（运筹学与控制论专业论文）带neumann边值条件的半线性椭圆问题多重正解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文考虑了半线性椭圆n e u m a n n 边界问题 在q 中， 在q 中。 ( 十) 在o n 0 上 多重正解的存在性和非存在性这里qcr 。( 5 ) 是一个边界为g 1 的有界 光滑区域，0 a q 1 0 是一个实参数，a 0 ，0 t 7 。时，方 程( + ) 没有解然后我们利用函数平移将原来的非齐次边界问题转化为奇次边界 问题，验证了其对应的变分泛函满足不带( p s ) 条件的山路引理的两个条件，并 给出了泛函临界点存在的一个充分条件，最后对具体的变分泛函进行估计，得到 了新方程非平凡解的存在性结果，从而得到了原方程第二个正解的存在性结果。 关键词：多解，临界指标，椭圆型方程，非齐次扰动 地俨 侪俐等啦 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h e s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m = 矿一a ui n q o na q ( ，) w h e r eqc 舻( n25 ) i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i nw i t hc 1b o u n d a r ys u c h t h a t0 a q 1 0i sai e a lp a r a m e t e r ，a 0 ，0 仃w es e tu pan e w e q u a t i o n a n dv e r i f yt h a tt h ec o r r e s p o n d i n g v a r i a t i o n a lf u n c t i o n a ls a t i s f i e st h ec o n d i t i o n si nm o u n t a i np a s sl e m m a t h e nw e g i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no f t h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp o i n t l a t e r ，w ee s t i m a t eo u r v a r i a t i o n a lf u n c t i o n a lt og e tan o n t r i v i a ls o l u t i o no ft h en e we q u a t i o na n ds ot h e s e c o n ds o l u t i o nf o r ( 十) i so b t a i n e d k e yw o r d s ：m u l t i p l es o l u t i o n s ，c r i t i c a le x p o n e n t s ，e l l i p t i ce q u a t i o n s ，i n h o - m o g e n e o u sp e r t u r b a t i o n s i i 许州 盯 = 舭 弘 一 n ，、【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 引言 本文中，我们考虑半线性椭圆边值问题 慝事嘲 多解的存在性，这是方程 篆 吖。 在q 中， 在q 中， ( 1 1 ) a 在a q o ) 上 在q 中， 在q 中， ( 1 _ 2 ) 在a n o ) 上 的一个特例这里，qcr ( 5 ) 是一个有界光滑区域，0 a q 1 0 是一个实参 数，a 0 ，0 0 ，可以证明( 见f 1 】) ，当 p 口一1 时，对所有0 a a 1 ( 弘) ，( 1 3 ) 至少有一个解u 硪( n ) 。这里 a t ( 肛) 是特征问题 j 以盱芦奔“札都中，( 1 4 ) 【乜= 0 在a q 上 。+ 的第一特征值当p ( 肛一1 ，皿) 时，存在性结果与肛卢一1 时相去甚远： i ) 当0 k ( p ) 0 表明a a 1 ，这里 1 是一在0 - d i r i c h l e t 边值条件下的第一特 征值因此，限定0 a a 1 ，他们证明了以下结果： 1 如果n 4 ，那么当0 a 久1 时，( 1 5 ) 至少有一解让砩( q ) 2 如果n = 3 ，那么当a a a l 时，( 1 5 ) 至少有一解让嘲( f 2 ) ，这 里a 。是一个适当的正数 2 巨- a u = 出u p - ，她 a 。= a 1 。并且当as a 。时， 在q 中， 在n 中， 在a n 上 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 作者证明了以下结果 1 如果1 0 ，当a 【 ，o o ) 时，( 1 6 ) 有一 个极小解；当a ”时，( 1 6 ) 无解 2 如果a ( ”，o 。) ，p = 2 一1 ，则( 1 6 ) 至少有两个解( 见【4 ) 。 令我们感兴趣的是，在方程右端加上h a r d y 项，例如，我们在( 1 5 ) 或( 1 6 ) 加上弘芒【西，那么，上面的存在与非存在性结果是否依然成立呢? 对( 1 5 ) 加 h a r d y 项( 即( 1 3 ) ) 文 1 】已作了详细的讨论 受 2 】、 4 和 5 的启发，本文的主要目的是讨论问题( 1 1 ) 。多重正解的存 在性问题。本文主要结果如下： 定理1 1 当0 肛 矿，1 p 蔓2 + 一l 时，存在一个正数口 矿时，( 1 1 ) 。没有解 定理1 2 当0 矿时，方程没有解 引理2 1 设a 1 是算子一一p f 4 - a 带o - n e u m a n n 边值问题的第一特 征值，( z ) 是相应的第一特征函数那么有a l 0 ，毋( 。) 0a e 于q ( 见 1 ) 注如果u c 1 ( n o ) ) ，钍20 o _ e 于n ，一让一p 蠢0 m e 于q ，且对任意满足b r ( o ) c cq 的r 0 ，有u 工( q b ( o ) ) 那么，如果在 n o ) 上u 0 ，则在吼 o ) 上u o ( 见【7 】) 引理2 2 当盯充分小时，( 1 1 ) 一有一个极小正解。 证明：定义 j ( 矾u ) = i 1 五l 。砰一p 砰, l t 2 + a u 2 出一寡j 五舻1 如一a n c 妒( 。) 札+ d s 那么对任意的h ， h 1 ( q ) 有 ( 以( q 乱) ， ) = fd u d 一p 肝u h + a u h - 碑 出一f o a a 妒( 。) d s ( ( 吒缸) k 。) = fd h d ”一p 静+ 入如一p 蟛1 地出 所以 0a e 于q 设玎( 0 ，厅) ，乱( 盯) 是( 1 1 ) 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的解，显然u ( o ) 是( 1 1 ) 。的上解，0 是其下解由上下解方法( 参考 8 1 1 1 0 】) 知，( 1 1 ) ，有一个极小正解v ( o ) ，满足0 c 时，( 1 1 ) 。无 解 证明：因为p 1 ，所以可选取e l 0 ，使得当u 0 时，有妒a 1 让一a 若u 是( 1 1 ) ，的解，则有 - 一肛静+ 地= 矿 从而 肛缸) 妒一肛斧批纠如= 五妒出 这里( 。) 是- a - 器+ 入相应o n e u m a n n 边值问题的第一特征函数( 由引理 2 1 给出) 由分部积分得 o o , 一西一p 啬+ m 出= 上u p 西d x + 五。盯d s 因此，a l 如u d x a 1 札d z a 如d z + c r 厶n 妒咖d s 。 于是盯e ，其中g = a 如毋出s o n 妒d s 引理2 4 存在常数0 矿 矿时，( 1 1 ) 。无解 证明：令矿= s u p 盯r + i ( 1 1 ) 。有极小正解) 由引理2 2 和引理2 3 即知0 矿 + o 。叉任给盯( 0 ，矿) ，依口+ 的定义知 存在于( 盯，矿) ，使得( 1 1 ) 一有一个极小正解 一易证u 一和0 分别是( 1 1 ) ， 的上解和下解，由单调迭代法和上面的注得。存在( 1 1 ) 。的解 t t 。，使得 并且u 。是极小正解 0 0 于q o ) 。 证明：令 6 ，= 溉f s n l d 皿1 2 一p 啬；彬如1 霍嚣1 ，五疗哥如= 1 ( 2 2 ) 记 m ) ：l o ( i w | 2 - p 品婶蛾 m ) = 1 2 一p 器，a 钍2 ) 如， ，c 1 ( q ) 是( 2 2 ) 的极小化序列，即fp u ；- 1 哼如= 1 且j ( ) - 6 1 。因此 可假定i 。( i v 1 2 一p 矗+ a 哼) 出| e ，从而i n i v v s l 2 + 哼如g 。 事实上，对于0 a q 的情形，如果0 0 ，得v v j l 2 + ) 如e 又日1 ( q ) 是自反b a n a c h 空间，我们可选取子序列，不妨仍记作 ) ，使得 吩_ 上百在h 1 ( 锄中， 吩_ 口在l 。( q ) 中，2 口 0 ，我们有j _ ( u ) 曼j l + e 因此j ( u ) s6 l = l i m ，( ) ，从而，( ) = 矗成立令咖1 = 川，则由引理2 1 和极值原理( 见前面 的注) 得咖1 0 于q o ) 故( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有一组解( 6 1 ，1 ) 下证以 1 对于厅( 芝，矿) ，设u a ，u 口分别是( 1 1 ) 和( 1 1 ) 一的极小正解，则钍 u 一 利用( 1 1 k 和( 1 ，1 ) 口，有 一( u 。一屹) 一p 掣+ a ( u 。一u ) = 嵋一u 量 利用t a y l o r 展式，注意到e t a p 蜡一1 ( u 口一u j ( 0 五p 哆1 ( 札一一吨) 皿，出 故5 l 1 。 由引理2 4 ，我们可如下定义一个极小正解集： a = u ，i 口( 0 ，矿) ，让，是( 1 1 ) 。的极小正解) 引理2 6 存在一个与口无关的正常数c ，使得任给u 。a ，有 u 洲日- ( n ) c 证明：仕给让o a ，田引埋2 1 布口引埋2 5 导 o l v u 。1 2 d x - i t 五辞如= 二移1 出。o u 2 d x + 厶盯幽 ( 。4 ) ol v u ，1 2 出一p 上i 等如a - o 钍d x a 五u d x ( 2 5 ) oj v 让，1 2 出一p i “x 2d x 6 ，五p 秽1 出一a o u 。2 出 ( 2 6 ) 通过( 2 4 ) 一( 2 6 ) ，可得 正舻1 d x + z o n d r 灿d s a o 缸d x ( 2 7 ) 五u p 。q - 1d x + 五n d r 舭，d s 6 - 五舢矿1d x a 五u d z ( 2 8 ) 因为5 1 p 1 ，所以( 2 8 ) 可化为 五舻1 妪南厶灿抓南f o f t o a a 瓠 ( 2 。) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s h 小弛茎楼鬈幺： 皿埘 0 ，即得如( i v u 1 2 + 钍；) 出s c 定理1 1 的证明由引理2 4 ，只需证明盯= 矿时的情形假设 乃) j 1 是 ( o ，矿) 中满足，l _ i m o 。= 矿的一个递增序列对应的解序列为 u q ) 业1 c 一4 由 引理2 6 ，可选取子序列，仍记作 u q ) j 1 ，使得在h 1 ( q ) 中u q 一面，面是 日- ( q ) 中一个非负函数易证面是( 1 1 ) ，的一个解由于0 是( 1 1 ) 一的下解， 1 0 3 第二个解的存在性 本节中，因为亚临界情形( i e 1 p 2 + 一1 ) 是平凡的，我们只考虑p = 2 * - 1 的情形验证了其对应的变分泛函满足不带( p s ) 条件的山路引理的两个条件( 类 似于 1 2 】) ，给出了泛函临界点存在的一个充分条件，最后对具体的变分泛函进 行估计，得到了新方程非平凡解的存在性结果，从而得到了原方程第二个正解的 存在性结果。 为了寻找( 1 1 ) ，的第二个解，我们考虑如下问题： 瞄静扣帕。k 小蛔 在q 中， 在n 中， ( 3 1 k 在o a 0 ) 上 本节中总以u a 表示( 1 1 ) ，的极小正解，盯( 0 ，矿) 。显然，若( 3 1 ) 。有一 个正解 ，我们就可以得到( 1 1 ) 。的另一个正解= u ，+ u 。为方便起见，我 们用“f f 日t ”，“f 1 b ”分别表示h 1 ) ，( q ) 中的范数，“+ = m a x ( u ，o ) ，“一= 一m i n ( u ，0 ) 本节中，我们将用变分方法证明对任意盯( 0 ，盯+ ) ，( 3 1 ) ，有一个 正解。为此，我们设 g ，”) = ( u + u ，) 9 一矿一牡：一a v ( 3 2 ) a ( 。) = p 蟛一1 一a ( 3 3 ) 因为夕( z ，口) 的值与 ( 1 一；。) 二一p 品仙2 出 因为6 1 1 且a 0 ，于是我们能找到一个正数a 1 使得 厶胁卜p 等叫咖2 如狐h ”i l l , - ( n ) ( 3 5 ) 注意到 。魄o o 丛盟= o z q 一致成立， 俨 l i r a 丛鲁坐：。( 。) z q 一致成立 v - * o 钉 、 所以任给 0 ，我们有 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ：g ( z ，”) 一i 1 。( z ) w 2 d 。；厶v 2 d x + ! 等o , ”1 9 + 1 d z 因此 ，( 。) 等幅，一歹万1 五”1 出一；五w 2 如一号鲁 o , 卵“出 利用s o b o l e v 嵌入可得 m ) 籼i 孙，一铷旷等c i i 圳p 删+ l ， 取= 丑2 c ，于是 j ( ”) 兰导备- ( n ) 一g 瞄 n ) ， 其中q = ! 等学g 。若取t l i l - ，( n ) = ( 韪) 者= p 0 ，我们可得 ，( ) 警( 教) 寿 0 。故c 0 。 利用( 3 6 ) ，( 3 ，7 ) ，引理2 5 以及山路引理，可得出下面的引理： 引理3 1 设仃( 0 ，矿) ，c 。pj ( t u ) ；“o n n du o ) ( 3 8 ) 】3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么c 兰c ( 见 1 2 】) 所以引理3 1 的条件c o o ) 所以边界a n 在原点附近可表示为( 按需要旋转z 1 ，x n t 的方向) ，n - 1 x n = ( z ) = 百1 九z ；+ o ( f 1 2 ) ，v x = ( z l ，x 2 ，x n 一1 ) d ( o ，d ) ， 。扛= l 其中6 0 为某个常数，a l ，沁，a n 一1 为边界0 1 2 在原点的主曲率而且d ( o ，5 ) = b d o ) n x n = o ) 。 对所有e 0 ，设u 。( z ) = i 三二_ ，其中西= 迎竽，7 = ( 2 蚓亮+ 靠) 柞 、面+ 、，乍_ ，r = 、面一、，乍r = i ，0 卢 乒，我们有 五陬 2 d x = 厶i v 让e 1 2 出一圳+ 。( e 滴) + o ( d v - 2 ) ， ( 3 1 0 ) 五雠d z = 厶群出一砾) + d ( e 鹩) + 0 ( e 肌2 ) ， ( 3 1 1 ) 五k j 2 出= 厶? l 钍。1 2 如一厶( e ) + 。( e 漓) + 。( ) ， ( 3 1 2 ) fo ( c 辑1 0 p 0 使得 s u pj ( t u 。) = j ( t 。址。) t 2 0 而且对独立于e 的某常数a 和岛有， 0 c i t 。q 0 有， 西协) = t 五j d u r p 舞2 出一亡p 上醒+ 1 如一五g ( z ，旭) 出 = t 五胁一弘静+ 域一醇1 钍陋 一五 ( 虮+ 乱。) p 一，一p 嵋1 妣 让e 妇 t a l | | u c l 备t m ) 一n ( 6 t u ：+ c ( d ) t p t 曙+ 1 ) 如 取6 充分小，使得0 o 另一方面 西协) = t 五j d u 。1 2 一肛熹+ a 让一护五嵋+ 1 出 一厶 ( t u e + ) p 一哆一护噬】让c 出 t 五i d 钍矛一p 静+ a 让：如一垆上嵋+ 1 妇 又因为圣( o ) = 0 ，所以存在常数t 。 0 使得( t ) = 0 且t 。满足( 3 1 7 ) 以下我们将证明存在正常数q ，q ，且对所有的0 有t 。f c l ，q 】。 事实上，因为垂印。) = 0 且t 。 0 ，所以有 加f p 静帆；t ，p - 1 ，上u f l d x ( 31 9 ) 一亡五i ( t 让e + 缸一) 一谚一t 9 醒】珏e d x = 0 由于对所有的芏q 和p 1 有( t + ) p 一谚一舌p o ，于是可得 五i 。钆。1 2 一p 本u 2 + a 牡：如一矿一1 上键+ 1 出。 1 6 地掣 厶i v u c l 2 一p 静d 。一耻) + 剐d ( 滟) + o ( e 吨) 2 石麓j 鬲丽酊瓦r ( 3 。) ：生擘粤益竺+ o ( 。藩- 1 ) + o ( ：迭：篇，0 一。：一 五i 。他1 2 一p 熹2 出一缨一1 五+ 1 出去五m 钍。+ u 一) 一孵一妒蚓钍e 出 丢上 6 理噬+ c ( 啪。钍目出 6 理。1 五妒1 d x + c ( 6 ) i u ：出 五i d u 矛一p 熹如一理。厶+ 1 出 鲥等譬溉_ 1 ) + d ( ) ( 警+ 0 ( e 蕊- 1 ) + d ( e ) ) + c ( 6 ) d ( e 满。) 那么 “ 5 ( k 1 可- # 一k 2 ) + 。( e 禹一1 ) + c ( 州e 满一1 ) + d ( e 帅) 1 7 。“鹩一t ) 一。“溉一1 ) 一o ( e ) 一。“活一1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 取6 = j 1 我们有 埋一1 可k 1 - t “k 2 一。( e 滴一1 ) ( 3 2 1 ) 因此由( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 可知，当e 充分小时，存在独立于e 的两个正常数g 和 g 使得( 3 1 8 ) 成立从而引理3 4 得证 啡) = ；加划2 一爵扣寿矿二妞 m ( e ) 挣蜀一u g h ) 一鬲1 理q 甄卜k + e 胴+ 。( e 摊筛) 皿( e ) = ；f i d u 斤一p 爵出一去了瑶。1 上+ 1 如 = 长托一i e 漓+ 。o 满) - 筹( ；鲍一尿焉+ 。( e 溉) ) ) 一未( ；凰_ 球漓+ 0 ( e 硝) = 1 挣即倒一南瑶憾】一；( 一础活 + 击瑶。厶e 滟+ 。( 海) 昧) s ! 1 ( k 1 2l 2 , - 一删- , 一南缨。1 列一；( 五一诽活 三峦篱二窭1 紧嚣三象瑞膨= ；【：( 硷一_ “恐) 一再万醒- 1 配】- ( ；一p 厶) 一号揣) e 溉 + d ( c 满) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们断言 - 加4 ( 帅) 萨熊厶，k 1 - z 鲍_ 4 ( 帅) 尚娲 ( 3 2 3 ) 事实上由( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) ，我们有 1 一p 2 厶 澎毳一酬 = z ”嫂冬篙乎坐出( o j 0 。意杀n 订1 = = ，- 。7 。一l j l ? 。一u l l o o f 却+ t 布) 2 ( 怕+ 1 )( t 办+ t 靠) = ( z 。丢翳d t + z 。麟d o ( f 万d t ) 时e 芹右 片 0 记雪( z ，t ) = + ) 9 一话一矿 和g ( z ， ) = j ：；j ( z ，t ) d t 那么存在对立于的正常数k 和c 对芦 。j ( 饥) ( ；一南) 一c 研涵+ 。( e 蔫) 三雾蔓纂妻躲胁抽油泰专譬一耳e 满+ 。( e 溃) 一五。p ，t 池) 出 定理1 2 的证明由0 ( z ，v ) 的定义知，对所有的口0 ，有g ( 。，v ) 0 再由引理3 6 ，如果0 卢 o ) 注意到 矗( e ) = 厶，一。出o “? i v u 。1 2 出 一心f n n - a d x 7 f o “一羔等篇蒜螈。， 我们有 ：r n _ 。d y f o m 协漓嵩蒜蜘， 黔鹩特 = 厶揣麓需筹妣汪s ， 2 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 0 ( 0 , 6 ) d x h ( x t i v 让。1 2 d x , i 1 k ，出搿嚣等群蔫蚓 0 ，对充分小的6 0 有i h ( x ) 一 g ( x ) i 町l 茁1 2 ，z d ( o ，d ) ，因此 i 厶。，如z ：i 1 v u ，出i s f 叩e q 厶。叫，石石帚出 俩e 焉厶一：丽丽d y ， 即得 k ，出朦v 让妒出- o ( e 麓) - ( 4 4 ) 由( 4 1 ) - ( 4 4 ) 即证明( 3 1 0 ) 成立 ( 3 1 1 ) 的证明首先 五雠出= 厶群如一厶。柳出，广雠出+ 啡， = 厶雠虮厶一d x 翳i - i 如 ( 4 - s ) 一k ，列蔗臀出+ 。( ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 注意到 砾，= f r n - 1 出7 群咖 纠一2 l 出广丽丽d x 雨n ( ；6 ) = f r n _ d y f o 如协滴丙裁丽 所以有 螺e 镌砾m = l 丽秽丽曲 类似于( 4 4 ) ，有 f d d x f h ( 2 , 群如一( e 满) 故由( 4 5 ) 一( 4 ，8 ) 知( 3 1 1 ) 成立 ( 3 1 2 ) 的证明首先我们有 ( 4 7 ) ( 4 8 ) = 厶! l u 。1 2 d z 一厶( 0 ，d z f o “一1 u e j 2 d x n + 0 ( e 一2 ) = 厶i 让e | 2 d x - - f r 。出o 咖i 札。阳 ( 4 9 ) 一厶d x t 吲 h ( x 。蚶出+ 。( c ) ， 厶( e ) = f r n - 1 删蚶出 纠厶一，吖一而丽d a ；n 而 ( 。) = 加v 尚志 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们可得 璺e 穗球m 2 厶一，葫篇而州 ( 4 1 1 ) 类似于( 4 4 ) ，我们有 厶。叩，如z 篙k 1 2 如= 。( e 漓) ( 4 1 2 ) 综合( 4 9 ) 一( 4 1 2 ) ，我们有( 3 1 2 ) 成立。 ( 3 1 3 ) 的证明我们知存在常数r 0 使得qcb r ( o ) 由因为区域q 的有 界性，我们有 上i u e i 2 出e 2 厶棚， d x 二一 ( e 2 杀+ i x l 卉) 。西一 这就证明了( 3 1 3 ) 成立 参考文献 侠瓣0 厨一1 e e 2 摊l l o ge i 肛= 卢一1 ， ( 4 1 3 ) 【1 e j a n n d l ：i ，t h e r o l e p l a y e c lb ys p a c ed i m e n s i o ni ne l l i p t i cc r i t i c a lp r o b 1 e r n s ，j , d 游肋帆1 5 6 ( 1 9 9 9 ) ，4 0 7 - 4 2 6 【2 p i g o n gh a n ，p o s i t i v es o l u t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x - p o n e n t sa n dh a r d yt e r m sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，n a n a 5 5 ( 2 0 0 3 ) 1 6 7 1 8 6 3 h b r e z i sa n de l i e b ，ar e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a la n d c o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n s ，p r o c a m e r m a t h 舶c 8 8 ( 1 9 8 3 ) 4 8 6 - 4 9 0 4 】y b d e n g ，e x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s r i v es o l u t i o nf o ri n h o m o g e n e o n sn e u m a n n ， j m a t h a n a l a p p l 2 7 1 ( 2 0 0 2 ) 1 5 5 1 7 4 f 5 】y b d e n ga n dy l i ，e x i s t e n c ea n db i f u r c a t i o no ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o ra s e m i l i n e a re q u a t i o nw i t hc r i t i c a le x p o n e n t ，j o u r n a ld ，d 谚e q u a “o n s1 3 0 ( 1 ) ( 1 9 9 6 ) 6 y b d e n g ，x j w a n ga n ds p w u ，an e u m a n n p r o b l e mo fe l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hl i m i tn o n l i n e a r i t yi nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，c h i n aa n n o m a t h 1 5 b ( 3 ) ( 1 9 9 4 ) 2 9 9 3 1 0 【7 j l v a z q u e z ，as t r o n gm a x i m u mp r i n c i p l ef o rs o m eq u m s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ， a p p l m a t h o p t i m 1 2 ( 1 9 8 4 ) 1 9 1 2 0 2 8 】m s t r u w e ，v a r i a t i o n a lm e t h o d s ，s p r i n g e