（计算数学专业论文）线性流形上中心对称矩阵的反问题.pdf

兰州大学2 0 0 5 届硕十研究生学位论文 摘要 如果爿= b 。) 。d 。= d + 。，+ 1 ，则称4 为”阶中心对称矩阵。所谓数域f 上竹 f f 啪n v 的线性流形，即为p = m + a = r e + a i m m l ，：其e g m 为矿的子空间，n 为v 的固定向量，且m 的维数称为流形p 的维数。本文主要讨论了线性流形上中心对称矩 阵的反问题。 在本文中我们首先求出了线性流形s 中矩阵方程 ，2 ( 4 ) = l a x ：一c 旷+ l l r , a c 2 4 2 = 0 的最小二乘解( 解a 在线性流形s 中) 的集合： 接着讨论了此矩阵方程解( 解a 在线性流形s 中) 存在的充分必要条件及当其有解时它的 解的表达式；本文还讨论了此矩阵方程的特殊情况。即当c i = x ：a 。，c 2 = y 2 a 2 ，其中 人= 硪口g 协i ， ， 。) r ”“。；人2 = d i a g i ，如2 ，“，如。：) r ”1 1 ：并分别讨 论了在以上三种情况有解的情况下矩阵的最佳逼近问题。在本文的最后给出了求解此类问 题的算法和数值例子。 关键词：线性流形。中心对称矩阵，反问题，最小二乘解，逆特征值问题，最佳逼近 矩阵方程。 兰塑奎兰! 堕! 星鍪主里! 塾竺兰竺笙茎 a b s t r a c t l e tab ear r r e a lm a t r i x w es a yt h a tai sac e n t r o - - s y m m e t r i cm a t r i xi f a 2a n - i + l x - ) + l i fv i sam d i m e n s i o n a ll i n e a rs p a c eo nn u m b e rf i e l df w ed e n o t epi sa l i n e a r m a n i f o l d 。f v ，i f p = m + 日= m + a i m m ，i n w h i c h m i s as b s p a c e o f v , 口i s af i x e d - v e c t o ro f 、a n dw ec a l l e dt h ed i m e n s i o no fmi st h a to fp i nt h i sp a p e r , w e m a i n l y d i s c u s s e dt h ei n v e r s ep r o b l e m s o f c e n t r o - - - s y m m e t r i em a t r i c e s 。 t ob e g i nw i t h w eh a v ef o u n dt h el e a s ts q u a r es o l u t i o n si nal i n e a rm a n i f o l ds f o rt h em a t r i x e q u a t i o n ( 4 ) = i l a x 2 一c l + l l y 2 a c 2 旷= 0 ；a f t e rt h a t ，w e h a v e s t u d i e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f w h i c ht h em a r i xe q u a t i o n ，2 ( 彳) = i i a x ：一c 10 2 + i l 匕爿一c ，1 1 2 = 0 i ss o l v a b l ei nt h el i n e a rm a n i f o l dsa n d g i v ei t ss o l u t i o n sw h e ni t i ss o l v a b l e ；f u r t h e r m o r e w eh a v e t a l k e das p e c i a ls i t u a t i o n w h e n c l = x 2 a i ，c 2 = 匕a 2 ，i n w h i c h a = d i a g o 。n ，五：， 。) r n ；a 2 = d i a g ( 2 ：，如：，t 。：) 最”m ，a r e r e a i d i a g o n a lm a t r i xa n dw ea l s og i v ei t ss o l u t i o n s ；w ea l s oh a v et a l k e dt h eu n i q u es o l u t i o no f t h em a t r i xo p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o n so fw h i c ht h ea b o v et h r e e q u e s t i o n sa l l h a v et h e i rs o l u t i o n sa tl a s t ，w eh a v eg i v e nt h ea l g o r i t h m sa n de x a m p l e sf o r t h e s ep r o b l e m s k e yw o r d s ：l i n e a rm a n i f o l d - c e n t r o - - - - s y m m e t r i c m a t r i x i n v e r s e p r o b l e m ， i e a s t s q u a r e s o l u t i o n - i n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e m ，o p t i m a la p p r o x i m a t i o n m a t r i x e q u a t i o n 。 - 2 ， 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，刁i 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：盘l 量酞 日 期；堡竺曼! 苎! ! ! 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学本人完全了解兰州大学有关保森使用学位论文的规定，同意学校保 存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子舨，允许论文被查阅 和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文本人离校 后发表使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名 单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名：盔整数导师签名：生! ：! 薹日期：星翌点：苎：1 2 兰州人学2 0 0 5 届硕l 研究生学位论文 1 引言 很多实际问题的求解范围并不是所有矩阵的集合，而是要在某一个特定的范围内求 解。应用最多的就是在某一个线性流形上求问题的解。线性流形上的逆特征值问题在许多 应用科学以及工程技术，如固体力学，结构振动设计，自动控制和系统物理参数识别等领 域都具有重要而且广泛的应用，因此关于这方面的研究日益为人们所重视，近年来呈现出 较热的趋势。中心对称矩阵在信息论及线性系统理论领域有很广泛的应用，最近几年关于 线性流形上中心对称矩阵的特征值反问题的研究已取得了一系列的成果。周富照，胡锡炎 等在文献1 1 2 1 中讨论了线性流形上中心对称矩阵的最佳逼近，赵人可，周富照在文献【2 】中讨 论了中心对称矩阵的左右逆特征僵问题，周富照等在文献1 1 3 1 中讨论了中心对称矩阵的最小 二乘解问题，都可看作是本文的一种特殊情况。本文是对上述问题的进一步推广。 令r 表示所有m x n 阶实矩阵的集合；r ”= r “1 ；r ? ”表示r 中秩为r 的子 集；a + 表示矩阵a 的m o o r e 一- p e n r o s e 广义逆；a ”表示矩阵a 的共轭转置；o r 表示 所有正交阵的集合；，。表示k 阶单位阵；r a n k ( a ) 表示矩阵a 的秩a 定义1 1 ：所谓数域f 上竹维线性空间v 的线性流形，即为 p = m + a = m + a i m m l ， 其中肘为v 的子空间，d 为y 的固定向量，且 彳的维数称为流形p 的维数。 定义1 2 ：a = b 。l 。，d 。= 口。扎。则称一为n 阶中心对称矩阵。所有月阶 中心对称矩阵的集合记为c s r 。 若爿满足 n u = 一a n + l _ j , n + l _ j ，| l ，- ，= 1 ，2 ，n ，则称a 为”阶反中心对称矩阵。 所有 阶反中心对称矩阵的全体记作a c s r 当”阶中心对称矩阵a 是对称矩阵时，则矩阵a 变为双对称矩阵。若h 阶中心对 称矩阵a 为反对称矩阵时，则矩阵a 变为双反对称矩阵。中心对称矩阵是双对称矩阵和双 反对称矩阵的推广。 令 本文研究r 如下一系列问题： s ：1 4 c s r 叫z ( 爿) ：i i 删一b i b m b ：旺= m i n ( 1 1 ) 其中l ，b i r 础；一，b 2e r t 埘 兰州大学2 0 0 5 届顶士研究生学位论空 问题i ：给定x 2 ，c 】r “，r 2 ，c 2 r 7 2 ”，求a s 使得 厶( 4 ) = i l a x ：一c i l l 2 + l l r ：a c 2 r = m i n 问题：给定a + r ，求j s 。，使得 爿- + 一j i i 2 。i n f 。i i a 一i i 这里1 1 1 l 表示f r o b e n i u s 范数，s e 是问题i 的解集合。 问题：给定x 2 ，c r “，y 2 ，c 2 r ”，如果 脯2 = c i ，e 爿= c 2 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 在线性流形s 中有解，求a s 使得( 1 ，4 ) 式成立。 问题：给定a 2 r 求j s f 。使得 i l 爿2 + 一j 1 i 2 w i n 。f n l 。 a 2 一4 1 | ( 1 5 ) 这里1 i | l 表示f r o b e n i u s 范数，& 是问题的解集合。 ， 问题v ：设a ，= d i a g ( a ，五：，丑。) 足”“n ；a ：= d i a g ( 2 2 ，k ，如。，) r ”z x m ， x 2 r 2 ，匕r “”，如果 a x 2 = j 2 a i ，e 爿= 人2y 2 在线性流形s 中有解，求a s 使得( 1 6 ) 式成立 问题：给定鸽r ，求j s 6 ，使得 i i a 3 * - - 怦撼k 一爿1 l 这里表示f r o b e n i u s 范数，s g 是问题v 的解集合。 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 由文献 2 ，再由定义i 1 可知( i 1 ) 式中的s 是线性流形。所以问题i 至问题 称为线性流形上的中心对称矩阵反问题。当s 中的k = 0 ，b ：= 0 ，问题i 中的 y 2 = o , c 2 = 0 则问题i 问题可化为文献 1 2 中讨论的问题当s 为所有中心对称矩 阵的集合时，则问题i 问题可化为文献 2 中讨论的问题。由上可以看出，问题i 至问题 是相当广泛的问题，是线性流形上中心对称矩阵的特征值反问题的进一步推广。本文首 先给出了线性流形s 中元素的一般表达形式，并给出了问题i 解集合的通式，讨论了问题 2 兰州大学2 0 9 5 属硕士研究生学位论义 和问题v 有解的充分必要条件并进一步给出了在它们有解时其通解的表达式。在问题 i 及问题，问题v 有解的基础上研究了问题和问题，问题有解的充分必要条件并 进一步给出了其解的表达式。在本文的最后，给出了上述问题的算法及例子。 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 2 1d 的定义为： 2 预备知识 j 为k 阶单位矩阵，s 女= e 女，e ，e 1 ) 。其中，为单位矩阵的第i 列，易知 。= 击睡甜 。= 击阱。封 2 2中心对称矩阵的结构 引理2 1 ；设a r ”“，则爿r e c s r 营a = s 。a s 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 m x 2 m = 卜( 嚣s 惫。 ，科”) s ， j(2m+1)x(2m+1)csr( = 5 i ：，i 0 “v 姜r s ：。 i m ，h er “x m ，“，ve rssm s “ c ：s ， = 1 v 7 1 i ， “一，“，v “ ( 2 6 jl s 。h 。“ 。 。jj ，a = = d ( 言三 。7 ，7 e 胄( h t h ( ，t 一) ，ger x t 。 c ：， 当n 为偶数时，由引理2 2 中的( 2 5 ) 式可知，v a c s r 2 “，则存在 兰州大学2 0 0 5 届硕：1 2 i 1 1 究生学位论文 一：f 肘姗t l 6 hs k m s k 则 砒。= 击f o 。心h 删s ki 1i l k i k t , s s t sh sm s t ss 。)0 2k k )ktk ) 0 2k k ) = hm 一0 _ 显然f = m + h e r 扣“h ”，g = m 一日r “ ，且4 = 。7 f 言吕 。 反2 - ，当h 为偶数时，即当 = 2 k 时n k = k v f r ( “一州”一) = r 。“，v g r “，满足 妒= 始土。k 光曼。) 1r f + g g s + f s t 、 。、l 2 t s t f s l gs k ( f + g ) s j 媳砰三( 量凇名 ( 言。l l z 刮s ki 蝇，o 薏 ：! f f + g 嘎一呱1 ：彳 2 l j 女一一s k gs k ( u + ，) s kj 2 3 矩阵的f r o b e n i u s 范数及有关性质 定义2 1 设矩阵a ：b 。) 月一，把数( 妻壹q ，2 ) i 称为矩阵爿的f r o b e n i u s 范 | = ij = i 数记为怕 除非特别指出。本文中矩阵的范数均指f r o b e n i u s 范数。 引理2 4 设a = ( 口。) r ，u = ( “u ) o r ，则 i 洲1 1 = 肛u 0 = i 爿0 ( 2 8 ) 5 一 兰州大学2 0 0 5 届顶十研究生学位论文 引理2 5 如果矩阵一 刚 ： ，其中4 ，4 ：，：。，爿：为矩阵爿的分块矩阵 1 1 4 1 1 2 = l i 爿| 1 2 + l l 爿，：0 2 + | | 爿：。1 1 2 + i i 爿：1 1 2 2 4 矩阵的奇异值分解 定义2 ，2设4 r ? 。”驴 o ) ，a “a 的特征值为 2 五， 以+ i = = a 。= 0 则称盯，= 五i ( f = l ，2 ，辨) ) 为a 的奇异值。 引理2 6 7 1设xer ? p 0 ) ，则存在矩阵u o r ，ve o r ，使得 瞌 其中= d i a g ( o 1 ，盯2 ，盯，) ，盯，( f _ 1 , 2 ，) 为矩阵的全部非零奇异值t 2 5矩阵的广义逆 ( 2 ，9 ) 定义2 3设矩阵a r ，如果矩阵爿r ，满足下列四个方程 i a x a = a ： i i x a x = x ： i i i ( 4 x ) 7 = a x ； i v ( 拗) 7 = 黝： 则称x 为a 的m o o r e - p e r t r o s e 广义逆，记为一+ 。 引理2 7设矩阵x r ? ( r o ) 的奇异值分解如( 2 9 ) 所示则 x + ：矿fo k l00 j 2 6矩阵的h a d a m a r d 积 6 匕 兰州大学2 0 0 5 届顶l ：研究生学位论文 定义2 4 如果矩阵a = ( 口。，) ，b = ( 6 u ) ro 。m a b = ( c u ) r ，其中 c ；j = b u 则称彳 b 为矩阵a 与b 的h a d a m a r d 积。 2 7矩阵方程的最小二乘解 矩阵方程a x = b 在某一个特定范围内不一定有解，但它的最小二乘解必定存 在。以下引入矩阵方程的最小二乘解定义。 定义2 5 使得1 | 倒一例= m i n 成立的矩阵彳称为矩阵方程a x = b 的最小二乘 解。 矩阵方程的最4 , - - 乘解不一定是唯一的。 2 8 最佳逼近定理及有关结论 矩阵方程的解或者最小二乘解不一定是唯一的，但其中与给定矩阵的最佳逼近解却 定是唯一的。下面我们引入最佳逼近定理及其相关的知识。 定义2 6设( x ，由是距离空同。f c x 。若f = f 。，( f 。表示集含f 的内点 的全体称作f 的内核) 即f 中所有点都是f 的内点，则f 称为开集。若e = x f ，则e 称为闭集。 定义2 7设e 是内积空问u 的一个子集，如果对任意x ，j ，e 以及0 蔓口1 的 任意实数口，元素o x + ( 1 一a ) y e ，则称e 是内积空间u 中的凸集。如果e 即是凸集又 是闭集，则称e 是中的闭凸集。 定义2 8设e 是内积空间t l 的一个子集，x u 为给定的元素。如果e 中存在元 素y 使得 忙一y l | = 噬i i x z l ( 2 - l o ) 则称y 是x 在e 中的一个最佳逼近元。 定义2 9康托尔定理( c a n t o rt h e o r e m ) 实数理论中闭区间套定理的推广定 理指出：度量空问( x ，p ) 是完备的当且仅当对于x 的非空闭集下降序列 曩3 f 2 3 3 ，只要直径馥口m ( ) 斗0 ，总有0 只o ( 注：度量空间 ( x ，p ) 叫做完备的，如果x 的每个柯西序列都是收敛的a ) 7 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 定义2 1 0( 内积空间) h 是数域k ( 实数域或复数域) 上的线性空间，对任 意x ，y ，z ；a k 满足： 1 ( x ，x ) 0 ；( x ，x ) = 0 当且仅当x = 0 ； 2 ( x ，y ) = 万习： 3 ( 暇，y ) = a ( x ，y ) ； 4 ( x + y ，z ) = ( x ，z ) + ( y ，z ) ； 称( ，) 是h 上的内积，h 上定义了内积称为内积空间，并且依日是实或复线性空间分别称 h 是实或复内积空间。 引理2 8 【9 i( 最佳逼近定理) 设e 是完备内积空间t i t 中的非空闭凸集则u 中 的任一个元素x 在e 中存在唯一的最佳逼近元。 引理2 9 给定4 = ( q ，) r ，b = g 口) r ，定义 ( 4 ，b ) = q 。b ， ( 2 1 1 ) 则如上定义的( ) 为空间r 上的内积。1 1 r 按此内积构成完备的内积空间。此外，如 果a r “”，令 j 1 4 1 1 = 托砑 ( 2 1 2 ) 则i i a i i 为矩阵的f r o b e n i u s 范数，它是由此内积导出的。 8 兰抖 大学2 0 0 5 届颈 研究生学位论文 3 1 相关引理 其中 3 问题i 和问题l i 的解 在讨论问题i 和问题i i 的解之前我们先引入相关的引理 引理3 1 ：设x 和y 的奇异值分解分别为 则己知 其中 记 则 肛u f o k l oo y ：尸f ro q r l oo 厂 u = p l ，u 2 ) o r ；矿= ，k ) o r “； = d i a g p i ，盯2 ，盯。l f = r a n k ( x ) ；仃l j 2 p = ( 鼻，最) o r “；q = ( o ，o ：) o r “”； r = d i a g ( y l ，2 ，) ；s = r a n k ( y ) ；y i ，2 - u i r 删，u2 r ”“) ；r 阳，e r k 。( k - o ； 只r 。5 ，兄r 。“一。；q 1 震，0 2 r 4 。帅一1 ； 盯， 0 ； ， o ； 盖r ”柚，z r “肌，y r 1 1 n ，矽r ，求彳r 使得 厂( 椰= 0 删一铡：+ 1 l 瑚一w l l ：= m i n 成立的解为 爿= r b 差帮7 1 删i 一毋p m = h ，) r s 。t , 锻， v a 2 2 r ) 。( ”一 ；1 而；1 f s ，1 ，f o ，u ，o ，巧，弓，u ，u 2 ，o ：的定义如( 3 2 ) 。 小q p 差帮啪i ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 9 一 u 1，j u晰 r o 只 一 r 兰州大学2 0 0 5 届碗士研究生学位论文 且 爿= 4 。+ q ：爿0 。 u 7 ，4 。e r 佃_ 、m _ f ，0 ) = 0 有解的充分必要条件是 y z = w x ，z x + x = z ，孵+ y = w 这时 s ( a 1 = 0 的通解为 爿：z x + + ( 1 ，+ 矽) k x x + ) + q ：彳2 s u ：， 其中a 2 2 r 。“一 是任意的 引理3 2 【2 】：记 d 7 曰 r , d = 化，i ：l i i r i x ( n - k ) , k 2 r ”； b 2 d = ( b 2 1 , b 2 2 l b 2 l r 椒”“，b 2 2 r “ 且置。，x 1 2 ，_ ；，k ：的奇异值分解为 其中 妒乩哦_ ： 弦鼎巩r ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) u ：b ( ”，u ，t 2 ，1 9 ：( q ( “，q 1 ) e o r c p 蛳c p 幻； k ，= 蛾。”，k ic 2 ) 1 0 ：= v 1 2i ) 1 1 2 ( 2 ) ) e ? 足“。； ( 3 9 ) u 1 2 _ o i 2i ) ，u 1 2 ( 2 ) lq 12 = q , 2i ) q i 2 ( 2 ) ) o r “； 鼻：k 。c ，只c 2 ，l 鼻：= k ：”，e ：2 ) eo r ”匕 u i l 1 e 丑( “蛔，_ l 1 黔。1 ；群驴“，q l l 1e r ( n - k ) 。q ； u 1 2 【1 e r 岫，r 小i ee l l ? 2 ，酣e i ( 3 1 0 ) = d i a g ( ( r ，仃。，( 7 - 1r i = 撕昭b ，一2 ，) 2 = 疥昭( 仃2 i ，d 2 ”，盯2 q l f 2 = d i a g ( y 2 l ，y 2 2 ，如：) 1 0 一 旷 m r 2 m h ， h 蛳 猷 矿 、 0、i五五肌耽 ， 弘 、j o o 降仁h 2 u u = 一一 x x 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 ，l = r a n k ( x j i ”) ，t j = r a n k ( y j i ) ，r 2 = r a n k ( x 1 2 ”) ，f 2 = r a n k ( y i 2 ”飞 盯1 1 盯1 2 d 。 0 ；y i l y 1 2 ， o ； ( 3 1 1 ) 仃2 1 口2 2 仃2 0 ；7 2 1 y 2 2 ，2 - 0 则( 1 1 ) 式中s 的一般形式为 s = a = a o + d q l l 啦! 疋2 1 1 。r q ：。0 。，t 0 gu 。7 c s z ， l q 1 2 ”2 21 2 ”j j v e 2 r ( - k - t o 。( n - i r - r o , g 2 2 r 一b m 一。； 4 。= 。 髻占 。7 ； e = q 。 中l ( q 1 1 【l ”q b 。n v ：，u ，。且) y ，i k + ，。f 。，i p n r ( ，口2 1 u i l 。) ) r l 。只l 。r 。b 2 1 u h o ； ( 3 1 8 ) u 2 1 ( 1 ) r ( n 一一1 ) x s 吒1 1 ) 。r 1 ； 足。= 时) ，p 2 ，( 2 ) 1 j o r 小，1 ，q ：= 0 2 1 ( i ) , q 2 1 ( 2 ) j o r 忙小忙“吐 ( 3 1 9 ) r 2 i = d i a g ( v 2 l ，即2 2 ，叩2 n ) ，s 2 = r a n k ( y 2 l ( 2 ) ) ，刁2 l2 叩2 2 ，7 2 ，： 0 ； 最l m 8 1 2 。勺，q 2 l ”r 柑_ ； u 2 2 ：融“，u 2 2 ( 2 ) j o r ( k - r d x ( kr 2 ) v 2 ：时， 2 2 = d i a g ( f 2 i ，乞2 ，岛。) ，屯= r a n k ( x 2 2 ( 2 ) ) ， 岛l 掌2 2 邑：， 0 ； u 2 2 ”r 一4 卜“，吒2 m r 一3 ； p 2 ：+ ；k ：t 一，只：c 2 ，1 j o 震廿k ，q ：b ：c ，q ：t 2 ，j o r e 1 m t 吨，； r 2 2 2 d i a g ( ( 2 i ，厶，鼠) ，5 a2 阳础( ”) ， ( 3 2 1 ) f 2 l 岛2 f ! “ o ； 马2 ( 1 ) r 1 2 x 5 , , 0 2 2 ( 月( “舢； 剐问题i 的解为： t = = t 。d q i l ( 2 ，1 1 ( 2 ) 7 ，9 、：。：，。；! 。，。：。：， z ， 其中 铲。_ 弘； e = q 。o i * ( q u i ) r b l y i ；o 蜀) y ，q k + 。f 。，z l p 。i i ，( ”7 岛l u i l “。r 。只l 。1 7 ”u 中- 2 。) r q 。r l ，r u = 7 i i 一 ：i _ ；f f 1 ，1 ，1 ； ( 3 2 2 ) g = q 。：0 * ( q 1 2 0 ) t b l 2 v i 号( 日 ) z ：2 k + ：。f 。，2 p ：i 一2 ( ”7 口2 2 【，1 2 “) ) r 1 只2 ( 1 ) t 。b 2 2 u 1 2 ( 2 ) u 。； 中：= b ) e 舭“，纯，= 耻如卜 歹南；t r ，z - ，s 屹 2 i + f 2 1 尸2 i ，2 2 i 3 也 k 吒 r 一眇 一 u 1，i u 。r b u c ，氏q 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 g 。：q ：1 中z ：+ ( q 2 2 0 ) r c i 2 ( 2 ) v 2 ，2 。：+ t z 只z o ) r c 2 2 0 ) u 2 2 ( 1 ) r ：“e z 。c ”u n ( 2 lq 2 2 壮。c 1 2 啦u n g 2 2 ” v 砖r 一帅十”，g 2 2 “r 2 吨m t 吨1 ； 。2 l = h ，) 肿”帆j = 南，1 s f 吣1 ，邓 中2 2 = 瓴j ) 肿”3 舰= 7 南，l 蔓f 茎1 ，蹦 其他如( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 。( 3 2 1 ) 定义。 证明；由引理3 2 知 s 中元素的一般形式为 s = a = a o + d 9 1 ( 2 勺l ( 2 ”q ：g ! u 。矿 。7 其中a o , q l l ”，e 2 ，u t l ( 2 ) , q 1 2 ( 2 ) g 2 2 ，u 1 2 2 的定义如( 3 9 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 所示。 d 的定义如( 2 2 ) ，( 2 3 ) 。 则由上面的分析，d 的正交性以及f r o b e n i u s 范数的正交不变性t 可知 ( 4 ) = 0 删：一c l i l 2 + i i 匕a c ：0 2 卜。p 卸7 + i 芝 凡+ 4 q 。封笼u 。砷7 q ：g ：u ：， 。7 ) 一c ：1 2 ：i 如掣( 2 ， n 0 + 忡 o ，l d t x ， q ( 2 ) f ：ju 1 2 幢”j ( c 舭：， 矿0 。t d r _ ( c 2 - y 2 a o ) f k ：7 一i i o | | 2 d 7 ( c i a o x 2 ) 0 l | 1 4 1 c一 2 x 、1lj、，j r d 1j 2 2 u o 姐 g 2 2q rd 【-_j 2 2 u 0 n g 2 2q 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 + y 2 d q , , ( 2 ) f 2 2 u i l ( 2 ， l ll 0 = 卜： o + 忖s q - ，心 r 玳 = 线 国：斗 + 忖 h ： 恤 匕： 跏 j 1 2 l 一( c ：t 4 ) d i l jl i 一4 x ： ( c ：一l a ) 斗：x ： r 酊“h r n 0u 1 2 r x 2 2 一q , 2 r c , 2 l ，2 2 j0 + | l 匕，q 暖差： 一c ：u 。+ i l 砭：g ：瞄2 2 1 - - c 2 2 u 1 2 由( 3 1 5 ) ，则上式可化为 ， u 0 弛 g 2 2g c ( d一 2 r r d ，_，-_-t_ttt_t_j r 2 o o 吼 ， 、严 2 o t 00划叫9 1，j 2 u 、 2 0 o 呸 户 o e o c c l 一 1j 虬 鸵 x x iiuiiiliui 2 c 2e 一 1，j u 、，2 0 o 呸 0 o fo 2q u 、， 2 o r o o o ，l q r，11l 0 o 。l 2q + 2 c一 2 x r u 1，j 2o 2 c盯 o c一 u 1，j 2 o r o o ，l i 5 则要求 即求 = l l c 。( 1 1 1 2 + 0 e ：x 2 1 ( 2 ) _ c i l ( 2 ) 0 2 + i i c 。( i 1 1 2 + g 2 2 x 2 2 ( 2 ) - c 1 2 ( 2 ) 0 2 + k n + 2 r ：，| c 2 2 ( 1 + 附2 ，g ：_ c 2 ：1 1 2 ( 3 2 3 ， 厶( 爿) = 0 从：一c , 1 1 2 + i i a c ：1 1 2 = m i n l e ：x ：( 2 ) 一c 1 1 1 2 ) 0 2 + 0 匕，( 2 e ：一c 2 1 ( 2 ) 1 1 2 = m i n 0 g 2 2 x 2 2 ( 2 ) - - c i 2 ( 2 ) + k 2 ) g ：一c2 2 ( 2 ) | | 2 = m i n 由( 3 1 6 ) x 2 1 ( 2 ) , e l 孙，x 2 2 孙，匕2 2 的奇异值分解以及( 3 1 7 ) 一( 3 2 1 ) 则由引理3 1 可知( 3 2 4 ) 的解为 r e ：q 2 i | z 木 l - ( q ：。( - ，c 。( ：k t - 1 r， + f 2 1 只l 1 1c 2 1 ( 2 ) u 2 1 ( i ) ) q 2 l ( 2 ，c 1 1 ( 2 ) v 2 1 ( i ) z ：，一t ( 3 2 4 ) 2 1 - i p 2 。( 旷c ：。( ：w z ) e ：卜7 g ：q ：0 2 2 * ( q 2 2 ( i ) t c l 2 ( 2 ) v 2 ，2 ( | ) 2 2 + r z z 足z ( 1 ) t c 2 2 ( 2 ) u 2 2 ( 1 ) ) r z ：一只：( 1 ) “c 恐( 2 ) u 丝( 2 u ：r lq 2 2 伫c 1 2 2 k 2 0 1 2 2 一g 2 2 ”l v 疋2 ”r ( n - k - t z - 屯m 小 吲，g 2 2 ”r ( k - t 2 - s 4 ) “( k - - s 3 ) ； 把上式e 2 ，g 2 2 的解析式代入( 3 1 2 ) 式，即得证。 注i ：若e 2 ，g 2 2 为一维矩阵时则( 3 2 4 ) 式可化为( 甜一c i ) 2 + ( b x c 2 ) 2 = r a i n ， 易求其解。 注2 ：如果在( 1 1 ) 式中z ( 爿) = 0 ，则问题i 的解仍为 4 = 彳。+ 。 9 1 。屹0 【，1 1 啦rq ：，g 三u 。：， 。7 ； lp ，l ，i 但此时的 ( | ) 彳。= 。b i i x , i + ( 1 1 + 口吉l _ 一x x 1 1 + ) 曰。，x 。：+ + 。i ：+ 曰0 ：，。l 一彳：z 。：+ ， 。7 但b 2 ，g 2 2 的定义仍然和定理3 i 中的一样。进一步在( 1 1 ) 式中z ) = 0 的情况下， 厶( 彳) = 0 的充分必要条件是 1 6 兰州大学2 0 0 5 届硕士研究生学位论文 c ( ”= 0 ； y 2 ( 2 ) c l ，( ”= c 2 。( 2 ) x 2 i ( 2 ) ； c 】，”x 2 2 ) + x 2 ，”= c i i ( 2 ) ； c 2 , ( 2 y 2 ，2 + 匕，”= c 2 j ( 2 ) ；f _ l ，2 ；j = 1 , 2 其中( 3 1 4 ) 中的彳。为( + ) 式中所定义的。c ，“，匕，”，x 2 2 ) ( f ，k = 1 ，2 ) 的定义如 ( 置1 5 ) 式。且此时问题i 的解仍为( ) 式，其中的a o 仍如( ) 式中所定义。 e 2 ：ca l ( 2 ) x 2 l ( 2 ) + + ( e l ( 2 ) + c 2 l ( 2 ) ) ( l i 一。一x 2 1 ( 2 ) x 2 1 ( 2 ) + ) + 0 2 1 ( 2 ) 4 2 2 “c ，2 i ( 2 ) 。： g ：= c 1 2 ( 2 ) x 。2 + + ( k ：2 + c 2 2 ( 2 ) ) ( 一。一x 2 2 ( 2 ) x 2 2 ( 2 ) + ) + 绞：2 耐u 2 ：2 v a 2 2 “r ( n - k - h - s z ) 。( n - k - r l - s os b 2 2 ”r ( 。2 一4 ) 。( 一一5 ，) 3 3问题i i 的解 由定理3 i 可知问题一的解集为 s r = t 一= 4 。+ d 9 l 。1 e 0 2 u l i 啦rq ：。：，g ：u ：。：， 。7 ， c 。z s ， 1p _ 1 ”，“l 其中a o , q ”，u l t ( 2 ) , q 1 2 ”，u 1 2 ”，2 ，g 2 2 如定理3 2 所定义，d 的定义如( 2 2 ) ，( z 3 ) 。 则s e 是一个闭凸集，这是因为 任取两个元素4 ，a 2 s e ，我们不妨记 t = ：t 。rz ，i q ( 2 ) 疋u i l ( 2 ) 7 q。：。：，g：0。，。，：。：，z，7 t ：= = t 。- d q 1 1 ( 2 五寄【，il(2)71。a：。：，。；：0。：，。，：。：，z，7 其中a o , q 1 1 ”，( ，1 1 ”，q 1 2 ”，u 1 2 2 如定理3 1 所定义，d 的定义如( 2 2 ) ，( 2 3 ) 。 f 2 2 ”= 0 2 广c 。( ：吒，( - ) ：+ l ；只( t ， q 2 12 c 2 w 一1 g 2 2 ( 。：q 之l 母n ( q 2 2 ( i ) t c l 2 ( 2 ) v 2 ，2 ( 1 ) 。”+ r 2 z b z ( i ) t c 2 2 ( d u 2 2 ( ) ir 2 ：。b ：7 c 2 2 ( 1 ) u 2 2 ( 2 ) 。l u lq 2 2 怛c , z ( 2 ) v 2 2 0 2 2 g 2 2 “j 1 7 2 u j 2 2 u 2 c j： ， r r m 一 兰州 学2 0 0 5 届硕士研究生学位埝史= 也、卜既“7 学麓群7 。1 锄卜( 7 带。岷耐1 | l c a 2 ( 1 ) u 2 2 ( i ) ) l q ：2 “c 。：。k ：2 ：。 ，r ( n - k - l ij z 舯。 h ) ，g 2 2 0 ) 9g 船。2 1 ”b ”“吨1 设问嗣一中五，的解集合为s ，g ：的解集合为s 记中： q 2 1 m r c ( 2 。1 。+ l 。p 2 。”c 2 1 ( 2 ) u ：，卜咒： r 2 。- 只1 “7 c 2 1 ( 2 1 u 1 l ( 2 ) = 2 2 ，q 2 l ( 2 r 7 c l i ( 2 l 1 ) 1 2 i 一= e 。 中矿f q 2 2 椰4 c o ”k 2 ( 1 ) 2 2 - t - i 2 2 岛i ( 1 ) t c t ( i ) u i ( i ) _ g 2 ：。 l j 】1 如”3 c 盐m 。t 2 2 2 = g m ；q ! 2 一c i s ) i 船v ) 2 2 。= g 翻 任取口，0 蔓8s 1 则 最( ，一c 2 ，u ：；( ： z 卜7 r 2 2 1 屹一c 2 ：( i 、u 越 g 2 2 ( 3 2 0 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 州l + ( 1 一a ) a 2 = 妒融坤h ”7 瓯。鼢：。融中 其中 晓r 1 + ( 1 一口) e 2 2 a g 2 2 “+ ( i 一口) g 2 2 所以 删i + ( 1 一a ) a 2e s e 根据定义27 ，s 月是凸集。容易看出集台& 是闭集- 因此s 为r “埘中的闭凸集n 根据 引理2 8 ，s e 中存在唯一的与给定矩阵的最佳逼近。我们有阻下结论 定理3 。2 j 二 m 吆 如 医 -。，。l 兰州大学2 0 0 5 届硕i 二研究生学位论文 a , - a o 咄麓：卜” 其中a 1 1 r ( n - k ) “( n - k ) a 2 2 r “： 令 吼_ 。叫瓤磐卜圳咖圳； 鲵、：u ：镌：矧谢。 ( 3 3 0 ) 其中a + 舻m ，a r ( n - k - f 1 ) 。( n - kr 1 ) ；爿2 2 1 + r 2 肌，a 2 2 4 r h 附一。1 令 q 2 1 ”a i l 4 u 2 绞2 ”a z 2 4 * u 2 2 裂 筘 ； 其中a l l 4 ( 1 r 5 - ，a 2 2 。 r 则问题的解为 一= 爿。+ d