（应用数学专业论文）σortho紧空间的乘积和基可数仿紧空间的刻画.pdf

摘要 o - o r t h o 紧空间的乘积和基可数仿紧空间的刻画 作者简介：张孟英，女，1 9 7 2 年0 2 月出生，2 0 0 4 年0 9 月师从于成都理工大 学曹金文、魏贵民教授，于2 0 0 7 年0 6 月获硕士学位。 摘要 本文主要研究了两部分内容：一部分是伊o r t h o 紧空间的t y e h o n o f f 乘积性； 一部分是定义了基可数仿紧空间，并对其性质与刻画定理进行了初步研究。主 要获得了以下结论； l 、如果x = 兀。z ，是i | - 仿紧空间，则x 是盯- o r t h o 紧空间当且仅当 vf 瞄】一，n ，。fx 。是口- o r t h o 紧空间 2 、( 1 ) 已知厂：x y 是准完备映射，y 是基可数仿紧空间，则z 为基可 数仿紧空间。即准完各映射逆保持基可数仿紧性。 ( 2 ) 设x 是不空间，y 是正规空间，：x 专y 是基仿紧映射，国( ) c o ( y ) ， 如果y 是基可数仿紧空间，则工为基可数仿紧空间。 3 、( 1 ) 设x 是基可数仿紧空间，如果m 是x 的闭子集且c o ( 肘j = c o ( x ) ， 则m 是基可数仿紧空间。 ( 2 ) 设z 是正规可数仿紧的，且x = u ，。e ，每一曩是闭的且相对于空间 z 基可数仿紧的，那么x 是基可数仿紧的。 4 、( 1 ) 对于正规空间x ，下列论述等价：x 是基可数仿紧空间；石存 在一个开基历，有i 留l = c o ( x ) ，使得对x 的每个可数开覆盖彩有一个由留的 元素的闭包组成的局部有限的加细。 ( 2 ) 对于正规空间x ，下列论述等价：x 是基可数仿紧空间；x 是可 数仿紧空间，且存在的一个基劈，有i 劈l = c o ( x ) ，使得对x 的每个二元开覆有 一个由留的元素组成的局部有限的加细；x 存在一个基舅，有i 历i = c o ( x ) ， 对工的每个可数歼覆盖彩，都存在局部有限的覆盖历c 国，使得留加细彩。 关键词：t y c h o n o f f 乘积基可数仿紧性质刻画 垒望璺! 垦兰! t v c h o n o f fp r o d u c t so f 6 一o r t h oc o m p a c ts p a c e a n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fb a s e c o u n t a b l y p a r a c o m p a c ts p a c e a b s t r c t t h i sp a p e ri sm a d eo ft w op a r t s ：o n e p a r ti st h et y c h o n o f fi n f i n i t ep r o d u c t p r o p e r t i e s o f 口一o r t h oc o m p a c t ；i nt h eo t h e rp a r t ，w ei n t r o d u c et h en o t i o n o f b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a e t ，a n d r e s e a r c hi t s p r o p e r t i e s a n d e q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m s i nt h i sp a p e r ，w eh a sg a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 、l e tx = 丌* z x ，b el i p a r a c o m p a c t ，xi s 口一o r t h o c o m p a c t ， n li so r - - o r t h o c o m p a c t f o r e v e r yf 【r 2 ，( 1 ) b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t n e s si s a l li n v e r s ei n v a r i a n to fq u a s i p e r f e c t m a p p i n g s ( 2 ) l e txi s 疋一s p a c ea n d y i sn o r m a l ，f ：x yb eab a s e 。p a r a e o m p a c t m a p p i n g a n dc o ( x ) m r ) i fyi s b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a e t ，t h e n xi s b a s e e o u n t a b l yp a r a c o m p a c t 3 、( 1 ) l e txb eb a s e c o u n t a b l yp a r a e o m p a c t i fm i sac l o s e ds u b s e to fx w i t hc a ( m ) = m ( x 。t h e nm 、sb a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ( 2 ) l e txi sn o r m a le o u n t a b l yp a r a c o m p a c ta n dx = u 。只，e v e r yfi s c l o s e da n db a s e c o u n t a b l yp a r a e o m p a c tr e l a t i v et ox t h e nxi sb a s e 。c o u n t a b l y p a r a c o m p a c t 4 、( 1 ) f o ran o r m a ls p a c e ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ：x i s b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ；t h e r ei s ab a s e 国f o rxw i t hi 劈i = 口( z ) s u c h t h a te v e r yc o u n t a b l yo p e nc o v e r 彩o fxh a sal o c a l l yf i n i t e r e f i n e m e n tb y c l o s u r e so fm e m b e ro f 历 ( 2 ) f o ran o r m a ls p a c e ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ：工i s b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ：x i sc o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ，a n dt h e r ei sab a s e 留f o rxw i t h 防i = c a ( x ) ，s u c ht h a te v e r yb i n a r yo p e nc o v e ro fxh a sa l o c a l l vf i n i t er e f i n e m e n tb ym e m b e r so f 劈：( 萤t h e r ei sab a s e 历f o rx w i t h 陋= c a ( x ) s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ：f o re v e r ye o u n t a b l yo p e nc o v e r 彩 o fx 。t h e r ei sal o c a l l yf i n i t ec o v e r 历o f 石b ym e m b e r so f 历s u c ht h a t 历ir e f i n e s k e y w o r d s ：t y c h o n o f f p r o d u c t ；b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ；p r o p e r t y ； c h a r a c t e r i z a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡兰太堂或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名： 学位论文作者签名 ；侈 ) 帅7 年 岁月 乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权盛酆堡王盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 貂荚 加7 年岁月日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 选题依据 本论文的题目为a o r t h o 紧空间的乘积和基可数仿紧空间的刻画。研究 的主要内容是o o r t h o 紧空间的无限t y c h o n o f f 乘积性以及基可数仿紧空间的映 射性、可积性、遗传性以及刻画定理等。 乘积性研究开始于二十世纪四、五十年代。我们知道，覆盖性质的可积性 都是很差的，如两个仿紧空间的乘积未必是仿紧的，那么其中一个因子空问或 者两个因子空间需要增加怎样的条件才能保证乘积仍然是仿紧的? 若是有限 个，可数个，无限不可数个具有相同覆盖性质的空问的乘积是否仍保持相同的 覆盖性质? 这问题在国际范围内一直是一个非常引人兴趣的问题。依照这一思 想，本文一部分内容就是对o o r t h o 紧空问是否具有良好的t y c h o n o f f 乘积性进 行了研究。 2 0 0 3 年。国际著名数学家j o h ne p o t e r 在国际著名数学杂志t o p o l o g ya n d i t sa p p l i c a t i o n s ) ) 发表了论文( ( b a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s ，提出了比仿紧空间结 构更加复杂而且更为重要的“基仿紧空间”的概念，同时对其性质进行了初步 研究，提出了关于“基仿紧空间”的四个国际公开问题，从此，关于“基仿紧 空间”的研究引起了国际数学家们的极大兴趣。本文在基仿紧空间以及可数仿 紧空间的基础上，定义了一个新的空间“基可数仿紧空间”。那么。基可数 仿紧空间是否会有类似于基仿紧空间的一些性质? 依据这一思想，本文对基可 数仿紧空间的若干性质作了进一步的研究。 1 2 国内外研究现状 众所周知，度量空间和紧空间是两类应用很广的基本空间，仿紧空间则是 它们二者公共的最成功的推广。无论从理论或应用的角度而言，仿紧空间都是 一般拓扑学的一个基本而重要的组成部分，它在几何、拓扑、流行和泛函等数 学分支中有重要的应用。仿紧空间理论在其自身发展的同时，深刻影响并有力 推动着数学的发展。尽管仿紧空间已有半个世纪的研究历史，但现今仍处于向 纵深发展的阶段。广义仿紧空间又称为覆盖性质理论，顾名思义是指仿紧空间 的推广，对广义仿紧空间的研究也一直是拓扑学中活跃的研究方向。 六十年代、七十年代以至八十年代，国内外不少拓扑学者都积极投入了对 正规( 仿紧) 空间乘积性质的研究，获得了许多重要结果。在八十年代以至九 十年代，广义仿紧空间的乘积性研究发展起来，在国际范围上出现了y y a j i m a ( 日本) 、g g r u e n h a g e ( 美国) 、k c h i b a ( 日本) 以及h j k j u n n i l a ( 芬兰) 等 成都理工大学硕士学位论文 著名的拓扑学家，他们在拓扑空间的乘积性上，特别是在对广义仿紧空间类的 t y c h o n o f f 乘积等的研究中取得了许多令人关注的结果。1 9 9 2 年在h u s e k 和v a n m i l l l l 9 9 2 主编的 r e c e n tp r o g r e s si ng e n e r a lt o p o l o g y ) ) ( 第七次布拉格国际拓 扑学学术讨论会论文集) 中，就报告了关于t y c h o n o f f 积与积的正规性的重 要成果。 近几年来，国内不少拓扑学研究者也积极投入了对拓扑空间t y c h o n o f f 乘积 性质的研究，并取得了较好的结果，如朱培勇教授的仃一仿l i n d e l o f 空间、弱次 亚紧、集体次正规、正规弱万等空间的无限t y c h o n o f f 乘积；黄蕴魁教授的m e s o 紧、次m e s o 紧空间的t y c h o n o f f 乘积以及李泽君教授的仃一仿紧空间的 t y c h o n o f f 乘积性质等等。这些成果对仿紧空间乘积性质的研究起到了很好的推 动作用。 2 0 0 3 年，国际著名数学家j o h ne p o t e r 引入了“基仿紧空间”的概念，对 其进行了初步研究，并获得了一些重要的结论，如度量空间是基仿紧空间，正 则的l i n d e l o f 空间是基仿紧空间，基仿紧空间与紧空间的乘积仍然是基仿紧空 阃等，同时提出了关于“基仿紧空间”的四个国际公开问题： q u e s t i o n1 a r ep a r a c o m p a c tg o - s p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n2 a r es t r a t i f i a b l es p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n3 a r ep r o t o m e t r i z a b l es p a c e sb a s e - p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n4 a r ec o n n e c t e dp a r a c o m p a c ts p a c e sb a s e - p a r a c o m p a c t ? 在2 0 0 5 年的国际拓扑学大会上。专家们进行了更加广泛的交流，充分肯定了基 仿紧空间性质研究的必要性和重要性。从此基仿紧空间的研究也就成了国内外 拓扑学者非常感兴趣并且积极投入的课题，但是目前关于基仿紧空间这方面的 结论还较少。 1 3 论文创新点及主要成果 ( 1 ) 在证明结论的过程中，构造适当的新集族，采取映射、覆盖等有关方 法来解决问题。例如在研究盯一o r t h o 紧空间的w y c h o n o f f 乘积性时，必要性的证 明很复杂，需要寻求新的方法，多次采用了构造子集族并利用已有的映射、覆 盖的方法来解决问题。再如，研究基可数仿紧空间的映射性时，构造了一个基 历：，由此来证明x 是基可数仿紧空间。在研究基可数仿紧空间的遗传性以及 刻画定理时，同样构造新的集族，并采取映射、覆盖的方法来解决问题。 ( 2 ) 根据需要大胆定义新的空间和有关概念。例如基可数仿紧空间就是在 可数仿紧空间的基础上，加了一个限制条件j 留l = r o ( x ) 定义出来的：在研究基 可数仿紧空间的闭子集的遗传性时，我们知道，紧空间的闭集是紧的，仿紧空 间的闭集是仿紧的，但是直接得到基可数仿紧空间的闭子集是基可数仿紧的有 第l 章引言 一定的困难，为此首先定义了“相对于x 基可数仿紧”的概念，在此基础上再 获得所需结论。 通过对仃一o r t h o 紧空间t y c h o n o f f 乘积性的研究，得出如下结论： 定理1 如果x = 兀。以是| i - 仿紧空间，则x 是盯- o r t h o 紧空间当且仅 当vf 旺】一，兀，。f 彳。是d r - - o r t h o 紧空间 定理2 如果x = 兀工，是可数仿紧空间，则下列各条等价： ( 1 ) x 是盯一o r t h o 紧的： ( 2 ) v f 【m 】“，兀 j ，是盯一o r t h o 紧的； ( 3 ) v 打f o ，兀m x ，是t y o r t h o 紧的 通过对基可数仿紧空间性质的研究，得出如下结论： 定理3 已知厂：x - - - h y 是准完备映射，j ，是基可数仿紧空间，则j 为基可 数仿紧空间。即准完备映射逆保持基可数仿紧性。 定理4 基可数仿紧空问与紧空间的乘积为基可数仿紧空间。 定理5 设x 是兀空间，y 是正规空间，厂：x 斗y 是基仿紧映射， 国( 彳) 2 国( r ) ，如果j ，是基可数仿紧空间，则z 为基可数仿紧空闻。 定理6 基可数仿紧空间的每一闭子集相对于是基可数仿紧的。 定理7 设x 是基可数仿紧空间，如果肘是x 的闭子集且c o ( m ) = c o c x ) ， 则m 是基可数仿紧空间。 定理8 设z 是正规可数仿紧的，且x = u 。f ，每一f 是闭的且相对于 空间x 基可数仿紧的，那么石是基可数仿紧的。 定理9 设j 是基可数仿紧的，m 是x 的c 集，且r m ) = c o ( xj 。那么m 是基可数仿紧的。 定理1 0 对于正规空间j ，下列论述等价：是基可数仿紧空间；x 存在一个开基历，有i 劈i = 彩( j ) ，使得对x 的每个可数开覆盖彩有一个由搿 的元素的闭包组成的局部有限的加细。 定理1 1对于正规空间工，下列论述等价：石是基可数仿紧空间；x 是可数仿紧空间，且存在一个基留，有l 别= c o ( x ) ，使得对z 的每个二元开覆 盖有一个由劈的元素组成的局部有限的加细；x 存在一个基掰，有 l 留1 = 珊( x ) ，对x 的每个可数开覆盖彩，都存在局部有限的覆盖历c 历- ，使 得历加细彩。 成都理工大学硕十学位论文 第2 章预备知识 2 1 记号和术语 本节参照文献 3 以r 表示直线，9 ，分别表示只的自然数子集，有理数子集和单位区间。 g o 有三种含义，一是r 的子集u o ，二是第一个无限序数，三是最小的无限 基数，它的确切含义在上下文中是不会混淆的。 两个集合a ，b 的并、交、差分别表示为： a u b = x ：x a 或x 8 ， a n b = x ：x a 且x b ， a b = x ：x a 且x 硅口) ， 这里，仨分别表示“属于”，“不属于”。空集用表示，4 n b = 表示集合a 与集合占不相交；a b = 庐表示a c b ，即j a j x b 。符号“j ”表示“蕴 含”，符号“营”表示“当且仅当”。a c b 时称为a 是毋的子集；如果a c b 且a b 称为爿是b 的真子集；空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族 彳， 阿，或写作 4 ，：，f ) ， 这里r 是指标集。由集组成的序列 a 1 , 4 ：，以， 为集族的特例，这时可表示 为缸。 。，或写作 以：玎) ，这里的指标集是自然数集，或省去指标集记 为 a 。 或 以 ：，。集族的并、交可表示为u ，a ，n 。，a ，；在集的序列情况 下则为u 。a 。( 或u ：。a 。) ，n 。以( 或n 二a 。) 。 对于空间x ，矿和f 均表示x 上的拓扑。对于集和x 的子集族汐，x x ， acx ，记 ( 莎。 。l = p 彭。：x 尸 ， 妒) 。= p 驴：p n a 矽) ， 驴l 。= p n a ：p 驴 ， s t ( x ，驴) = u ( 泸) ， ( 彳，驴) = u p 泸：p n a ， 伊”= c 驴：矿是有限的) 若x 。m e ) 是爿中的一列点， 表示x 的子集 x 。：月n ，( 工。) 表示 笛卡儿积x 。中的第疗个坐标为x 。的序列。像通常一样， x 。) 表示中的第1 l 项 为x 。的序列。对于z 中有多个下标的序列，如 x 。 ，分别记 。和 j 。) 。为 固定f n 关于 和固定n 关于m 的序列。若空间x 的序列 x 。) 收敛于点x ，记 第2 章预鍪知识 【x 。】= x u x 。： n ) 。对于空间的子集族驴及映射厂：x j y ，分别记泸 的c ，( 驴) = c l ( p ) ：p 驴) 及伊在，的象，( 俨) - f ( p ) ：p 伊) 。对于积空 间兀。x 。及所n ，以：兀。，以斗z ，表示f i 。，k 在第m 个坐标上的 投影映射。 未定义的以文献【2 】蒋继光的一般拓扑学专题选讲为准。 2 2 集合的基数 本节参照文献 1 集x ，y 称为等势，如果存在由艇0 y 上的一一对应映射。对每一集x 给以 一个基数i i ，使f x l = i y f 当且仅当x ，j ，是等势的。有限集的基数定义为这集的 元素个数，称为有限基数，相反情况称为无限基数。所有自然数所成集的基 数记作k 。，即i n i = k 。；所有实数所组成集r 的基数记作c ，即i r | - c 。一个集 是可数的，当且仅当它是有限集或具有基数k 。 关于基数的和与积规定如下：两个基数m ， 的和m + 聊规定为集x uj ，的基 数，这里f x f = m ，m = 胛且工n y = 妒。m ，n 的积r a g 规定为集z y 的基数，这里 l x l _ 聊，f y i = 以。对每一个所，2 ”规定为集x 的一切子集所成集族的基数，可以 证明2 “。= c 。更一般地规定胛”为所有工到y 内的映射所成集的基数，这里 i x l = 朋，l y l = 玎。可以证明：”1 ”z = “胛”，( 玛疗2 ) ”= 胛? ”? ，”) ”= 弹卅1 ” 关于两个基数大小规定如下：设研，肝是两个基数，i x l = 册， y i = 一，规定 r r t 船( 或拧取) ，如果存在由艇y 内的单映射。由c a n t o r b e r n s t e i n 定理： m 刀及n m j 肌= 玎。k 。是最小的无限基数，两个基数，如果至少有一个是 无限基数，则它们的和或积等于其中非较小的一个( 在积的情况这两个基数都异 于零) ，特别有肼+ 脚= 脚聊= 所，肌k 。 如果m s h 且m 疗，则规定脚 n ( m d 于胛) 。可以证明，对每一个基数m ， 有肼 2 ”，特别有 f ，最小的不可数基数记作k 。 2 3 拓扑空间 本节参照文献 1 定义2 3 1设有集石，设矿是x 的子集所成的集族满足： ( 0 1 ) 砂少，x 矿， ( 0 2 ) 如q 9 7 ( f = 1 , 2 ，嚣) ，贝0 n ：lu ，矿， ( 0 3 ) 如u ，7 ( y r ) ，则u 妙，：，f 。多7 这里指标集r 是无限集，则称( ，。歹) 是拓扑空间( t o p o l o g i c a ls p a c e ) 。矿 是这空间的拓扑( t o p o l o g y ) ，夕。的元素称为开集( o p e ns e t ) 。在没有必要指出 x 上的拓扑歹时，通常简单地用石表示拓扑空问。 成都理工大学硕士学位论文 定义2 3 2 设。少，是集z 上的两个拓扑，且矿c 矿，则称拓扑矿 比拓扑矿粗，或拓扑少比拓扑矿精。 设集x 上的拓扑彰仅由空集妒及彳组成，则称这拓扑彰为平凡拓扑，是 最粗的拓扑。设只是由x 的一切子集组成，则称这拓扑巧为离散拓扑，是最 精的拓扑。具有离散拓扑的空间称为离散空间。 定义2 3 3 设空间x 是拓扑空间，x x ，如果x 的子集u 包含着某一 开集，这开集包含着点x ，则称u 是x 的邻域；如果( ，是开集，则称u 是点x 的 开邻域。 定理2 3 4 设彩( 工) 是点x 的所有邻域所成集族，则满足： ( n 1 ) x 圣锣( x ) ， ( n 2 ) 如u c i z ( x ) ，贝0 x u ， ( n 3 ) 如u 彩( x ) ，v ：) u ，贝0 v c 2 万( x ) ， ( n 4 ) 如u ，v c i 锣( z ) ，贝0 u n v c 2 移( x ) ， ( n 5 ) 如u 彩( x ) ，则存在集v 使工v c u 及对任何x v ，v 彩( x ) 。 定理2 3 5 拓扑空间x 中的子集u 是开集当且仅当【，是它的每一点的领 域。 设对集x 的每一点工确定了一个子集族彩( x ) 满足条件( n 1 ) 一( n 5 ) ，我们称 彩( x ) 的元素为点工的邻域，然后利用2 3 4 定义开集，由( n 1 ) ，( n 4 ) 及( n 3 ) ， 所定义的开集族满足拓扑空间的定义2 3 1 的( 0 1 ) ，( 0 2 ) 及( 0 3 ) ，从而x 形成拓 扑空间。这里是以邻域作为原始概念，由此出发定义拓扑空间。 定义2 3 6 拓扑空间x 的子集f 称为闭集，如果x f 是开集。 定理2 3 7 拓扑空问j 的所有闭子集，形成的集族矿满足下列条件： ( f 1 ) 矿，x r ( f 2 ) 如f 。多( f = 1 , 2 ，胛) ，贝0 u ：1 f ，。矿 ( f 3 ) 如j r ( y f ) ，贝0 n ：y r j r 这里指标集r 是无限集。 定理2 3 8 设是集的子集族满足条件( f 1 ) 一( f 3 ) ，则正好是拓 扑空间( x ，矿) 中所有闭集形成的集族，这里少= 一f ：f 。 定义2 3 9 设( x ，少) 是拓扑空间，x c x ，对x 中每一开集u 少， 置 u = u n x ，容易验证这些x 的子集u 所成的集族矿7 满足( 0 1 ) 一( 0 3 ) ，所以 矿，- u lu = u n x ，ue 。少 形成名上的拓扑，称为关于扩的相对拓扑，拓 扑空间( x ，) 称为拓扑空间( z ，少) 的子空间。 定理2 3 1 0 设f c x ，则f 是子空间x7 的闭集当且仅当存在x 中的闭 第2 章预备知识 集f 使f = f n x ，从而a c x 关于x 的闭包a = a n x 。 定义2 3 1 1 设有拓扑空间陇，形) ( f = l ，2 ，1 ) ，作直积集= 兀：，工， 给x 以如下的拓扑，这拓扑缈以集族 兀：k ：巧f = 1 ，2 ， 为开基， 容易验证满足( 0 1 ) 一( 0 3 ) 。 对于无限拓扑空间情况，可作如下处理。 定义2 3 1 2 设有一拓扑空间 ( ，少；) ) 阿，r 是无限集，作直积集 x = n 。x ，设0 是x 到x ，p 厂) 上的投影映射。我们要求给z 以使每个 投影只都成为连续映射的最粗拓扑，为此我们给出集族 肌w = 艿1 ( ) ，。彩，y r 作为工上拓扑纱的次开基，也就是这集族 的元素的有限交形成缈的开基，因此这些开集族： n 。：哆。形，且除 有限个，外= x ， 满足( 0 1 ) 一( 0 3 ) ，容易验证是使投影映射e ( ，f ) 都连 续的z 上的最粗拓扑，这拓扑缈称为积拓扑也称为t y c h o n o f f 拓扑。空间 ( x ，) 称为空间族 ( x r ，玩) ) 。的积空间。 定义2 3 1 3 设a 是拓扑空问x 的子集，所有包含集4 的闭集的交称为集 一的闭包，也就是包含集a 的最小的闭集，记作j 。集j 的每一点称为集a 的 接触点。 由定义知，拓扑空间x 的子集a 是闭集，当且仅当j = 4 ；子集u 是开集 当且仅当牙可= j 一【，。 定理2 3 1 4 闭包满足如下条件： ( c 1 ) 万= 痧， ( c 2 ) j 3 a 。 ( c 3 ) 不面：j u 瓦 ( c 4 ) a = a ( ( c 1 ) - - ( c 4 ) 称为k u r a t o w s k i 闭包公理) 。 定理2 3 1 5 点x a 当且仅当点x 的每一邻域与a 相交。 定理2 3 1 6 集【，是点x 的邻域当且仅当工芒x u 。 在离散空间x ，x 的任何子集4 的闭包就是a ，也就是j = a ，所以离散 空问的任何子集都是闭集，也同时都是开集。在平凡拓扑空间x ，任何非空子 集a 的闭包是空间，也就是j = x ( a ) ，彳= 矿( 4 = 妒) 定理2 3 1 7 设x 是一集，对x 的每一子集a ，规定一集j 使满足( c 1 ) 叫c 4 ) ，定义x 的子集u 为开集当且仅当满足条件： x u = x u 则如上定义的开集族满足拓扑空间的定义( 0 1 ) 一( 0 3 ) ，从而x 称为拓扑空 间。 成都理工大学硕十学位论文 下面是以闭包定义拓扑空间的例子。 例2 3 1 8 取数直线r 以及不属于r 的点x + 形成的集r ，即r = r u k ， 对r + 的每一子集a 规定j 如下： f j = ( 4 一 工 关于r 的闭包) u 缸) ，当彳为无限集， l 彳= a ，当彳是有限集。 容易验证万满足闭包公理，从而由定理2 3 1 7 知，r + 成为拓扑空间。 相对于闭包概念，下面引进内核概念。 定义2 3 1 9 设4 是拓扑空间的子集，一切包含在a 内的开集的并称为 集a 的内核，也就是包含在a 内的最大开集，记作a 。( 或觑“) 。 由上述定义知，拓扑空间x 的子集彳是开集，当且仅当a a 。 设a 是拓扑空间z 的子集，点x 称为集4 的内点，如果a 是点x 的邻域， 也就是存在点x 的一个开邻域u ) 亡a ；集4 的一切内点所成集显然是开集， 从而就是集爿的内核。 关于内核和闭包间的关系有下述定理。 定理2 3 2 0 设彳是拓扑空间x 的任一子集，则有a 。：x 一x - a 。 定理2 3 2 1内核满足如下条件： ( 1 1 ) x 。= x ( 1 2 ) a 。c a ( 1 3 ) ( a n b ) 。= a 。n b 。， ( 1 4 ) ( 爿9 ) 。= a 。 定理2 3 2 2 设a 是拓扑空间x 的任一子集，则有万= x 一( x 一彳) 。 定义2 3 2 3 点x 称为集爿的聚点或极限点，如果x a 一缸) ；集彳的所有 聚点所成集称为集a 的导集，记作a 4 。 定理2 3 2 4 点x 属于4 。当且仅当点x 的每一邻域包含集a 的异于x 的一 个点。 定理2 3 2 5 集a a 4 的点称为集a 的孤立点，点x 是空间x 的孤立点， 当且仅当 x j 是一开集。 定理2 3 2 6 导集满足如下条件： ( d 1 ) a = a u a 4 ， ( d 2 ) 如a c b ，n a 4c b 。， ( d 3 ) ( 4 u 口) 4 = a ou b 4 ， ( d 4 ) u 阿彳；c ( u 埘a ，) 4 定义2 3 2 7 拓扑空间x 的集族彩= u o ：口彳 称为空间x 的覆盖，如 果u 虬：口a - x 。如果彩中的元素都是开集( 闭集) ，则称为开( 闭) 覆盖： 第2 章预各知识 当指标集a 是有限集时( 可数集时) ，则称有限( 可数) 覆盖；如果彩的子集 族彩7 ( 彩c 彩) 仍是覆盖，则称彩是彩的子覆盖。 定义2 3 2 8 拓扑空间称为紧空间，如果z 的每一开覆盖具有有限子覆 盖。 定义2 3 2 9 拓扑空间x 称为局部紧的，如果每一x x 具有一个紧的邻 域。 定理2 3 3 0 局部紧空间的闭子空间是局部紧空间。 定理2 3 3 1兀局部紧空间j 是t y c h o n o f f 空间。 定理2 3 3 2 局部紧空间在连续开映射下的象是局部紧空间。 定义2 。3 3 3 拓扑空间称为可数紧空间，如果z 的每一可数开覆盖具有有 限子覆盖。 定理2 3 3 4 拓扑空间x 是可数紧空间当且仅当每一具有有限交性质的 可数闭集族的交不空。 定义2 3 3 5 空间x 的覆盖彩= 虬l 。称为局部有限的，如果对每一 x x ，存在j 的邻域u ( x ) ，使u ( x ) n 以矿，仅对有限个口a 成立；覆盖 鲈 ) f 。称为是覆盖彩： u 。) 。的加细覆盖，如果冲的每元素总包含于 彩中的某一元素u 。内。 定义2 ，3 3 6 拓扑空间x 称为仿紧的，如果肖的每一开覆盖具有局部有限 的加细开覆盖。 定义2 3 3 7 设基数k 耋c o ，空问z 是k 一仿紧的，如果它的每个势薹c o 的 开覆盖有局部有限开加细。 定理2 3 3 8 仿紧空间的闭子空间是仿紧的。 定理2 3 3 9 设彳是紧空间且r 是仿紧空间，则x x y 是仿紧空间。 定理2 ，3 4 0 空间j 是可数仿紧的当且仅当x 的每个可数上升开覆盖有 仃一局部有限开的强加细。 定理2 3 4 1 对任意空间x ，下列各条件等价： ( i ) x 是k 一仿紧的； ( i i ) x 的每个势耋c o 的定向开覆盖有局部有限开加细； ( i i i ) x 的每个势三国的定向开覆盖有局部有限的收缩； ( i v ) x 的每个势缈的定向开覆盖有局部有限闭加细； ( v ) z 的每个势耋c o 的良序开覆盖有局部有限开加细； ( v i ) x 的每个势耋国的良序开覆盖有局部有限的收缩； ( v i i ) x 的每个势三国的良序开覆盖有盯一局部有限开的强加细； 定理2 3 4 2 对任意空间x ，下列各条件等价： 成都理丁大学硕士学位论文 ( i ) x 是仿紧的； ( i i ) j 的每个定向开覆盖有局部有限开加细； ( i i i ) 彳的每个定向开覆盖有局部有限的收缩； ( i v ) x 的每个定向开覆盖有局部有限开加细； ( v ) x 是可数仿紧的且x 的每个开覆盖有盯一局部有限开加细； ( v i ) x 的每个良序开覆盖有局部有限开加细： ( v i i ) 彳的每个良序开覆盖有局部有限的收缩； ( v i i i ) x 的每个良序开覆盖有盯一局部有限开的强加细。 定义2 3 4 3 拓扑空间j 称为可数仿紧的( c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t ) ，如果 石的每一可数开覆盖具有局部有限的开加细覆盖。 推论2 3 4 4 完备正规空间是可数仿紧空间。 定理2 3 4 5 ( m a n s f i e l d 1 9 5 7 ) 设x 是正规空间，则下列论断等价： ( i ) 是可数仿紧空间， ( i i ) x 的每一可数开覆盖具有可数局部有限闭加细覆盖， ( i i i ) x 的每一可数开覆盖具有可数闭包保持闭加细覆盖， ( i v ) x 的每一可数开覆盖具有疗离散闭加细覆盖， ( v ) 工的每一可数开覆盖具有盯局部有限闭加细覆盖， ( v i ) x 的每一可数开覆盖具有盯闭包保持闭加细覆盖。 定理2 3 4 6 ( 葛英 1 9 9 2 】) 设厂：x 哼y 是由可数仿紧空间x 到空间】，上 的可数双商映射，则y 是可数仿紧空间。 推论2 3 4 7 准完备映射保持可数仿紧性。 推论2 3 4 8 ( h e n r i k s e n i s b e l l 1 9 5 8 1 ) 完备映射保持可数仿紧性。 定理2 3 4 9 闭映射保持正规可数仿紧性。 定理2 3 5 0 设厂：_ y 是空间到可数仿紧空间l ，上的准完备映射， 则z 是可数仿紧空间( 可简记为准完备映射逆保持可数仿紧性) 。 定理2 3 5 1空间x 是可数仿紧空间当且仅当x 在准完备映射下的象是 可数仿紧空间。 定理2 3 5 2 正规可数仿紧空间的疋子空间是正规可数仿紧的。 定理2 3 5 3 可数仿紧空间与紧空间的积是可数仿紧空间。 2 4 映射 本节参照文献 1 定义2 4 1 拓扑空间z 到拓扑空间j ，内的映射厂称为连续的，如果】，中开 集矿的逆象厂。( 矿) 是z 中的开集。 在给出下列定理前，复习一下集在映射厂下的象和逆象的关系： 第2 章预备知识 f 。( 厂( 彳) ) 3 a ，f ( f 。( b ) ) c b 。当厂是满映射时，后式八厂1 1 ( b ) ) = b 。 定理2 4 2 下列论断是等价的： ( i ) x n y 内的映射厂是连续的， ( i i ) 绅闭集哟逆豸矿。( f ) 是闭集， ( i i i ) 对每一b c lf - 1 ( 口) 3 f 。( b ) ， ( i v ) 对每一a c 卫( 印c 八锄， ( v ) 对每一x x 及f ( x ) 的每一邻域v ，存在x 的邻域【，使f ( u ) cv 。 定义2 。4 。3 设拓扑空间工到拓扑空间j ，上的连续映射厂是一一对应的， 且逆映射是y 到x 上的连续映射，则称厂是同胚映射或拓扑映射。在此情况， 空间x 与空间j ，称为同胚的。 在拓扑学中，同胚的空问看作是等同的，没有区别。 定义2 4 4 拓扑空间j 到拓扑空间y 内的映射称为闭映射，如果x 中每 一闭集f 的象厂( f ) 是，中的闭集；称为开映射，如果x 中每一开集【，的象 厂( 是】，中的开集。 容易看到厂是同胚映射当且仅当厂是一对应的连续闭( 开) 映射。 定理2 4 5 下列论断是等价的： ( i ) 艇0 蚋的映射，是开映射， ( i i ) 对舶每一子集4 ，f ( d o ) c 7 ( 厂( 一) ) o ， ( i i i ) 对l 钧每一子集b ， 1 ( b ) c f “( b ) ， ( i v ) 每一点x x 的开邻域u 的象f ( u ) 包含着f ( x ) 的某一开邻域。 定理2 4 6 下列论断等价： ( i ) 糖0 】，内的映射是闭映射， ( i i ) 对x 的每一子集a ，f ( a ) 3 f ( a ) 。 下面的定理在论述连续闭映射保持某些拓扑性质时很有用处。注意这里的 映射是“到上”的，也就是满映射。 定义2 4 7 设 x y ( 1 ) f 称为有限到映射，若每一，。( y ) 是x 的有限子集。 ( 2 ) - 厂称为紧映射，若每一f 1 ( y ) 是x 的紧子集。 ( 3 ) ，称为5 映射，若每一厂。( y ) 是石的可分子集。 ( 4 ) _ 厂称为商映射，若，- 1 ( u ) 是z 的开子集，则u 是y 的开子集。 ( 5 ) 厂称为伪开映射，若y 是z 的开子集且厂_ 1 ( d c v ，则厂( 矿) 是j ，在y 中的 邻域。 ( 6 ) 厂称为几乎开映射，若对于y y ，存在x ，1 ) 使得如果u 是z 在x 中 的邻域，则，( ( ，) 是y 在y 中的邻域。 成都理工大学硕士学位论文 ( 7 ) f 称为完备映射，若厂是闭且紧的映射。 易验证 开映射= ，几乎开映射 上工 有限到一闭映射毒完备映射j 闭映射j 伪开映射等商映射 定义2 4 8 设映射 x 斗y ，则 ( 1 ) 厂称为紧覆盖映射，若j ，的任一紧子集是x 中某紧子集在厂下的象。 ( 2 ) 厂称为序列商映射，若 y 。) 是】，中的收敛序列，那么存在 y 。 的予序列 ( y 。， 和x 中的收敛序列 t 使得每一x ，厂- 1 ( y 。，) 。 ( 3 ) ，称为序列覆盖映射，若 y 。 是y 中的收敛序列，那么存在x 中的收敛 序列 x 。) 使得每一x 。f 1 ( y 。) 。 ( 4 ) 厂称为伪序列覆盖映射，若】，中的任一( 含极限点的) 收敛序列是x 中某 紧子集在厂下的象。 ( 5 ) ，称为子序列覆盖映射，若 y 。 是y 中的收敛序列，那么存在x 中的收 敛序列，那么存在x 中的紧子集k 使得，( k ) 是 y 。 的子序列。 ( 6 ) f 称为1 序列覆盖映射，若对于y 腑瓠f 。( y ) 满足：如果l ，中的序 列 ) 收敛于y ，那么存在工中收敛于点x 的序列 x 。) 使得每一x 。厂。( 儿) 。 ( 7 ) 厂称为2 序列覆盖映射，若对于y 趿x - 1 ( y ) 满足：如果】，中的序列 虬 收敛于j ，那么存在彳中收敛于点x 的序列 工。 使得每一工。，- 1 ( 儿) 。 第3 章主要成果 第3 章主要成果 3 ，1 口一o r t h o 紧空间的t y c h o n o f f 乘积性质 假设本节中所涉及的空间均为h a u s d o r f f 空间，以下简称