（计算数学专业论文）矩阵分析在预测理论中的应用.pdf

攘耍 绱要 本文主要分两部分： 第部分( 第二章) 首先给趱了变权组含预测澜蘧预测误差平方和t 瓣一般 表达式，褥翱变权缎仑预测饶能模燮： m i n 以= 暇e 以 s tr 7 致= r ，以o + 然艨在方差倒数加投法的慝路基础上，提蹬了误差铡数交权组合预测方法，该 方法怒将第f 种单联预测方法在第f 融刻的加权系数取为： k 2 索2 南产。南喜南，扣t z ，一。，玑 式中= 击，并褥到襁应的预测误差平方和： 五= 喜( 疗 五= l 孚| f z i 、， 式中 善南，一。2 ， 最簸，逶过实铡分李厅说明了该方法酌可行秧，实例显示误差铡数变投组合颈测 方法优于最优组合预测方法 第二部分( 第三章) 是对文献【2 8 】中给出的判定最优加权系数为非负的一个充 分条件遴行改进，即利用m 矩降理论，在同一暇设下，得出了更为精确的结果： 设预溺诶蓑傣患短阵鬈。z “”，则最试热权系数均为歪 同拜寸用m 矩阵理论还给出了 2 8 的该主要结果非常简单的证明；然艏给出了 当置帕z “1 肘，最优组合预测方法的预测误藏平方法的箍单储计式： 五s 垒 式中。= 懋蹶 关键谰：缒瘁分辑，簸优缀合该浏，交投缀合该溺，预测误蓑倍感矩薄，繇熊袄重 整要整鎏叁兰鍪主望堡鲨塞 a b s t r a c t t 撼sp 印e rm a i n l yl n c i u d e st w op a n s ： i np 烈o n e ( c h a p t e r2 ) w eo b t 洳t h eg e n e 蹦e x p r e s s i o no fe 啪r ss q 淞es 蝴五 i n v w c f ( v a 娃a b l ew e i g h t c o m b i n e df o r e c a s t i n gm e l h o d ) p b l e m s ，搬e n t k o p t i m i z i n gm o d e lo f v w c f i sp r 。s e n t e d ： m i n 以= 彬e 戳 s 1 露7 髟= 戥，敝o f u r t h e m l o 纸b a s e do nt h ei d e ao fv a r i a n c er e c i p f o c a lw e i 髓tm e m o d ，m oe r r o r r e c i p r o c 氇lv a r i 揪ew e i g h tc o 鹏i n e df o 嫩础n gm e t h o d ( e r v i sd e v e l o p e 蠢i n e r v w ，t ；_ l cw 。i 曲t e dc o e 壤e i e n to ft l e f “f o r c c a s t i n gm e t l l o di nt l l ef 小f o 涵剃n g s u b p e r i o dc a n b ea s s u m e da sf o l l o w s ： = 赢2 南产。南喜南，扭t 2 ，川= 。2 ， w h 嗽磷= a 赫t h e e 玎o r s 娜辩o f e r v w i s “刊朝 以：鲥 以= 孚 f = 、， 帆 蕃南引，2 ，肌 f i n a l l y ，t h ee x 躺p l es h o w st h a te r v wm e 出o di sf c a s i b l e ，a n di t ，s b e t t e f 也a n o p t i m a c o m b i n e df o r c c a s t i n gm e m o d 。 l np a r tt w o ( c h a p t e f3 ) ，w ei m p r o v eo nas 畦街c i e n tc o n d i t i o nw h e nt h eo 两m 啦 w e i 啦c dc o e f f i c i c n ti sn o n _ n e g a t i v ew h i c hi sp r e s e n t c di nr e f e r e n c ef 2 8 】u n d e r 妞 s 蝴eh y p o 氆e s i s ，am o r ea c c u r a t ec o n c i l l s 慨b ya p p l y i n g 氐m - m 矧xt k o 秭i s w h e n 诅1 ei n f o r m a 毫i o nm a t r i xo ff o r e c a s te r r o r s 置。、s a t i s n e se ( 。) z 帆”，董沁 o p t i m a lw e i 啦湖e f f i c i e n t sa r ea l l 弦s i t i v e f u 隔e 滩o r e ，8v e r ys i m p l ep r o o fo f 镰es u 舔c l e n tc o n 茧t i o ni n 托f e f e n c e 【2 朝，b y 。 垒! ! 巡 a p p i y i n gt h em _ n l a t r i xt h e o f y ，i sp r e s e n t e d a l s o ，w h e n 蠡h ) s a t i s 矗e s 晟。) z ，a s i m p l ee s m n a t ef o rt h ee r r o r ss q u a r es u mo ft 1 1 eo p t i m a lc o m b i n e df o r c c a s t i n i s o 歉a i n e d ： w h e r e 瓦“2 燃 坟 以s & 脬 k e yw o r d s ：搬鑫t r i xa n a l y s i s o p t i m a ic o 黻b i n e df o r e c a s t i n 舀v a r i a b l ew e i g h tc o n l b i n e d f o r e c a s t i n 舀i n f o 聃a t i o nm a 主r i xo f f 0 辩c a s e r r o r s l l i 主要符号袭 犬“4 z ”“ 一7 一 五( ) 以名) 彳o 一 o 主要符号表 胁行h 别实矩阵的全体 菲主对角线元素均为非疆豹史矩阵豹全钵 矩阵名彦勺转嚣 矩辫4 的逆缒陴 矩阵爿的特征傻 矩阵4 静谱半经 铤阵爿是非受矩阵 矩阵一是正矩阵 v 独创性声明 本人声明所鏊交的学位论文是本入在导师指导下进行的j 舞究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注积致谢的地 方矫，论文孛不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包禽 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我同工作的嗣志对本磷究所做的镊何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：盘艋日期：如移簿3 月舌毽 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学能论文 麴规定，有权保留并向国家有关部门或橇构送交论文豹复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分离容编入有关数键库进行梭索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在鳃密磊应遵守鼗撬定) 日期：立o d 占年3 月占日 第一章 l 青 1 选繇背景 第一章霉l 誉 隧骜筏役瓣学技术貔逐猛发鼹，赫舔数学理论遗趋或熬，毅黪数掌方法绥窭举 穷，在解决摹萼技生产中的重大实际闷题中愈亦最幂如它勃勃袋视，矩阵是数学上的 一个霪鼹概念，由于它描述问题袭i 鲞简洁，实璇刻藏深刻等优点，因此是i 醺年来数 学建摸串释决赛嚣阏遴鬻矮垂冬一静方法，g l 超了吾睾多数学学誊、工程技术入受鞫秘 技入员的脊睐蔼众多人员的参与又为矩阵瑗论的发震提供了绝对霹靠瀚物质保 证，为缀降理论的疲用开辟了广阑的翦景矩箨计转的理论和方法是矩阵理论豹一 个重要方向，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学润题的不缺 少戆强大王其，蔽为诗算数学靛一个重要分支 最j 琏凡十年，作为探讨事物发鼹未来状况豹鞭测工作西越来越s | 起人们豹重 视涎潜社会运转速度的不断加快和倍惑爨豹不断膨胀，各级管理中需要决策韵事 镑不毽焱数量上越来越多，瑟萎辩决策在霹麓耱矮鲎方蘸煞装求氇越来越褒了。妇 采熊对枣物的未来发怒情况做出准确的预测，冤疑就能为人们做出合瑾的决策提 供依攥，从而使决策毅得好的效果 在预测实践中，对阉一问题鬻采用不灏的颥测方法，不同黔预测方法提供不同 鼹舂瘸镲怠，箕颈溺精度往往蠢不溺。如巢筵革囊蠹将联溅谡蓑较大熬一鍪方法舍弃 搏，将会罄失一些肖用的信息，这种做法对信息怒种浪费，施予以避免种更为 科学的做法是，对这黩不同方法赋予适当的加投系数将其进行组合，从而形成所谓 懿缀合鞭测方法，以缓综台程惹蚤摹孛方潼繇提供豹售惑，敖缀合预溺篦单矮方法麓 更加有效她提离预测精度 早在1 9 5 4 年，美潮人s c h m i t t 就曾经用组台预测方法对荧国3 7 个大城市的入 日遂行过预测，壤预测精发嘉掰掇疯i 9 8 9 年，j 弛。b a t e s 秘e 。w j g r 勰g e r 对缝食颥溺方法避 亍了魄较系统游研究“1 ，荬磷究成采零| 起了鞭瓣学者麓重视进 入7 0 年代以来，缀合预测进一步得到羹褫1 9 8 9 年，国际预测领域的权威憔学术刊 物如埘埘8 ，口，内，e s o j 增还出版了缝合预测的专辑“1 ，充分说明了组合预测在颓 溅中懿爨蘩蘧整避入9 0 年伐惹，众多学蠢黠缝合颈潮雯悬产生了浓霉豹兴趣，囊 此组合预测已经成为预测领域中的一个重要的研究方向丽矩阵理论在缀合预测 电子科技入学硕十擘 粥会文 方法研究巾起饕十分重簧的作用 。2 最优组合预测方法 采用缀合预测的哭键是如何确定各个革顼j = j i 测方法的加权系数瞥经采羽简 单平均法茅日二王羹式系数法来确定加敬系数1 9 9 2 年，唐小我在文献 3 中提出了最 优缀合鞭测方法，势绘出鹚皮麴诗箕公式，这秘方法是9 0 年 弋骚冀最多、渔网簸广 泛的方法它的思想是檬箍“过去段时间内缀合颥测误麓平方帮达最小”遮一溅 则来求取各个单项预测方法的权系数向量的，现终此方法贪绍如下： 设对阕一预钡i 闷题有推秘不丽豹预测方法，实际观测值商_ v 个时刻，p 为第f 对亥的实黼观测傻，z 为第f 耱鞭测方法在第辩刻的预测僚，剐第f 种方法在第f 时刻的预测误差为 = 只一五， f = l ，2 ，打，f = l ，2 ， ： 辐应豹预测误差彝鲞为 e = kt ：一 预测误麓矩阵为 e = 【墨巨e 】， 用、分别表示组合预测方法在第f 时刻的预测值及预测误藏，则 f 户k | o ，；l = 敦矗， f ；i ，2 ，_ 其中岛称为第f 种方法的加权系数，鼠满足：也= l ， 烨i 遮缀合预测方法的颥测误差平方和为，则霹以涯硝 t ，= = 胃7 e 7 口k = 足7 + 最。) k f l 式中k = 如赶岛】7 称为组合预测方法驰加投系数向爨& 。) 称为预测误 差信息矩阵，显有 五。) = 9 7 p = 置+曩： 易；岛： 瓦；& ： 莓。 易。 ： e 。n 第一章g 言 式中 e ，= e 。= 毯e i = e 瓢。 最，= 群茸= 露， l ，= l ，2 ，n 不难看出，颤那为第f 种预测方法的预测误差平方和 记懿为分量全为l 的雄维列囱繁，帮= f ll l ，剡加权系数的约束条 传囊= l 埘以改笃为 菇= 1 定义1 2 1 哦如栗菜一加衩系数囱量既使缀合预测方法豹预测谡差乎方籁， 达到极小德以，即以= 露蛩 ， = 磷娶 足7 1 蠡。) 世 ，刚称为最优加权系数向擞，荚 j 舞对应的组合预测方滋称为最优组会预测方法， 下趱豹定理给出了最优维会预溯方法的计算公式 定遴1 2 1 。设置，e 2 ，e 线性无关，则有 懿= 最， ( 1 - ) 懿。意赢 o 。 扣毒纛。 a 之 定瑷中的条传曩，e ，置线控无关僳证了茸。) 为对称孤定阵我们总假定 蕊m 为对称正定酶。 宠璞1 2 2 哪设，表示第f 种单项预测方法的预测误差平方鞠，粼有 以嘲 乒 2 厶” 既定理也就怒说，装伉组合预测方法豹预测误差平方和不大予参艇缝合 ：瑟测 的各个零顼预测方法的误差平方和的最小者，这表明最优缀合预测方法确实能提 高预测精度 郑么在嚣么样的条件下，最伉缓合预测方法的预凋误差平方联五正妻芋等于参 加组合预测的各个单项预测方法的预测误差平方和的最，l 、卷? 下西定理绘出关于 这个问题的有关绪论： 定璞 t2 3 “设甄= 氆銎 蜀 = 一。，即第萃申方法是参热组合预测的务个 攀项j ：瑟测方法中颥溺误差平方秘最小的那秘方法。最优缀仓预测方法豹预测误差 电子辩投人学硕七学位论文 平方晕酲以正好等予的充要条件先最。，的第l 列的元素全部鞠网。郄 置。= 易。一k 定理1 2 3 表明，哭爨预测误差傣息蹩阵壤。中不存在元素全郝相同的列囱豢， 最优缝会颈测方法辨预测误蓑平方鞠以必然小予参加组合预测误差的各个单项预 测方法预测误差平方和的最小者那以w 以小到什么程度，下灏的定理就绘出了以 的取僮范围，即对以进行了界的估计： 是避1 。2 4 8 1 设最肿静特征毽为冀l ，太，矗，k 、毛。分剐表示乓。) 的袋大 特征镇和毁小特征德，即k3 蟓 焉 ，九；。啤 五 ，则脊 血己生 ( 1 3 ) h样 便怒，谯求最优组含预测方法对，按式( 1 。1 ) 计算出来的墩垅加投系数囱爨毽 可能有负分爨，即菜一个或菜些加权系数为负在实际应用中，负加权系数是不符 合实际意义豹当熨。急现受分量时，最优组合预测方法归于失效。文献【4 系统地研 究了无非受权重约束的最饶缀合预测闻趣 对于j # 负权重最优组合预测方法，文献 6 证明了 # 受壤优加权系数向爨的确、 定问题的解存在晨唯一，提出了穷举法1 9 9 6 年，杨棱元等给出了非受权羹最优组 合预测阏题熊优瞧迭代算法“1 ，该冀法箕有运算麓使、方法赢鼹、计算萋小、在计 算辊上易实现等特点羲结合剃除冗余方法8 ”，先剿除冗余方法然后再嗣伉憔这代 方法进行迭代，能大大减少计算量。 文献【1 0 对一些非受权重最伐组合预测方法的基搴闻题遴行磺究。第一个基 本词题是，参船组合的预测方法增多时，非受权重最优缓台预测方法的预测误差平 方和是否定减小? 第二个蒸本闷鼷罴，菲负权璧最优组合预测方法的预测误差平 方鞠是疆定小予器个单项预测方法预测误差平方和中的最小者? 关于这鼹个基 本翊题，文献c 1 0 3 傲爨了聂确圈答，对第一个溺题静嚣答楚不一定，可能减少或不 变，对第二个问题的回答也是不一定，可能小于或等于，该文献都绘出了严谨的证 明，纠正了当时关于维台预测的一些不完全正确的看法并将冗余方法看作菲负权 重组合预测豹第三个基本翊越进行基璐研究。文献 1 1 对菲受权重组合预测豹糟 予阀题进步骰了探讨。 其实，文献 3 给蹦的最优缀合预测方法并不是最优的，其预测误差平方和也 不是最小的，其最优是基予一种翦提条件：假定嬲牧系数囱量为一常量藤实际中， 翱权系数向量瘦该为一变爨这就弓l 入了交投缎含预测方法。 4 第一掌引言 1 3 变权组合预测方法 上述讨论豹最优缀合预测方法属子固定权羹缀合颈测方法之一潮定权羹的 方法磷究较翠，确定方法较成熬，健就方法的预测精度较蓑：变权熏的方法磷究起 步较晚，确定方法 乃处予探讨阶段，健变权重方法的预测精度明显离予固定投重的， 因为对每种单项预测方法丽富，它总是表现蹬“时好时坏”性，数弓l 起了预测界 的广泛兴趣瞧幽于变投系数怒隧时间变能豹灏数，魇以它的确定比较图难，致使 到目前关于变权缀合预测方法的研究进展缓慢。 文献 1 2 ，1 3 】对变权组合预测模型的建模问题进行了有益的探讨，从戴，颈测 界开始黧视交投组合预测方法，并取攥了一定的研究成果 现将交权组合预测( y 鼯f ) 阀遂插述如下3 ： 设所考虑的预测期r 可划分为搠个( 予) 黠期l ( ，= l ，2 ，m ) ，y ? 是第，个预测 时期f 中实际观测使：在第，个预测时期采蠲第f 羊孛预测方法得到的预测结采为 厶，= l ，2 ，掰；f = l ，2 ，拧) ；剐= 矿一五为第，个预测对期中实际蕊测僮秘预 测值之问的误差在第，个预测时期t 中，变权组合的 ! 荧测值为： 卫 z ，= 堆( 0 ) 石， = 式中f ，i ，一l ，2 ，m ；w f ( f ，) ，f = l ，2 ，珂称为第f 种单颈预测方法在第歹个预 测时期r 中的权函数，且满足： # ( 屯) = l ，w ( t ) o ， f = l ，2 ，艘，= l ，2 ，敞 ；t l 则变投组合预测在第，个预测辩期r 中的误差为 岛；夕? 一z 。， ，= l ，2 ，挪 用了表示变权缎合预测的颈溺误差平方弱，蠢 三 ，= e f r 】2 ，。l 采用变权缀合预测方法的关键是如禽确定权龋数，对于这一闻题，下嚣的文献 给蹬了一些方法 文献【1 4 】是疲用w e i e r s t r a s s 多项式逼主曩定理来确定权函数的，并得到了相应的 预测误蓑平方和豹表达式，其结果如下： 报据w j i e r s 臼a s s 多项式遥避定理，任褥阙蔽闯【挤，6 】上的连续滋数z 。在戴嚣 电子科技火学骥士学使论文 阍上以及一定的误嫠范围内均可遗似的表示为有限次的多项式换言之。若变投函 数w ( f ) ( f = l ，2 ， ) 是连续的，霹用有限次多项式逼近之： 垮( f ) * 反 女t 0 令f = f ( 0 ，- ，= l ，2 ，小，即对权函数遴行离散化，推褥相应谈莲平方和为： ，= 。秽) ，坂。) “- l * 【( 尹) 7 繇，( 尹) 】 4 l 式中 式中 隐) 1 = l ；l ，属矿陬 l 屈。， w c 妒，= ：嚣： “f 三篙 * 主! ： ；羞： r 罗= r ? 耻刊芽甜 与，ji 蜀j 经邀一步推导，褥到出遥远系数囱基层， 表零髂误差平方和了始下： j “毫 & 舔， ， = 鼎 f 彬) 。壤) 。 瑶= | i ) 麟) o 醵= 8 口e 6 ( 秽) 。联鳄) 9 1 l + ) 吲汐) ”j ，1 ) ) 哆： p，。，。，。，。l = ， r 第一章；l 富 除文献【1 4 】外，文献【1 5 ，1 6 ，1 7 】也用到了w e i e r s t 豫s s 多项式遥近定理来确定权函 数，且【1 5 】还时遥近系数向量作了约束最小二乘估计。 也有文献应用t 鑫y l o r 展式来确定变投缀合颈测熬毅函数，如文献【16 】，掰 ! 孽结 果鳃下： 设权涵数( f ，) ( f = l ，2 ，h ；，= l ，2 ，删) ，在第，令预测时期r 中是逡续的且 其存户+ l 除连续导数，剡霹用t 鑫y l o r 震式将其表示为如下形式： ( f ，) = 蜮( f ，一f o ) + 喏 t 0 m 蛾够一岛芦 女m o 式中屯t 并由此得到糟应的缎合预测误麓平方和为： ，= ( 坂0 ) ) 7 兹。( 0 ) w ( 0 ) 。 j - 。 式巾 fw ( f 川 w ( f 户l ! | 。 l k o ，) h | 。j q ，l 气矿l0e 。) ( f ，) = ( & ) ( & n ) 7 = l i。 ；1 l jl 岛，8 ； 幽以上假设可以番出，用强y l o r 晨式确定权函数时，投函数必须满足的条l 牛比雕 w e i e r s t r a s s 多项式遥近定理更高邀给使用j 毙方法带来了一些局限性，故强翦使瘸 的比较少 周传世等o ”分别给出了以榴对误差驰最大值达到最，j 、为目标、以绝瓣误差和 达到最小为醛标、以误差平方和达弱最小为鼙栎确定溅优交权系数的三种方法，并 在此纂础上绘出了两种可行的预测方法 文献 1 7 给蹬了一； 中变权组合预测模型变权系数估计的新算法该算法通过 广义逆姥箨的覆颦迭代，形成收敛匏交权系数，避薅遴行缝合预测。文中还给迷7 算法收敛性的证明通过实例分卡斤得到变权重方法比圈定权熏方法预测精度蕊 电子科技人学硬卡学静论文 文献 2 0 一2 2 运用摸朔控制理论豹一些思想和方法，提出了三种模襁变权缀合 预测算法，仿真结果表明，这三秘方法的预测误蓑明显小予文献 3 】提出的预测方 法的预测误蒺这扶男一个 舞4 慈说明了文献【3 】提出的最优缝会预测方法不能称为 是最优的儇是，文献c 2 国所提出的燮权重方法，其当前时刻投藿的大小仪驭决于 上一时刻误差及误差的变化率，所以这种方法有定的局限性 文献( 2 2 在对，蹦假，z 纠托”，8 甜e 娓妇由j 馏，法啪的实质进行分析的基础上， 对尸蹦法加汉改进，克服了藩有，滞法中用预测绝对误差和礞测绝对误差豹变纯率 为模糊控制因素时的困豢褶关性，文献 2 l 】也对，蹦法傲了改避，其当前时亥豹权 重楚根据最近几个采样周期预测误麓绝对平均德的耀对指标和滚动的有黻时域长 度内预测诶差绝对豢计傻的鞠对掇标_ 柬决定的，这手中交权熏的方法比文献 2 0 两 提出的方法曼为科学 变权的组合预测方法有德傲更进步的研究簧提裹组会预测精度，必须研究 变权的组合预测方法 j 1 4 本文主要王作 本文第二章菌先鲶出了变权缓台预测阕遴颈测误差平方秘的一般表达式， ! 导 弱交权组合该测优仡模裂然后在方蓑倒数加权法的恩路基础上，提出误蓑馕数变 权组合预测方法，并通过实例分析说明了该方法的珂行性 第三章是用m 矩阵遴论对文献( 2 8 中给出的判定最优宓譬权系数为j 受的一个 充分条俘进行改进，网辩翔m ，矩阵理论还给出了f 2 8 】的该主要结果菲常麓单的证 明；然后给出了最优组合预测方法的预测误差平方稻的筒单健计式最舞用数值例 子对这些结论加以说瞬 第1 二章误差倒数变权纽台预测方法 2 1 引言 第二章误差倒数变权组合预测方法 如前所述，固定权重的组合预测方法预测精度较差，面变权组合预测方法的预 测精度明显高于固定权重的，故引起了预测界的广泛兴趣，但出于变权系数是随时 间而变化的，所以它的确定比较困难，致使关于变权组合预测方面的研究进展缓慢 文献 1 4 ，1 6 应用w e l e r s t r a s s 多项式逼近定理来确定变权组合预测的权函数，并 得到相应的预测误差平方和的表达式，文献 1 5 ，1 7 也作了类似的研究文 1 6 还 用t a y l o r 展式来确定权函数 本文不针对权函数的具体取法给出预测误差平方和j 的表达式，而是对于通常 情况下，给出i ，j 的般表达式，进而得到变权组合预测优化模型在研究能使t 达 最小的最优变权系数方面，由于非负条件的制约，不可能得到最优变权系数的具体 公式，只能对其进行估计因为变权问题的复杂性，使得在变权系数的估计方面成 果很少1 本文在方差倒数加权法分析思路的基础上，给出了误差倒数变权组合 预测方法，该方法一方面变权系数满足非负条件一方面计算简单易行同时，实例 显示误差倒数变权组合预测方法优于最优组合预测方法 2 2 变权组合预测优化模型 设对同一预测问题有”种不同的预测方法，实际观测值有个时刻，为第，时 刻的实际观测值，无为第f 种预测方法在第f 时刻的预测值，则第f 种方法在第f 时刻 的预测误差为8 。= 只一 ，扛】，2 ，n ，f = l ，2 ，用兀表示变权组合预测方法 在第f 时刻的预测值，则z ，= 工，其中称为第j 种方法在第f 时刻的加权系 数，且满足： = l ， o ， f = l ，2 ， ，f _ l ，2 ，_ v ， ( 2 1 ) p 1 记变权组合预测方法在第r 时刻的预测误差为p 。，有 记变权组合预测方法在第r 时刻的预测误差为，有 = m 一厶= 咒一，五 电予科技人学顼十学 ：。= 论文 = ( m 一五) = f ；l ，2 ， 剡相应的联测误差警方和为： t = = l l ，、，”、 2 善i 善j i 丢j ( z z ) f m l ，= l，= i 7 = 岛f ；嵋莓 = 彬? 嚣形 式中 e = 哆， p 2 l l 置 ， e | = e t e ： 比l k ： e i ，群2 ， 巳，岛，君主 e 日e e b 。卯-口。 8 l ， e t e n i i f = l ，2 ，。 其中彬为变投缀合礞涮耱艇权系数肉璧，e 为预测误差矩阵式( 2 2 ) 嚣为变投缝 合预测问题预测误差平方和的一般表达式 记曩表示分薰全为l 的聆维列向蛩，即曩= 【il l r ，晨= 是删x 矩蹲，躺趣权系数的约束条l 孛式( 2 一1 ) 可敬霹为： 贾7 嘭= r 。，o 。 ( 2 3 ) 1 0 第二牵误麓倒数交投缀仑赜测方法 以傻预测误差平方和达最小为确定簸优变权系数的原则，便可褥到如下的交权组 会预测优化模型： m i n 以= 彬e 氍， s t 异7 暖= r 。睨o 它实际上烂研究其有嚣负权重约束的变权组合预测问蹶 2 3 误差倒数变投缀会预测方法 方差倒数加权法是指加权系数耿为“1 颤= 玄喜考 的组合予员测方法，其中置= ，朝为第f 种预测方法的预测误差平方和从加权系 数的取法来看，方差倒数加税法的加毅悉想是对预测耩度较离( 即预测谖差平方和 较小) 鹣方法赋予较大靛权重，从菜孽孛意义漭，该翱权愚惩是合理的健楚，我们不 能保证予员测误差平方和较小的方法在每个孵猁的误差绝对绲都较小，如果有一个 或几个时刻的误差绝对德较大，却被赋予较大的权重，这无疑会导致组会预测误差 平方秘增大，影确缀合预测的效果必了克服这一缺点，我们在方差倒数加叔法思 路的基础上，提出了误差倒数变权缀合预测方法，琥描述如下： 设4 = 击，将第f 军巾方法在第f 雕刻的加权系数取为： 百 。 2 赢。南产。南善南，江t 2 ，滞叫。，玑 q 容易验证，w t ，满足式( 2 一1 ) ，且从式( 2 4 ) 可以看磁，对于每个时刻，误差倒数交权缀 合预测方法都能保证，对误差绝对德较小靼预测精度较嵩的方法赋予较大豹权壅。 正是的这种取法竞服了方差倒数加权法的缺点 由式( 2 4 ) 可得到相应的加权系数向量为： 形= 地l 比2 ( 2 5 ) 式中2 专i 南南南j 引，z ，融将式( 2 ) 弋入式( 2 吨) 便诃褥戮 电子科技大学硕十学纯论文 误差倒数变权组合预测方法的预测误麓平方和： 以= 船) 江6 ) 以= l 予1 ( 2 6 ) # ；l 、“f ， 式中。善南_ l ，2 ，出鸭的表达式不难黉出，是出锫攀项颈测方法 在第f 时刻的误差的难负决定的一个整数，盈其取傻范围为【一一，”】当各单顼预测方 法在第f 时麦l 豹轰负误夔个数穗囊时，帆静绝对穰就会院较小，甚至可能为零 所以，对菜一预测问题，著在多个时刻，各苹项预测误差的曩三负误蓑个数相当，采用 误差倒数变权组合预测法将能有效嫩减小组合预测误差平方和，达到较好的预测 效栗 2 4 实例分析 本文应用文献 4 3 及【2 6 中的数据进行实钢分瓣。 例1 文献 4 】中孑l 庆魏用最小平方法稠三次指数平滑法对1 9 7 1 年至1 9 8 2 年乡 村揍魁标准储蓄存款余额进行了预测各每存款余额的统计数獭”，采用两种预测 方法的预浏值矗、磊，以及对应的预测误差q ，、# ：，如表2 一l 腰示 表2 一l 对至上年末乡村矮氐标准储蓄余额的颈溅( 单位：亿元) 年份实际统计德y 最小平方法三次指数平滑法 1 9 7 ll l ，4 91 8 。4 76 9 8 o 0 31 4 6 1 3 0 6 1 s 3 4 2 0 5 8 2 3 2 8 2 6 4 6 2 7 3 3 3 4 2 2 4 0 1 9 5 3 3 7 7 7 7 9 l l o 6 3 犯m鲱鼬m辩救搿叭鳟孔懈一锄捌燃嘲勰钉体娟研的似弱钳融搭璁”拍勰”镗钉毋 笔!薅肿邻s| 州 _ 五t t 生o o 曲 k 0 挖甜泓弧醇措卵销鹞稚泣 m拽b酶甜勰 盼酩铃蝤 眈 啪 晰 哪 啪 孵 辩 啪 嘲 贼 謇| 第_ 二章误麓绷数变较缀合颈测方法 根据表2 一l ，进行如下计算： 置；= = 5 5 3 9 7 0 7 ， 岛= p ：= 1 8 s 8 7 6 9 ， 焉2 = 岛i = 岛；= 一8 8 9 2 8 3 得预测误差信患矩髂为 叫乏剐竺黧麓 出上面的计算得到上述两羊申举项预测方法的预测误蓑平方稻分别为5 5 3 9 7 0 7 和1 8 8 8 7 6 9 ，蓿采用最优组合预测方法。”，由式( 1 2 ) ，可褥到相应的预测谈差平方 和为 分焘叫0 5 。0 5 5 2 式中哎= 【ll 】计算络果表明，采用最优组合预测方法鼹蓑减小了琰测误差平方 和，与采瘸单一的预测方法稳跣，缀合螽预溺精度褥到了掇离 现采用误差倒数变权组合预测方法，经计算褥表2 2 表2 2 备年份对廊的及珥的值 利用表2 2 及式( 2 6 ) ，得其预测谡差平方和为 。，、2 五。善司2 - 9 5 虬 这比最伉组合预测方法的 嚷测误差平方和减少了7 2 0 9 6 l ，碍见用误差倒数变权组 会预测方法改进是最著的 下西褥来看一个嚣为复杂的铡予 倒2 文献 2 6 】用笈比增长曲线法、 o l t 双参数线性指数平滑法及三次指数平 电子科技大学矮士学使论文 滑法对1 9 8 0 年至1 9 9 7 笨上海市国内生产总值总消费进雩予了预测记三种预测方法 的预测值分别为无、正，、五，对应船预测误差为、畅、，各数据盔珏袭2 3 所示 表2 3 对1 9 8 0 年至1 9 9 7 年上海市国内生产总德总溃费的预测( 单位：亿元) 年份实际使* 复瞰墩长曲线法 h o l t 双参数线性指数平滑法兰次指数平滑法 1 9 8 08 1 2 4 6 9 7 l1 1 5 3 8 2 3 11 0 78 6 6 9 5 4 5 1 9 8 18 9 7 3 8 2 6 97 0 49 2 4 4 2 7 l9 5 1 55 4 2 1 9 8 29 2 。9 0 9 8 0 95 1 99 9 6 2 6 。7 29 9 j 5 6 6 7 6 1 9 8 3i o l 。1 9 l1 6 3 6一1 5 。1 7辨。5 2 l ，6 79 4 8 9 6 3 0 1 9 8 4l1 7 2 5 1 3 s 0 22 0 7 71 0 6 4 l l o 8 41 0 8 6 98 5 6 1 9 8 51 5 5 1 5 1 6 3 ，7 38 5 81 2 6 9 2 2 8 2 31 3 5 9 51 9 2 0 1 9 s 61 8 1 7 4 1 9 4 2 l1 2 4 71 7 8 + 3 8 3 。3 61 9 92 0 2 s ， 1 9 8 72 0 0 7 4 2 3 0 3 82 9 6 42 1 4 6 6 1 3 9 22 1 5 6 81 4 。9 4 1 9 8 82 s 5 4 2 2 7 3 2 8- 1 7 8 62 2 9 5 9 2 5 8 32 1 9 2 63 6 1 6 1 9 8 92 9 8 6 2 3 2 4 + 1 7 * 2 5 5 52 8 9 鸵 9 ，l o3 1 6 。1 7。1 7 5 5 1 9 9 031 6 8 03 8 4 5 4 6 7 7 43 4 3 7 9。2 6 9 9 3 5 0 5 23 3 7 2 1 9 9 l3 8 6 0 64 5 6 1 5 7 0 0 93 5 4 8 5 3 1 2 l3 3 1 3 95 4 6 7 1 9 9 24 7 6 5 75 4 1 6 4 5 24 2 7 4 0 4 9 1 74 5 9 3 51 7 2 2 1 9 9 36 7 9 3 56 4 1 8 53 7 5 0 s 4 5 。2 21 3 4 1 3 5 8 6 1 99 3 1 6 1 9 9 48 7 3 8 97 6 1 3 7 1 1 2 5 28 1 1 7 l 6 2 1 89 2 6 9 15 3 0 2 1 9 9 51 0 8 5 3 39 0 3 1 5 1 8 2 1 81 0 6 9 1 81 6 1 5 l l l 7 1 5 3 l 。8 2 1 9 9 61 2 5 2 3 31 0 7 l ，3 31 8 l 。 1 3 0 5 1 75 2 。8 4 1 3 2 6 1 4 ，7 3 8 l 1 9 9 71 4 2 3 6 31 2 7 0 8 3 1 5 2 。8 01 4 5 7 。7 33 4 。l o 1 4 2 5 1 11 4 s 根据衮2 3 ，不难算战预测误差信息矩阵为 l l1 9 9 7 9 9 3 4 1 4 9 ，9 7 2 4 s 1 9 。7 8 l 蠡3 ) = l 一1 4 9 9 7 3 2 1 1 9 0 51 7 7 2 4 0 3 1 | 一2 4 5 1 9 7 81 7 7 2 4 0 32 5 2 l o 。0 9l 从置中可直接褥到上述三葶申单项预测方法的颈渊误差平方和分期为 1 1 9 9 7 9 9 3 、3 2 1 1 9 0 5 和2 5 2 l o 0 9 ，若采露最玺| 乏缀合预测方法，可褥到樱应的预溅 1 4 第二_ 鬻误差镁数交权组合预测方法 误差平方和为 = 1 2 4 7 0 。4 2 比较褥知，采簏最优缀合鞭测方法确实纛著减小了颈涎误蓑平方秘。 再用谖差倒数变权缎含预铡方法，经计算褥其预测误差平方和为 以= 7 9 7 8 6 2 ， 这魄最优缎合预溅方法鹃鞭测误慈平方帮减少了4 钧l 。8 0 逶进以上两个实铡的误 差分柝表明，此时愿误差侮l 数交权缎合预测方法优予最优组含预测方法。 馕襻注意的是，不是对所有的预测阔题都裔吱 ) ，江1 ，2 ，州，= l ，2 ，”特别地，当4 o ( 爿 o ) 聪，称为非负矩阵( 正 矩阵) ， 定义3 ， 。2 如莱某种荸项预测方法无动予减少缀合预测方法豹镞测误羞平 方和，则称这种方法为冗余方法 下话给出的楚一个冗余方法的划定定理： 定理3 2 。褒磊。，的第f 行元素中，除易外鄂菲正，剡篱莘孛零王燹预溅方法一 定不是冗余方法+ 3 2 最优加权系数 记所有疗h 实矩阵爿= ( ) 所成集合为赏”，z ”为如下矩孵集合： 6 第三章缀合预测诶筹信惠矩阵的新缭鬃 z “4 = 4 = ( ) r 托4 1 o ，l f ，以，f ， - 定义3 2 m 1 设爿z ”，越 名= s ，一致詹为 受短阵基s 夕( 廖) ， 这慝( 国袭口的谱半径，则称4 为j 奇异m - 矩阵，简称m - 矩阵。 引理3 2 。1 f 3 ”一为m 矩阵等价予爿z ”鼠彳。o 。 s l 瑾s 2 。2 。“设鼹称矩箨名z ”，则叠为m 矩阵等徐予一为对称蕊定筵阵。 我们秀来羲【2 8 搪主要结果，即本文的定壤3 ，1 1 事实上，幽m 矩阵理论， 我们可给出定理3 + 1 1 豹如下j # 常简单的诞明： 定理3 。1 的麓辈证鞘因为墨。、z ”为对称芷定矩瓣，所以撵g | 避3 2 2 ， 磊。1 为m 一雉阵辫由弓l 理3 。2 。l 褥 锚o 硅l 予致t f ll l r 巍接褥 ， 蚝= 苏孤 跸 萼l 理3 2 3 脚1 墩袋= 8 。 定理3 。2 。 设鼗测误差信惑矩阵乓。 敬联宥非主x 重燕线元素均为菲妥，鞠 互帕z “”，则最伉加权系数均为讵。 诞前蘅我们强证鲳了当最计z “”时，碲为非负矩阵，由g l 瑗3 ，2 1 知， 最柚为m 一矩终。取矩眸 。 艿= 岳 瓯 不难惹出，b z ”，由于臣。1 为m - 矩阵，所以对角元辱，( f = l ，2 ，栉) 必大子零 由此可推得艿。存在，鼠 电子辩技人学矮七学镌论文 嚣= l e ， l f _ 2 2 再幽定理的假设，。) z “，即o 毛，f ，霹知艿曩梭据引理3 2 3 ， 有 懿嚣+( 3 一1 ) 再由定壤1 2 1 知 ，e j i l r 。 ，耻稼。 将毽右乘式( 3 + 1 ) 的诱端，鼠注意瓢怒为正懿量，得 硪心抛。羁2 l 击去去 c ，之， ld ，lc ，。 交子罨， o ，f = l ，2 ，聍，故可维千罨踹羁为歪向豢。又豳予硪为菲受矩阵，及 咒为正向爨，可得 磁心 o 。 综上便知黾为正穗羹，邸各个激优加投系数均为正， 歪华 可以看班，定理3 2 。l 比定理3 1 + l 有所改进，在尉一假设条彳牛下，得到了更 为精确豹结莱此定理同时表明，当最。，z ”对，鼓优组合予页测方法是有效豹。 推论3 + 2 1 当预测误差信息艇箨骂。、z ”辩，最优组合预测方法不移在冗 余方法 证幽定理3 2 1 ，当最。) z ”孵，最优加权系数均为正，即k 为正向薰。又 由文献( 3 0 】知，第f 萃孛擎项预测方法为冗余方法麴充要条佟是款的第f 个分薰为 零。故易知，当蓐。、z “”时，备个单颈预测方法都不是冗余方法，即最伉组合颈 测方法不存在冗余方法证毕 事实上，推论3 。2 + l 给出的结果与雳文献【3 0 】提供的冗余方法判定规则即定理 3 1 2 得列的结果是完全一致戆。稷据此推论，当最。，z ”黪，采耀最谯缀合预 测方法就不必先判定冗余方法了 第三章组合颡渊误差信息短簿魄新结聚 3 3 预测误差的篱单估计 对于最优组含预测方法的预测误差乎方和，邋攒文献【5 】缮剿了如定理l 。2 。4 ， 印式( 1 * 3 ) 所示的谡差界，如下： 当曩。，z ”时，最优组合预渊方法的预测误差平方和 六纽。( 3 3 ) 其中，气。表示叠。、的最大特征毽 下掰我们将给出最优组合预测方法的预测误差平方和的一个篱单估计式 定瑗3 。3 1 当蕊。，毫z “”时，最优组合预测方法的预测误麓平方和 以蔓= 2 ( 3 _ 4 ) 这攀，瓯。2 磷溉 证当篡。z ”瓣，眷式( 3 2 ) ，将左黍式( 3 2 ) 盼鼹端，褥 霹端群i 击壶毒j 喜击 喜亡 ( 3 5 ) 互。勰 再将式( 3 - 5 ) 代入式( 1 2 ) ，有 以= 去等 证毕 予是，综合定璞3 3 1 和 5 】的结论，便有： 当蠡。，z “”时，最优组合预测方法的预测误差平方积 五觚 鱼，k ( 3 6 ) t 孵拜j 最后，值得一摊的是，在通过预测误羞信息矩阵罨。、豹维构判定最优组会预 测方法是否失效貔研究中，疆莉只证明了置。z “时，最优组合预测方法是霄效 的，如果能找到其它条l 争，当蠡。、窟勺结构满足这些条件时，最优组合预测方法有 效戏失效，这将给使用最优缀合预测方法带柬方便，因为可以通过磊。、的结构事 电子科技_ 夫学硬七学位论文 先对是否采用最优组合预测方法做出判断，减少一些不必簧的计算，丽j 的计 算是筒纂的。 3 4 数值例子 例考查如下4 阶j ：；l 测误差信息矩簿 磁4 ) = 3 6 7 3 6 1 9 6 9 3 s 8 2 4 2 8 1 0 4 * 5 7 1 3 2 5 l 容易螽出，蠡。) 的掰商蒋主瓣角线元素均为嚣斧，鞠鼠) z ”- 根据式( 1 1 ) 及式( 1 2 ) ，可求得最优组合预测方法的最优加投系数向璧砥和预 测误麓平方和以分别为： 跖：盟： 弘意慕。 o 2 0 9 4 o + 1 8 9 l o 3 0 3 3 o 2 9 8 2 ( 3 7 ) 如莉意司3 5 ”t ( 3 罐 式中蜀= 1 ll l 】。， 戏察上鬻式( 3 7 ) 中的弱知蜀 o ，繇簸臻加毅系数均为正，这与定理3 2 。1 绘爨 的结论完全一致这嗣时证明了，定理3 2 1 的结论比定理3 i 1 的更精确 因曩。、z “”，根据推论3 2 1 ，此时最优组合预测方法不存在冗余方法，事实上 这由配的结构恣很容易刿琢缮到虼结果若用定理3 ，l ，2 给浅的冗余方法判定规刘 在毛，的每一行元索中，除s ( j = l ，2 ，4 ) 外都梵非歪，刘掰肖举项预测方法一定 不楚冗余方法此时，嗣推论3 2 1 和用定理3 。1 2 得到的结论是鞠阍的 不难算出，磊。、的特征