（运筹学与控制论专业论文）lyapunov方法在系统稳定性理论上的应用.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：纽渔蔓日期：逸丝= r 印 | 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论 文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东 北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 詹 学位论文作者签名：匆垣叁指导教师签名：豸始 日 期：辎q ：且型 日 期：呈丝：查矽 l7 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 摘要 本文是一篇关于l y a p u n o v 理论在系统稳定性上应用的研究综述对稳定性 的研究是自动控制理论中的一个基本问题稳定性是一切自动控制系统必须满足 的一个性能指标，它是系统在受到扰动后作用后偏离平衡状态的运动依靠系统内 部的结构因素而返回到平衡状态或者限制在它的一个有限领域内的一种性能 本文主要分三个部分，首先简要的介绍一般稳定性的发展史及l y a p u n o v 稳 定性理论本文重点介绍的是l y a p u n o v 方法在具体系统下的有关稳定性的结论 最后对l y a p u n o v 理论给予简单的补充和总结 关键词：l y a p u n o v 第一方法：l y a p u n o v 第二方法：l y a p u n o v 函数 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sas y n t h e s i so nt h ea p p l i c a t i o no fl y a p u n o vm e t h o di ns y s t e ms t a - b i l i t y o nt h es t a b i l i t yo fa u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r yi sa f u n d a m e n t a li s s u e s t a b i l i t yi s a 1 1a u t o m a t i cc o n t r o ls y s t e mw h i c hm u s tm e e tap e r f o r m a n c ei n d e x i ti st h er o l eo f t h es y s t e mw h i c hi sd i s t u r b e da f t e rt h ec a m p a i g nu n d e rt h ed e p a r t u r ef r o me q u i l i b r i u m d e p e n do nt h es t r u c t u r a lf a c t o r sw i t h i nt h es y s t e mr e t u r n st oe q u i l i b r i u m ，0 1 l i m i t e dt o o n eo fi t sl i m i t e da r e ao fap e r f o r m a n c e t h e r ea r cm a i n l yt h r e ep a r t si nt h et h e s i s t h ef i r s tp a r tb r i e f l yd e a l sw i t ht h e h i s t o r yo fs t a b i l i t yt h e o r ya n dl y a p u n o v ss t a b i l i t yt h e o r y t h e nt h i sp a p e rf o c u s e so n c o n c l u s i o n so fl y a p u n o vm e t h o da b o u tt h es t a b i l i t yi ns p e c i f i cs y s t e m s f i n a l l y , t h e t h e o r yo fl y a p u n o vi ss i m p l ys u p p l e m e n t e da n d s u m m a r i z e d k e yw o r d s ：l y a p u n o vf i r s tm e t h o d ；l y a p u n o vs e c o n dm e t h o d ；l y a p u n o v f u n c t i o n 东北师范大学硕十学位论文 目录 第1 章引言1 一 第2 章l y a p u n o v 稳定性理论3 2 1 l y a p u n o v 意义下的稳定性定义4 2 2 l y a p u n o v 方法概述及相关理论5 第3 章基于l y a p u n o v 方法的系统稳定性结论1 0 3 1 l y a p u n o v 方法在无时滞项的系统稳定性中的结论1 0 3 2 l y a p u n o v 方法在带有时滞项的系统稳定性中的结论1 8 第4 章附注3 6 参考文献3 8 致谢4 1 m 东北师范大学硕士学位论文 第1 章引言 在实际工业控制中，各种工业生产过程，生产设备以及其他众多的被控对象， 为了研究其能否正常工作，都是用数学模型来描述，从数学方面进行研究如果要 保证被控对象能够正常工作，那么就要求数学模型中的系统具备稳定性系统的 稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统状态变量或者输出变量的偏差量( 被调 量偏离平衡位置的数值) 过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是 l i ml a 顶f ) i s t - o o 式中，z x x ( t ) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量，8 为任意小的规定量如果 系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它不可能是一个稳定系统 分析一个控制系统的稳定性，一直是控制论中所关注的最重要的问题 关于运动稳定性理论的奠基性工作，1 8 9 2 年，俄国学者a l e s a n d rm i k h a i l o v i c h l y a p u n o v ( a j i e c a h 且pm 麟a i , 1 2 i c b h qj i a n y h o b ) 在他的博士论文【2 】“运动稳定性的一 般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格 的定义，提出了解决稳定性的一般理论，即l y a p u n o v 稳定性理论对于确定系统 稳定性的方法，通常从系统方程的解出发来确定系统的稳态，或者由系统的自身 属性出发对于前一种研究方法我们比较常用的就是l y a p u n o v 第一方法，后一 种用到的是l y a p u n o v 第二方法至于第一方法，后来很少发展而第二方法，又称 之为直接方法，已得到了很大发展第二方法意在寻求所谓l y a p u n o v 函数，以判 断解的稳定性 l y a p u n o v 稳定性理论中的一个核心问题，就是l y a p u n o v 函数的构造问题 3 0 多年来人们作了不少的努力，但对于一般非线性系统，还没有得到通用而有效 的构造方法虽然如此，针对实际问题中出现的各种非线性系统。通过定性分析 并根据实际情况进行具体分析，从而构造出恰当的l y a p u n o v 函数，还是取得了丰 富的成果当今，如不作说明，运动稳定性常被理解为l y a p u n o v 稳定性 在经典控制理论中，借助于常微分方程稳定性理论，主要限于研究线性定常 系统的稳定性问题线性系统的稳定性有三种情况：稳定、临界情况和不稳定，它 们分别对应于l y a p u n o v 意义下的渐近稳定、稳定和不稳定判断系统稳定性的 东北师范大学硕：仁学位论文 除了l y a p u n o v 第一方法外，主要方法有r o u t h h u r w i t z 判据和n y q u i s t 稳定判据 它们根据控制系统的开环特性来判断闭环系统的稳定性这些方法不仅适用于 单变量系统，而且在经过推广之后也可用于多变量系统 现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因素，即使是系统结 构本身，往往也需要根据性能指标的要求而加以改变，才能适应新的情况，保证系 统的正常或最佳运行状态在各类工业系统中，如长管道进料或皮带传输、极缓 慢的过程或复杂的在线分析仪，系统的环境变化元件等的老化，一些物理参数 的漂移或随时间的不确定变化等等因素带来的系统行为的变化都可能导致模型 时滞及不确定性的产生时滞及不确定现象是极其普遍的而且，对许多大时间 常数的系统，也经常用恰当的小时间常数加上纯滞后环节来近似，以上的这些都 可以归结为时滞系统或者不确定系统模型像通信系统、生物系统、网络控制系 统、化工过程系统、环境系统、传送系统、冶金过程系统、电力系统等等都是典 型的时滞系统或者不确定系统在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通常的 方法是基于l y a p u n o v 第二方法而得到的一些稳定性理论，即l y a p u n o v 稳定性定 理 可是在相当长的一段时间里，l y a p u n o v 第二方法并没有引起研究动态系统 稳定性的人们的重视，这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理 论占有绝对地位随着状态空间分析法引入动态系统和现代控制理论的诞生， l y a p u n o v 第二法又重新引入控制领域人们的注意，成为近4 0 年来研究系统稳定 性的最主要方法，并得到了进一步研究和发展对于非线性，时变及不确定性系统 稳定性的判别，l y a p u n o v 第二方法至今仍是主要的方法，在系统的稳定性的研究 中占有重要的作用已在应用数学、陀螺力学等领域广泛应用l y a p u n o v 建立了 关于渐近稳定、稳定和不稳定的定理，从而奠定了稳定性理论的基础后来被补 充了很多新定理，如关于全局稳定的定理等l y a p u n o v 稳定性定理已成为解决非 线性系统稳定性的重要理论和方法并被普遍地应用，通称l y a p u n o v 方法或y 函 数法 鉴于研究系统稳定的方法比较丰富以及本文作者的能力有限，本文只是 对l y a p u n o v 方法已有的结论进行阐述与总结读者可以从本文的参考文献及文 献中的参考文献中获得更多的信息 2 东北师范大学硕士学位论文 第2 章l y a p u n o v 稳定性理论 在文献【l 】中详细的介绍了多种稳定性的历史情况稳定性的概念最早源于 力学：一个力学系统具有某种平衡状态，在微小干扰的作用下，这种平衡状态能 否保持，这就是稳定性能够的雏形在静力学方面，在1 7 世纪，t o r r i c e l l ie 就给出 了t o r r i c e l l i 原理：若物体仅受重力作用的话当其重心位置最低时，其平衡时稳定 的，当重心位置最高时，其平衡是不稳定的；后来，l a p l a c ee 证明了太阳系的稳 定性，建立了微分方程模型并提出了l a p l a c e 方程；17 8 8 年，l a g r a n g el 也证明了 太阳系的稳定性，建立了力学系统孤立平衡的稳定性定理：当作用于系统的里函 数在这一平衡位置有极大值时，平衡是稳定的，奠定了近代力学的基础；1 8 6 8 年， m a x w e l lj 关于离心调速系统的研究以及t h o m s o nw 和t a i te 也采用过稳定性 的概念，但都没有给出稳定性的精确数学定义；1 8 7 7 年，r o u t he 也给出了某些循 环系统的稳定性的判别法；1 8 9 5 年，h u r w i t za 也提出了现在的r o u t h h u r w i t z 判 别法，但这些工作都有一定的局限性，没有在理论上解决一般稳定性问题至于对 某些具体问题所建立的非线性微分方程组稳定性的研究，d a l a m b e r t ，l a g r a n g e ， m a x w e l l ，m i n k o w s k i ，c t o d o l a 等都曾应用一次近似的线性方程组来代替非线性微 分方程组研究稳定性，但未能从数学上证明这种代替的合理性稳定性的一般理 论迟迟未建立起来1 9 8 2 年，l y a p u n o v 在其博士学位论文中，第一次给出了运动 稳定性的精确的数学定义，建立了运动稳定性的一般理论 从1 9 世纪末以来，l y a p u n o v 稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和 应用不少学者遵循l y a p u n o v 所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发 展一方面，l y a p u n o v 第二方法被推广到研究一般系统的稳定性例如，1 9 5 7 年， b m z u b o v 将l y a p u n o v 方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性随后， j p l a s a l l e 等又对各种形式抽象系统的l y a p u n o v 稳定性进行了研究在这些研究 中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示， l y a p u n o v 函数是在更一般意义下定义的1 9 6 7 年，d b u s h a w 对表征在集合与映 射水平上的系统建立了l y a p u n o v 第二方法这时，l y a p u n o v 函数已不在实数域 上取值，而是在有序定义的半格上取值另一方面，l y a p u n o v 第二方法被用于研 3 东北9 f f ；j 范人学硕二t ：学位论文 究大系统或多级系统的稳定性此时，l y a p u n o v 函数被推广为向量形式，称为向 量l y a p u n o v 函数用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件 2 1 l y a p u n o v 意义下的稳定性定义 系统运动的稳定性，实质上就是平衡状态的稳定性对于线性定常系统，因 为只有唯一的一个孤立平衡点，所以才能笼统的提出系统的稳定性问题对于其 他的系统而言。不会只有一个平衡点，不同的平衡点有着不同的稳定性，因此只 能研究某一平衡状态的稳定性所以首先了解下平衡状态的定义，才能讨论系统 稳定性的相关问题 设系统的状态方程为 颤f ) = f ( x ，f ) ， ( 2 1 ) 其中工彤，f ( x ，d 为线性或者非线性的n 维空间的向量函数若对所有t ，状 态工均满足j = 0 ，则称该状态工为平衡状态，记为旎那么有 f ( x e ，幻= o 由平衡状态在状态空间中所确定的点，成为平衡点因为非零平衡点总是可 以利用坐标变换将它转移到状态空间的坐标原点，故可只取坐标原点作为平衡点 进行研究l y a p u n o v 稳定性研究的是平衡态附近的运动变化问题，若平衡态附近 某充分小领域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态则称该平衡态是渐近稳 定的；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个领域内运动变化则 称为稳定的在文献【3 4 6 】等等书中均给出了详细的稳定性定义 定义2 1 对于系统( 2 。1 ) ，对任意给定的正实数s 0 ，都存在另一个正实 数6 ( 6 ，t o ) 0 ，使得当 l i x ( t ) 一x e l ls8 ， ( f t o ) 则称系统的平衡状态旎在l y a p u n o v 意义下是稳定的，其中6 ( e ，t o ) 是与s 和t o 有 关的实数；若6 ( ，t o ) 与t o 无关，则称是一致稳定的 4 东北师范大学硕士学位论文 定义2 2 若平衡状态在l y a p u n o v 意义下是稳定的，并且当r 0 0 时，x ( f ) 趋近 于。即1 i ml i x ( t ) 一x , i i = 0 则称平衡状态而为渐近稳定的 f 定义2 3 对于系统( 2 1 ) ，对任意给定的正实数8 0 ，都存在另一个正实数五 o ，6 ( 8 ) ，v t o 0 ，使得当系统的初值x o t o ) 则称系统在平衡状态而是指数渐近稳定的， 定义2 4 若平衡状态而是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空 间，则平衡状态就称做大范围内的渐近稳定 定义2 5 如果对于某一实数8 0 和任意实数6 0 ，当i l 物一x e i s ，( f t o ) 则称平衡状态而是l y a p u n o v 意义下不稳定 在控制工程问题中，总是希望系统更理想化，最好是大范围渐近稳定的，如果 系统不是大范围渐近稳定的，则遇到一个渐近稳定的最大范围的确定问题但是 比较困难的可以看出，把l y a p u n o v 意义下的渐近稳定和工程意义下稳定相比， 有： l y a p u n o v 意义下渐近稳定= 工程意义下稳定 以上只是部分稳定性相关定义。当然还有等度渐近稳定，拟一致渐近稳定等， 可参考文献【3 】 2 2 l y a p u n o v 方法概述及相关理论 l y a p u n o v 稳定性理论讲述了判断系统稳定性的两个方法第一种方法与经 典理论是一致的，通过求解方程，利用解的性质判断系统的稳定性第二种方法 是构造一个l y a p u n o v 函数，根据函数的性质来判断系统的稳定性，不必求解系统 方程这种方法对任何复杂的系统都是适用的，是现代稳定性理论的重要基础和 现代控制理论的重要组成部分 5 东北师范大学硕it 学位论文 l y a p u n o v 第一方法又叫作间接法，是利用系统方程解的性质来判断系统稳 定性的方法，适用于线性定常，线性时变及非线性函数可线性化的情况对于线 性定常系统，主要是根据系统极点的分布来判断系统的稳定性，即为经典控制理 论的稳定性判别方法对于非线性系统，在平衡态的邻域内，可以用线性化了微 分方程式近似描述系统的非线性动力学，并根据线性化系统特征方程式的根( 极 点) 的分布判定该非线性系统在工作点附近是否稳定我们将在下一节详细的介 绍基于l y a p u n o v 第一方法，针对不同系统而得到的已经很完善的稳定性结论 l y a p u n o v 第二方法又称为直接法它的基本思想是建立在古典力学震动系 统中的一个直观物理事实上考虑一个没有外力作用的系统，假设系统的平衡状 态为零，并以某种适当的形式规定系统的总能量是某个常数，这个函数在原点为 零，而在其他各处为正值进一步假定，原来处在平衡状态的系统受到微小扰动而 进入一个非零初始状态若系统的动力学使系统的能量不随时间增长而增加，则 系统的能量不会超过其初始正值，这足以说明平衡点是稳定的若系统的能量随 时间而单调衰减并最终趋于零，则平衡点是渐近稳定的 若能找到一个完全描述上述过程的所谓能量函数，则系统的稳定性问题也就 解决了但因实际控制中情况的不同，系统的形式也就不同，找到一个形式统一。 方法又简单的“能量函数”就比较困难因此l y a p u n o v 引出了一个虚构的能量 函数，使其更具有一般性，应用更方便，更广泛，称为l y a p u n o v 函数 定义2 6 设v ( x ) 为任一标量函数，其中工为系统状态向量，若v ( x ) 具有如下性 质： 1 v ( x ) 是连续的( 反映能量的变化趋势) 2 v ( x ) 是正定的( 反映能量大小) 3 当恻l _ o o 时，y ( 劝一0 0 ( 反映能量分布情况) 那么函数v ( x ) 称为l y a p u n o v 函数 定理2 1 6 1 设系统的状态方程为戈( 力= f ( x ，f ) ，其平衡状态为x e = 0 若存在一 个正定的标量函数v ( x ，力，具有连续的一阶偏导数。又满足条件： ( 1 ) 妖五f ) 在平衡点附近的邻域是负定的，则系统在平衡点处为l y a p u n o v 意义下 的渐近稳定 ( 2 ) 矿( x ，f ) 在平衡点附近的邻域是半负定的，且随着系统状态的运动，坝z ，力不恒 6 东北师范大学硕je 学位论文 为零，则系统在平衡点处为l y a p u n o v 意义下的渐近稳定 ( 3 ) 矿( 工，力在平衡点附近的邻域是半负定的，且随着系统状态的运动，矿t ) 恒为 零，则系统在平衡点处为l y a p u n o v 意义下的稳定 ( 4 ) 矿( 五t ) 在平衡点附近的邻域是正定的，则系统在平衡点处为l y a p u n o v 意义下 的不稳定 ( 5 ) 平衡点处为l y a p u n o v 意义下的渐近稳定，又当l 一时，有矿( 五力_ 0 0 ， 则系统为全局渐近稳定的 以上定理给出了系统稳定性判别的充分条件，即如果能找到满足定理条件 的v ( x ，幻，则可断定系统的稳定情况；但是如果没有找到这样的v ( x ，f ) ，则不能确 定系统的稳定性情况，使用该方法关键点在于怎样选取一个恰当的l y a p u n o v 函 数，但是l y a p u n o v 第二方法并没有提供如何选取l y a p u n o v 函数的方法因此， l y a p u n o v 第二法原理上很简单，实际应用上并不容易 应用l y a p u n o v 函数去判断系统的稳定性的前提是l y a p u n o v 函数是否存在， 在文献【3 捌中，给出了l y a p u n o v 函数存在性定理及几个系统稳定性判别的充要条 件 定理2 2 5 1 若系统( 2 1 ) 的平衡点是稳定的，则有正定函数v ( x ，f ) ，使得杪( 工，f ) 半 负定 定理2 3 3 5 1 设( 2 1 ) 中的函数f ( x ，力在g 内有连续有界的偏导数若( 2 1 ) 的 解x ( f ) = 缸x o ，f ，t o ) 满足 工( 力m e 一缸卜 0 ) l l x o l l ，口 0 ，m 0 ， 则必有函数v ( x ，d 满足 c 1i l x l l 2 v ( x ，力c 2 i l x l l 2 ， 矿( 曲一c 3 i l x l l 2 ，l o r - ( x ) l c 4 i l x l l ， o x i 其中，c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 为正常数 7 东北师范大学硕：t 学位论文 定理2 4 【3 】系统( 2 1 ) 的平衡点稳定的充要条件是，在某区域 g n = ( f ，力：t 0 ，l i x l i h j ， 上存在正定函数v ( x ，f ) ，使得 型d t = 罾+ 妻簧五c 刈，。一= 面+ 二两五( 刈) o - 定理2 51 3 系统( 2 1 ) 的平衡点一致稳定的充要条件是，在某一区域 g t - - ( 厶工) ：t t o ，i i x l i 0 ，凡满足v ( x ，d 7 7 的( f ，x ( o ) 有 l i mi i x ( t ) l i = 0 定理2 7 3 1 系统( 2 1 ) 的平衡点一致渐近稳定的充要条件是，在某区域 g n = ( f ，z ) ：t 0 ，i i x l l 日) ， 上存在具有无穷小上界的正定函数v ( x ，f ) ，使得面d v 负定 定理2 8 【3 】设( 2 1 ) 中的函数f ( x ，f ) c 1xr n ，r n 】，f ( o ，f ) = 0 ，且关于x 满 足l i p s c h i t z 条件则( 2 1 ) 的平衡点全局指数稳定的充要条件是：存在正定 的v ( x ，力c 1 【，x 酽，r + 】满足 1 ) i i x l i v ( x ，0 k ( a ) l l x l l ，工s 口= x ：l i x l l 口 ； 2 ) 石d v - q c v ( x ，f ) ， 这里0 0 ，对任何s 0 ，存在t = 丁( 8 ) 0 及i l x l i = a ，使得v ( x o ，丁) 2 0 0 1 年文献【2 9 】对l y a p u n o v 函数给予改进，其结论及周期系统的渐近稳定性 和不稳定性此处不再介绍，周期系统稳定性可参考文献【3 1 9 东北师范人学硕：l 学位论文 第3 章基于l y a p u n o v 方法的系统稳定性结论 3 1 l y a p u n o v 方法在无时滞项的系统稳定性中的结论 上一节，已经给出系统稳定性的一些定义和l y a p u n o v 理论，很多学者由此， 针对不同的系统进行研究，得到了不少具体系统问题的稳定性结论如在1 4 6 - 8 等 文献中均对不同系统详细的给出了能够保证系统稳定的条件下面，适当的给出 这些结论 首先，由系统方程的解出发，解的性质取决于系统的状态转移矩阵因而。在 讨论线性定常系统的稳定性时，直接由状态矩阵a 的特征值来判断系统的稳定 性即可 定理3 1f 4 】对于线性定常系统 ， 颤力“x ( t ) ， ( 3 1 ) i l x e = 0 ， 其中，x 为n 维状态空间向量，a 为r l x n 的常矩阵。 当且仅当a 的所有特征值都满足r e a f 0 ，且对于每一个r e l 产0 ，代数重 数q i 2 的特征值满足r a n k ( a a d ) = n q i 时，为x 的维数) 系统( 3 1 ) 的平 衡点x e = 0 是稳定的 当且仅当a 的所有特征值满足r e l f 幻 满足这一条件时，有时称系统是指数稳定的 定理3 3 【4 】 颤“1 ) _ g x ( k ) ，( 3 3 ) l “o ) = x o ， k = 0 ，1 ，2 ， 平衡状态满足g x e = 0 ，显然x e = 0 为平衡状态若g 为奇异阵，则有非零的平衡 状态存在对于线性定常离散系统( 3 3 ) ，有 ( 1 ) g 的全部特征值a i ( g ) ( f = l ，2 ，1 ) 的幅值均小于或等于1 ，幅值为1 的特 征值g 是最小多项式的单根，则其平衡状态是l y a p u n o v 意义下稳定的 ( 2 ) 若g 的全部特征值a i ( g ) ( f = 1 ，2 ，咒) 的幅值均小于1 ，则其唯一的平衡状 态是渐近稳定的 在非线性系统的稳定性分析中，为了研究简单，总是希望能把一个复杂的非 线性系统用一个相对简单的线性系统来近似，并通过对这个线性系统的稳定性的 研究。来判断原来非线性系统的稳定性，进而进行系统的设计和综合但是并不是 东北师范大学硕士学位论文 所有的非线性系统能够将非线性项忽略，或者任意线性化能够进行线性化的只 有那些弱非线性系统文献【7 】非线性定常系统为例，介绍了线性化的方法 考虑 j c ( t ) = f ( x )( 3 4 ) 其中，是d 一彤连续司微映射假设原点x = 0 在d 内，且为系统的一个平衡 点，即，( o ) = 0 根据均值定理 ， 五( 工) ：五( o ) + 娑( 忍k 其中z f 是连接x 与原点之间的线段上的一点，前面的等式对于任意一点工d 都 成立，从而使连接x 到原点的线段全部在d 内由，( o ) = 0 可写出 正( 曲：掣( o h + 【掣( z f ) 一擎( o ) k o xo xo x 因此，( 曲= a x + g ( x ) 其中a = 筹( o ) 和g i ( x ) = 【髻亿) 一碧( o ) 】x 函数g i ( x ) 满足 i g i 孰) 一箬( o ) 】i l 慨i i 根据【筹】的连续性知， 百i l g ( x ) i 一0 ，l l x i f _ o 叫l ” 。 说明在原点的一个小邻域内，可以用对系统在原点的线性化方程 颤f ) = a x ( t ) 其中a = 筹( o ) ，近似表示非线性系统( 3 4 ) 定理3 41 7 设x e = 0 是非线性系统( 3 4 ) 的一个平衡点，其中，是d _ 彤连续 可微映射，且d 为原点的一个领域设a = 甏( o ) 那么 1 若a 的所有特征值都满足a f 0 ，则原点是不稳定的 1 2 东北师范大学硕士学位论文 注：( 1 ) 基于小扰动线性化所得到的结论本质上是一种局部稳定性 ( 2 ) 对于非线性系统，若a 的某些特征值具有零实部，而其余特征值具有负 实部，则用线性化方法得不到关于稳定性的结论 f 以上是以非线性定常系统为例，介绍了将非线性系统线性化的一种方法，对 于时变或者离散的非线性系统。在可线性化的前提下，方法是一样的当然，从上 面的理论我们可以看出，这种方法的思想就是将系统中带有非线性性质的部分想 办法抽离出来，使得线性化后的线性部分稳定性与原系统的稳定性保持一致因 此我们也可以用把系统方程展成泰勒级数的方法将非线性系统线性化 以上是基于l y a p u n o v 第一方法而得到的一些系统稳定性结论，下面是基 于l y a p u n o v 第二方法的一些系统稳定性结论 定理3 5 【7 】设线性定常连续系统为 颤d - a 缸力， ( 3 5 ) 【x e = 0 其中x 为n 为状态空间向量，a 为n x n 的常矩阵系统( 3 5 ) 在平衡状态x e = 0 处 为渐近稳定的充要条件是：对任给一个正定对称矩阵q ，存在一个正定的对称矩 阵p ，且满足如下l y a p u n o v 方程 a t p + p a = 一q 且p 是唯一的 注：( 1 ) 该定理中，q 为对称正定的，q 的选择是一类矩阵系统的稳定性结论 与q 的选择无关，通常q 选为单位阵，不会影响结论的正确性 ( 2 ) 有前面的稳定性理论知，该定理也是矩阵a 的所有特征值具有负实部的 充要条件 ( 3 ) 利用该定理的一般步骤： 确定系统的平衡状态 1 3 为 一 一 一 式 。 。 形 n 一 肌的f p = 阮 p 称 对实没且 0， = q 取 东北帅范犬学硕士学位论文 解方程a t p + p a = 一i 解出p 判断p 的正定性若p 0 ，则系统是稳定的，且v ( x ) = x - r p x 定理3 6 【7 】设线性时变连续系统为 慨颤力 6 ， 其中x 为n 为状态空间向量，a 为n n 的与t 有关的矩阵系统在平衡状 态x e = 0 处为渐近稳定的充要条件是：对任给一个正定实对称的时变矩阵q ( r ) ， 存在一个连续的正定的实对称矩阵p ( f ) ，且满足如下l y a p u n o v 方程 一p ( t ) = a ( f ) t p ( f ) + p ( t ) a ( t ) + q ( f ) ， y t 芝t o 且p 是唯一的 注：利用该定理的一般步骤： 1 确定系统的平衡状态 2 任选正定对称矩阵q ( t ) ，代入矩阵方程 - p ( t ) = a ( f ) lp ( f ) + p ( f ) a ( 力+ q ( f ) 解出矩阵p ( t ) 该矩阵方程属于r i c c a t i 矩阵微分方程，其解为 ，r p ( f ) = t ( t o ，t ) p ( t o ) d p ( t o ，力一f t ( lf ) q ( 7 ) ( lt ) d r 旬 式中，亿f ) 是系统y c ( t ) = a ( f ) 颤f ) 的状态转移矩阵，p ( t o ) 是r i c c a t i 矩阵微 分方程的初始条件为了计算方便，可选q ( f ) = a = i ，则 p t p ( t ) = t ( t o ，t ) p ( t o ) 西( 幻，f ) 一f t ( 丁，f ) m ( lf ) d t l d 3 判断矩阵j p ( 力是否满足连续性以及对称正定性：若满足，则线性时变系统 是渐近稳定的且有。 v ( x ，力= 工。( f ) p ( f ) x ( 力 1 4 东北师范大学硕+ i ：学位论文 定理3 7f 6 】设线性定常离散系统为 x ( k + 1 ) = g x ( k ) ， 其中，g 为r l n 阶的常系数非奇异矩阵系统在平衡点x e = 0 处为渐近稳定的 充要条件是：对任给一个正定对称矩阵q ，存在一个正定的对称矩阵p ，且满足如 下方程 且p 是唯一的 g t p g p = - q 注：利用该定理的一般步骤： 1 确定系统的平衡状态 2 选正定矩阵q ，一般选a = i ，则由矩阵方程g t p g p = 一a 解出p 3 判断p 的正定性若p 0 ，则系统是渐近稳定的，且颤足) 】= x r ( k ) p x ( k ) 是系统的l y a p u n o v 函数 定理3 8 【8 】设线性时变离散系统为 搿蛔m m 轨 7 ， 系统( 3 7 ) 在平衡点x e = 0 处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的 正对称矩阵q ) ，存在一个实对称正定矩阵p ( k + i ) ，且满足如下矩阵方程： g ( 七+ 1 ，k ) p ( k + 1 ) g ( k + 1 ，助一p ( k ) = 一q ( k ) 且标量函数 y 【z ( 七) ，明= ，( k ) p x ( k ) 为系统的l y a p u n o v 函数 注：利用该定理的一般步骤： 1 确定系统的平衡状态 1 5 东北师范大学硕士学位论义 2 选正定对称矩阵q ( k ) ，则由矩阵方程 g t ( 七+ 1 ，k ) p ( k + 1 ) g ( k + 1 ，k ) 一尸( 七) = 一q ( 七) 解出p ( k + 1 ) 该方程为矩阵差分方程，其解的形式为 占 p ( k + 1 ) = g 。( o ，k + 1 ) p ( o ) g ( o ，k + 1 ) 一 g l ( f ，k + 1 ) q ( f ) g ( f ，k + 1 ) 箭 式中，g ( i ，k + 1 ) 为转移矩阵；p ( o ) 是初始条件 3 判断p ( k + 1 ) 的正定性若正定，则系统是渐近稳定的，且“七) ，k 】= x t ( 足) p ( 七) 缸七) 是系统的l y a p u n o v 函数 并不是所有的非线性系统都可以线性化，所以研究非线性系统的稳定性，得 从自身没有非线性化的系统进行研究文献【8 】给出了几种基于l y a p u n o v 第二法 的方法可以达到我们所期望的，分别是用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件 的k r a s o v s k i 方法，用于构成非线性系统l y a p u n o v 函数的s c h u l t z g i b s o n 变量梯 度法，用于某些特殊非线性控制系统稳定性分析的近似线性法，l u r e 法，以及用 于构成吸引域的p o p o v 方法等这些方法并不是总有效的，但是对于一些复杂的 非线性系统，提供了构造l y a p u n o v 函数的非试凑的方法 ( 1 ) k r a s o v s k i 方法 k r a s o v s k i 方法又称j a c o b i 方法，给出了非线性系统平衡状态大范围渐近稳 定的充分条件 、 设非线性系统的状态方程为颤d = 八曲，其平衡状态为x e = 0 假 设厂( 工) 对x 在整个状态空间可导，系统的j a c o b i 矩阵为 - ，( 曲= d f ( x )a 饥，厶) d x t o ( x l ，翰) a f t _ 堑o x 2 矧 l 舐ia 砀i i 堑丝丝l l 舐l 锄a 砀i | i 【筹籍筹jl 叙l 锄j 定理3 9 【8 1 ( k r a s o v s k i 定理) 如果任给一个对称正定矩阵p ，使矩阵 q ( x ) = 一 j r ( 动p + p ，( 工) 】 1 6 东北师范大学硕士学位论文 是正定的，那么平衡状态x e = 0 使渐近稳定的式中，( 工) 为j a c o b i 矩阵系统 的l y a p u n o v 函数可为 y ( 曲= i c - r p t ( 2 ) 变量梯度法 假设y ( 工) 是非线性系统j = f c 工) 的l y a p u n o v 函数，则 矿( 曲= 【v 工v ( 曲】t j ( 3 8 ) fd v ( x ) = fi v j y ( 枷t d x ( 3 9 ) 其中要求y ( 工) 在状态空间原点的领域内具有连续的梯度函数，也就是作为n 维 向量的梯度函数v j y ( 曲的n 维旋度均是零，即y ( 曲的j a c o b i 矩阵为对称矩阵， 数学上表达为 罂婴：攀“：l ，2 ，咒：- 2 ：l ，2i 二 ，丌 o x i o xf o x i i t i x i 旋度为零意味着上式积分与路径无关，那么有 矿( 曲= r 1 瓦o v 出- l 矩一一。l , i o 豢x 2 d x 2 b 一一o + + o v i 训x 衙i = x l ：；砀2 而 假定v 上v ( 功具有如下形式 v j v ( x ) = a y o x l d y o x 2 a y a x n a 1 1a 1 2 a 2 1a 2 2 a n la n 2 ( 3 1 1 ) 上式中系数矩阵中元素，f ，j = 1 ，2 ，z 不一定是常数，可能是状态分量 的函数系数应满足约束条件：( 1 ) 至少使