（运筹学与控制论专业论文）一类时滞方程的谱与解展开.pdf

中文摘要 对于时滞微分方程，由于其应用背景的广泛性，引起了很多的专家学者的注 意，并取得了很多很好的研究成果，但他们对方程的研究主要还是集中在系统解 的存在性，唯性，有界性与稳定性这些定性分析上而对于系统定量分析的研 究却少之又少如果能够对系统的解进行展开，那么我们就可以更清楚的了解解 的内部结构以及解的收敛性质，动态行为，更好的解决数值计算问题等等也就 是说，我们对于系统的研究从此也就可以由定性分析上升到定量分析 本文主要目的是尝试对系统进行解的展开 研究的模型来自于实际高精密切割过程中具有时间延迟的机床振动问题。对 于此模型，我们对它进行了线性化，得到了下面的方程 ，l - 、2 露( t ) + 2 忌也( ) + ( 口2 + 鬻) 牡( t ) 2 等珏( 。一丙7 r ) 其中u ( t ) 表示相应振荡模的方向，七，o t ，m ，都是一些物理参数，具体的意义 参考 8 】文献【8 】研究了系统的稳定性，这里主要研究系统所确定的算子的谱以 及解的展开问题。我们首先借助于泛函分析方法，将二阶时滞微分方程写成抽象 发展方程，利用半群理论得到了系统的等价性与适定性然后对系统算子给出了 较细致的谱分析，这里主要借助于文献 9 】中计算零点的方法给出了算子本征值 的渐近表达式。最后研究系统算子特征向量的性质，并证明本征向量列不能构成 状态空间基，即便这样我们仍给出方程解的展开式这样我们便应用算子半群理 论将解的展开问题得以解决由此对系统的定性分析上升到了系统的定量分析 为了让本文结果更直观，更清楚，我们对系统进行了数值模拟，通过和传统 的迭代方法进行比较，得到系统解展开的优越性。我们发现，当时间t 大于某一 个时刻后，系统解开始趋于稳定，数值计算得到的结果比迭代的方法更精确但 对于时间t 小于某一时刻前的结果我们还没有从理论上给予并验证，因此我们还 是建议当时间t 小于某一时刻以前用传统的方法去解决 尽管本文是对机床振动模型进行研究的，但由于我们采用的方法具有一般 性，因此这样的方法可以推广到其它模型的研究中去 关键词：时滞方程岛半群适定性谱分析解展开 a b s t r a c t t h es t u d yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( d d e ) h a sa t t r a c t e dm a n ye x p e l sa n d s c h o l a r sb e c a u s eo ft h ew i d ep r a c t i c a lb a c k g r o u n do fi t ，a n dm a n yg o o dr e s u l t sh a v e b e e ng a i n e d h o w e v e r ，t h o s er e s u l t sm a i n l yf o c u so nt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h e e q u a t i o n s ，n a m e l yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，b o u n d e d n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h es y s t e m s o l u t i o n s ，b u tt h e r ei sal a c ko fq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so ft h ee q u a t i o n s h o w e v e r i fw e e x p a n dt h es o l u t i o no fas y s t e m ，t h e nw ec a l lg e tam o r ee x p l i c i tu n d e r s t a n d i n go ft h e i n n e rs t r u c t u r e ，c o n v e r g e n c ep r o p e r t ya n dd y n a m i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o na n dg i v ea m o r es a t i s f y i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o na sw e l l t h a ti st os a y , t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so f t h es y s t e mi sd e v e l o p e di n t oq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s t h ea i mo ft h ep r e s e n tp a p e ri st op r o v i d et h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h es o l u t i o n t od d e t h em o d e lw es t u d yd e s c r i b e st h ev i b r a t i o no fm a c h i n et o o l sw i t ht i m e - d e l a yi n h i g hp r e c i s i o nc u t t i n gp r o c e s si np r a c t i c e t h el i n e a r i z a t i o no ft h i sm o d e ly i e l d st ot h e e q u a t i o nb e l o w ： 泖) 秘酢) + ( “鲁) 珏= 磊k 8 乱( 一斋) ， w h e r e 牡( t ) d e n o t e st h ed i r e c t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go s c i l l a t i o nm o d e ，a n dk ，q ，m ，n a r ea l lp h y s i c a lp a r a m e t e r s ，t h em e a n i n g so fw h i c hr e f e rt o 【8 】r e f e r e n c e 【8 】s t u d i e dt h e s t a b i l i t yo fi t w h e r e a s ，w em a i n l yd i s c u s st h es p e c t r u ma n a l y s i so f t h es y s t e mo p e r a t o r a n dt h ee x p a n s i o no ft h es o l u t i o n f i r s t ，b ya p p l y i n gf u n c t i o n a la n a l y s i s ，w er e w r i t e t h es e c o n do r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oa b s t r a c te v o l u t i o n a r ye q u a t i o ni na h i l b e r ts t a t es p a c ea n dp r o v et h et w oe q u a t i o n sa r ee q u i v a l e n ta n dw e l l - p o s e d 。t h e n w i t ht h em e t h o dp r o v i d e di n 9 ，w eg i v et h ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o no ft h ee i g e n v a l u e so f t h es y s t e mb yad e t a i l e ds p e c t r u ma n a l y s i s a f t e rt h a t ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h e e i g e n v e c t o r sa n dp r o v et h a tt h e yc a n n o tf o r mab a s i sf o rt h es t a t es p a c e h o w e v e r ，w e s t i l lo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o na c c o r d i n gt ot h e e i g e n v e c t o r s i nt h i sw a y , w es o l v et h ep r o b l e mo fs o l u t i o ne x p a n s i o nu s i n gs e m i g r o u p t h e o r yo fl i n e a ro p e r a t o r s t h e r e f o r e ，w ea s s e r tt h a tt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h e s y s t e mi si n d e e dd e v e l o p e di n t oq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s a tt h ee n do ft h i sp a p e r ，w ep r o v i d ean u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h es o l u t i o nt o i l l u s t r a t eo u rr e s u l t si n t u i t i o n i s t i c a l l ya n de x p r e s s l y b yc o m p a r i n gt h et r a d i t i o n a li t e r - a t i o n sw i t ho u rm e t h o d ，w ei n d i c a t et h ea d v a n t a g e so f0 1 1 1 s o l u t i o ne x p a n s i o n w ef i n d t h a tt h es o l u t i o no ft h es y s t e md r i v e st os t a b i u t ya stb e c o m e sl a g e r ，s oo u rn u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sm o r ep r e c i s et h a nt h o s ei t e r a t i o n s b u tw h e nti ss m a l l t h er e s u l th a sn o t h e o r e t i cv e r i f i c a t i o nb yn o w ，t h u sw es u g g e s tt h et r a d i t i o n a li t e r a t i o n sf o rs i m u l a t i o n i nt h i ss i t u a t i o n a l t h o u g hw es t u d yt h em o d c lo fv i b r a t i o no fm a c h i n et o o l sw i t ht i m e - d e l a y , t h e m e t h o dw eu s ei nt h i sp a p e rc a na l s ob ea p p l i e dt ot h ea n a l y s i so fo t h e rm o d e l sw i t h d e l a yb e c a u s eo fi t sg e n e r a l i t y k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nc 0s e m i g r o u pw e l l - p o s e d h e s ss p e c t r u m a n a l y s i s s o l u t i o ne x p a n s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名： 强寓 签字日期： 纠8 年心月引日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：夏鸣 导师签名： 签字日期：矽g 年口 月j 日 签字日期：弘堍年r 月予日 第一章绪论 1 1 研究的课题背景 第一章绪论 振动是自然界和工程界常见的现象，它与人们的生存，生活息息相关 比如在自然界，声波、水波的形成都与振动有关，在工程界，振动更是起到 了非常重要的作用，许多工艺和重要设备仪器的作用效果都是由振动来完 成的( 如振动传输、振动研磨、振动沉桩等) ，然而并不是所有的振动都是 有益的，一些振动不仅会影响仪器设备功能，降低机械设备的工作精度， 甚至有些振动会加剧构件磨损，甚至引起结构疲劳破坏因此对于这些振 动我们应对它进行适当干预，以此减少带来的破坏，同时要认识它，研究 它，利用其规律来为人类创造财富，体现振动带来的价值 特别地，在工业上，机床切割工件质量的好坏很大程度上取决于它的 精密性，而它精密性在很大程度上又被当时切割时的振动所影响。导致机 床振动的原因有很多种，其中大多数振动都能用机械动力学中的传统方法 解决，然而，对于切削过程中产生的自激振动处理起来却很困难因为我 们既不能轻易断言这些振动产生的时间及其原因，也不能仅仅通过改变诸 如反馈、切削深度、切削速度等技术参数来给出避免震动的方法。因此有必 要对它进行研究事实上，由于一些外部扰动的影响会引发床体相对于工 作部件的阻尼振动，所以，这些工件的表面会变成波状这种呈波状的表面 会使切片的厚度在工作部件( 或床体本身) 工作一个周期后发生变化即切 削强度由床体以及工件的相应位移引起的实际时滞决定，这里时滞的长度 与工件( 或床体) 时滞下完全相等 因此对带时滞的机床振动系统进行研究有很好的利用价值。 1 2 时滞微分方程的历史 现实中，对每一个实际的系统，小到一个具体的对象，大到一个社会系 统、金融系统、生态系统，总是在一定的干扰下运行的，而且由于在实际应 1 第一章绪论 用中，信息的传输和我们对信息的反应速度都是很有限的，即使是以光速 传递的信息系统也不例外，所以时滞是绝对不能避免的 1 7 5 0 年，大数学家e u l e r 提出一个问题：是否存在一种曲线，它经过平 移、旋转以后能和其渐近线重合2 在此基础上，c o n d o r c e t 于1 7 7 1 年导出了 第一个时滞微分方程( 泛函微分方程) 从而带有时间延迟的物理现象便能 够用数学理论，数学方法来描述了随后时滞微分方程引起了众多的专家学 者的关注，并有许多相关的专著出版，比如 1 】 2 】2 。到目前仍有许多文献在研 究时滞方程，不仅包括时滞系统的控制与解的数值计算，如 3 】 4 】 5 】 6 】【7 】及 其后的参考文献，而且大量文献对差分方程解与时滞方程相联系的问题， 以及时滞系统的控制问题都有涉及如 1 6 1 7 1 1 1 s 】等等随着专家学者研究 的深入，时滞微分方程在许多学科都表现出了极大的应用价值，如在核物 理学、电路信号系统、生态系统，化工系统、遗传问题、流行病学、动物与 植物的循环系统、社会科学等等。 针对不同的学科，不同的领域，研究的方向不一样，导出的时滞方程形 式不一样，关心的角度也不一样但归纳起来主要集中在下面两个方面： 一方面是时滞微分方程解的存在性唯一性及有界性；另一方面是时滞微分 方程的稳定性与分岔 1 3 关于时滞微分方程解研究的现状 现阶段人们主要还是对带有时滞项的非线性系统进行研究的，研究系 统解的存在性【1 3 】 1 4 】【15 有界性 1 9 】 2 0 】 2 1 】 2 2 】，平衡点的存在性【2 3 等，一 般常用的方法是用l i p s c h i t z 条件来保证解的存在性，唯一性如f 2 4 2 5 】等。 随着研究的不断深入，现在已经有更多的方法来对此问题进行解决了文 献 2 6 】利用拓扑度和重合度理论研究了时滞微分方程t 周期解存在性；文 献 2 7 】利用f o u r i e r 级数理论和实分析不等式技巧，来讨论时滞差分方程的 周期解的存在性与唯一性；文献 2 8 】则利用锥上不定点定理研究了一类二 阶时滞微分方程边值问题并得到了保证其正解存在的充分条件而对于解 的有界性也出现了很多有用的结果，文献 1 9 】是利用辅助函数的方法得到 了某类方程解的有界性的判定准则文献 2 0 】利用不等式估计的方法给出 了解的有界性比较定理，同时用l y u p n o v 方法给出了微分方程有界性判别法 2 第一章绪论 则文献 2 1 】则应用预解矩阵r ( n ，m ) 讨论了一类非线性时滞系统解的有界 性和零解的全局稳定性，同时给出了当系统为周期系统时。周期解存在唯 一的一组充分条件 1 4 关于时滞微分方程稳定性研究的现状 对于系统的稳定性研究已久，虽然l a p l a c e ，l a g r a n g e ，m a x w e l 等人都 曾经使用过稳定性的概念，但是都没有给出精确的数学定义直到1 8 9 2 年， 俄国著名数学力学家l y a p u n o v 在他的博士论文运动稳定性的一般问题 中，才给出了渐近性理论中运动稳定性的严格数学定义和用来讨论稳定性 的一般数学方法。他将由p c a n o ，b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程 解对初值和参数的连续依赖性这一概念，从自变量在有限区间上变化拓展 到无穷区间上，科学地给出了系统中运动是稳定和渐近稳定的概念；他从类 似系统总能量的物理观念得到启示，提出了后来被人们称为l y a p u n o v 函数 的概念( 2 9 】 3 0 】 3 l 】) ，从而建立了稳定性理论研究的框架，奠定了稳定性的 数学理论基础这一理论一直延续至今，现在已经渗透到应用数学、力学、 控制与系统理论等众多领域，取得了巨大的发展。l y a p u n o v 方法应用范围很 广泛，不仅很好的应用在正常系统上 3 2 】【3 3 】 删，而且对于时滞系统，非线 性系统等也发挥了巨大的作用，比如文献【3 5 】利用一类积分不等式，j e n s e n 不等式及参数变异法给出了一般的中立型时滞微分系统的l y a p u n o v 稳定性 的判别准则但是l y a p u n o v 方法仍存在着自身的局限性，比如l y a p u n o v 函 数构造起来很困难，计算过程也相当复杂，对广义时变系统研究的结果不 多，而对带有时滞的广义时变系统研究的结果更少等等更为遗憾的是， 对于稳定性的研究，在理论上没有太大的突破 1 5 本文研究的目的与方法 不管是研究系统解的存在性，唯一性，有界性还是研究系统的稳定性， 我们不难发现它们都有一个共同的特点，那就是这些结果都停留在对系统r 的定性分析上，但对于定量的分析却很少涉及，究其原因，还是不知道解的 内部结构到底是什么样子的。因此能否对方程的解进行展开成了一个重要 3 第一章绪论 的问题，如果能够对方程的解进行解展开，那么解的内部结构，解的一些性 质都会很容易得到，从而就可以由原来对解的定性分析上升到定量分析 所以很多的专家都试图将解展开，虽然取得了一定的结果，但并不是很理 想从文献 3 6 】我们可以粗略的看出解的展开产生的巨大作用文献 3 6 】研 究了一类时滞微分方程的近似解问题对于一类带阻尼和一般力的时滞微 分方程问题求得一致有效渐近展开式，给出了共振解比较简单的近似解析 表达公式应用该公式，大量工程中的时滞动力系统共振问题可方便地得 到近似解析解以及振幅、频率、周期和相位等。很明显，近似解在实际问题 的计算方面都起着非常重要的作用它给工程带来了更多对实际有价值的 东西因此如果我们能够对解进行完全展开，那么我们便有理由相信它会 在理论和实际工程中起到更大的作用，体现更大的价值。 基于此，本文试图对系统的解进行完全展开研究的模型来源于实际 问题，它是高精密切割过程中具有时间延迟的机床振动问题【8 】文 8 】已经 很好的研究了系统的稳定性问题，但对于如何实施控制还是没有很好的方 法，这依然是加工过程中难以解决的问题对此类时滞系统进行研究，定性 研究已经日趋完善，但定量分析却远远不够，为了更好的了解解的渐近行 为，动态行为，内部结构，以及收敛到平衡点的快慢程度，我们应用算子半 群理论对系统进行解展开具体操作如下，我们首先将原方程写成抽象发 展方程的形式，然合利用半群理论建立系统的适定性，进一步研究系统算 子的谱，并用求零点的方法得到了本征值的渐近表达式，最后在非基状态 下得出了解的完全展开值得一提的是虽然本文工作是针对某一类特殊的 模型进行的，但所用方法可用于一般时滞方程解的展开研究 1 6 文章结构简要说明 本文共分为4 章，中心内容为第三章。结构如下： 第一章为绪论部分介绍了研究此类问题的历史与发展现状，并列举 出了研究此类问题所用到的工具及研究方法，同时给出了在研究具有时间 延迟的机床振动问题过程中所遇到的主要难点和一些需要解决的问题 第二章为基础知识部分在这里只对文章所用到的算子半群理论方面 的定义和定理进行了简要的介绍，给出了半群理论中一些常用的主要结果 4 第一章绪论 第三章为本文重点部分这部分工作主要是按照下面三个步骤进行的， ( 1 ) 模型的背景与方程的建立研究的模型来源于实际问题，它是高精 密切割过程中具有时间延迟的机床振动问题【8 】8 问题本身是一个非线性问 题，在适当的线性化后，系统的行为由如下方程描述【8 ，f o r m u l a , 4 3 7 ，p p 1 3 8 ， ，l， 矗一、 ， 豇( t ) + 2 玩( t ) + ( a 2 + 象) ( ) = 詈u 卜篑) ， 其中u ( t ) 表示相应振荡模的方向，充，o t ，m ，n 都是一些物理参数，具体的 意义参考 8 】 ( 2 ) 针对方程，作者用数学的观点对它进行了处理我们借助于泛函分 析方法，首先选择适当的状态空间，将研究的问题写成空间中的抽象发展 方程，证明了抽象发展方程与原方程的等价性，然合利用半群理论建立了 系统的适定性，并对系统确定的算子给出了较细致的谱分析，此处我们借 助于文【9 】中计算函数零点的方法，以及一些渐近分析技巧给出了算子本征 值的渐近表达式，同时得到了相应本征向量最后通过估计r i e s z 投影的范 数，证明了本征向量列不能构成状态空间基，但我们给出方程解的展开式。 ( 3 ) 给出了方程的数值模拟，在数值模拟里我们选定了一组参数，不仅 从图象上看到了特征值的分布情况，得到了系统的稳定性，而且在理论上 得到，在时间t 大于某一时刻后，用公式得到的数值模拟比传统的迭代方法 得到的结果更精确体现出了系统解展开的优越性 第四章为结束语部分，提出了该研究下一步的主要工作，以及待解决 的一些问题，并对于这一方法进行了总结和展望 5 第二章基础知识 第二章基础知识 2 1 线性算子半群基本概念及性质 本节设x 是b a n a c h 空间 定义2 1 1设x 是b a n a c h 空间，t ( ) ( o t ) 是x x 的有界线性 算子族，称t ( t ) ( 0 t u 蛐时，有 i i r ( a ，么) n 忪丽i i v l w 矛= 1 ，2 ) 下面我们介绍指数公式 当a 是x 上有界线性算子，生成半群t ( t ) ，且t ( t ) = e a t = 磊印仍 然是x 上的有界线性算子若4 是无界线性算子，上式不成立，但我们有 下面的结论： 指数定理设t ( t ) 是x 上的一个岛半群，4 是t ( t ) 母元，则： t ( t ) z = 溉o 一寺4 ) - - n z = n h - - m - * 0 0 詈兄( n 。，a ) n z ，对妇贼立， 且极限关于t 在任何有界区间上是一致的 2 2 c o 半群生成理论 定义2 2 1设t ( t ) 是岛半群，则存在常数u 0 与m 1 ，使得 i i t ( t ) l f m ，0 若u = 0 ，则称t ( t ) 为一致有界；若i i t ( t ) l l l ( 1 j p ：m = 1 ，u = 0 ) ，则称t ( t ) 为压缩半群 定理2 2 2 ( h i u e - y o s i d a - p h i l l i p s ) 一个线性算子a 是岛半群 t ( t ) ；0 ) 的无穷小生成元的充要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定算子； 8 第二章基础知识 ( 2 ) 存在实数m 与u ，使得当入 u 时有入p ) ，且 i i r ( a ；删志，( n e 毗 推论2 2 3线性算子4 是一个满足i i t ( t ) l i m 的岛半群的无穷小 生成元的充分且必要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定的； ( 2 ) 若豫a u ，贝0 入p ( a ) 且 l l n ( a ；卵忪志，n n 推论2 2 4 设4 是x 上岛半群t ( t ) 的无穷小生成元，a x = a a r ( a ，a ) = 入2 r ( a ，a ) 一m ，则 t ( t ) x = 1 i me 2 4 z ，) ( 寸v z x 由此我们引出定义：推论2 2 4 中的a a = a a r ( a ，a ) 称为4 的y o s i d a 逼 近 定理2 2 2 中条件( 2 ) 中的预解式估计的复杂性使我们转向考虑耗散算 子： 设x 是b a n a c h 空间，x 为其对偶( 共轭) 空间我们以( 矿，z ) 或( 。，z ) 表示x + x + 在x x 的值，对于v z x ，定义对偶集f ( z ) 黔如下： f ( z ) = 矿旷x + ，且( z ，z + ) ：m 1 2 = 咿1 1 2 对v x x ，由h a h n b a n a c h 定理知f ( x ) 定义2 2 5一个线性算子4 称为耗散的，如果它对于每一x d ( 一4 ) ，存 在z f ( z ) ，使得跄( 。4 。，z ) 0 定理2 2 6设x 是b a n a c h 空间，一4 是口( 4 ) cx x 的闭线性算子，如 果存在7 0 ，使得1 1 4 = 1 i 7 1 1 2 1 i ，则n ( a ) 是x 中的闭子空间。 定理2 2 7线性算子a ：d ( 么) 一x 闭稠定且耗散，则对于垓 0 ， i i ( a a ) z l i a i i z i i ，对于v x 口( 4 ) 和入 0 成立 推论2 2 8若4 是闭稠定耗散算子，则对v a ，跄入 0 ，有入o r r ( 4 ) u p ( a ) ， 特别有f i ( a 一4 ) 一1 i f 圭，当入j d ( 么) ， 推论2 2 9设x 是b a n a c h 空间，4 是x 中的闭稠定耗散算子，那么对 任意的入c ，蹰a 0 ，或者都是预解点或者都是剩余谱点特别当入p ( 4 ) 时，有i i ( a i 一么) 一1 | | 弧1 9 第二章基础知识 由推论2 2 8 和定理2 2 2 我们得到下面的岛压缩半群的生成定理， 定理2 2 ，1 0 ( l u m e r - p h i l l i p s 定理) 若4 是闭稠定耗散算子，且1 p ( 4 ) ，则 么生成一个岛半群t ( t ) ，并且满足咿( 圳1 推论2 2 1 1设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，则a 为压缩半群t ( t ) 的无穷小生成元的充分必要条件是 ( 1 ) ( 0 ，。) cp ( 4 ) ； ( 2 )i l r ( 入，4 ) i l 去，叉- 入 0 推论2 2 1 2设么是b a n a c h 空间( h i l b c r t 空间) x 上闭稠定算子，若 4 耗散且( 0 ，o o ) cp ( a ) ，则么为某一压缩半群的无穷小生成元 推论2 2 1 3设a 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，且4 与都是耗散的，则么是x 上某压缩半群的无穷小生成元 2 3 有界线性算子扰动理论 引理2 3 1设么是一个线性算子，从4 ) 3 ( 0 ，o o ) 。如果lj r 4 ) | i m ，礼= 1 ，2 ，入 0 ，则存在x 上的一个范数i | ，它和x 上的原有范数 等价且满足 ( 1 ) f l x f m l l x l i ，对于z x 成立； ( 2 ) i a r ( 入，a ) x l h ，对于。x 和a 0 成立 定理2 3 2设x 是b a n a c h 空间，4 是x 上满足l i t ( t ) l i m e “的岛半 群t ( t ) 的无穷小生成元如果召是x 上的有界线性算子，则么+ 8 是x 上一 个满足i i s ( t ) l i m e ( 。+ m l l b i i ) 的岛半群s ( t ) 的无穷小生成元 下面考虑4 生成的半群t ( t ) ，a + b 生成的半群s ( t ) 的关系，为此考虑 算子h ( 8 ) = t ( t s ) s ( s ) ，对z v ( a ) = 口+ i s ) ，s _ 曰( s ) 。是可微的，以及 h ( 8 ) x = t ( t s ) b s ( s ) z ，对日( 8 ) x 从0 到t 积分得到 一 s ( ) z = t ( t ) x + t ( 一s ) b s ( s ) x d s ，对于z 刃( 4 ) 成立 ( 2 1 ) ，0 因为( 2 。1 ) 两边算子有界，所以( 2 1 ) 对一切z x 成立，所以半群s ( t ) 是积分 方程( 2 1 ) 的一个解而对于该积分方程我们有下面的定理 定理2 3 3 设t ( t ) 是满足l i t ( t ) | | m 。的岛半群，召是一个有界算 子，则在x 上存在唯一的有界算子y ( ) ，t 0 ，使得对每一个z x ，t y ( 咖； 1 0 第二章基础知识 在0 ，。o ) 上连续，并且 ，t y ( 咖冷t ( t ) x + t 一s ) b v ( s ) x d s ，对于z x 成立 ( 2 2 ) ，0 我们还可以给出下面几个类似的命题 定理2 3 4设4 是b a n a c h 空间x 上岛半群t ( t ) 的母元，召为耗散算 子，d ( 召) ) d ( 4 ) ，且i i 召z i | q i | 血i | - 4 - p l l x l i ，其中z d ( 4 ) ，卢0 ，0 q 0 ，以及m ) 使得 j i t ( t ) l l m ( w ) e 一“，v t 0 则称t ( t ) 是指数稳定的。如果对每个z x 都有 1 i mt ( t ) x = 0 ， 则称t ( t ) 是强稳定的 下面给出半群指数稳定的充要条件， 定理2 4 2以下三个结论等价： ( 1 ) t ( t ) 指数稳定； ( 2 ) l i ml i t ( t ) l i = 0 ； ( 3 ) 蛐 0 2 0 令 入p ( 4 ) 注 若r e x w 0 ，则入p ( a ) 且有i i r ( 入，a ) i i 丽1 ，即沿着虢入= u o + 5 上预解算子一致有界 一 、 推论2 4 4 ( 黄发伦定理) 设x 是h i l b e r t 空间，t ( t ) 是x 上的岛半群， a 为母元，若r ( 入，a ) 在虚轴上一致有界，则t ( t ) 指数稳定 11 第二章基础知识 关于半群的强稳定，我们有下面的性质： 定理2 4 5设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，a 是其母元，若t ( t ) 强稳定，则： ( 1 ) t ( t ) 为一致有界半群； ( 2 ) 盯( 4 ) cc 一= a c i r e ) 、_ so ) ； ( 3 ) 在虚轴上没有4 的本征值和剩余谱 定理2 4 6设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) 是x 上一致有界的岛半群，a 是 其母元，若对坝盯) ，r 以 o ( 2 3 ) i 乱( o ) = g 这样的问题称为初值( c a u c h y ) 问题 定义2 5 2设乱( ) ：【0 ，。) _ x 抽象函数，u ( t ) 称为系统( 2 3 ) 的经典 解，如果对任意的t 0 ，赳( ) 连续的，对t 0 ，珏( ) d ) 且是可微的，并 且满足方程( 2 3 ) 和初始条件 定义2 5 3系统( 2 3 ) 称为适定的，如果方程( 2 3 ) 对每个g d ( 4 ) 都存 在唯一的解，且解连续依赖于初始值g 定理2 5 4 假定算子4 生成岛半群t ( t ) ，那么方程( 2 3 ) 是适定的， 且对任意的初始值g 口( 4 ) ，( 2 3 ) 的解由下式给出， 乱( ) = x ( t ) g ，t 0 ( 2 4 ) 定理2 5 5设算子a 是闭稠定线性算子，并且预解集非空，那么系统 ( 2 3 ) 是适定的当且仅当算子月生成岛半群t ( t ) 1 2 第二章基础知识 2 6 文中用到的定理以及常见的一些定义和定理 定义2 6 1 定理2 6 2 定义2 6 3 定义2 6 4 一个函数称为整函数，如果它在整个复平面上是解析的。 ( 刘维尔定理) 有界整函数必为常数 一个函数称为指数型函数，如果具有6 e a ( z ) 的形式 一个集合盯称为可分离的，如果满足 ! n f ，i a p i 0 a ，p c a p 。 。 定理2 6 7( p h r a g m 6 n - l i n d e r s f 定理) 设( z ) 在扇形区域( 7 r 口) 中解析， 在其闭包上连续假设( z ) 在该区域边界上有界的，即l ，( z ) i m ，且对于该 区域内部的点i z l ，当h = r 充分大时，对于某个p 0 ，使得序列f e 筑k 匍收敛那么我们可以定义两族 算子 t 1 ( ) ：x 一跏( 4 ) 及t 2 ( ) ：x 一朋。， 它们的参数在区间 t o + p l ，o o ) 中取值，且满足 1 ) 死( t ) 是紧算子，噩( ) 和t 2 ( t ) 是强连续的； 2 ) 乃( t ) t ( ) = t ( s ) 乃( ) = 乃( t + s ) ，对t 匍+ p l ，s o ，j = 1 ，2 成立； 3 ) t ( t ) 有如下分解：、 “ t ( t ) = t 1 0 ) + t 2 ( t ) ，t v o + p 1 1 3 第二章基础知识 另外，如果4 的谱满足下面的条件 ( c a ) 。存在常数m 2 0 及艘 0 ，使得 j g a n i m 2 e p 2 睨k ， 则对每个z x ，丑( t ) 在区间+ p 1 + 晚，。) 上是可微的 注记2 6 9 在定理5 1 中，如果k 是算子4 的简单本征值，则条件( c 1 ) 变成如下形式： f i e ( a n ；_ ) | f m l e p ，驼k ( 2 6 ) 从文 1 0 】的证明过程可知，定理3 5 1 中的算子五( ) 就是 o 。o 。 丑 ) z ：= r ( ) e ( a 。；么) z = e e ( x 。；a ) t ( t ) z ， v x x ( 2 7 ) n = 1 n = l 上式刚好是解关于算子4 的根向量的部分展开，而 t 2 ( 净：= t ( t ) x n ( ) z 是系统的小解 定理2 6 1 0设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的一个g 半群，a 是其生成 元，假设定理2 6 9 中的条件( c 1 ) 一( c 3 ) 成立另外，如果下列条件之一成立； 1 ) 算子4 的广义本征向量在空间x 中完全； 2 ) 算子4 的预解式在朋o 。上的限制是在空间x 中取值的有限指数h 型的整函数； 则t ( t ) 对t n 是可微半群，其中 7 1 ：= m a x t o + p z + 化，r o + p l + 危) ( 2 8 ) 注记2 6 1 0 如果定理2 6 1 0 中的条件满足，则定理2 6 1 0 表明，当t 7 1 时，我们有 o 。 t ( t ) x = t ( ) e ( 入。；4 ) z = ee ( a 竹；么) t ( t ) z ， z x ( 2 9 ) n = ln = l 这是解关于算子一4 的根向量的完全展开 1 4 第三章一类时滞方程的谱与解展开 第三章一类时滞方程的谱与解展开 3 1 模型的建立 如图表示反馈机床振动的机械模型。我们要将机床的机械模型进行简 化假定机床有一个相应的自然频率磊o t ，其中q = 素，且置表达相应振荡 模的方向若记k2 丢，_ 为相关的阻尼因子，则这一系统的运动方程具有 如下形式； 叠( 叻+ 2 k a i c + o t 2 z ( 芒) = 砉( 忍( ，( 幻) 一b ( 南) ) ( 3 1 ) 其中，b 是切削强度f 的z 分量显然，切削强度取决于随时间变化的切 片的实际厚度j f 在切削条件的状态稳定时，切片的厚度为常数，且为理论 所需值，0 切削强度是切片厚度的强非线性函数这个函数可由参考文献中给出 的实验数据粗略得到其在，0 点的幂级数的前几项展开如下： 阶帅掣( ，-