同济大学线性代数课件-第一章 行列式.ppt

2019/12/6,1,第一章行列式,2019/12/6,2,1二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,二元线性方程组,2019/12/6,3,当,时，方程组有唯一解,用消元法,得,2019/12/6,4,记,则有,于是,2019/12/6,5,二阶行列式，记作,也称为方程组的系数行列式。,行标,列标,(1,2)元素,2019/12/6,6,对角线法则:,2019/12/6,7,例.解方程组,解：,2019/12/6,8,2.三阶行列式,类似地，讨论三元线性方程组,2019/12/6,9,为三阶行列式,记作,称,2019/12/6,10,对角线法则：,2019/12/6,11,例：,2019/12/6,12,2全排列与逆序数,定义1：把n个不同的元素排成的一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列。,把n个不同的元素排成一列,共有Pn个排列。,P3=321=6,2019/12/6,13,例如：1,2,3的全排列,123，231，312，132，213，321,共有321=6种，即,一般地，Pn=n(n-1)321=n!,P3=321=6,2019/12/6,14,标准次序：标号由小到大的排列。,定义2：,在n个元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。,2019/12/6,15,一个排列的逆序数的计算方法：,设p1p2pn是1，2，n的一个排列，,用ti表示元素pi的逆序数，即排在pi前面并比,t=t1+t2+tn,pi大的元素有ti个，则排列的逆序数为,2019/12/6,16,例4：求排列32514的逆序数。,解：,2019/12/6,17,逆序数为奇数的排列称为奇排列。,逆序数为偶数的排列称为偶排列。,例如：123t=0为偶排列，,312t=2为偶排列。,321t=3为奇排列，,2019/12/6,18,3n阶行列式的定义,观察二、三阶行列式，得出下面结论：,每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。2.n阶行列式是n！项的代数和。3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性所确定。,2019/12/6,19,定义1：n!项,的和,称为n阶行列式(n1)，记作,2019/12/6,20,例1：写出四阶行列式中含有因子,的项。,2019/12/6,21,例2：,计算四阶行列式,D=,acfh,+bdeg,adeh,bcfg,2019/12/6,22,重要结论：,(1),上三角形行列式,2019/12/6,23,(2),下三角形行列式,2019/12/6,24,(3)对角行列式,2019/12/6,25,(4)副对角行列式,2019/12/6,26,行列式的等价定义,2019/12/6,27,5行列式的性质,称DT为D的转置行列式。,设,则,D经过“行列互换”变为DT,2019/12/6,28,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,2019/12/6,29,证明：设,则,由行列式定义,2019/12/6,30,性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。,互换s、t两行：,互换s、t两列：,“运算性质”,2019/12/6,31,推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为0。,2019/12/6,32,性质3：用非零数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。,“运算性质”,用k乘第i行：,用k乘第i列：,2019/12/6,33,推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。,2019/12/6,34,性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。,2019/12/6,35,性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。,2019/12/6,36,性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,用数k乘第t行加到第s行上：用数k乘第t列加到第s列上：,“运算性质”,2019/12/6,37,利用行列式性质计算：,（化为三角形行列式）,例1：计算,2019/12/6,38,2019/12/6,39,2019/12/6,40,2019/12/6,41,2019/12/6,42,例2：计算,“行等和”行列式,2019/12/6,43,2019/12/6,44,例10：设,证明：,0,2019/12/6,45,证明：利用行的运算性质r把,化成下三角形，,再利用列的运算性质c把,化成下三角形，,2019/12/6,46,对D的前k行作运算r，后n列作运算c,则有,2019/12/6,47,例,2019/12/6,48,6行列式按行（列）展开,问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n1阶行列式来计算？,对于三阶行列式，容易验证：,2019/12/6,49,定义1：在n阶行列式中，把元素,所在的第i行,和第j列划去后，余下的n1阶行列式叫,的余子式,记为,称为(i,j)元素,的代数余子式。,做(i,j)元素,同时,2019/12/6,50,例如：,考虑(2,3)元素,(2,3)元素的余子式,(2,3)元素的代数余子式,2019/12/6,51,定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2019/12/6,52,2019/12/6,53,证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。,(1),利用上一节例10的结论有,2019/12/6,54,(2),设D的第i行除了,把D转化为(1)的情形,外都是0。,2019/12/6,55,先把D的第i行依次与第i1行,第i2行,第1行交换,经过i1次行交换后得,2019/12/6,56,再把第j列依次与第j1列,第j2列,第1列交换,经过j1次列交换后得,2019/12/6,57,(3)一般情形,考虑第i行,2019/12/6,58,2019/12/6,59,例,或者,那么,2019/12/6,60,推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,2019/12/6,61,综上，得公式,2019/12/6,62,例12:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,2019/12/6,63,证明：用数学归纳法,(1)当n=2时,2019/12/6,64,(2)设n1阶范德蒙德行列式成立,则,2019/12/6,65,=,2019/12/6,66,有,个因子!,2019/12/6,67,例：,2019/12/6,68,例：,设,求,2019/12/6,69,解:,2019/12/6,70,例：,2019/12/6,71,D,按第4列展开，然后各列的提出公因子,=,2019/12/6,72,2019/12/6,73,例：,2019/12/6,74,D,2019/12/6,75,例：,2019/12/6,76,D,2019/12/6,77,2019/12/6,78,7Cramer法则,Cramer法则：,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,2019/12/6,79,即,则线性方程组(11)有唯一解，,2019/12/6,80,其中,2019/12/6,81,证明：,2019/12/6,82,再把n个方程依次相加，得,2019/12/6,83,当D0时,方程组(1)也即(11)有唯一的解,于是,2019/12/6,84,例1：用Cramer法则解线性方程组。,2019/12/6,85,解：,2019/12/6,86,2019/12/6,87,定理4：,定理4：,如果线性方程组(11)的系数行列式D0则(11)一定有解,且解是唯一的。,如果线性方程组(11)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。,Cramer法则也可以叙述为,定理4的逆否命题是,2019/12/6,88,线性方程组,非齐次与齐次线性方程组的概念:,不全为零，则称此方程,若常数项,组为非齐次线性方程组；若,全为零，,则称此方程组为齐次线性方程组。,2019/12/6,89,齐次线性方程组,易知，,是(13)的解，称为零解。,若有一组不全为零的数是(13)的解，称为非零解。,2019/12/6,90,定理5：,定理5：,如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组没有非零解。,对于齐次线性方程组有,如果齐次线性方程组有非零解，,则它的系数行列式必为0。,2019/12/6,91,例：问l取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,2019/12/6,92,解：,因齐次方程组有非零解，则D=0,故l=0,2,3时齐次方程组