（应用数学专业论文）扰动kdv方程的数值解.pdf

摘要 扰动k d v 方程的数值解 摘要 本论文主要研究如下扰动k d v 方程的初值问题： h + 6 “+ = 根 ) ， “( 五o ) = 疗s e c 2 ( 脚，口= 2 广 l “，- 斗o( h 寸删 利用多重尺度法得到斌”) = 文甜，尉m ) = ( 甜) m 。两种不同的扰动情况 下的解析近似解的具体形式；然后考虑更一般情况下的初值问题即 k + 6 “峨+ 够。= 搬( “) ， “o ，o ) = o ) ( ( ，_ ) ， h 叱，斗o( i 卅一删 的孤立波解在鼬1 ) = 文甜，尺( “) = ( 口) 够。两种不同的扰动情况下的解 的性态，分别构造出不同扰动项k d v 方程的扰动孤立波解满足的能量 关系式，并利用能量分析方法给出了扰动孤立波解的界的先验估计， 得到如下结论： ( 1 ) 脚) = 故掰协，文曲q o ，删，即) = 0 时，解在哪 x 十的， o s 甜r 内一致有界。进一步地，若r i ) 陋收敛，则解在哪 x o ，使 得解在啪 x 佃，0 甜丁，o s q 内一致有界。进一步地，若( 5 ) 在 o ，佃) 上有界，且r i ，( s ) 陋 o ，使得o 占呸时，解 摘要 在 x o ) u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h a tt h ei n i t i a ld a t a ( 曲( ( 口。，+ 嘲 d e c a y s e x p o n e n t i a l l y a s h 寸啪，e n e 曜ye q u a l i t i e s a r ec o n s t m c t e df o rt h e p e n = u r b e ds o l i t a r y w a v es 0 1 u t i o n s c o n s p o n d i n g t ot w ok i n d so f p e r t u r b a t i o n s p r i o r ie s t i m a t e so ft h eb o u n do ft 1 1 es 0 1 u t i o n sa r eo b t a i n e d v i at h em e t h o do fe n e 略y ： ( 1 ) i f 尉m ) = 文甜m ，文砷c o ，+ 卿a n d 文0 ) = 0 ，t h es o l u t i o n sa r e 1 1 j 摘要 u n i f o m l yb o u n d e di nt h er e g i o n 埘 z 佃，0 甜，；m n h e r n l o r e ，i f f 俐出 i sc o n v e 培e n t ，m es o l u t i o n sa r eu n i f o m l yb o u n d e di nt h er e g i o n 咖 x + 。0 f 0 ( 2 ) i f 尺m ) = 一( 甜) “。，( d c l o ，+ 啕a n d ) = 0 ，t h es o l u t i o n sa r e u n i f o r m l y b o u n d e di n t h er e 西o n 工 佃，o 甜r ，0 s f o rs o m e p o s i t i v es m a l l ；如r t h e r m o r e ，i f o ) i sb o u n d e d i nm er e g i o n0 s 佃 a n d f i ，0 1 丞 + ，t h es 。l u t i 。n s a r eu n i f o m l yb o u n d e di nt h er e g i 。n o 。 工 十。，0 f ，o s 毛f i o rs o m e p o s i t i v es m a n 毛 i nt h ei a s tp a r to ft h i sp 印e r ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep e r n l r b e d k d ve q u a t i o ni sc o m p u t e dv i at h ei m p l i c i tf l n i t ed i f r e r e n c es c h e m e ，a n d c o m p a r c dt ot h ea p p r o x 主m a t es o l u t i o no b t a i n e db yt h em e t h o do fm u l t i p l e s c a l e s k e yw r o r d s ：k d ve q u a t i o n ，m e t h o do f m u l t i p l es c a l e s ，p r i o r ie s t i m a t e ， p e r t u r b e ds o l i t a l yw a v e s 符号说明 q o ，+ o 。) 【o ，佃) 上连续函数全体 c j o ，枷) o ，佃) 上一阶可导函数全体 c ”( 一，佃) ( 一，佃) 上无穷阶可导函数全体 s u p 上确界 。无穷大 r 一( e “2 出) j j f r 黜s u p “ 盯( n 一去p 出 北京化工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用 的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。 学位论文作者签名：仝雅娜 2 0 0 6 年6 月2 日 北京化t 人学烦f 。学位论文笫一市0 l 高 1 1 相关背景知识 第一章引言 1 1 1k d v 方程 波动问题是最广泛的科学论题之一。在关于波动的论题中，水波是最变化多 端又引人入胜的，也是人们日常经验中所熟悉的：它包括江河湖海中范围很广的 自然现象；还可以适用于大气和其它流体中的重力流。多年来，水波的研究引起 了人们越来越大的关注，很多非线性方程的研究就起源于水波的研究。早在1 8 3 4 年八月英国科学家r u s s e l 偶然观察到了一种奇妙的水波。1 8 4 4 年，他在英国 科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的论波动一文中，对他所观察到的现 象作了生动的描述，并且认为这是浅水波运动的一种稳定解，并称它为孤立波。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s “1 研究了浅水波的运动，他们从流体动力学出发， 考虑在重力作用下，不可压缩无粘流体的运动，在长波近似及小振幅的假设下， 建立了一个数学模型，成功的解释了r u s s e l 所观察到的孤立波现象。他们建立的 方程是 鲁= 撕未c ；盯鲁+ ：冉轫 其中，g 为重力加速度，为水深，冲为水波相对于平衡位置的高度，而甜与盯是 常数，这就是著名的k d v 方程。对上面建立的方程进行无量纲化后可得到 “，+ 6 “j + “一= o 式中下标表示求导数，这就是通常见到的k d v 方程。 随着不断研究发现，相当广泛的一批描述非线性作用下的波动方程和方程组， 在长波近似和小的且为有限的振幅的假定下，均可归结为k d v 方程睁“；例如：冷 等离子体的磁流体波的运动；非谐振晶格的振动；等离子体的离子卢波；在弹性 杆中的纵向色散波动；在液、气两种混合态的压力波运动：在一个管底下部的流 北京化t 人学顾 j 学位论文 第一章0 i 言 体的转动；在低温下非线性品格的声子波包的热激发等。k d v 方程的研究引起越来 越多的重视。 1 9 9 2 一1 9 9 3 年，g r i m s h a w “”等在研究深海中的孤立波现象时，发现这类孤立波 可以用如下带扰动项的k d v 方程来描述： “，+ 6 “，+ “。= s r ( “) ( 1 1 ) 其中s l 是一个正数，r ( “) 是一个算子，其典型形式为r ( “) = 占( s f ) “、r ( “) = “。 和r ( “) = 一( s f ) “。，其中占( o ) = ( o ) = 0 ，函数j c ，c 1 。r ( “) = “。的情况 在周期初值条件下的数值解已有很多文章涉及，本文就r ) = 5 ( s f ) “及 r ( ) = 一( 占f ) “一两种不同的情况，存初值 “( x ，0 ) = “o ( x ) c ”( ，+ ) ( 1 2 ) 当h _ m 时指数衰减的条件下，分别构造出问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解满足的能量关系 式，并利用能量分析方法，给出这两种情况下扰动孤立波解的界的先验估计，最 后利用有限差分法研究其数值解，并与多重尺度法得到的解析近似解进行比较。 1 1 2 多重尺度法 对于非线性问题，除了个别情形外，一般都是求不出精确解析解的。过去， 人们常常采用丢掉非线性项即所谓的线性化方法，这在一定程度上解决了问题。 但是随着非线性项的丢弃，必然掩盖了实际问题中的一些现象，使人们无法了解 其中的规律。目前非线性问题己为人们普遍关注。研究这类问题，最有效的主要 有两种方法：一是利用计算机求其数值解；二是以摄动法”1 为代表的求解析的近 似解。 摄动方法起源于天体力学的研究，最早出庞加莱p o i n c a r 6 提出。它是求非线 性问题近似解析解的有效方法，在非线性振动理论中又称为小扰动法”3 。其主要思 想就是将非线性的、高阶的或变系数的数学物理问题的解用所含某个小量( 或某 些小量) 的渐近近似式表示。问题的解是用一个摄动展开式的前几项一般用 前两项表示。尽管这种摄动展开式可能是发散的，但是作为解的一个定性的以及 定量的表示，它们可能比一致并绝对收敛的展开式更有用。在求解摄动问题过程 北京化t 人学硕l 学位论史 第一章0 i 肓 中，可以看到在有些物理现象中，某些因素变化缓慢，某些因素变化剧烈，而缓 变的因素，在长时间后可能会对物理现象有明显的影响，这时，人们就自然的想 到要采用两个或更多的时间尺度和空间尺度去进行渐近展开求解，这就形成了在 实用上非常有成效的多重尺度法。1 。 g r i m s h a w “3 利用多重尺度法对如下的扰动k d v 方程的初值问题： “。+ 6 “，+ “黼= e 只( “) “( x ，o ) = s e c 2 ( ，工) ，c = 2 4 = 4 y 2 s = 0 时，“( x ，f ) = s e c 2 ( y 善) ，( 其中f = x c f ) 工寸时，“寸0 ，“，斗0 ，“料斗o 作了研究，但是并未给出其解析近似解的具体形式。在本文中，我们将利用多重 尺度法得到上述k d v 方程的初值问题的解析近似解的具体形式。 1 2 常用公式 引理1 2 ( m i n k o w s k i 不等式) 如果1 p o 为耗散系数) 建立了全离散的两层加权中心差分格 4 北京化t 人学蝴i j 学位论文第一章0 l 击 式： “二一，+ 一“；州+ 卢o + 一“；押+ ，( “；扣，“j 蜘) = o “a ，= “； “? = “。( ，矗) 当n = o 时，此格式为显格式：当。 n 0 ，问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 在 r ( “) = j ( f f ) “的情况下的解在一o 。 j + ，o 占f 7 1 内一致有界。进一步的，若 r 。i j ( s ) l 出收敛，则问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解在一c 。 0 ，使得问 题( 1 1 ) ( 1 2 ) 在r ( “) = 一( “) “一的情况下的解在 t + 。，o s f 丁， o s 毛内一致有界。进一步的，若( s ) 在 o ，+ m ) 上有界，且c ”p ( s ) l 幽 o ，使得0 s ：时，问题( i 1 ) ( 1 2 ) 在尺( ”) = 一( s f m 一的情况下的 解在一o 。 x + ，f o 上一致有界。 最后利用隐式差分格式计算扰动k d v 方程的数值解，并与多重尺度法得到的 解析近似解进行了比较，可以得出在掰很小的范围内，数值解与解析近似解是基 本符合的，随着的不断增大，它们之间的差距也越来越大。 北京化工大学钡，f j 学位论文 第一_ 二章多重凡度法 第二章多重尺度法 这一章我们用多重尺度法”1 来求如下的k d v 方程 “，+ 6 + “m = 矗( “) “( 工，o ) = d s e c 2 ( y )c = 2 口= 4 ，2 s = o 时，“( z ，f ) = 4 s e c 2 ( ，f ) 喜中孝= x c f 寸0 0 时，“斗0 ，“j o ，“崩一o 的解析近似解具体形式。 2 1 尉“) = 文甜的情形 令 “( 口，r ) = “o + s “l + 占2 “2 + c ( r ) = c o + 占c l + 2 c 2 + 这里 臼= x 一吉r 咿m r 铲2 a = 4 ，2 7 1 = f f 形式上， 当占寸o 时，应有“斗，c c o ，“o = n ( 7 1 ) s e c 矗2 ( y ( 7 1 ) 臼) 下面仅用“= “。+ s “。来近似方程的解。考虑方程 ”+ 6 “，+ “圳= e 谬( f f ) “ 且有当x 斗时，h 斗0 ，“，哼0 ， 将式( 2 1 ) ( 2 2 ) 代入到方程( 2 5 ) 中，比较s 的系数可得 o ( i ) ：“o 口一6 “o 口一册= o ， o ( s ) ：一c o “1 日+ 6 ( “o 蚝) 口+ “l 聊+ 一= 0 ， 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 北京化1 人学坝i j 学位论文 缸一章多重j t 度法 l = “o r c i “o f j ( ，) “o ( 2 7 ) 方程( 2 6 ) 的伴随方程为 c o 一6 b v m = 0 ( 2 8 ) 其解为“o ( 当口号0 0 时，“。斗o ) ，1 ，还有而，也= m ，故 甜：y 田2 r + 三s2 + ；一s 2 ， ( 2 9 ) 1 53 这里 s = s e c ( y 口) ，r = t 础，口) 。 这样可得非齐次方程( 2 6 ) 的解的相容性条件为 肪d 口= o 而z = “。，一c 1 “一占( r ) 即 ( 2 1 0 ) 由方程( 2 1 0 ) 可得 导e ：“：d 臼= c 占( 丁) d 口 ( 2 1 1 ) 由方程( 2 3 ) ( 2 4 ) 及( 2 1 1 ) 可以求出 券= 扣r ， 若给出j ( r ) 的具体形式，我们就可以由此得到( r ) 。 假设口斗+ m 时，“斗o ，对方程( 2 6 ) 积分一次可得关于的方程 “t 卯+ 6 “o 一吨= 只， ( 2 1 2 ) e = c l + f ( “。，一j ( r ) ) d 目， ( 2 1 3 ) 这里又假设口。一时，“，_ 肘， m 寸o ，寸o ，则由方程( 2 1 2 ) ， ( 2 1 3 ) 可得 卟一去亡r 坝啦口 ( 21 4 ) 把式( 2 4 ) 代入到式( 2 1 4 ) 可得 肘：塑 1 3 ，( r ) 最后确定c 。，。比较2 系数得到方程 0 ( 2 ) ： 一c o “2 口+ 6 ( “o “2 ) 口+ “2 伽+ 厶= o ( 2 1 5 ) 北京化工人学硕f 学位论文第。，章多重尺度法 五= “l r c t ”坩一c 2 “呻+ ( 3 ? ) 口一占( 7 1 ) “l 非齐次方程( 2 1 6 ) 的解的相容性条件为 e 厶“。d 口= o 把方程( 2 1 6 ) 代入到方程( 2 1 7 ) 得到 d 。( “旷叩。+ ( 3 “一巧( r ) “。) d p = o 又由于“1 满足方程( 2 6 ) 且口斗+ 时“。斗o ，口斗一0 0 时“l 寸m i ，故有 令 嘉c 州d 口+ ；c o m ? = e z 占( r ) 刚，d 目 “，= 三w + “；+ “? 其中“。表示关于目的偶函数，“。表示关于口的奇函数，则有 口一。时，“j 斗o ，“? 斗千车 把式( 2 2 0 ) 代入到方程( 2 1 2 ) 得 “：，+ 6 “o “：一c o “：= ( c 1 3 m 1 ) “o “：+ 6 “? 一c 0 “? = 只。 e 。= 一r 砜，一万( r 溉 d 目 由式( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 和( 2 1 9 ) 就可以得到关于c l 的方程 嘉一扣) ) _ z 咿阶扣n 又c 0 誓= 2 + 阮。是方程 “i 棚+ 6 “l c j “l = 2 c 0 “l 的一个解，故由方程( 2 2 2 ) 可得 俨：( 一圳警 由式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 解得 仁赤咿) t a n h 似硼赤阳) 蛐( 即 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ；j ( 功触c 砍，( d 研 北京化t 人学硕士学位论文 第一章多重尺度法 + 占( r ) y ( r ) 臼2s e c 2 ，( r ) 目 t a n h ，( r ) 口) o 把“? 和“i 代入到式( 2 2 0 ) 中可得到“。因此 l “= “o + s = 日( 丁) s e c 2 ，( r ) 口) + 占( 丁) y ( 7 1 ) s 口2s e c 2 ，( 7 1 ) 口j t a l l l l ( y ( 7 1 ) 口) o + 兰肘，+ ；( q 一3 m ) ( s e c 2 护( d 钟一，( ，) 口s e c 乃2 ，( d 毋蛐 ，( d 印) 万b 硝( r ) t a n h 坝7 t ) 一万b 掰( r ) t a n h3 y ( r ) q 一；西( r ) 6 i s e c 旷 y ( 7 1 ) 臼) 若给定j ( r ) = 丁，则由骞= ；占( r ) 口( r ) ，n ( 。) = n ，可得 兰r 2 口( r ) = 口p 3 由( 2 3 ) 及m ：旦罂，可以得到 3 ，( 功 胁2 州= ；r 由( 2 2 2 ) 及( 2 3 ) 可得 旷譬e ；”硼c 2 一等咧聊居；r 恼一* 2 仉警e 一手一警+ 鲁卯坍占如3 口3 盯】8 口 旬 。、。 2 2 r ( “) = 一( 口) 的情形 下面我们用多重尺度法考虑尺m ) = 一( s f ) “。的情况，与r ( h ) = 占( “) “的情况 类似可以得到 见附录1 骞- o ，卟o ，c l 一；蛔咿) 因此可以得到( 其中口( 0 ) = n ) 驴一；( 啦s c c 砍归 + ；( 即归s e c 班他t a l l i l w ) 北京化丁人学硕卜学位论文第二章多重t 度法 “= + 占q = a s e c j i l 2 耖研一；( d n s e c 2 艘+ 誓( r ) 口y 口s e c 2 y 田t a j l h y 毋 近似地，可得 “= “。+ 占“，= d s e c z ，口一；s ( 丁) ，目) 一要( 7 t ) “s e c z ，臼 j j 若令( r ) = r ，则有 因此 c ，= 一三口r ， 目= 工一三d r + ! 以r 2 s3 一 n 店”如一；玎捱”如却， ；死s e c 2 、7 ；o 兰口r + ；d7 1 z ) ) 占j 后屹 一一 ， 北京化t 人学坝i 学位论文 第三章扰动k d v 方程解的丸验估计 第三章扰动k d v 方程解的先验估计 对如下k d v 方程的初值问题 “+ 6 “，+ “埘= o “( 工，o ) = “o ( z ) c 。( 。o ，+ ) i z l 一时，“，m ，盯 o 有无穷个守恒律1 ，它的前三个守恒律如下： 丢。出= o 旦r 乞：出：o 出上m 丢琢“：也3 皿= o 在这一章中，我们研究扰动k d v 方稗的初信问颢 “f + 6 “，+ “墒= e 矗( ”) “( z ，o ) = “o ( 功c 。( ，+ o 。) ( h 斗时，“，吣，“。斗o ) ( 3 1 ) 当h _ 。时指数衰减的条件下，构造出问题( 3 1 ) 的解满足的能量关系式， 并利用能量分析方法，给出扰动孤立波解的界的先验估计。在本章中记 c 。= 琢磙一2 “；) 出 3 1 斌“) = 文甜沁的情形 此时，方程( 1 1 ) 即为 “，+ 6 m “，+ “删= s 占( g f ) “ ( 3 2 ) 对方程( 3 2 ) 的两边积分得 鲁e “出+ s o “。出+ e “一出= 彬( s e “出， 苎皇些二叁兰塑! ：兰垡堡兰 笙兰皇j 苎塑兰塑生塑墅塑墅望! 堕堡 丢e “出= 茚( f 力。出 方程( 3 2 ) 的两边同时乘以“，并积分可得 昏，“出+ 6 尽2 “，出+ e “。出= 舾( s f ) e “2 出 即 丢昏2 出= 2 茚( “) o 2 出 方程( 3 1 2 ) 的两边同时乘以“2 ，然后再积分可得 丢e “d ) c + 3 0 ：出= 3 硝( f 。e “3 出 方程( 3 2 ) 的两边同时乘以“。，积分可得 丢亡”：出+ 6 e “：出= 2 西( s f ) c “：出 综合( 3 5 ) ( 3 6 ) 两式可得 丢e ( “：一2 “3 ) 出= 舒( 占f ) e ( 2 “：一6 h 3 ) 出 式( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 7 ) 表明，在这种情况下质量和能量不再守恒a 以得到 o z 出：。2 脚6 胁出小瞎胁。 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 由( 3 4 ) 式可 ( 3 8 ) 设引r 为有界量，则占( 占f ) 为有界量。由( 3 7 ) 式可得 象亡( “：一2 “3 ) 出一2 击( s r ) e ( “：一2 “3 ) 出= 一2 舒( s f ) j ：“3 出， 因此 。一2 r m ) 6e ( 。：一2 。，) 出一e ( 。乱一2 “：) 出：一2 f 硝忙r ) e 一2 r 舢1 6j ：“3 出】d r 2 斛j ( 圳。一2 胁冲m ( r 耶。e “；堋d r 2 喁野( m ( t ”怕。1 2f p ( s ) i 出 这里m ( f ) = r ( 。，) 。于是有 北京化t 人学颂i 学位论文 第三市扰动k d v 方程舸的先验估汁 c ( “：一2 “3 ) 出蔓【c 。+ 2 l 野( m ( r ) 咖。1 1 2r i 占( s ) | 凼】e 2 r m 6 又由式( 3 8 ) 得 c “：出茎2 c “3 出+ h + 2r 鬻j ( m ( r 圳i | 2 r l j ( s ) | 出】e 2 r 耶。 兰【c o + 2 l 擀( m ( r ) ) 忆1 + f l 艿( s ) 1 出) e 2 。川时。 ( 3 9 ) 利用( 3 8 ) ( 3 9 ) 两式，有 m 2 ( f ) 0 2 出+ o ：出 o ，问题( 3 1 ) ( 3 ，2 ) 的解在 4 北京化j 大学颤 学位论文 第三章扰动k d v 方程解的先验估计 一c 。 z + m ，o 8 f r 内一致有界。进一步地，若f 。l 占( s ) 陋收敛，则解在 一 z o ，使得当o s s l s o ，即s 充分小时，有 4 一s 隐能，j ( ) o ，从而 结合( 3 1 5 ) 式，则有 因此，有 定理2 如果( j ) c 1 【o ，+ m ) ，( 0 ) = 0 ，则对任一给定的7 t o ，存在占； o ，使得 4bllllj ：她坚， 睦弘 叫一 ；淝瓦 h 薹_ 一塑铲 一一 一 一呦缀 野 糍 压 北京化_ 【人学顿1 ：学位论文箱三章扰动k d v 方程解的先验估汁 问题( 3 1 ) ，( 3 1 0 ) 的解在一 x + ，o f r ，o 茎s 兰s 内一致有界。进一 步地，若( j ) 在 o ，+ o o ) 上有界，且r 。p ( s ) l 出 o ，使得o f 岛 时，( 3 1 ) ，( 3 1 0 ) 的解在一o o 1 0 “( 一l o ) u ( 3 ：j 一1 ) = w l ； u ( 1 ) = a 木( s e c h ( r + ( ( 一x ) 一c + ( p 一1 ) + s ) ) ) “2 ；u ( 2 ) = a 4 ( s e d l ( r + ( ( 一x + h ) c 木0 - 1 ) 木s ) ) ) “2 ；u ( j ) = a + ( s e c h ( r + ( ( 一x + ( j 一1 ) ) - c + ( p 1 ) 4 s ) ) ) “2 ；u ( j + 1 ) = a + ( s e c h ( 一( ( 一x 州h ) 一c + ( p 一1 ) + s ) ) ) 2 ； g 1 = g ；b 1 = b ； w 1 = u ( 3 ：j 一1 ) 一i n v ( b 1 ) g l ； f o f j = 3 ：j - 1 w ( j ) = w 1 ( j 一2 ) ； w ( 1 ) = a + ( s e c h ( ( x ) 一c ( p 1 ) + s ) ) ) “2 ；w ( 2 ) = a + ( s e c h ( r 。( ( 一x 十h ) 一c + ( p 一1 ) + s ) ) ) “2 ；w ( j ) = a + ( s e c h ( ( - x 斗( j 一1 ) h ) 一c 4 ( p 一1 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