（应用数学专业论文）树上广义非对称马氏链场的强极限性质.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 树上的随机场是随机过程理论在树一这一最新的数学模型上的应用，它产 生于信息理论的编码和译码问题假设个序列 瓦 ，其中的状态和状态序偶 出现的频率是否遵从大数定律，直接影响到编译码方法的优劣，故这一领域一直 是众多学者研究的重点。三十几年前，诞生的“随机场”这一概率论与统计物理 的交叉学科与其它概率物理分支，代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一 个重要侧面。 随着信息论的发展，树图模型近年来引起物理学、概率论及信息论界的广 泛兴趣，信息论中的s h a n n o n m c m i l l a n 定理的研究也一度成为学者们研究的一 个热点。最近，杨卫国及其合作者利用研究概率论极限定理的新方法，把传统马 氏链中的若干强极限定理、s h a n n o n - m c m i l l a n 定理推广到了b e 吐屺树和c a y l e y 树上的马氏链场。而对非齐次马氏链场，仅对奇偶马氏链场的研究比较完善。本 文主要对广义非对称马氏链场极限理论的研究。首先定义了树上广义非对称马氏 链场，利用鞅方法构造鞅，根据d o o b 鞅收敛定理和一些特殊的不等式研究了树 上广义非对称氏链场的强极限定理，得到了树上广义非对称马氏链场的局部收 敛定理和关于状态和状态序偶出现频率的强大数定理以及具有a e 收敛的 s h a n n o n - m c m i l l a n 定理。 关键词：树；随机场：非对称树马氏链场；鞅；状态序偶；强大数定律； s h a n n o n m c m i l l a n 定理； 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t r a n d o mf i e l d so nt r e e sa r ea p p l i c a t i o n so nt r e e so ft h e o r yo fr a n d o mp r o c e s s - a n e wm a t hm o d e l ，w h i c hd e v e l o p e df r o mc o d i n ga n de n c o d i n gp r o b l e mi ni n f o r m a t i o n t h e o r y a s s u m i n gt h e r ei s f ls e q u e n c eo f 以 ，w h e t h e rt h ea p p e a r i n gf r e q u e n c yo f s t a t ea n ds t a t ec o u p l eo b e yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r si st h ek e yo fag o o d c o d i n ga n de n c o d i n gm e t h o d ，s ot h i sd o m a i ni sa l w a y sb e i n gar e s e a r c h i n ge m p h a s e s f o rm a n ys c h o l a r s t h i r t yy e a r sa g o ，w h e nr a n d o mf i e l d sc a m ei n t ob e i n g i t sa s u b j e c to fi n t e r s e c t i o no fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c a lp h y s i c s r a n d o mf i e l d s ，t o g e t h e r w i 吐lo t h e rb r a n c h e so fp r o b a b i l i s t i cp h y s i c s ，s t a n df o ra ni m p o r t a n ta s p e c to fat r e n d ， w h i c hi st h ei n t e r p e n e t r a t i o no fm a t h a n dp h y s i nt h i sp a p e r , w eh a v es t u d i e ds o m e s t r o n gl i m i tp r o p e r t i e sf o rg e n e r a l i z e dn o n s y m m e t r i cm a r k o vc h a i nf i e l do nt r e e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ei n f o r m a t i o nt h e o r y , t h et r e em o d e lh a sd r a w ni n c r e a s i n g i n t e r e s tf r o ms p e c i a l i s ti n p h y s i c s 、p r o b h b i l i t y a n di n f o r m a t i o nt h e o r y t h e s h a r m o n - m c m i l l a nt h e o r e mi ni n f o r m a t i o nt h e o r yi se v e rb e c o m i n gaf o c u sa m o n g m a n ys c h o l a r s p r o f e s s o ry a n gw e i g u oa n dh i sa s s o c i a t e se x t e n ds o m es t r o n gl i m i t t h e o r e m sa n ds h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e mf o rc l a s s i c a lm a r k o vc h a i mt om a r k o v c h a i n so nb e t h et r e e sa n dc a y l e yt r e e sr e c e n t l y b u tf o rn o n - h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i nf i e l d s ，t h e yo n l ys t u d yt h ee v e n o d dm a r k o vc h a i n i nt h i sp a p e r , w eh a v e s t u d i e ds o m es t r o n gl i m i tp r o p e r t i e sf o rg e n e r a l i z e dn o n - s y m m e t r i cm a r k o vc h a i n f i e l do nt r e e s t h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dn o n - s y m m e t r i cm a r k o vc h a i nf i e l d so n c a y l e yt r e ei sg i v e n b ya p p l y i n gt h ed o o b sm a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e ma n d s o m es p e c i a li n e q u a l i t i e s ，t h es t r o n gl i m i tt h e o r e mf o rg e n e r a l i z e dn o n - s y n u n e t r i c m a r k o vc h a i nf i e l d so nc a y l e yt r e ea r es t u d i e d al o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e ma n dt h e s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o rt h ef r e q u e n c i e so fo c c l 】l t e n c eo fs t a t e sa n do r d e r e d c o u p l e so fs t a t e sf o rg e n e r a l i z e dn o n s y m m e t r i cm a r k o vc h a i nf i e l d so nc a y l e yt r e e a r eo b t a i n e d t h e n , s h a n n o n - m c m i l l a nt h e o r e mw i t ha s c o n v e r g e n c e f o r g e n e r a l i z e dn o n - s y m m e t r i cm a r k o vc h a i nf i e l d s o nc a y l e yt r e ei sp r o v e d s o m e r e s u l t sa b o u tt h em a r k o vc h a i nf i e l d sa r ee x t e n d e dt og e n e r a l i z e dn o n s y m m e t r i c m a r k o vc h a i nf i e l d so nc a y l e yt r e e k e y w o r d s ：t r e e ；r a n d o mf i e l d s ：n o n s y m m e m cm a r k o vc h a i n f i e l d s ； m a r t i n g a l e ；o r d e r e dc o u p l eo fs t a t e s ；s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ；s h a n n o n m c m i l l a n t h e o r e m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名： 家五簪 伽6 年z 月纱日 指导教师签名：嗡凌弛叼 口6 年| z 只l 扣 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：骄盎谬 e t 期：加站年肛月f - e t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 二十世纪七十年代诞生的“随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科，是 以图像信息处理为背景，一方面为统计物理提供了严格的数学工具，另一方面也 大大扩充了概率论的研究领域，马氏链场即是一种特殊的随机场见【1 4 】。树模型 近年来引起物理学、概率论及信息论界的广泛兴趣，信息论中s h a n n o n - m c m il l a n 定理的研究p i - 7 i ，也一度成为学者们研究的一个热点。树图上马氏链场的强大数 定律与熵定理在图像分析与数据压缩理论、遗传算法、淬火算法、排队网络理论 等方面有广泛的应用吲i ”】。关于树上马氏链场的早期研究见s p i t z e r 1 和 k e m e n y ”1 的文献。其中b e r g e r 与叶中行在依概率收敛的意义下研究了齐次树图 上p p g 不变随机场遍历性及渐近均分割性，同时给出若干猜测，认为上述结论 在a e 收敛下也成立【1 3 。1 9 9 0 年，b e r g e r 和叶中行研究了树上p p g 不变随机场 中熵率的存在性，之后他们又研究了树上p p g 不变随机场的遍历性及 s h a n n o n m c m i l l a n 定理【1 4 h 1 5 1 。1 9 9 4 年，b e n j a m i n i 与p e r e s 提出了树指标马氏 链的概念，并研究了它们的常返性和射线常返性【1 6 1 。近几年，刘文教授和杨卫 国教授及合作者在树上马氏链场方面做了许多工作，也取得了丰硕的成果，得出 了一些树上马氏链场关于状态与状态序偶出现频率的强极限性质和强偏差定理， 齐次树图上马氏链场的强大数定律和几乎处处收敛的s h a n n o n - m c m i l l a n 定理 1 7 j - 【2 ”。本文是在杨卫国教授研究的基础上加以推广，得到了树图上广义非对称 马氏链场的若于强极限性质及树上一类特殊非齐次马氏链场即广义非对称马氏 链场的强大数定律和几乎处处收敛的s h a n n o n - m c m i l f a n 定理。 全文共分为四章。第一章为绪论，介绍了本论文的选题背景，并对已有的工 作做了扼要的介绍：第二章为预备知识，介绍一些与本论文相关的基本概念及相 关性质；第三章和第四章是主要内容。在第三章和第四章中首先给出了广义非对 称马氏链场的定义，巧妙构造了鞅，利用d o o b 鞅收敛定理及采用近年来概率论 中研究强极限理论的新方法得到了树上广义非对称马氏链场关于状态和状态序 偶出现频率的强大数定律和s h m a n o n - m c m i l i m a 定理。 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论与概念 2 1 条件期望的定义和性质 下面涉及的问题都将固定在完备的概率空间( q ，f ，p ) 上进行。 1 条件期望的定义 定义2 1 1 设b 为f 的子仃域，x 为( 准) 可积随机变量，】，为满足下 列条件的随机变量： ( i ) y 为国可测的 ( i i ) 对每一个b b ，驴卯= p 御 则称y 为彤关于b 的条件期望，记为y = e ( x i b ) 。特别地，当b = a ( z ) 时，也 称j ，关于z 的条件期望，记为e ( x l z ) 注：e ( x l z ) 是盯( z ) 可测的。 2 条件期望的性质： 以下b ，儡，磊等都是f 的子盯一域。 命题2 1 1 ( i ) 若x ，y 为可积随机变量，口，b 为任意常数，则： ( i )e ( a x + b y l 回= a e ( x l 哂) + 6 e ( yj 哂) a s ( 2 1 1 ) ( i i )e ( 1 l b ) = 1 a s ( i i i ) 若x y ，则：e ( x l b ) e ( y i b ) a s 特另地，当x 0 时，e ( x l 圆) - 0 i e ( x l b ) 匿e 0 x l l b ) 乱s ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 命题2 1 2 设y 为可积随机变量， x 。，n 1 为随机变量序列，则： ( i ) ( 条件期望l e v i 引理) 若y s x 。个x ，则： 峄e ( x 。l 国) = e ( x i b ) a s 若y 2 x 。上x ，则( 2 1 4 ) 式也成立。 ( i i ) ( 条件期望的f a t o u 引理) 若x 。y ，则： e ( 1 i m i n f x 。i b ) s l i m i n f e ( x 。l 哂) nn ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 江苏大学硕士学位论文 若x 。y ，则 e ( 1 i m s u p x 。i 毋) l i m s u p e ( x 。 哂) ( 2 - 1 6 ) ( i i i ) ( 条件期望的l e b e s g u e 控制收敛定理) 若l x 。i y ，x 。一x a s 则： u m e ( x 。j b ) = e ( xj b ) a s ( 2 l 7 ) 命题2 1 3 ( i ) 若y 为哂可测的随机变量，且x ，x y 为可积随机变量，则： e ( x y i 哂) = y e ( x 哂) ( 2 1 8 ) ( i i ) q 为b 的子盯一域，x 为可积的随机变量，则： e ( e ( x i q ) i 毋) = e ( x i 哂1 ) = e ( e ( x i 谚) 】q ( 2 1 9 ) ( i i i ) 若x 为可积的随机变量，盯( x ) 与圆独立，则： e ( x l 哂) = e x 。 特别地，当x 与y 相互独立时，e ( x l y ) = e x 。 2 1 2 鞅的定义和性质 定义2 1 2 设( q ，f ，p ) 是完备的概率空间，n = o ，1 ，2 ，) 是非负整数全 体，如果f 的子仃一域族，= 写，z n 满足下列条件： ( i ) 包含乎中的一切可略集； ( i i ) 对每一个肝n ，露c ic f ，即写个 则称f = 露，胛n ) 为仃域流。( q ，于，f ，p ) 成为带流概率空间。 以下的概念和性质都在带流概率空间( q ，霉，f ，p ) k 讨论a 定义2 1 3 随机变量序列x = ( x 。，n e n ，若满足： ( i ) x b e 适应的，即对每个n ，x 。露( 此时称 以，写，行0 ) 为随机适应序 列) ；且对每个n ，x 。是可积的； i i ) 对每个n n ，e ( x 。“i 露) = x 。a s ( 2 1 l o ) 则称，曩，n - o 为f 鞅或鞅。如果将( 2 1 1 0 ) 式中的等号换成( ) ，则称 1 江苏大学硕士学位论文 以，露，甩o 为上( 下) 鞅。 命题2 1 4 ( i ) 对于鞅，有e x = e x o ；对于上( 下) 鞅，有e k ( ) 点k ( i i ) k ，z n 为上鞅的充要条件是 一咒) 为下鞅 ( i i i ) 蜀，i i e n ) 为鞅的充要条件是 k ，胛n 既为上鞅又为下鞅 ( i v ) 上( 下) 鞅为鞅的充要条件是e x = e x o ，v n ，a s 命题证明参见 2 9 1 1 3 0 1 2 2 鞅差序列的定义和性质 定义2 2 4 设 j ：，焉，胛- 0 为随机适应序列，如果e ( k + 。悔) = o a s 则称 k ，鼋，疗0 为鞅差序列。 引理2 2 5 如果 k 焉，z o 为鞅差序列，则 瓦2 丕e ，乏，雕o 为鞅； 反之，设 瓦乏，疗0 为鞅，令= e 一瓦。1 ) ，k = k ，则 k 焉，疗o 为鞅 差序列。 引理证明参见 3 0 】 2 3 鞅基本收敛定理 引理2 2 8 ( d o o b 鞅收敛定理) 设x = 瓦，n o 为下鞅， s u p e x , , + o o ， 或等价地s u p 点瓦 o o ，则当珂_ o o 时， 托) a s 收敛于可积随机变量以 引理证明见 3 0 1 推论：若 以， 7 o ) 为非负鞅，则x a s 收敛于可积的随机变量。 证明：若 以，珂o ) 为非负鞅，则： 甄= e l 为齐次马氏链，p 为其一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。 2 5 马氏链的性质 下面我们给出马氏链的等价性质 3 1 ： 引理2 3 1 设x = 以，疗= 0 , 1 ，) 是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的随机序 列，x 的状态空间s 是可列集或有限集，则下列陈述互相等价： ( i ) z 是离散参数的马氏链，即式( 2 2 1 ) 成立。 ( i i ) 对任何正整数弗，任何非负整数列：0 蔓t o t l o ，以下均同a ( i i i ) 对任何正整数，l ，任何非负整数列：0 岛 t f m 以及任何 毛，i n + l s ，恒有 尸( 五= 乇，互2 j l ，2 ，k2 + 一) = p ( 五= 乇) 尸( 2 l 五2 f o ) p ( k2 乇+ - i 五2 厶) = p ( 五= f ) p ( 以= ol x o = 吵：p ( h = + 。i 五= ) i e s ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( i v ) 对任何正整数以、m ，任何非负整数列0 r o t n i t 。+ 。以 及任何f o ，i l i ”i 。，。+ 。s ，恒有 p ( k = 厶+ t ，k2 + 。f 五2 f 0 ，五2 护，五。) = p ( 翼0 = “，。，叉0 。2 + 。i 工i2 ) ( 2 3 4 ) ( v ) 对任何正整数厅、m ，任何非负整数列0 5r o f 1 “ + 。 以及任何乇，。+ ，s ，恒有 p ( 五= 乇，2 i n - ，k 。”，k2 + 。l 。) = p ( 爿i = 岛，。，义0 = 一- l z i = ) p ( x 02 “，。一，爿05 + 。i 工j2 ) ( 2 3 5 ) ( v i ) 对任何正整数，z 、m ，任何非负整数列0 t o + l 。 以及任何f o ，i l ，”i 。，+ l ，i s ，恒有 p ( k = f 0 ，一，2 一- l 叉i5 ， 乞。2 + - ，。，x 0 。2 + 。) = p ( 爿i = 毛，爿i 。2 一ti x i2 ) ( 2 3 6 ) ( v i i ) 对任何正整数珂以及任何f s ，记叫五，0 - k - 1 ) ，有唯一的一个t _ ，屯，_ 一 是 其相邻顶点，记为：江f ( ) ，定义心在a 上的柱集的概率为： 9 江苏大学硕士学位论文 心( c o ( t ) = f ( ，) ，r a ) = z r ( e ( x o ) 兀q ( p ( _ ) 1e c x , ) ) ( 3 1 5 ) 2 x s j p , “e t 其中6 ( 0 在s 中取值。式( 3 1 5 ) 定义唯一相容的柱集测度( 与a 的序无关) ， 因而生成了( q ，f ) 上的一个概率测度，记为心。这样定义的心称为由随机矩阵q 及分布石确定的树t 上的马氏链场。 定义3 1 4 【”设q 和q 7 为两个2 x 2 的严格为正的随机矩阵，且有一个共同 的平稳分布石( 石q = 万，万q 7 = 7 ) ，在左支用转移矩阵q ，右支用转移矩阵q ， 像定义3 1 3 一样，定义上的概率测度吻a ，像这样定义的坳称为由随机 矩阵q i , 0 7 及分布万确定的n s m c 。 定义3 1 5 【”设q 。和q 。为两个2 2 的严格为正的随机矩阵，万。与矿为定义 在 o ，1 ) 上的两个概率分布，满足 石。( f ) q 8 ( f ，j ) = 万。( ) q 。( ，f ) ，f ，j o ，1 ) 将r 分解为t = t u 瓦，其中t 表示所有偶数层上的顶点数的全体；瓦表示所有 奇数层上的顶点数的全体。在( q ，f ) 定义概率测度如定义3 1 3 ，其中矿用于z 中 的顶点，7 o 用于中的顶点，q 。用于从疋转移到瓦，q 。用于从瓦转移到瓦， 像这样定义在( q ，f ) 上的概率测度铲称为树图丁上由随机矩阵q 。和q 。确定 的奇偶马氏链场。 类似于叶中行与b e r g e r 给出的二元树上非对称马氏链场的定义，见定义 3 1 4 ，可将定义推广到三元树上非对称马氏链场。 定义3 1 6 设q l = ( q i ( j i f ) ) ，0 2 = ( q 2 ( ，i f ) ) ，q = ( q x ( j l f ) ) ，i ，j e s 为三个 2 x 2 的严格为正的随机矩阵，且有一个共同的平稳分布石满足 x q , = 万q 2 = 玎易= 厅，在第1 支用转移矩阵9 ，第2 支用转移矩阵包，第3 支 用转移矩阵q ，像定义i 一样，定义s 上的概率测度尥岛9 ，像这样定义的尥 称为由随机矩阵q 1 ，q 2 ，q 3 及分布万确定的三元树上非对称马氏链场。 由式( 3 1 5 ) 及定义2 易得： 1 0 江苏大学硕士学位论文 ， 月一i3 4 ，龟。2 凸( x p ) = 万( x o 。) n 兀q 1 ( l + ，加： x r a 。) q 2 ( 枷。i x ) q 3 ( 邯。 。) ( 3 1 6 ) 设j i ，s ，s ( 后) 表示x = z ，t r ”) 中k 出现的次数，最( 七，) 表示随机 变量序偶 ( 瓦 ，以山) ，o 朋珂一l ，1 五3 “，3 h 一2 - l 如( 3 2 1 ) 定义。由引理1 知以( 兄，c o ) ，嘎，n l 是非负鞅。由d o o b 鞅收敛定理有 彗罂( 五，国) = r ( a ，o j ) 1 ( 3 2 1 5 ) 式两边同时除以l i l 五得： n m 驯。1 _ l n ，- i3 ， 、挚j “r r ) 一竺f ! ! ! 二! ! 兰 兰! 墨! ：墨：! ! ! 墨! 烈 熙s u p a nm 厶= o h = l ，互： g ( 以 ，以小) _ 3 二二= 尘蔷竺竺型 0 电一a e ，6 0 a 由上极限性质及不等式1 一三l n x o ) 及( 3 2 - 1 6 ) 可得 1 3 ( 3 2 1 6 ) p = a 江苏大学硕士学位论文 恶s u p 芝至3 h g ( 以。，瓦“，) 一e 。g ( 以。，瓦山) i 以。 憋s u p 玄萎荟，萎： g ( 以- ，瓦“，) 一。g ( 以一，瓦山) i 以- 熙s 即专荟n - i 善3 1 羔：产尘旦兰堕笔趔一e g ( 以加以山，l 。l i m s u p l 一蛙姜： 业铲q w i ( 2 - 1 ) 慨跚去薹薹，姜：e g ( 以- ，瓦小) i 瓦一 ( a - 1 ) l i m s u p 去q ( 国) 心凸岛一口卫，珊爿 由于当五_ 1 + 0 时有五一i 一0 ，由( 3 2 1 7 ) 有 1一n-i一313hg(以，以山)一elimsupl髓 g ( 以 ，以+ 1 j ) i 。一雨面，互： g ( 以 ，以山卜 g ( 以 ，以+ 1 j ) i 以。 0 岛岛一a e ，a 取0 五 1 ，类似可证 熙i n f 妄荟n - i 善3 。，* 兰3 h - ： g ( 瓦。，瓦小) 一班g ( 瓦。，以吐川以。 0 ，七岛。3 一a e ，a 由( 3 2 1 8 ) ，( 3 2 1 9 ) 可得( 3 2 1 2 ) 成立。证毕。 3 3 强大数定律 蹦 ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) ( 3 2 1 9 ) 定理2 ：设心口2 岛是三元树t 上的非对称马氏链场，s 亿) ，k = o ，1 直 i ( 3 1 7 ) 所定义，r = ( 万( o ) ，万( 1 ) ) 为定义2 中所给出的q 1 ，q 2 ，q 3 的平稳分布，则 知 嫦爷，吨e ( 3 3 1 ) 证明：在引理3 2 2 中取g ( x ，y ) = 坑( y ) ，a n = l r ”i ，由( 3 2 1 ) ( 3 2 1 0 ) 易 只( ) = 最( 女) 一皖( 托，。) ， 1 4 ( 3 3 2 ) 蹦 江苏大学硕士学位论文 h i3 mlr3 1 q ( ) = 1 皖( ，) q ( ，i 以。) i m ；oh = l ，0 lt = l j n i3 。3 = q ，( t i x m 。) ”一l3 mi3 = t ( 以。) q ( k l i ) ：窆h 眨3q f ( 川) f - olt = l j 又啐并甄引， 。砷舰 ：；，由引理3 2 2 可得 j ( 3 3 3 ) 舰1 f 研s ( k ) 一号骞潲怵) 吲川) + q 3 ( 川) _ o s 舢 已知q ，r = 1 2 ，3 ，都为随机转移矩阵，贝, t j q = 号( q l + 0 2 + q 3 ) 也是一随机转移矩阵 又 万q = 以r = l ，2 ，3 ，则万q = 三7 r ( q 1 + q 2 + q 3 ) = 石， 由( 3 3 4 ) 可得 烛鼢一言御f ) ) ：o 慨吨e 将( 3 3 5 ) 式两边同乘以q ( j l 七) ，( | = o ，1 ) ，然后将所得的等式相加得： ( 3 3 5 ) 艘惦管宇( ，一两1 缶i 篆1 蹄- ( ，) q ( 川) q ( - ，旧 一。心凸岛吨e ( 3 3 石) 舰 塞谢q ( 小) - 南喜( ，) q ( 砷( 川) 一。尥叫卫 。3 - ， 舰倭谢咄卜湍+ 渊一南拇纠川) 也 谢一南拇q 2 ( 川， _ o 叫卫 ( 3 3 剐 1 5 俐两 江苏大学硕士学位论文 叫l i mj s r + - ( 叫j ) 一南拇( f ) f ) ) = 。吨e ( 3 s 9 ) 其中，q ( m + o ( i f ) 是由q 确定的m + 1 步转移概率，由于善s 一( f ) = l r 阳- 1 l ，由 ( 3 3 9 ) 可知 又 l i m s u p 叫一卿，群! o - n u ) r q t c j 町u i ! 觋唧节可 骞妙。( 川) 一丌( 川心岛凸吨e ( 3 3 1 0 ) l i m q ( ”( j i i ) = 厅( _ ，) ， i = o ，1 m t 由( 3 3 1 0 ) 。( 3 3 1 1 ) 这两式可得( 3 3 i ) 证毕 定理3 3 2 ：设最( 露，f ) 如( 3 1 8 ) 定义，七，z s ，r 如定理3 3 i ，则 ( 3 3 1 1 ) 弓z ( ) q l ( 小) + q ：( t i k ) + q ( m ) 心口2 凸一以e ( 3 3 ，1 2 ) 证明： g ( x ，y ) = 坑( x ) 4 ( y ) ，= i 丁“1 ，易知 e ( ) = ( 七，) ， n i3 3 = 瓯( 以且) q , ( t l = 最一( 后) q f ( ，i 由于熙群鲺贻 旧知l i m 叫 ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 4 ) ：三则由定理3 3 1 可得 j 爿群七窨卜凸s ， 1 6 澍 七一协 蹦下 u q ， 、ju 磊 、，7 以 ，j 瓯 ，l。脚 r m“ i | 、j扣g 州丽 江苏大学硕士学位论文 由定理3 3 1 及( 3 3 1 5 ) 可得式( 3 3 1 2 ) 成立 推论1 1 9 - z o l ：设鼠( ，) 如前定义，且q l = q 2 = q = q ，则 = 石( 七) q ( ，i 七) ，龟岛岛一g e 证明：由定理3 3 2 易得此结论 推论2 ：设t 是c a y l e y ：讨，s ( x ，y ) 是定义在s 2 上的函数。令 则 n - - l3 。 霸(