半) 正定矩阵， 则a.b也是实对称( 半) 正定矩阵. 西北工业大学硕 卜 学位论文 第二章矩阵方程a x十 x b= f的分组迭代解法 本章介绍求解矩阵方程a x十 x b = f的j a c o b i 格式、 j g s 格式、q - j g s 格 式、 b - j a c o b i 格式和b - j g s 格式的分组迭代解法， 并且讨论了上述分组迭代格式 的收敛性条件. 2 . 1 j a c o b i 迭代方法和j g s 迭代方法 本节介绍求解矩阵方程a x+ x b= f的j a c o b i 方法和 j g s方法的分组迭代 格式，并且给出了分组迭代格式的收敛性条件. 设a , b , f e r ，考虑矩阵方程 a x+ x b= f( 2 . 1 ) 将方程( 2 . 1 ) 按行拉直的列向 量形式为 ( a 。 ， + ， 。 b t ) v e c ( x ) = 福( f ) ( 2 .2 ) 设a 二 ( a , ) , . , ， b = ( b , ) . , . ， 引 进 记 号 : d , = d i a g ( a, a n , . . . a - ) ，d a = d ia g ( b, b , , , . . . , b _ ) ，.1.lesesj 月 加。一八u ，办份1 .口 气0 n rlweeeeeesesesj 一- b u . ，.，才.，.lesleslllj u b _1 0帆:!瓦 户!.!一口 工- 日 l 由 于a . i + i (9 b t 一 帆。 ， 十 ， 。 几)+ ( ( a 一 d , ) . ， 十 ， (g ( b 一 d e ) t ) 所以 方程组( 2 .2 ) 等价于 一一 ，.，!1.，刁 xl凡气 resweeeweeeesesesesllll ，.1月weweeseeeseseeesj b d ai + d b a 2 2 1 + d b a i + 厂关大 rtoeses.1且es.we， + 一.j xl气气 r才络二.，!.lesweeel 门illllllseeseseses忿 ( d 二 一 b ) t 一 a 2 , i 一 a , , i 一 a ,2 7 ( d ， 一 b ) t 一 a , . - , i 一 a , - , , i ( d ， 一 b ) ( 2 . 3 ) 用x ; 表示 矩阵x t 的 第i 个 列向 量， 用关 表 示 矩阵f t 的 第i 个 列向 量， 基 于 方程组( 2 .3 ) ， 建立j a c o b i 迭代格式如下: 西北工业大学硕 卜 学位论文 第二章矩阵方程a x十 x b= f的分组迭代解法 本章介绍求解矩阵方程a x十 x b = f的j a c o b i 格式、 j g s 格式、q - j g s 格 式、 b - j a c o b i 格式和b - j g s 格式的分组迭代解法， 并且讨论了上述分组迭代格式 的收敛性条件. 2 . 1 j a c o b i 迭代方法和j g s 迭代方法 本节介绍求解矩阵方程a x+ x b= f的j a c o b i 方法和 j g s方法的分组迭代 格式，并且给出了分组迭代格式的收敛性条件. 设a , b , f e r ，考虑矩阵方程 a x+ x b= f( 2 . 1 ) 将方程( 2 . 1 ) 按行拉直的列向 量形式为 ( a 。 ， + ， 。 b t ) v e c ( x ) = 福( f ) ( 2 .2 ) 设a 二 ( a , ) , . , ， b = ( b , ) . , . ， 引 进 记 号 : d , = d i a g ( a, a n , . . . a - ) ，d a = d ia g ( b, b , , , . . . , b _ ) ，.1.lesesj 月 加。一八u ，办份1 .口 气0 n rlweeeeeesesesj 一- b u . ，.，才.，.lesleslllj u b _1 0帆:!瓦 户!.!一口 工- 日 l 由 于a . i + i (9 b t 一 帆。 ， 十 ， 。 几)+ ( ( a 一 d , ) . ， 十 ， (g ( b 一 d e ) t ) 所以 方程组( 2 .2 ) 等价于 一一 ，.，!1.，刁 xl凡气 resweeeweeeesesesesllll ，.1月weweeseeeseseeesj b d ai + d b a 2 2 1 + d b a i + 厂关大 rtoeses.1且es.we， + 一.j xl气气 r才络二.，!.lesweeel 门illllllseeseseses忿 ( d 二 一 b ) t 一 a 2 , i 一 a , , i 一 a ,2 7 ( d ， 一 b ) t 一 a , . - , i 一 a , - , , i ( d ， 一 b ) ( 2 . 3 ) 用x ; 表示 矩阵x t 的 第i 个 列向 量， 用关 表 示 矩阵f t 的 第i 个 列向 量， 基 于 方程组( 2 .3 ) ， 建立j a c o b i 迭代格式如下: 西北工业大学硕 七 学位论文 xl气 a 2 2 1 + d g 。，十。:一 x“”- 关关: ( d 二 一 b ) t 一 a 2 , i 一 a , 2 7 ( d ， 一 b ) t 一a , 一口 n - , n 一 a, i一 a。 - , if ( k 二 0 , 1 , 2 ,)( 2 . 4 ) 分组计算公式为 一 (a i + d b，一 ， (。 一 b ) t x i(k ， 一 艺a t i x (k )j (aii i + d b，一 :， 一 j.i一 ;*)+ (d b j = 2 一 b ) t x , k 艺 a ,， x lk)a j 十十 之托.尤 xx j = i + i ( i = 2 ， n 一 1 ) 月 一1 艺 a n x m + ( d , i=i一 )二 : ) (“ 一 ) 基于方程组( 2 . 3 ) ，建立j g s 迭代格式如下: 一“ ” 一。朋，十。，一 “)一 一- utb-a2,i-a,i 一 、卜、， 一。;一 “”一 “ -a,21- l8 子 一 “ ( k = 0 ,1 ,2 ) ( 2 . 5 ) 分组计算公式为 、十2 、月r (kj x 月j ，.几 q 一 l tb x ,(x ,( 一 i 1 二 2 *一 (a;, i 一 ，一 :* 一 ,一 ;*一;，*一 、 ，左)一 冬 !一 ， :) 西北工业大学硕 t 学位论文 ( i _ 2 , . . . , n 一1 ) xry n = (a. i + d b，一 :、 一 氢 a、 x (kl)- u txttk,d - l bxnk)v e s (、 一 在j g s 格 式 中， 计 算向 量x 少 i 时 ， 因 为 等 式 右 端 需 要x 纷 ， 的 前n - 1 个分 量 ， 所以 必 须 使 用分 量表 达式 依次 计 算x k . p 的 分量. 注意到方程组( 2 .2 ) 的系数矩阵为 1.eseses|j t b t b 广，.lesesleeweil + 气.leseslesee1) ii lh朋 a“ 1万五 all气 aoi +i ob t= 根据线性方程组( 1 . 1 ) 的j a c o b i 格式和j g s 格式的收敛性定理可以 得下面的 结论. ( 1 ) 当a , b ,2 d a - a , 2 d 8 - b 都是实 对称正定 矩阵时，a .i + i . b 丁 和 2 ( d , 。 ， + i . d b ) 一 (a o l + i . b t ) 二 ( 2 d a 一 ， ) ， + i . ( 2 d 。 一 b ) t 也 是 实 对 称 正 定 矩 阵 ， 那 么 方 程 组 ( 2 .2 ) 有 惟 一 解v e c ( x ) ， 由 引 理2 的 充 分 性 可 得j a c o b i 迭代格式收敛. ( 2 ) 当a 和b都是实对称正 ( 负) 定 矩阵时，a o i + i . b t 也是实 对 称正 ( 负) 定 矩 阵， 那么 方 程组 ( 2 .2 ) 有 惟 一 解ve c ( x ) ， 由 引 理4 可 得j g s 迭 代 格 式 收敛. ( 3 ) 当a 和b的主对角线元素都为正数，或 者都为负数， 且a 和b t 都是 按 行 ( 列)严格对角占 优矩阵或弱对角占 优且不可 约时，a .i 十 i gb t 也是按行 ( 列)严格对角占优或弱对角占 优且不可约矩阵，那么方程组( 2 .2 ) 有惟一解 v e c ( x ) .由引理3 可得j a c o b i 迭代格式和j g s 迭代格式都收i r . 2 . 2 q - j g s 迭代方法 本节介绍求 解矩阵 方程a x+ x b = f的 拟 - j g s ( 记作q - j g s ) 方法的 分 组 迭 代格式，并且导出了q - j g s 分组迭代格式的收敛性条件. 在j g s 格式中， 需 要 用分 量 表 达 式 计 算向 量司 k a q ，为了 避免由 此 带 来 的 麻 烦， 基于方程组( 2 . 3 ) ，建立q - j g s 迭代格式如下: + 门性!.，j 不关 广11皿佗eseseelll.吸l -一 戈戈xn a t, i + d b _ _i f a22 i+ . 一 a - i + d a l lf 西北工业大学硕 t 学位论文 ( i _ 2 , . . . , n 一1 ) xry n = (a. i + d b，一 :、 一 氢 a、 x (kl)- u txttk,d - l bxnk)v e s (、 一 在j g s 格 式 中， 计 算向 量x 少 i 时 ， 因 为 等 式 右 端 需 要x 纷 ， 的 前n - 1 个分 量 ， 所以 必 须 使 用分 量表 达式 依次 计 算x k . p 的 分量. 注意到方程组( 2 .2 ) 的系数矩阵为 1.eseses|j t b t b 广，.lesesleeweil + 气.leseslesee1) ii lh朋 a“ 1万五 all气 aoi +i ob t= 根据线性方程组( 1 . 1 ) 的j a c o b i 格式和j g s 格式的收敛性定理可以 得下面的 结论. ( 1 ) 当a , b ,2 d a - a , 2 d 8 - b 都是实 对称正定 矩阵时，a .i + i . b 丁 和 2 ( d , 。 ， + i . d b ) 一 (a o l + i . b t ) 二 ( 2 d a 一 ， ) ， + i . ( 2 d 。 一 b ) t 也 是 实 对 称 正 定 矩 阵 ， 那 么 方 程 组 ( 2 .2 ) 有 惟 一 解v e c ( x ) ， 由 引 理2 的 充 分 性 可 得j a c o b i 迭代格式收敛. ( 2 ) 当a 和b都是实对称正 ( 负) 定 矩阵时，a o i + i . b t 也是实 对 称正 ( 负) 定 矩 阵， 那么 方 程组 ( 2 .2 ) 有 惟 一 解ve c ( x ) ， 由 引 理4 可 得j g s 迭 代 格 式 收敛. ( 3 ) 当a 和b的主对角线元素都为正数，或 者都为负数， 且a 和b t 都是 按 行 ( 列)严格对角占 优矩阵或弱对角占 优且不可 约时，a .i 十 i gb t 也是按行 ( 列)严格对角占优或弱对角占 优且不可约矩阵，那么方程组( 2 .2 ) 有惟一解 v e c ( x ) .由引理3 可得j a c o b i 迭代格式和j g s 迭代格式都收i r . 2 . 2 q - j g s 迭代方法 本节介绍求 解矩阵 方程a x+ x b = f的 拟 - j g s ( 记作q - j g s ) 方法的 分 组 迭 代格式，并且导出了q - j g s 分组迭代格式的收敛性条件. 在j g s 格式中， 需 要 用分 量 表 达 式 计 算向 量司 k a q ，为了 避免由 此 带 来 的 麻 烦， 基于方程组( 2 . 3 ) ，建立q - j g s 迭代格式如下: + 门性!.，j 不关 广11皿佗eseseelll.吸l -一 戈戈xn a t, i + d b _ _i f a22 i+ . 一 a - i + d a l lf 西北下业大学g i 乍 学位论文 释川 o 一 0 2 1 1 b ) t一 a , 2 1 ( d ， 一 b ) t 一a , i 半 xl丸:气 厂一.lll ，|叫 一 a , , l一 a . , - , i 一 a rt - l . 1 ( d 二 一 b ) t 厂十lesesl ( k = 0 , 1 ,2 , 一 )( 2 . 6 ) 分组计算公式为 一 ” t xi(k一 j=2一 :*) xi ) = (a, i + d r，一， 一 ia, j xjj=i *一 (d b - b )t x ;k) 一 艺a ,， x k )1 l ( 7 =2 , , . . , n 一 1 ) :一 (a i + d b，一 : 一 i a,xj=1 :一 (d e - b )t小 一 q - j g s 格 式与j g s 格 式的 区 别在 于计 算向 量x 户 1) 时， 不必 使 用分 量表 达 式 进 行计 算， 因 为 等 式 右端不 需 要x (k . i) 的 分 量 下面讨论q - j g s 迭代格式的收敛性条件. 定 理2 . 1设a 是实 对 称正定 矩阵， b 和2 d ， 一 b 是 实 对称半 正定 矩阵， 则 求 解矩阵方程a x+ x b= f的q - j g s 迭代格式收敛. 证明 令 leseses卫.卫月.月.eseslwe a . . - , 17 1 , 1 + d b a 2 , 10 2 2 1 + d e a, ia . - , i a i + d b res三.1胜l = 1. l 0几久 尸11weesesesesesesweesl -一 滩 l ，leseseseseseses.习weeseses t 月 d 一.t.!.1.esl 一一 u 。 = f 一 0 17 , 2 a , 一 a , , i 口 月 一 ， .刀 0 b ) t一 a , 2 1 ( d : 一 b ) t 一 a - ,. i ( d 8 一 b ) 则q - j g s 格式的 迭代 矩阵 可以 写 作石 l u , . 假设石 u ， 的 任一 特征 值为a ， 对 应 的 特 征 向 量 为 ， ， 则 有 (l i l u , )y = a y ， 或 者 * l ,， 二 u ,y ， 两