（理论物理专业论文）颗粒系统稳定性的理论研究.pdf

摘要 摘要 颗粒物质的研究是当前国际物理学前沿热点之一，然而到目前为止，人们对 颗粒物质运动规律的认识还很肤浅，描述颗粒物质的基本理论框架并没有完全建 立起来。本文重点对颗粒系统失稳的物理机理进行了研究。 本文在，绍颗粒系统研究现状的基础上，重点考察和研究了颗粒堆积体稳定 性的问题，根据颗粒系统失稳突变过程这一典型的非平衡相变特征，把颗粒堆积 体崩塌过程看作是一类非平衡相变过程，对守恒沙堆模型进行了改进，将沙堆模 型中各类格点之间的转化过程看作是不同格点粒子数的生灭过程，并找出它们之 间的对应关系，然后借助生灭方程和生成函数方法导出了颗粒崩塌这类非平衡相 变的序参量即失稳格点粒子数密度的运动方程通过对方程分析，得到了一组临 界指数，并运用李雅普诺夫定理分析了系统的稳定性，得到了系统由稳定变为不 稳定的临界点，这个临界点与系统中稳定格点的粒子数密度有关，当稳定格点的 粒子数密度取到某个特定值对，系统将由不稳定态转化为稳定态，这个值与具体 模型的参数选取有关。同时本文也采用随机动力学的方法，并借鉴n p c 规格化 模型得到了颗粒系统的广义势函数，求出了一组临界指数和临界标度律，两种方 法得出的结果是相一致的。 关键词：颗粒物质沙堆模型稳定性自组织i 笛界崩塌生灭过程 a b s t r a c t m a n yp h y s i c i s t ss h a r ea ni n t e r e s ti ng r a n u l a rm a t t e ri nr e c e n ty e a r s ， b u tt i l ln o wr e s e a r c h e r sc a nn o tu n d e r s t a n dt h eb e h a v i o ro fg r a n u l a r m a t t e rc o m p l e t e l y i nt h i st h e s i s ， i f o c u so nt h em e c h a n i c so f i n s t a b i l i t i e si ng r a n u l a rs y s t e m s t h i s t h e s i sr e v i e w st h er e c e n ta d v a n c e si nt h ef i e l do fg r a n u l a r m a t t e r ，f o c u s i n go f ft h es t a b i l i t i e si ng r a n u l a rs y s t e m s c o n s i d e r i n gt h e n o n e q u ili b r iu mc h a r a c t e ro fa v a l a n c h ei ng r a n u l a rs y s t e m s ，t h ep r o c e s s o fa v a l a n c h ec a nb er e g a r d e da sak i n do fn o n e q u i l i b r i u mp h a s ec h a n g e i m p r o v i n gt h ec o n s e r v a t i v es a n d p i l em o d e l ，s i t e so f t h el a t t i c ea r e d i v i d e di n t ot w oo rt h r e ep a r t s ，t h u st h ep r o c e s so ft r a n s l a t ei nv a r i o u s k i n d so fs it e sc a nb er e g a r d e da sak i n do fb i r t ha n d d e a t hp r o c e s s c o m p a r i n gt h et w ok i n d so fp r o c e s s ，t h ee q u a t i o no fo r d e rp a r a m e t e rc a n b eo b t a i n e dv i at h eb i r t h d e a t he q u a t i o na n dt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，a n d as e to fc r i t i c a le x p o n e n t sc a nb ed e r i v e di nt h ef o l l o w i n ga n a l y s i sf o r t h ee q u a t i o n t h e n ，ia n a l y z et h es t a b i l i t i e si ng r a n u l a rv i al y a p u n o v t h e o r e m ，a n df i n dt h a tt h ea v e r a g ed e n s i t yo fp a r t i c l e si nt h es t a b l es i t e s p l a yak e yr o l ea b o u tt h es t a b i l i t i e si ng r a n u l a rs y s t e m s w h e nt h ea v e r a g e d e n s i t yo fp a r t i c l e si nt h es t a b l es i t e sr e a c h e sac e r t a i nv a l u e ，w h i c h d e p e n d so nt h ep a r a m e t e ro fg i v e nm o d e l ，t h es y s t e ma r r i v e sa tt h ec r i t i c a l p o i n t i na n o t h e rw a y ，as e to fc r i t i c a le x p o n e n t sa n ds c a l i n gl a wa r e d e r i v e db yn p cn o r m a l i z em o d e l ，a c c o r d i n gw i t ht h er e s u l to ft h ea b o v e m e t h o da n dt h er e f e r e n c e 1 3 k e yw o r d s ：g r a n u l a rm a t t e r ；s a n d p i l em o d e l ；s m b h i t y ；s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ； a v a l a n c h e ；b i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ! 兰。，。：。，；，。：。：。一 引言 颗粒物质( g r a n u l a r ) 是指尺度大于1 n 的大量固体颗粒的集合体( 德热纳p g 等。2 0 0 0 ) ，如沙子、面粉、谷粒、泥土、矿石等。据统计，全世界谷物及其 他各种颗粒物的年产量达数百亿吨，其中包括煤、矿石、水泥建材、沙子与碎石 等低附加值材料，以及高附加值的食品、工业原料、药品、化妆品等。这些物质 的开采、运输、加工、分选及存储，每年消耗地球上1 0 的能量( 厚美瑛，陆坤 权，2 0 0 1 ) ，对颗粒物质性质的了解与研究对于全球工业与经济的发展将有极大 的助益。此外，沙漠化、泥石流、雪崩、山体滑坡等自然灾害的形成与发生也与 鬏粒物质的性质有密切的关系。了解颗粒物质酶运动规律，对子这些自然灾害的 防治也有一定的指导意义，因此颗粒物质成为近年来活跃的研究领域。 颗粒物质属于非线性复杂离散系统，具有不同于固体和液体的独特性质，主 要表现在：( 1 ) 颗粒物质具有类似于液态物质的特性，即流动性( 如崩塌现象、 疏运过程、搅拌过程) ，但比液态物质的流动性差：( 2 ) 颗粒物质之间存在着压 力和剪切力，其规律比固态物质更为复杂，因此有人称之为物质的“第四态”或 “颗粒物质态”。颗粒物质的这些独特性质显示出了人嚣】对扬理系统孛很多复杂 方面及其行为的细节理解上仍不清楚，可以说颗粒物质的研究是当今统计物理学 的一个挑战，诺贝尔奖获得者德热纳皿g d e o e n n e s ) g 指出：颗粒物质是新型凝 聚态物质”，对其认识相当于“3 0 年代固体物理水平”，“我们必须劝说研究者 们：一个沙丘与银河系或原子核同样可以作为溧亮的研究课题。”。 颗粒物质的研究是当前国际物理学前沿热点之一，也是理论物理、凝聚态物 理i 计算物理等领域中非常活跃的交叉课题之一。然而到目前为止，描述颗粒物 质的基本理论框架并没有完全建立起来，人们对颗粒物质运动规律的认识还很肤 浅，研究者只能从不同角度用不同的方法来研究其部分规律。 关于颗粒物质的研究由来已久，其中有许多著名的科学家参与其中，如：库 仑( c a c o u l o m b ，1 7 7 3 ) 最早提出静摩擦力的概念以及沙堆倾斜角与摩擦系数 的关系；法拉第( m f a r a d a y ，1 8 3 1 ) 发现颗粒在振动容器中的不稳定对流现象； 1 8 8 5 年，法国科学家雷诺( r e y n o l d ) 在研究颗粒系统时发现颗粒系统加压时体 积可能交大，于是他提出了颓粒体系的加压膨胀原理( 陆坤权、刘寄星。2 0 0 4 ) 。 同时，颗粒体系与其他复杂体系的研究之间联系密切，例如：以沙粒为代表 用其来研究颗粒物质的耗散动力系统；德热纳毋g d e g e 皿e s ) 用沙堆崩塌的宏观 图像给出了第二类超导磁通量的线性运动的描述；沙堆在静止角附近的崩塌现象 可以用来阐述复杂体系的自组织临界性；受振动沙堆的慢弛豫现象与自旋玻璃的 慢弛豫现象具有非常相似的特征；沙堆与流体对流相互类似；颗粒物质的非线性 动力学现象亦可用于研究半导体击穿现象、微观尺度黏滑摩擦和宏观尺度的地震 动力学黏滑摩擦等等。 再如，自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ，简称s o c ) 这个概念现在已经 成为现代非平衡态统计物理学的晟基本的概念之一，其实它是巴克等人在1 9 8 7 年提出来的。关于自组织临界性的最经典模型就是沙堆模型，人们称为b 1 w 模 型，它最早是由巴克( e b a k ) 、汤超( c t a n g ) 和威森费尔德( k w i e n s e n f e l d ) 为说明自组织临界性丽提出的，所以简称为b t w 模型。随后又有很多人提出了 贵州大学硕士学位论文 新的沙堆模型，如m a n n a 模型、d h a r 模型等等。许多研究者从事沙堆自织临界 性的研究，他们大多从以下几个角度来考虑：崩塌、相变、堵塞、力的波动、重 整化方法等。 鉴于以上分析，本文在介绍颗粒系统研究现状的基础上，重点考察和研究了 颗粒堆积体稳定性的问题，根据颗粒系统失稳突变过程这一典型的非平衡相变特 征，把颗粒堆积体崩塌过程看作是一类非平衡相变过程，对守恒沙堆模型进行了 改进，将沙堆模型中各类格点之间的转化过程看作是不同格点粒子数的生灭过 程，并找出它们之间的对应关系，然后借助生灭方程理论得到了一组临界指数， 并运用李雅普诺夫定理分析了系统的稳定性，得到了系统达到自组织临界态的临 界点。 本文在第一章中对颗粒物质的基本特征进行了较系统的概述，然后着重对自 组织临界性概念的产生及发展进行了介绍。 本文在第二章中对沙堆模型从非平衡相变角度进行了分析，并介绍了两种相 关理论方法。其中第一种方法揭示了非平衡相变与自组织临界性之间确实存在着 某种联系，并且巧妙地在沙堆模型中引入了非平衡相变，为同时研究自组织临界 性和非平衡相变提供了很好的借鉴；相比而言，第二种方法，即沙堆的场理论更 接近于描述真实的沙堆，而且将吸收态相变的思想引入沙堆模型，得出了一组临 界指数，并指出守恒律是该沙堆模型成功的关键，这对本文作者将生灭过程理论 用于沙堆模型有很大的启发。 在第三章中，作者提出将生灭过程理论用于沙堆模型，所做的工作主要有以 下两个方面：( 1 ) 考虑了一种d 维守恒沙堆模型，将模型中的格点按照粒子数的 多少划分为稳定格点、临界格点和失稳格点，将各类格点之间的转化过程看作是 不同格点粒子数的生灭过程，借助生灭方程和生成函数方法导出了系统的序参量 成的运动方程，这里的序参量是指失稳格点粒子数密度。通过对方程分析，得 到了一组临界指数，结果与文献0 3 结果一致；( 2 ) 从成的运动方程中找出了系 统的李氏函数，对之进行适当的变换，然后运用李雅普诺夫定理分析了系统的稳 定性，得到了系统由不稳定变为稳定的临界点，该临界点与系统中的稳定格点粒 子数密度成有关，当p ；取某个特定值时，系统将由不稳定态转化为稳定态，这 个值与具体模型的参数选取有关，其具体表达式也在文中给出；作者并且认为这 个点就是巴克等人提出的系统达到自组织临界态的临界点。 在第四章中，作者对沙堆模型进行了改进，并借鉴n p c 规格化模型的临界标 度理论导出了颗粒崩塌临界现象所对应的临界指数值和临界标度律，主要得出两 点结论( 1 ) 与表4 5 所列结果比较，得知本章中所定义的沙堆模型属于第种 普适类，其相变的临界点属n p c 的第一类临界点，因此颗粒自组织系统的临界标 度律是符合n p c 标度律的，它可以由n p c 规格化模型的临界标度理论来统一描述。 ( 2 ) 对于临界指数y 、l ，得出的临界指数值与其他人的结果一致。 最后作者对全文作了简要总结，并对今后颗粒糍质的研究工作给出了一些建 议。 第一章颗粒物质的基本特征及沙堆模型简介 第一章颗粒物质的基本特征及沙堆模型简介 颗粒物质是指大量固体粒子的聚集体，像沙子、奶酪、盐、碎石等，是以离 散态形式存在的物质形态，它不同于一般的固体和液体，既可以像液体一样倒入 容器，也可以像固体一样成堆，因此是一种复杂体系，被广泛认为是物质的第四 态，其运动规律和行为是由其内在特殊的相互作用和随机涨落所引起。近年来， 颗粒物质的许多奇特行为、丰富的物理内涵和广泛的应用背景引起物理学界的广 泛关注，本章对颗粒物质的基本特性进行了简单介绍，着重介绍了自组织临界性 概念的产生及发展。 1 1 颗粒物质的基本特征 ( 1 ) 不寻常性 颗粒物质具有不同于其他三种常见的物质形态( 即固、液和气态) 的性质， 其静止时类似于固体，流动时则类似于液体和气体，但又仅仅是类似却非完全相 同。 例如，向地板上撒一筒沙子，沙粒并不会像水那样平铺在地板上，而是根据 抛撒方式及过程不同形成各种不同的堆积形态。若将承载一个沙堆的地板慢慢倾 斜，沙子会发生流动，然而这种流动只发生在沙堆的表面几层，而内层却不发生。 如果在沙堆上继续添加沙粒或施加扰动，超过某一临界状态，就会引起沙堆 崩塌。这就是众所周知的“静止角现象”，沙堆表面形成的角0 是由于颗粒自身 的重力及相互间的摩擦力的原因，静止角的取值在口，和以之间，沙堆状态与沙 堆表面形成的角有关，其关系为： o 臼，时，颗粒堆是稳定： 或 0 先时，沙堆自发产生崩塌。 对于沙堆的双稳行为已经有了很多理论和实验上的研究( a n i t am e h t a 等， 2 0 0 5 ) ，但是其中的动力学根源还没有阐述清楚。 ( 2 ) 无序性 颗粒堆的无序性并不仅仅是指其几何形状的无序性，更重要的是颗粒堆中的 如摩擦力或者对历史的强烈依赖性都是其无序性的重要因素。颗粒堆的这种无序 性特征对于颗粒物质静态行为和动力学行为的研究有非常重要的影响。 ( 3 ) 膨胀性 显然，颗粒堆流动或变形时就会膨胀，这就是所谓的膨胀现象( r e y n o l d s ， 1 8 8 5 ) ，其原因就是颗粒可以支撑空隙并产生了拱形和桥形结构，其中也包含空 隙，粒子是通过这种空隙产生流动的，而空隙就是颗粒堆膨胀的直接原因。 ( 4 ) 无热行为 成拱的颗粒堆中一般包含大量颗粒，其热能相比于重力势能很小，布朗运动 也不明显，因此颗粒堆中类似于拱和桥的结构一旦形成，这种结构就可以持续下 贵州大学硕士学位论文 去，这也是颗粒物质独特的特征。 ( 5 ) 滞后性和亚稳态 由于颗粒物质的热运动不明显，因此在设有外部扰动时，颗粒构型很难自发 地发生变化。这样，一方面颗粒堆会因此而产生大量的亚稳态构型，另一方面， 颗粒的记忆效应又会对其后的动力学行为产生影响，这就是滞后效应，同时也是 颗粒堆在啡和先之间处于双稳态的重要原因，因此在这个角度范围，沙堆崩塌 就有可能发生。 ( 6 ) 复杂性 基于以上性质，沙堆表现出很强的复杂性：大量的亚稳态构型只是处于相对 的稳定状态( a n i t am e h t a ，gcb a r k e r ，1 9 9 4 ) 。 由于颗粒体系的复杂性，对颗粒系统理论性的研究还远未成体系，沙堆模型 提出后，对沙堆模型的研究成为颗粒物质研究的一个重要方面，下面我们就来介 绍沙堆模型的产生及发展 1 2 沙堆模型的提出及发展 1 2 1 沙堆模型的提出 沙堆模型是自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y , 简称s o c ) 的原型例子。 自组织临界性概念最早由巴克等人于1 9 8 7 年提出( p b a k ，c t a n g 和 k ，w i e s e n f e l d ，1 9 8 7 ) ，其指的是一类开放的、动力学的、远离平衡态的、由多 个单元组成的复杂系统能够通过一个漫长的自组织过程演化到一个临界态，巴克 等人为了形象地说明自组织临界性，便以沙堆为例子，提出了自组织临界性的经 典模型抄堆模型( s a n d p i l em o d e l ) ，也称b t w 模型。 1 2 2b t w 沙堆模型简介 在介绍b t w 模型以前，我们先作一个简单的沙堆实验( 巴克，1 9 9 6 ；李炜 等，2 0 0 1 ) 。 考虑一个很平的台子，我们往上面缓缓堆沙，每次只加一粒。沙粒可以加在 台子的任何位置，也可以加在某个固定点上，比如台子的中心。这种平面可以代 表平衡态，这种态具有最低的能量。很显然，我们要从外面输入能量才能使沙堆 具有某种形状。起初，落下的沙粒就停在原地，当我们继续加沙时，沙堆就变得 越来越陡，并且会出现一些小的沙滑，即崩塌发生了，所谓崩塌就是指某个沙粒 的滑动会导致其它沙粒的滑动，而这些沙粒的滑动又会导致另外一些沙粒的滑 动，以此类推。 随着沙粒的不断加入，沙堆变得越来越陡，这时单个沙粒的倒塌很可能会影 响系统中大量沙粒的倒塌。最终，沙堆的坡度会达到某个固定值( 即静止角) ， 而且不会再进一步增长，这时加入的沙的数量和从台子的边缘落下去的沙的数量 是相等的。在这个阶段，沙堆所处的状态就是一个稳定态，被穆为自组织临界态。 l t w 模裂就是从这样的实际例子中抽象出来的，沙堆崩塌模型的规则可用 第一章颗粒物质的基本特征及沙堆模型简介 数学语言描述如下：用一个二维的方格子盘来代表台面，每一个方格予都有一个 坐标( z ，y ) ，用一个整数z ( x ，力来表示落在方格( x ，y ) 中的沙粒数目，这里称 z ( x ，y ) 为该方格点的高度。对于一个l o o x l 0 0 的方格子盘而言，石和y 都从1 变 到1 0 0 。模型采用的沙粒是“理想的沙粒”，是体积为1 的立方体，而且每粒沙 的大小都一样。这样，每加一粒沙到方格( z ，y ) 都可以表示为： z ( x ，y ) = z ( x ，力+ t ( 1 ，1 ) 假如该方格的高度z ( x ，力超过临界值乙( 在这里设为z 。= 3 ，该临界值也可 以设置为其它值，这并不影响系统到达自组织临界态) ，该方格点就称为不稳定 格点，那么该格点的所有沙粒将会从这个方格点跑到其邻近的方格点。因此，当 z ( x ，y ) 达到4 的时候，方格a ( x ，y ) 的高度就会减少4 个单位，用数学语言来表 达就是： z ( x ，= z ( x ，y ) 一4( 1 2 ) 这样与该方格点邻近的四个方格点的高度就分别增加1 个单位： z ( x 1 ，y ) = z ( z ，y ) + 1z c x ，y 1 ) = z ( x ，y 1 ) + 1( 1 3 ) 如果恰好不稳定格点处于格子的边缘位置( 如不稳定格点为：( 1 ，y ) 或( x ，1 ) 等) ，那么沙粒就离开了这个系统，相当于前面沙堆实验中沙粒从台子的边缘掉 下去了，我们就不用再关心这些沙粒了。 隅圈圈困 躺豳围豳 困豳 圈1 1一个小沙堆中的崩塌事件的说明。一粒沙掉在位于格子中央且高度为3 的方块中，从而导致 r 一个由9 个倒塌事件组成的崩塌，并且整个过程持续，不断变化的7 个步骤。这个崩塌的量级j = 9 。黑 色的卉格子显示了8 个已倒塌的方格。其中一个方格倒塌了两次。( 取自大自然如何工作，李炜等，2 0 0 1 ) 贵州大学硕士学位论文 图1 1 显示了一个小沙堆中发生的一次崩塌，其中包含一连串倒塌事件。方 格中的数字代表了格子的高度。一粒沙加到中心位置高度为3 的格子中会导致那 个格子倒塌，这个格子邻近位置有两个格子高度为3 ，因而接下来这两个格子就 会倒塌，从而又将8 粒沙送到他们的临近格子( 其中包括中心位置的格子) ，以 此类推，直到系统静止下来。 为定量描述一次崩塌的强度，一般从以下四个方面来估算( ss m a n n a ，1 9 9 9 ) ：量级( 或称大小) s ，即一次崩塌中所有倒塌事件的和；区 域( a r e a ) a ，即崩塌中所有倒塌的格点数；持续时间t ，即一次崩塌所经历 的时间：半径r ，即倒塌格点与原点的最大距离。最常用的两个量就是量级s 和持续时间t 。那么图1 1 所示的一次崩塌事件中的四个量值就分别为： s = 9 口= 8f = 7 ，= 2 ( 1 ，4 ) 上面就完全定义了沙堆模型，看起来所需的数学只不过是l 到4 之问的加减 运算，然而这些方程的结果却异常复杂，而且无法直接通过对方程的简单考察就 能推导出来的，因此巴克等人通过直接在计算机上模拟对模型进行了研究。最初 的模拟实验只是针对一个小型系统，选取一个5 0 x5 0 的格子，即共有2 5 0 0 个格 点，按照模型所定义的规则向格子中加入沙粒。模拟结果发现小的崩塌事件的数 量要比大的崩塌事件的数量多 ! 导多，并且满足一个简单的幂次规律： n ( s ) = j “( 1 5 ) 其中幂次口近似等于1 1 ，( s ) 表示观测到的量级为s 的崩塌事件的次数，如果 对上式两边都取对数我们就会发现： l o g n ( s ) = 一口l o g s ( 1 6 ) 这表明l o g n ( s ) 与l o g s 之间是一个正比关系，表现在图上就是一条直线，口为直 线的斜率。如图1 2 所示 很显然量级越小的崩塌事件发生的次数越多，因此崩塌次数n ( s ) 就对应 了量级为s 的崩塌事件发生的几率雄) ( 或用三啦) 表示) ，所以( 】5 ) 式也可以 改写为： p ( s ) = j ，或d ( s ) = s “( 1 7 ) 后来，其他学者也做了相关的工作( k i mc h r i s t e n s e n 等，t 9 9 6 ) ，模拟结果 显示崩塌量级和崩塌持续时间都呈现出了幂定律关系： d ( j ) = s 1d ( t ) = t 一9( 1 8 ) 对于b t w 模璎，测得的指数值为( y cz h a n g ，1 9 8 9 ) ： 甜= 1 2 2 ， = 1 3 8( 1 9 ) 1 那么这些幂次苁系说明了什么呢? 由这个幂次分布可以得到去噪声谱，因 第一章颗粒物质的基本特征及沙堆模型简介 此巴克等人认为他们提出的沙堆模型可以解释专噪声谱的起源，即自组织l 临界 性是产生噪声谱的原因( 手噪声现象在自然界中普遍存r 简单来说，噪声 是指某个物理量的强度分布与自身呈幂次分布关系，指数寤( o 6 ，1 6 ) 。( 陈兆国 1 9 8 8 ) ) 。 ； 舌f j i 图1 2沙堆模型中的崩塌大小分布。这个图利用对数坐标显示了各种大小的崩塌的数量与 崩塌量级之间的关系( 通过取对效) 近似呈直线关系，这里是一个幂指数为1 1 的幂次分布 ( ( 取自大自然如何 = 作，李炜等，2 0 0 1 ) ) 1 2 3 沙堆模型的发展 自从巴克等人于1 9 8 7 年提出了著名的沙堆模型来阐述他们提出的自组织临 界性后，很多人提出了新的、变化的沙堆模型，由不同的分类办法，大概有以下 几种( p g h a f f a r i ，1 9 9 7 ) ：根据粒子由静止到运动的临界判断条件，可分为临界高 度模型( c r i t ；c a lh e i g h tm o d e l ) 和临界倾角模型( c r i t i c a ls l o p em o d e l ) ：根据 粒子的运动方向，可分为定向模型( d i r e c t e dm o d e l ) 和非定向模型( u n d i r e c t e d m o d e l ) ；根据粒子一次运动的范围，可分为局域模型( 1 0 c a lm o d e l ) 和非局域模 型( n o n l o c a lm o d e l ) ；根据从外界加粒子的过程，分为离散模型( d i s c r e t em o d e l ) 和无限模型( u n l i m i t e d m o d e l ) ：根据粒子在运动过程中的耗散程度，分为守恒模 型( c o n s e r v a t i o n a lm o d e l ) 和耗散模型( d i s s i p a t i o n a lm o d e l ) 等。 卜述中许多模型都是讨论沙堆表面的崩塌性质，包括b t w 模型，都是通过 外场添加颗粒，处于颗粒堆表面的粒子失稳后发生倒塌，进而影响到其邻近位置 贵州大学硕士学位论文 颗粒的稳定性，及至更远位置，甚至整个系统，其整个崩塌过程发生在颗粒堆表 面并且在表面传播。这些模型我们统称为表面崩塌模型，由于篇幅所限，这里不 再一一详细介绍，只讨论另外一类模型一内部崩塌模型( s sm a n n a , 2 0 0 0 ) 。 如果颗粒堆处于静止状态，则各颗粒之间的相互作用就会达到力的平衡，当 其中一个颗粒移动时，将会在颗粒堆内部形成空隙，该粒子所支撑的其它颗粒就 会变得不稳定而有运动趋势，渐渐地，那些距离更远的其它颗粒也将失去稳定性， 并随着空隙而向上传播，这样崩塌就发生了，直到所有粒子都稳定下来这种活动 才停止，这种崩塌就叫做内部崩塌( i n t e r n a la v a l a n c h e ) 。内部崩塌可以由两种不 同的扰动方法产生：第一种是从颗粒堆底部随机抽取一个颗粒，另一种类型是让 颗粒堆内部形成一个空隙，并且允许一些颗粒流出系统，直到内部成拱阻塞，颗 粒流才停止。 因此，内部崩塌模型与表面崩塌模型的区别在于：( 1 ) 产生机理不同：表面 崩塌是通过外界添加粒子使系统失稳而产生的崩塌，内部崩塌则是由于颗粒堆内 部形成空隙而失稳产生的崩塌；( 2 ) 传播机理不同：表面崩塌中传播的是粒子， 并且仅限于表面，内部崩塌中传播的是空隙，传播过程发生在颗粒堆的内部。下 面以具体模型来分析内部崩塌的形成机理。 用一个尺度为l 的二维方格代表颗粒系统，设沿x 轴方向满足周期性边界条 件，一y 方向表示重力的方向，每个格点可以为空，也可以容纳一个颗粒( 考 虑到颗粒的体积效应，两个颗粒不能同时占据一个格点) ，模型规则可以由图1 3 来示意。 口口口 o o 0 0 勿 口口。 口o 口oo 口口口 口口 ooo 图l _ 3 颗粒下落或滚动示意图 黑圆表示被颗粒占据的格点，空心圆表示空格点 阴影矩形表示一对格点，其中至少一个是空格点 空心缶【：( 形表示该格点或为空或被占据( s s m a n n a ，2 0 0 0 ) 图! 3 为六种不同情况下颗粒的运动规则示意图。一个颗粒有两种可能的移 动：垂直下落，或滚动到f 一层的左边或右边近邻位置上，颗粒如阿运动与其最 第一章颗粒物质的基本特征及沙堆模型简介 近邻格点的状态有关，下面具体分析。 由图1 3 ，设中心位置的格点坐标为( x ，y ) ，用c ( x ，y ) 表示该格点( 该格点被 一个颗粒占据) ，则与其相邻的为7 个位置：l u ( x l ，_ y 一1 ) ( 左上位置) ， l ( x l ，y ) ( 左侧位置) ，l d ( i 一1 ，一1 ) ( 左下位置) ，o ( x ，y 一1 ) ( 正下方位置) ， r d ( x + 1 ，y 一1 ) ( 右下位置) ，r ( x + 1 ，y ) ( 右侧位置) ，r u ( x + 1 ，y + 1 ) ( 右上 位置) 。 如果c ( i ，d 上的颗粒是稳定的，且其对角位置的格点( l dl ur dr u ) 被 占据，则会形成拱。根据是否允许拱的存在可以定义以下两种规则：模型a 和 模型b 。 在模型a 中，允许拱存在。若格点d 为空，则格点c ( i ，j ) 处的颗粒只要满足 下列三个条件中的任何一个，即可落到格点d ( 可以由图1 3 种第一排的三种情 况示意) ：( 1 ) l d 、l 和l u 是空格点；( 2 ) r d 、r 和r u 是空格点；( 3 ) l d 和r d 是空格点。若格点d 被占据，则格点c ( i ，j ) 处的颗粒只要满足下列三个条 件中的任何一个，就会滚动到邻近格点( 可以由图1 3 种第二排的三种情况示意) ： ( 1 ) 如果l d 和上是空格点，而r d 或r 是被占据的，颗粒将滚向l d ；( 2 ) 如 果r d 和月是空格点，而l d 或上是被占据的，颗粒将滚向r d ；( 3 ) 如果l d 、l 、 月_ d 和月都是空格点，颗粒将以概率三滚向三d 或r d 。 z 在模型b 中，不允许拱存在。与模型a 不同的就是格点c ( i ，j ) 处的颗粒下落 所需的条件减少了，即若格点d 为空，那么格点c ( i ，_ ，) 处的颗粒只要满足下列三 个条件中的任何一个，即可落到格点d ：( 1 ) l d 、l 是空格点；( 2 ) r d 、r 是 空格点；( 3 ) l d 和r d 是空格点。颗粒滚动规则与模型a 相同。 比较a 、b 两种模型，可见对于b 模型而言，对颗粒下落的约束降低了，因 此颗粒下落情况相对要增多，而滚动情况则会相应减少。 对两种模型分别进行计算机模拟( s s m a n n a ，2 0 0 0 ) ，发现崩塌的量级分布 和时间分布也满足幂定律关系。崩塌量级j 与持续时间f 遵从幂定律分布： d ( s ) s “ d ( r ) ，9 ( 1 1 0 ) 两种模型得到的指数并不相同： 对a 模型口z 1 4 8 ，口。1 9 9 ， 对b 模型：c f * 1 3 4 ，口“1 5 0 。 可以看出模型a 和模型b 描述的颗粒系统是不同的，模型b 适合描述规则 颗粒，尤其是正方形颗粒所组成的系统，这样的系统往往堆积致密，空隙较小， 贵州人学硕士学位论文 产生拱的几率也较小，而对于不规则颗粒所组成的系统，堆积规律性较差，很容 易成拱，则应用模型a 来描述更为适合；但对于实际的颗粒堆积系统，大多是 不规则的，因此模型a 应该更接近描述真实系统。 相比表面崩塌而言，内部崩塌可以更好的观察自组织临界性，这是由于颗粒 堆有高致密性，内部粒子不会有足够的时间来加速，因此惯性的影响非常小 ( s s m a n n a ，2 0 0 0 ) 。 1 2 4 自组织临界性的特征 一般表现出自组织临界现象的系统大都具有以下几个特点( h m b r o k e ra n d e g r a d d b e r g e r ，t 9 9 7 ) ：不同的量之间有一个普适关系：有一系列的亚稳态， 称为准平衡，或远离平衡：随机驱动机制相对于崩塌过程而言，驱动非常 缓慢；对崩塌有关量的统计规律( 呈幂律关系) 不依赖于空间的大小和系统 进化时间的长短，也不依赖于系统的初始状态。 对于沙堆而言，我们知道其构型是由一系列亚稳态，即非平衡定态所构成， 已经有很多学者从非平衡相变的角度对沙堆模型的自组织临界性进行了研究 ( r o n a l dd i c k m a n ，2 0 0 1 ) ，这说明在自组织临界性与非平衡相变之间存在着某 种联系，在非平衡统计理论框架内阐述自组织临界性的意义是可能的。 关于自组织临界性的定义特征还存在一些争议，如在很多s o c 模型中，“驱 动时间标度” ( “t i m es c a l eo f d r i v e ”) 和“弛豫时间标度” ( “t i m es e a l eo f r e l a x a t i o n ”) 不在同一个数量级上甚至相差很大是很常见的，即所谓的“驱动非 常缓慢”。例如在地震中，驱动力是大陆板块的缓慢移动，其时间是以世纪为标 度的，而其实际的压力释放历时仅仅几秒钟。这种时间尺度上的差异通常被认为 是s o c 的定义特征，然而，d h a r 等人认为时间尺度上的差异( w i d es e p a r a t i o n ) 并不是s o c 的必要条件。 1 3 本章小结 在本章中，我们介绍了颗粒物质的基本特征以及沙堆模型的产生及发展。巴 克及其合作者提出的沙堆模型是自组织临界思想的典型代表，其本意是想将他们 建立的沙堆动力学应用于自然界和人类社会更广泛的现象中去，但对真实沙堆及 其他颗粒聚集体的理论研究影响更为直接，也为其提供了新的研究思路。虽然相 对真实沙粒的动力学来说，s o c 理论还存在一些争议( m e h t aa n db a r k e r 1 9 9 1 ，m e h t a1 9 9 2 ，n a g e l1 9 9 2 ) ，而且也比较简单，如没有考虑环境的影响，也完 全忽略了沙雄形成历史对崩塌的影响( j e n s e n hj ，1 9 9 8 ) ，但目前，沙堆模型已 经成为颗粒物质理论研究的一个重要方面，其基本观点已被广泛承认( 陆坤权、 刘寄星，2 0 0 4 ) 第二章颗粒系统中的非平衡相变研究及相关理论 第二章颗粒系统中的非平衡相交研究及相关理论 相变不仅仅在热平衡动力学中发生，在其他非平衡系统中也会发生，例子很 多，如沙堆崩塌、对流、人口模型、催化过程、市场等。这些系统通常没有哈密 顿量，而且仅由一些转移速率来定义，因此没有满足细致平衡的“合理的”能量 函数，很难用传统统计力学的方法对其进行研究( r o n a l dd i c k m a n ，2 0 0 1 ) 。 对于沙堆，人们观测到其崩塌分布满足幂定律，那么这与临界现象之问有没 有联系，我们能否应用已知的临界点和普适类来理解其崩塌的物理意义? 1 9 8 7 年，巴克等人提出了沙堆模型，他们建议崩塌统计中的幂定律是源于一种新的i 瞄 界性质：自组织临界性。于是沙堆模型被广泛应用于颗粒系统崩塌及稳定性的研 究，人们试图阐述清楚自组织临界性与其他非平衡相变系统之间的相关性。也希 望能在非平衡统计力学的框架内解释s o c 的意义。 2 1c h m 到c s m 的相变 下面介绍的理论是较早从非平衡相变角度对沙堆模型进行研究的理论( s l u b e c k 等，】9 9 6 ) ，它的独特之处在于将两种模型规则c h m 和c s m 应用到同 一个沙堆模型中，这里的c h m 是指临界高度模型，它是以某格点的高度( 即粒 子数的多少) 来判断该格点是否会发生倒塌的模型；c s m 是指临界倾角模型， 它是以某格点处粒子的局域倾角( 即该格点粒子与最近邻格点粒子的连线与水平 方向的夹角) 来判断该格点是否会发生倒塌的模型。 1 、模型 考虑一个l l 的二维正方格子，整数变量z ( f ) 代表格点( f ，) 的局域高度 ( 可阻理解为格点( f ，) 处颗粒的数目) ，i 代表竖直方向，代表水平方向。如图 2 1 所示。 假定颗粒遵从定向动力学规律，即颗粒被限制只能向着f 增加的方向流动。 为了尽量减小水平边界( 界面) 的影响，假定水平方向( ，方向) 满足周期边界 条件，这样格点( f ，力共有向下和向上各两个最近邻格点：( ，+ 1 ，五) 、( i - 1 ，j ：) ， l 其中五= 妄【1 ( 一1 ) f 】，具体来说就是：当f 为偶数时，其四个最近邻为： ( i + l ，+ 1 ) 、( i + 1 ，j ) 、( i 一1 ，j + 1 ) 、( i 一1 ，) ：当f 为奇数时，其四个最近邻为： ( i + 1 , j ) 、( i 十1 ，一1 ) 、( i l ) 、( i 一1 ，j 一1 ) 。以图1 2 为例，格点( 3 , 3 ) 的四个最 近邻格点为：( 2 , 2 ) 、( 2 ，3 ) 、( 4 ，2 ) 和( 4 ，3 ) ，而格点( 4 ，3 ) 的四个最近邻格点则分 别为：( 3 ，3 ) 、( 3 , 4 ) 、( 5 , 3 ) 和( 5 , 4 ) 。其他格点的最近邻格点依次类推来判定。 贵州大学硕士学位论文 ( 五2 )( 互3 ) ( 3 ，3 )( 3 , 4 ) ( 4 ，2 )( 4 ，3 ) ( 5 ，3 )( 5 ，4 ) 图2 。1 在沙堆顶部( 即格点( 1 ，) ) 随机位置添加一个颗粒，则系统受到微扰，添加 规则为： z ( 1 ) 斗z ( 1 ，) + 1 ，j 任意选取 ( 2 1 ) 一个格点如果其局域高度z ( i ，) 超出其临界值，或至少一个局域倾角超出临 界值，则称该格点是不稳定的，即不稳定格点满足：z 限，) z c 或盯( f ，。) 2 0 。， 其中z 。为临界高度，这里取为2 ；盯。为临界倾角，取为8 ，且局域倾角定义为 a ( f ，+ ) = z ( i ，d z ( i + 1 ，。) ( 2 2 ) 这里的，。含义如前，即对于i 为偶数和奇数时取值不同，还以图2 1 为例，格点 ( 3 3 ) 的两个局域倾角分别为： g ( 3 ，3 + ) = 2 ( 3 ，3 ) 一。( 4 ，3 ) i 仃( 3 ，3 一) = z ( 3 ，3 ) 一z ( 4 ，2 ) 、 对于其他格点的局域倾角可依此类推。可以看出，这里定义的局域倾角实际上就 是该格点与其最近邻格点的高度差，因为各个相邻格点之间的距离都是相等的， 所咀用其高度差来代表倾角也是合理的。 下而来定义例塌规9 t q ：如果某格点两个倾角都处于临界态，则该格点颗粒将 以同等概率落到向卜的：即f 增加的方向) 两个最近邻位置中的一个，直到两个 第二章颗粒系统中的非平衡相变研究及相关理论 倾角都变为亚临界，才没有颗粒流动；若仅有一个倾角超过临界值，则颗粒将落 到相应的最近邻位置。 相比于临界倾角规则，我们认为在格点处于临界高度情况下存在一个随机特 征：即使某格点处的局域高度超出临界值z ，倒塌也仅以概率p 发生，然后两 个颗粒向下落入最近邻位置。定义这个随机特征也是有根据的，因为不管是沙堆 还是其他颗粒系统，颗粒间都会存在静摩擦力，由于静摩擦力的作用，即使某格 点处的高度超出临界高度，颗粒也有可能保持稳定。 由于添加颗粒导致