（理论物理专业论文）u（1）规范势分解Φ映射拓扑流理论及其应用.pdf

摘要 本文研究了g ( 1 ) 规范势分解理论，给出了西映射拓扑流理论的严格数学基础， 并给出了上述理论在c h e r m s i m o n sh i g g s 模型和凝聚态物理中的应用。 首先，基于广函数理论，我们严格证明了西映射拓扑流具有d ( 妒) 函数的形式， 并且它可用矢量场节点指标1 2 p h o p f 指数和b r o u w e r 度来表征，从而揭示了咖映射理 论和矢量场拓扑之间的内在联系。从序参量的拓扑属性出发，我们给出了拓扑缺陷 的分岔结构。我们发现，在序参量的极限点，这些缺陷会产生或湮灭，而在序参量 的分岔点，这些缺陷会碰撞，劈裂或合并 其次，借助于凝聚体波函数给出的单位矢量场，我们讨论了u ( 1 ) 规范势的完全 分解运用该分解和西映射拓扑流理论，我们研究了u ( 1 ) 拓扑量子力学我们得到 了v 矿的精确的拓扑表达式。我们发现，量子力学中的涡旋可由曲映射的拓扑数 即h o p f 指数和b r o u w e r 度来表征。 第三，运用u o ) 规范势分解理论和西映射拓扑流理论，基于c h e r n - s i m o n s h i g g s 模型中b o g o m o l n y i 自对偶方程，我们找到了该方程一个遗失的拓扑项，该 项由于复h i g g s 场的不正确分解而一直被忽略我们还给出了一个普遍的自对偶方 程，该方程统一了( 2 + 1 ) 维时空中的拓扑和非拓扑项我们证明了自对偶涡旋仅仅 产生于h i g g s 场的零点( 西= 0 ) 。这点使得我们能够深入洞察对称性自发破缺机制 最后，运用u ( 1 ) 规范势分解理论，我们研究了4 h e 中的类纽结涡旋线。我们 证明了在4 h e 中存在涡旋线结构，在这些结构中我们重点讨论了类纽结住形，并 用f a d d e e v n i e m i ( f n ) 模型讨论了类纽结涡旋线的拓扑我们因而揭示了( f n ) 纽 结量子数的重要意义，即它是纽结族的所有缠绕数和自缠绕数的总和，且该量子数 在类涡旋线的碰撞，劈裂和合并过程中是守恒的。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e dt h eu ( 1 ) g a u g e p o t e n t i a ld e c o m p o s i t i o nt h e o r ya n dp r e - s e n t e dar i g o r o u sm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no ft h e m a p p i n g t o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y w eg a v et h e i ra p p l i c a t i o n si nc h e r n s i m o n sh i g g sm o d e la n dc o n d e n s a t em a t t e r p h y s i c s f i r s t l y ，b a s e do nt h eg e n e r a l i z e df u n c t i o nt h e o r y ， m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n t i s r i g o r o u s l yp r o v e dt ob eo fd e l t a - f u n c t i o nf o r n l 州西) a n dc a nb el a b e l l e d b yt h e n o d a li n d i c e so ft h ev e c t o rf i e l d ，n a m e l yb yh o p fi n d i c e sa n db r o u w e r d e g r e eo ft h i s v e c t o rf i e l d ，w h i c hr e v e a l st h ei n n e rr e l a t i o n s h i pb e t w e e no u r m a p p i n g t h e o r ya n d t h et o p o l o g yo fv e c t o rb u n d l e ，t h eb i f u r c a t i o ns t r u c t u r eo ft o p o l o g i c a ld e f e c t si sg a v e f r o mt h et o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o ft h eo r d e rp a r a m e t e r sa n dt h ee v o l u t i o no fl i n ed e f e c t s i sa l s op r e s e n t e d t h e s ed e f e c t sa r ef o u n dt og e n e r a t eo ra n n i h i l a t ea tt h el i m i tp o i n t s a n dc o l l i d e ，s p l i to rm e r g ea tt h eb i f u r c a t i o np o i n t so ft h eo r d e rd a r a m e t e r s s e c o n d l y ，w ed i s c u s s e dt h ec o m p l e t ed e c o m p o s i t i o no fu ( 1 ) g a u g ep o t e n t i a lu s i n gt h eu n i tv e c t o ro fc o n d e n s a t ew a v e f u n c t i o n u s i n gt h i sd e c o m p o s i t i o na n dt h e 步m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y , t h eu ( 1 1t o p o l o g i c a lq u a n t u mm e c h a n i c si ss t u d 1 e d w eh a v eo b t a i n e dt h ep r e c i s et o p o l o g i c a le x p r e s s i o no fv 矿w ef o u n dt h a tt h e v o r t i c e si nq u a n t u mm e c h a n i ca r ec h a r a c t e r i z e db y t h e 出m a p p i n gt o p o l o g i c a ln u m b e r s h o p fi n d i c e sa n db r o u w e rd e g r e e t h i r d l y , b a s e do nt h eb o g o m o n y is e l f - d u a le q u a t i o ni nt h ec h e r n - s i m o n sh i g g s m o d e li nt e r m so ft h e 咖m a p p i n g t h e o r ya n du ( 11g a u g ep o t e n t i a ld e c o m p o s i t i o nt h e o r y ，w ef o u n das e l f - d u a lt o p o l o g i c a lt e r mw h i c hw a si g n o r e da l lt h et i m ei nt h eb o g o m o l n y is e l f - d u a l i t ye q u a t i o nd u et ot h ei m p r o p e rd e c o m p o s i t i o no ft h ec o m p l e x h i g g s f i e l dw ea l s op r e s e n t e dag e n e r a l i z e ds e l f - d u a le q u a t i o nf o rt h ef i r s tt i m e w h i c hu n i f i e d t h et o p o l o g i c a lt e r ma n dn o n t o p o l o g i c a lt e r n li n ( 2 + 1 ) s p a c et i m e i ti ss h o w i lt h a t t h es e l f - d u a lv o r t e xj u s ta r i s ef r o mt h es y m m e t r i c p h a s eo ft h eh i g g sf i e l d 西；0 t h i s p r o v i d e dad e e pi n s i g h ti n t ot h es p o n t a n e o u ss y m m e t r y b r e a k i n gm e c h a n i s m f i n a l l y ，b ym a k i n gu s i n go ft h e m a p p i n gt h e o r y ，t h ek n o t t e dv o r t e xl i i i e ss u p e r f l u i di n4 h e 盯es t u d i e d i ti ss h o w nt h a tt h e r ea r ev o r t e xl i n es t r u c t u r e se x i s t i n gi f l s u p e r f l u i d4 h e ，w ee m p h a s i z e do nt h ek n o t t e dc o n f i g u r a t i o n sa n ds t u d i e dt h ef a d d c e v n i e m i ( f n ) m o d e lt od i s c u s st h et o p o l o g yo fk n o t l i k ev o r t e xl i n e s t h ei m p o r t a n t m e a n i n go ff nk n o tq u a n t u mn u m b e ri sr e v e a l e d ：t h i sn u m b e ri sj u s tt h et o t a ls u m 。fa l lt h es e l f - l i n k i n ga n dl i n k i n gn u m b e r so ft h ek n o t sf a m i l y a n di t i s p r e s e r v e di n t h ei n t e r s e c t i o nt h es p l i t t i n ga n d t l ”m e r g e n c ep r o c e s s e so fk n o t t e dv o r t e xl i n e s 原创性声明 y7 3 i b 3 l 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行础 究所取 得的成果。学位沦文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已 明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均己在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：象! 聋j 蓐翠 日期：型噍4 ： 1 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。 本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有 关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何 复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接 相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：垒童主匿毽 导师签名 日期：二q 心! 垒 、4 名。型二 第一章 引言及预备知识 近年来，拓扑学方法已经成为物理学研究的一个重要工具1 1 ，2 ，3 ，其研究领域 涉及到凝聚态物理，量子力学基础和光学，规范场论，宇宙学以致弦理论。在凝聚 态物理中，由t o u l o u s e 和k l d m a n n 提出并由v o l o v i k 及m i n e e v n 发展出来的拓扑缺 陷理论可以用来分类物理系统中的拓扑缺陷。其基本思想是用序参数映射的同伦类 来定义和区分不同的拓扑缺陷详见m e r m i ni 7 】，a n d e r s o n na n db r a y g 等综述文件其 他拓扑物理系统有超导磁通量子化、铁磁链中的w e s s z u m i n o 项和量子h a l l 效应， 还有光学和其他量予系统| 1 0 1 1 1 1 1 2 , 1 3 , “】在规范场论中，拓扑孤子解对于场的大范 围非线性性质，而量子反常及夸克禁闭也有其各自不同的拓扑根源【，1 5 1 6 在宇 宙学及弦理论中，高维时空通过自发紧致化向四维时空的相变都与现代几何拓扑 有深刻联系。而段一士教授的妒映射理论和规范势分解1 1 8 ，- q 已经广泛应用于各方 面：p l a n e k 常数几何化【2 0 ，2 ”，时空旋错口2 1 ，多重弦1 2 h ，宇宙弦，l o n d o n 方程的拓扑 结构【2 5 】，b e c 涡旋分岔【2 q 和整数量子h a l l 效应 2 7 】，p 膜理论的张量流【2 8 】，固体缺陷 的规范场论| 2 9 】，g a u s s b o n n e t c h e r n 定理| 3 0 】a n dc h e r n - s i m o n 涡旋1 3 l 】 本文目的是给出争映射理论的严格基础及其在凝聚态和c h e r n s i m o n s 中的应 用。我们以广函数为基础，揭示其与矢量从的联系。首先，给出u ( 1 1 规范势分解理 论，其次研究了c h e r n s i m o n s 中的自对偶涡旋和4 h e 中的纽结涡旋线。 本文组织如下：第一章，我们讨论步映射理论起源，6 ( 石) 的数学形式和其量子 化。我们还讨论步映射理论的分岔第二章，给出了基于波函数的u ( 1 ) 规范势分解 理沦，给出了电磁势和速度场的关系。第三章、研究了a b e l i a nc h e r n s i l l t o n sh i g g s 模型中的涡旋我们推广了b o g o m o l n y i 白对偶方程，表明涡旋产生2 j = h i g g s 场的对 称相西= 0 对纽结涡旋，f m f l d e e v n i e m i 纽结数是s e l f - l i n k i n g f l l i n k i n gn u m b e r s 之 1 1 十映射托扑流理论的心罅：盟合磁午极理论 和。第p q 章，研究了4 h e 中的纽结涡旋线其f a d d e e v n i e m i 纽结数在涡旋线分岔过程 中是守恒的。最后给出了全文总结。 1 1 护映射拓扑流理论的起源：复合磁单极理论 本节，我们讨论步映射理论的严格基础和分翁。在第1 1 节，我们引入了多重 单极，咖映射理论和规范势分解理论都源于此。在1 2 节，我们给出广义h e a v i s i d e 公 式。在1 3 节，我们将咖映射理论表述为广函数，最后，讨论分岔。 护映射理论和规范势分解理论都源于n o n a b e l i a n 多重磁单极【1 8 】从d i r a c 磁单极 理论【3 2 】，m a x w e l l ：y 程m a p = 0 ，l ，2 ，3 ) 可表为 8 。 w = 4 j u 、 丘。= 0 ，( 1 1 ) 其中 | h = a a v 一8 。a u 且 + 矗。= ；以9 ( a x a ，一岛a ) ， 出s m a x w e l l 方程包含磁流在l o r e n t z 规范o a 。= 0 下，电磁势决定于九。利用推迟 势 a 。= ，g ( x - z ) j ，( z ) d 4 ， 因此，有效势电磁流况j 0 。4 应加入方程( 1 1 ) 贝 j e q ( 1 1 ) 化为 8 。 。= 4 r j u 七氐k ( 1 2 ) 可看出电磁场丘，和势j 4 。由( 1 2 ) 给出，而e q ( 1 1 ) 不变对偶场j 。由磁流九决定 其中+ k p 。= i e p 以一虬p 若定义 崴kh 。= 一4 m j u f p = | 一k 。 一2 一 ( i 3 ) 铅幸g 1 卉垃颤鲁知识 i ) 4j j e q ( 12 ) 和( 1 3 ) 化为两 8 ：f 。，= 0 8 。f u 。= 4 氘j u 彤b 。= 4 7 r + j 。 从( 1 4 ) 定义场五。，它可从s u ( 2 ) 规范理论得到1 3 “则新s u ( 2 ) 规范势玩 耦合常数。设h i g g s 场和 为基本场，且a ，沿u 0 方向矗投影 元= 志，1 1 庐1 1 2 每石 则由协变微商 v 口n ( 茁) = 钆n ( 茁) + e 0 n ( z ) 和公式 ( a b ) c = ( a c ) b 一( b c ) a ， ( 1 4 ) e 眠，e 为 ( 1 5 ) 则规范势i 玩可以分解 吼= r p + ，( 1 6 ) 其中 r 。= a ，n + e i o 。仃n ，k = 一；v 。n x n ， ( 1 7 ) 0 描述电场和磁场的运动，乳对应某带电粒子。将e q ( 1 6 ) ，( 1 7 ) 代入s u ( 2 ) 规范 场强 g p 。= 以帆一a 。+ e 帆， 得 g 。，礼= 钆a 。一乱a 。一i l n - ( 钆n x n ) + ；礼- ( v 。n v 。n ) ， ( 18 ) 其中g 。，n 和n ( v 。n v 。n ) p , ：s u ( 2 ) 规范不变的物理场。= 厶。一心。应s u ( 2 ) 规范不变，因此 甄”= ；n ( n n ) 方程e q ( 1 8 ) ，得 = g n 一；n ( v ，n v 川 这与th o o f t 张量一致【3 3 j 一3 一 1 1 加映刑村- 扑流j 甲论的起源：姐台磁单撇押论 当无6 。时，v 。n = 0 ，由 v v 。一v ，v p 】礼= c g p 。x7 。 u j 知f 0 = g “”t l 。 方程( 15 ) 可用表不，则对偶场+ k 。可写成 + 。= 麦e 。，却e 。k 茎夙6 b 矿， 其散度 彤，= 磊1e ，却e 。” 品( 等) 】巩巩妒6 岛妒。 ( 1 9 ) 若定义d 。( ：) ( p = 0 ，1 ，2 ，3 ) 为 e b c d 。( ! ) = 一。x ，色a x 矿如扩， 其中 d 0 ( ! ) = a ( 儿扩，矿) 户( 一，z 2 ，护) ， 并注意到 c a b c l b c = 2 5 1 ， 得 优= 驯1 d 争刍( 萋) = 一；巩( 拉( 扣 其中 a 2 。2 丽硒不 ：是l a p l a c e 算符1 捆g r e e n 函数 ( i ) = 一4 ”6 ( 庐) 得 西，。= 等d ，( 曲肪) 6 ( 放z ) ) 设石( z ) 自n 零点及相应得i t h 世界线 矿= 。：( s ) ，i = l ，n ( 1 1 0 ) 第睁0 i 吉位预备川 则d e l t a 函数展升 n 6 ( 如) ) = e 丽筠丁6 ( z 一五( 5 ) ) ( 1 1 1 ) 其中鼠为五( s ) 得重数。在第i 一个世界线上 型d s 叫涨k 。】掣，弘姐，3 ( 1j 2 ) 一一1 1 玎石? 万l 。2 4 j i 1 p 一”1 7 。o 。1 则，用e q ( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) ，及 鼬咱( s ) ) = 厂( 掣炒t - - z i ( s ) ) d s ， 磁流密度+ j 。= 一e j o 4 ”化为 饥= ：妻幅掣默茁叫s ) ) d s ， ( 1 1 3 ) 其中毗= 卵 风为第 个解4 的w i n d i n gn u m b e r ，哺= s g n d ( 2 ，如= 一【a ( s “一1 ) ( 礼一2 ) ( n 一1 ) i 一1 ，当扎= 2 ，1 2 7 r ，且 g 。( il i i ) = u i i 庐i i ”一2 f o rn 2 当n = 2 ，为k i i 审弘若定义协+ 1 ) 维j 8 o b l a nd “( c z ) 0 , = 0 ，让) 其中 由 ，1 “d “z ) = e ”1 “乱。矿1 屯。矿“ d o ( 妒z ) = d ( 砂互) = d e t o 妒。o x 6 1 e 。“f “一。“= ( n 1 ) 1 6 。 我们有 ，一= ( n 1 ) l d 。茹( g 。圳训) ) 州班) = 6 ( 放圳酬m ) ， ( 1 1 7 ) 其中西一空 自j g r e e n 函数 猷g 川) = 一斋备确 其中。= 0 2 a 护a 。是l a p l a c e 算子，流密度( 11 7 ) 化为 p = 6 ( 咖( z ) ) d ( 咖z ) 瓤串0 1 1 ；灶琐鲁知订 对x 的类空予流形m = t ( 固定) ，在m 。的边界a 以环绕零_ ，r , z i = ( f ，矗( ) ) 时n z i ( t ) 彭j w i n d i n gn u m b e r 等于g a u s s n 射n ：a m _ s 7 的度 毗2 孤万可可习 e a t a n n “d n 。 ad n “ ( 11 9 ) d 0 m i 意味这z 覆盖a 舰一次，疗覆盖单位球面 次此数与同伦群一1 i s “一1 = z 相等m 由s t o k e s 定理，卜述公式为 w t = 厶胪z = 厶6 ( 西。( m ) 扩z d ( 两在五= ( t ，z d t ) ) 处展开 6 ( 两= e t 6 ( g 一盈( t ) ) ， 其中c 1 ) y i e 将之代i n ( 1 2 0 ) 得到。= q d ( 咖z ) 和 q = 高= 搋， 则展开式为( 1 1 1 ) d ( 两= t 再习；习6 ( 量一盔( t ) ) 由此，得到量子化的拓扑流( 1 1 7 ) j = e i 俐( 量叫圳渊吐俐( 量叫州 ) - 纠- g 其中 竺f 尘生2 ：生竺 d ( 妒x ) d t 因此，流密度为 p = j o = e 。风讯d ( 童一。；( t ) ) ( i2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) j 程( 12 2 ) 5 f 1 1 ( 1 2 3 ) 恰为( n + 1 ) 时空中的点粒子流，g ；= i 9 i r l i n 其拓扑荷总荷 为 g = m p d n x = h i 呐。 因此，拓扑粒了位于币的零点，其荷为风讯。在下节，将给出咖一映射理论的广函数 严格表述。 1 2 数学基础：j 。义h e a v i $ 1 d e 公j 1 2 数学基石 i ：广义h e a v i s i d e 公式 ，卜而已经说到，咖映射拓扑流理论已经用来研究粒子物理中的拓扑结构- “， 场珲论中的拓扑结构3 l 】，多弦系统的拓扑结构【2 3 】，宇宙学中的拓扑结构阮3 4 ，3 5 以 及凝聚态物理中的拓扑结构f 2 9 3 8 2 5 ，2 7 , 3 9 】这个理论很重要，因为在物理上，它可 以真接计算出物理系统的拓扑结构，而在数学j ：，它又完全和矢最丛的拓扑结构一 致，事实上，它是微分拓扑中个漂亮的新的极为有用的定理。尽管如此，这个理 论还缺乏一个很严格的数学基础，正如我们在第1 1 看到的那样，拓扑流的起源是 基于咖空间的格林函数以及6 函数展开的假设而后者，在一般流形作为背景和广 函数的基础上，并没有一个严格的证明。进一步，拓扑流在坐标变挨下的整体和局 域不变性质并不明显，这可能导致的一个后果是，在欧氏空间中第1 1 的分析可能 没有意义，在一般流形上就更不用说了。 在这- - 4 , 节，基于广函数理论，我们将给出咖映射拓扑流理论的一个严格数学 基础。为此，我们首先给出了流形上广义h e a v i s i d e 公式和奇异发散定理( s i n g u l a r d i v e r g e n c et h e o r e m ) 。然后，基于这些公式和定理，在广函数的意义上，我们证明 了流形上咖映射拓扑流是口函数形式6 ( 庐) ，并进一步证明了拓扑流对应的拓扑粒子 是局域在矢量场的零点，它们的拓扑荷是庐在零点的w i n d i n gn u m b e r s 来标记的。 众所周知，在数学上，在某些区域有奇异性的函数可以在广函数的意义上很好 的定义，因此，为了给出扛拓扑流理论的严格数学基础，我们需要在广函数的框架 下重新考察带奇异性的微分。 旨先，我们引入广函数的一些基本概念和定义。在广函数理论e o i 4 0 l ，广函数的 定义是建立在函数空间的可积性的基础上的。为了定义广函数，作为普通函数概念 的推广，我们需要引入一个基本函数空间d ( r ”) ，以及所有有任意阶导数和作一定 的边界限制( 即在一定的区域之外，妒为零) 的实函数【p ( z ) 构成的集合。广函数， 是定义在d ( n ”) 上面的一个线性连续函数，它将基本函数_ p ( r ”) 映射为一个实 数： ( ，妒) = ，( 。) 妒( z ) 如 j r ” ( 1 2 4 ) 这晕，z = ( z 1 ，。z “) 和妇表示n 一维空间r ”的测度。南手只要积分式( 1 ，2 4 ) 是有 限的。不排除函数f ( x 1 ，在某些点a 是趋于无穷大的，因此，这个定义不但包含通 一8 一 饿阜0 i 吉艘预备知识 常的丽数，还包含有奇异性的函数。d i r a c6 一函数6 佃1 为 ( 6 ( z ) ，妒( z ) ) = 妒( o ) ，( 12 5 ) 当积分 。日“d 扛) 妒( z ) 如随着一0 可以保持一个有限值妒( o ) ，而对于所有的通常 的连续函数积分趋于零，在这个意义卜，上面定义的d i r a cj ，函数就是奇异的广义 函数。此外，由定义式( 1 2 4 ) 女0 ，任意两个广函数，f t ( x ) 和，2 ( z ) ，如果在r ”中除 了在一组测量零点( m e a s u r ez e r o ) 上都有相同的值，那么它们就相当于同一个广函 数。因此，严格的讲，广函数在孤立的零点上式不能被赋值的，尽管我们还是将广 函数记为，缸) 然而，“一个广函数在z o 的零点附近u 取值，= 0 ”这种表述的可靠性是由 ， ( ，妒) u ：= ，( z ) 妒( 。) d z = 0 j u 保证的。因此广函数在每个不是孤立零点的点附近是可以很好的定义的。特别 地，如果广函数，本身在。o 的邻域里几乎处处为零，那么它在邻域u 内为零。 例如，奇异函数6 一z o ) 在不包括z o 点的邻域里是为零的。可以证明，在某点 的邻域里广函数取值为零，那么它在大一点的邻域里取值也为零。这意味着，在 每一点的邻域u 如果两个广函数相等f = 9 ，那么这会导致更大的邻域里也是相 等的f = 9 ，也就是说：如果对所有点t o ，有( ，( z ) 一9 ( $ ) ，妒( 。) ) u = 0 ，那么对所 有l p ，有( f ，妒) = ( g ，妒) 。不仅如此，如果一个广函数的局部性质知道了，那么我们 可以从整体上建立这个广函数f 4 0 】。 两个广函数，和g 的加法和乘法可以按照如下方式定义： ( ，+ g ，妒) = ( f ，妒) + ( 9 ，妒) ， ( 口，妒) = a ( g ，妒) ， ( ，= ( 9 ，a 妒) ， 这里，n 是一个数，而o ( z ) 是一个光滑函数。另外，一个非奇异的线性变换u 对广 函数作用，可以用通常的变换公式u ，如) = f ( u 。) 类似的方法定义： ( t z ，妒) = i u l ( f ，妒( u z ) ) ， 这里，1 u j 是矩阵“的行列式的绝对值，而“，作为普通的函数可以用，( u _ 1 z ) 来标 记。一个广函数，( ) 如果满足u ，= f ，即，( 旷1 z ) = ，( z ) ，我们就说它对“足不 变的。 一9 一 一! ：! 塑兰量型! ! 墨坚! 型! 型! ! 竺! ! 我们说个j 一函数，( z ) 是a 次齐次函数，如果它存棚似变换下的变换规钉t 为： f ( a x ) 2 。1 ，( 。) ，f l 2 6 ) 或者等价地 ( ，( z ) ，妒( z o ) ) = o + “( ，( z ) ，妒) 可以证明6 一函数j ( z ) = “乱，z 。) 是次数为一n 的齐次函数并且是旋转不变的 6 - 1 z ) = d ”d ( z ) ， 5 ( l 。) = 6 ( z ) ，w i t hd e t 工= 1 f 1 2 7 ) 在物理上，乒函数可以精确地表示成广函数序列，的“弱”极限： ( ，妒) 2 恕( 如，妒) ，f o ra n yc i o c d ( r ”) 例如，下而是一些不是逐点而是在弱耦合极限下才成立的恒等式： 邺) = 姆磊1f ， 2 l i m 1 2 a x 秕e 一。2 肭， l 叶o 1 6 ( z ) 2 l i r a ；- 。- - 。晕2 注意到基本函数怔d ( r n ) ，并且它的所有导数在一些区域之外以及区域上都为 零。积分的可加性意味着广函数的导数可以定义为： ，7 ，妒) = ( ，妒) ，f o ra n y p e d ( 兄”) f 1 2 8 ) 记常矢量为o = ( q 1 ) ，n 。) 且记h = o t l + n 。，的偏微商： 扩，= 篙导 可以被定义为： ( 6 p ，妒) = ( 一1 ) l 。j ( ，a 。妒) 、f o ra n y 妒e d ( r ) 显然，由这个定义以及广函数在d ( r ”) 的收敛性可知，一函数是任意阶可微的，并 且两个偏微商是可以交换的： 伊8 0 = 8 0 铲f 一1 0 蚺章引言幢颅备知识 可以证明t 对于光滑函数o ) 和，( z ) 的乘积，l e i b n i z 规则仍然是有效的。，的支 集是集合 z ：存在一些邻域巩满足f l u 。0 ) 。广函数整体结构有下列性质：带唯 一点的支集的广函数可以表示成d 一晒数j 扛一z o ) 和它的微商的一个有限的线性组 合。 考虑矢量函数 p ( z ) = ( p 1 ( z ) ，p ( z ) ) 一( p k ( z ) ) = 0 有支集的曲面s 上的d 一函数d f p ) 定义为： ( 6 ( p ) ，妒) 2 妒( z ) d ( i ) d m ， ( 1 2 9 ) 这里，局部坐标系被特殊的选取为：“。= p 1 ，。其余的坐标“k 。是光滑的且 满足条件：d ( i ) 0 。将方程p ( x ) = 0 的解参数化为z ( t + ，k ) ，我们可以等价 的得到i 酬： 5 ( p ) = 忙一z ( t k 扎，t 。) ) v 伍d t k + l d t ，( 1 3 0 ) 这里m 是曲面s 上面的度规的行列式。 设x = m r 是( + 1 ) 维的时间独立的物理宁间m = 舰和时间变量卒 间r 的积流形。当用局部坐标系表示时，( 以z ) m r 这里z = ( x ，扩) ，x = ( z 1 ，。) 表示位置变量，而茹o = t 表示时问变量。对于流形x = m r 上的一 个矢量场( 即截面) 妒( n = l ，) ，咖映射拓扑流定义为： ，2 孬面可最丙乃页矿= 可啊龟1 0 2 6 n 钆- “钆：佗d 2 钆一”“，( 1 3 1 ) 这里，g 足m 上的度规张量的行列式，而元是矢量石( z ) 的单位方向矢量场： 州拈揣川2 卅州 ( 1 3 2 ) 拓扑流密度定义为p = j o 在扩的奇异点( 在i i j f l = o 的地方，也即j p 的奇异点) 的邻域里面，出现在袖： 方程( 13 1 ) 的微商应该取广函数形式的微商，而在这些奇异点的邻域之外，这些微 商就是普通的微商了【4 0 】。在m 上面的矢量场的零点被定域在f f 的奇异点上。我们 将发现如此定义的拓扑流自然导致6 。函数形式的流d ( 西，并日它自然的揭示了欠量 丛的几何和拓扑之间的内在关系。为了简单，我们一般称咖拓扑流理论为咖映射理 论。 一1 1 1 2 数学基础：_ r 义h e a v i s i d e 公j 我们酋先证明r 1l i 的5 - 函数的h e a v i s i d e 公式 n ( z ) 2 = h ( z ) z6 ( z ) 可以用如下定义的h c a v i s i d c 矢量直接推广到n 一维的欧氏空问r “中 于z 0 ，n ( x ) 2 = h ( x ) 一1 2 为= ：2 t 对丁二z j , 在g 。内，咖。( 1 ，y “) 和酽( 9 1 表达式( 1 4 2 ) 出发，直接的证明表明o i ( y 1 ， 给山r 面的命题： ，y “) 分别是度为1 5 1 0 的奇性函数从0 2 的 y ”) 是一个度为一n + i 的奇性函数这 笙：兰! ! 童丝! ! 量型! ! 一一 命题4 流形m17 每个函数07 ( 1 ，“) 在包含：。的小区域g 。内鄙是 个、 ， 凡的局部可积的一+ 1 度奇性甬数 证明因一0 ，所以我们可以利用0 4 的同次性证明伊( ) 一i l l y l l “，它在原 点；o 的邻域g 。内是n 维可积的因此伊0 ) 在原点附近足平凡局部可积的 式巾 在命题4 的基础上，我们对g 。运用奇异散度定理，可以得到 筹= 嚣b + 地吃。删巩= 【徊。地肌，( 1 , 4 5 ) , a t 。= f 伊打。 j o g 。 ，礼“1 d 酽2 a a d n 8 ” 2 k 。屯”1 酽可订再可一 = d e gn ( 1 4 6 ) 这里，积分取厶g 。，凡为高斯映射：n ：o g 。一碟一1 ( 记为仃。) ，上式还用到了高斯映射 下两个流形上的相关积分定理 3 7 】 出现在( 1 4 5 ) 式中的高斯映射付：。的映射度 。= d e gn “亦即a g n 【3 w 上的限制映 射西的映射度d e g ( ，o g 。) 称为锄在孤立奇点的指标，也就是i j 伦理论中曲映射在节 点的环绕数( 4 】： t u 。：d e gn ：。= d e g ( 币，o g 。) ) = 钆d ：。( 西：( 1 - 4 7 ) 此处d e g ( 毋，o g 。) ：= 5 2 。g 。s g n d ( 乒z ) 一 利用俨的”。的表达式意味着叫。是a g 。被s ”一1 n 覆盖的次数，它等于矢量矗，或 者( 征空间妒( m ) 中覆盖节点的次数。- 医l y d h e n c e w 。7 r 一1 ( o c 。) = 7 t _ n - - i ( s 一1 ) = z 这是因为a g 。兰s ” 由于映剁度对于局部i 百j j j ； ! 变换是不变的，凼此对t z = y + ，奇异散 度( 1 4 5 ) 变成： 丽0 0 i = f 硐1 d ( 。一) k ，f o r 。瓯- 一1 7 一 ! ：! 生l ! 型丝! ! 堕塑堡 此式连| 吲定理3 中的f 14 4 ) 式，给 6 ( 西) d ( o z ) = 5 ( x 一) w 。 或者 6 ( 西= d ) 。d ( “肛) ：。 由6 函数的正性，我们得到 ：塾 ；l 些! d ( o 肛) 。l d ( 。肛) ；。i 整数风= l w 。i为h o p f 指数，= s i g n d ( a x )：为b r o u w e r 度1 4 1 j 因此，对 于z ( k 和 。= 风，我们得到了如下的流密度： p 。= 伺。6 p z , j w 。 为了考虑整个m 上的拓扑流密度，我们用m 的可数覆盖以来找出拓扑流密度p 盯( 定 义在内) 的整体形式。因为肪= o 在的可数子集族g 0 的外面，因此，对任何 个基本函数妒d ( m ) ，我们可以在广函数的水平上将其约化使得 这将导致 ( 胛) 2 莩厶陆( z ) 砸d 。 2 o - 。t u a 慨陆( z ) 倒 n g n 2 莓( ) = ( 莓器m 刊俐) ， 一2 莓嚣a ( x - - z 。) 2 莓警a ( x - - z n ) ( 1 a s ) 基于。的不变性，我们可以证明这个公式对于局部坐标系统的变换是不变的。 十是我们得到了如下的芙十拓扑流密度的拓扑结构的定理。 定理4 在流形m 上，欠量场石的拓扑流密度可以被6 函数存甘点拓扑星子 化( 14 8 ) 。矢量场确* 点指数由它在节点的缠绕数给出。缠绕次数是石的h o p 时旨 数，缠绕的方向由石的b r o u w e r 度决定。 一1 8 旦兰堕型幽旦一 比较( 14 8 ) 式和( 14 4 ) a ，我们由如f 的6 函数的展j r 公式： 推论l 流形m 上光滑矢量场石的d 幽数可以展开为在节点的6 嗵数支集的和： 哪) 2 ；端衰一( 2 , - - z c t ) 2 莓高洒a ( x - - z 。) 这个公式指h5 流形m l 的矢量从的整体6 函数如何与该从在局部节点的同伦类联 系起来：当6 ( 两像在实数域中的广义公式那样展开时，d ( 西的h 。p 对旨数将作为d 函 数6 p 一) 的多样性出现。 流的总拓扑荷为 q = 扣倒= ( 1 4 9 ) j m 、 7 另一方而，运用( 1 4 4 ) 以及m 和( m ) 之间的关系积分定理，我们得到 q 5 厶j ( 两d ( 。肛) 。= d e g 万z ( m ) d ( 西万= d e g ( 五肘) ， ( 1 5 0 ) j mj f n 。 7 、 此处 d e g ( 8 ，m ) ：= s g r i d ( e l z ) 。 ( 包含多个节点) 是乒映射的总度。然后，通过( 1 4 7 ) 式，( 1 4 9 ) 式和( 1 5 0 ) 式，我们得 到 定理5 拓扑流的总荷是西的单位场构造的高斯映射的总度，或咖映射在所有节 q = d e g ( 五m ) = 蜘。= d e g ( 五a g 。) dd 现在我们来考虑咖映射拓扑流的动力学演化，亦即，我们来考虑流形x m r ( 带度舰行列式9 ) 上的拓扑流。根据( 1 3 1 ) 式，拓扑流为 p p l - p n 可万可矿丽气“tn q - - 妒1 乩。舻2 钆。n a “， ( 1 5 1 ) 因为任意两个广函数微商足可交换的，故这个流是恒守恒的： v 一击吼( 厕忙。 一1 9 1 3 曲映埘壬f l 扑溉胛论 刘给定 f 勺刻z o 二= t ，j o = ( p ，t ) 代表该流存时刘的密度。利用o a 扩一魂，我 们能将流写成： 篇篙器蒜魂17zal,侥lvnanc。a(s 秒 “1 ) ( 一1 ) ! 撕” ” “ 我们通过下面的关系引入雅可比欠量d 一( 肛) 此处 o n 妒n e 6 “6 ”d “( 西z ) = e w 4 1 ”钆。咖“吼。6 “ e 0 t lp = e p l p 并且 d o ( 咖胁) = d ( 咖x ) 然后，运用命题3 中的公式( 1 4 1 ) ，我们可以得到 0 l “d nf 茄带勒一，d ”( 庐z ) 、，甸- 1 n i a ( s “1 ) j _ 1 d e t o b n 。i d “( 西z ) 【司一1 6 ( 7 ) d 一( 咖) ( 15 2 ) 对每一个节点，在局部坐标( g 。，。) 内，它们满