（计算数学专业论文）分数阶动力方程的数值方法及其理论分析.pdf

摘要 摘要 分数阶动力方程近年来得到广泛的兴趣和关注。其主要原因是豳子分数阶 微积分理论自身的迅速发展，以及其在物理、化学、生物，环境科学，工程以及 金融等各类学科中的广泛应用。分数阶动力方程为接述不同物质的记忆和继承 性质提供了强有力的工具。 然而，分数阶动力方程的解析解是比较复杂的，多数解析解都包含了有级数 形式或特殊溺数。而且，多数分数阶动力方程的解不能显式遗得到。这就促使我 们必须考虑有效的数值方法。目前，关于分数阶动力方程的数值方法以及相关的 稳定性和收敛性分析榴当有限， 嚣且摄难得到。这些激励我们发展有效的数值 方法解分数阶的微分方法。在本论文中，我们考虑俩种类型的分数阶动力方程。 第一类分数阶动力方程是带有扩数，对流扩散以及f o k k c f p l a n c k 类型的分数阶 动力方程。其数值方法和理论分析将分别在第二章，第三章和第四章详细讨论。 第二类分数阶动力方程是带有反常次扩散的分数阶动力方程。例如，反常次扩 敷方程，菲线性反应次扩散方程，以及分数阶c a b l e 方程。这些方程的数毽方法 和理论分析将在第五章，第六章和第七章进行讨论。所有上面提到的方程已经 被用子接述受反常扩散和菲指数松弛方式控制的复杂系统中的传输动力学。这 些分数阶方程都可以从基本的随机游走和推广的控制方程中逐步地得到。 第一章，我们总结了分数阶计算理论的发展史，本论文讨论的阀题的背景， 以及有关分数阶动力方程的先前的工作。并给出了我们的研究工作以及论文的 结构。 第二章，我们考虑在有界区域上的空闻时阕分数阶扩散方程。这个方程是 从标准的扩散方程中，二阶空间导数由届( 1 ，2 阶的鼬e m 柚n l i o u v i l l e 分数阶导 数代替，一阶时间导数由凌( 0 ，l 】阶的c 印娃埝分数盼导数童替得到。我们研究含 有初边值问题的空间时间分数阶扩散方程的显式羞分格式和隐式差分格式。给 出了方法的稳定性和收敛性结论。证明了隐式差分格式的无条件稳定性和收敛 性，而显式差分格式的条件稳定性和收敛性。数值例子显示了反常扩散的性态。 在这一章中，我们还考虑了有限区域上二维分数阶扩散方程。提出了求解二维 摘要 空间时间分数阶扩散方程的隐式差分格式，讨论了这个隐式差分格式稳定性和 收敛性。一些数值例子显示了这些技巧的应用。 第三章，我们考虑有限区域上的空间时间分数阶对流扩散方程。这个方程 是从标准的对流扩散方程中，一阶时间导数由a ( o ，1 阶的c a p u t o 分数阶导数 代替，一阶和二阶空间导数分别由卢( o ，l 】阶和y ( 1 ，2 】阶的黜e m a n n l i o u v i l l e 分 数阶导数代替得到。我们提出隐式和显式差分格式。利用数学归纳法，证明了这 个隐式差分格式的无条件稳定性和收敛性，而显式差分格式的条件稳定性和收 敛性。其数值结果和理论分析相符。 第四章，我们考虑有界区域上的空间时间f 0 k k e r - p l a n c k 方程。这个方程是 从标准的f o k k e r - p l a n c k 中，一阶时间导数由0 f ( 0 ，1 】阶的c a p u t o 分数阶导数代 替，二阶空间导数由左鼬e m a j l n l i o u v i l l e 分数阶导数和右融e m 觚n l i o u v i l l e 分数 阶导数代替得到。我们提出了计算有效的隐式数值方法。讨论了隐式数值方法 的稳定性和收敛性。并给出了数值例子，这个数值结果与精确解相符。 第五章，我们考虑反常次扩散方程。提出了一种新隐式数值方法和两种改 进收敛阶的技巧。利用能量不等式证明了这个新的隐式差分格式的稳定性和收 敛性。我们给出一些数值例子。数值结果证实了我们的理论分析。这些方法也可 以应用于其它类型的积分微分方程和高维问题。 第六章，我们考虑非线性反应次扩散过程。我们提出了一种新的计算有效 的数值方法去模拟该过程。首先，将非线性反应次扩散过程归结为一个等价方 程。然后，我们提出一个隐式格式近似这个方程。接着利用新的能量方法给出稳 定性和收敛性证明。最后一些数值例子显示这种方法的应用。这种方法和理论 结果可以用于分数阶积分微分方程。 第七章，我们讨论的分数阶c a b i e 方程。我们提出了隐式差分方法。利用能 量方法讨论了稳定性和收敛性。我们还提出了有限元近似。建立了稳定性和误 差估计，并导出收敛阶。数值例子证明了方法的有效性和理论结果的正确性。 关键词：分数阶动力方程；反常次扩散方程；有限差分方法：稳定性：收敛 性；能量方法；有限元法 a b s t 瑚虻t a b s l f i j i d 辩a c l i o 彝越妊浆t i ce 妒鑫疽。鑫s 舞疆谨e 程鹾爹眩i 纛玲愆s l 戳e 爨l y 巍i sc 瓣s 蟊弱曦 b yt l l ei n t e n s i v ed e v e l o p m e n to fm et i l e o d ro ff a c t i o n a lc a l c u i u si t s e l fa n db yt h ea p p l i e a t i o 粼o fs u c h n 啦w i o n s 主nv 撕。璐s c 论粼e ss u c ha sp h y s i c s ，c h e m i s 睇b i o i o g y e n v i r o n m e n k l ls c i e n c e s ，e n g i n e e r i n ga n d6 n a n c e f 哦t i o n a lk i n e t i ce q u a 吐o n sp f o v i d e a p o w e r 如l i n s t m m e n tf o rt t l ed e s c r i p t i o no fm e m o 巧a n dh e r e d i t a r yp r o p e r t i e so fd i 厶 f e f e 髓ts u b s 锄c e s h o w e v e r m a n ya n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o rt h ef t i o n a lh n e e q u a t i o n sa r ec o m p l 遗a 沧或w h i e 纛i | l e l 疆& ：纛ec o 氆p l i e a 话d 氐s 键e 单e c i 疆如n e i o 藏。期【o f e o 垤鑫珏a l y 蛙c s o l u t i o n so fm o s tf a c t i o n a ih n e t i ce q u a t i o n sc a n n o tb eo b t a i n e de x p l i c i t l y a tp r e s e n t n u 娃l e 砖c 蠢m e 娃l c 避s 鞠da 黩a l y s i so fs l a b i l i 移锻de o n v e r g e n e ef o rf l c l i o n a l ；斌i a ld i 囊 f e r e n t i a le q u 撕o n sa r eq u i t el i m i t e da n dd i 衔c u l tt od e r i v c t h i sm o t i v a t e su st od e v e l o p e & c t i v en u r i c a lm e t h o d sf o r 她f 蕊t i o n a ld i 虢r e n i a le q u a t i o n s h lt 1 1 i s 幽e s i s ，w c c o n s i d e rt w ok i n do ff 穗c t i o n a lk i 聃e t i ce q h a t i o n s l 飞e 磊r s tk i n do ft h el ￥a c t i o n a l 繇- n e t i ce q u a t i o n si s 山ef r a c t i o n a ll ( i n e t i ce q u a t i o n so ft t l ed i 觚s i o n ，d i f f - u s i o n 幢d v e c t i o n 。 鑫聪两心l 赫e k 咎p e n 醢整蘸e a 薹溅：黼s 粕d 氆愆如羹秘a l y s i sf o f 疆瓣触矗。纛舔 l 【i n e t i ce q u a t i o n sa 北d i s c u s s e di i lc h 印t e r s2 ，3 卸d4 ，r e s p e c t i v c i y t h es e c o n dl c i n d o ft f r a c 如n a l 虹n e t i ce q u a 垃o n si sm ef b c 主o n a lk i n e 娃ce q u a t i o n so fa n o 黻融o u ss u _ b - d i 讯l s i o nt y p c ，s u c h 舔t l l ea n o m a l o u ss u b d i m l s i e q u a t i o n ，an o n l i 鹏a r 融t c t i o n 舔 r e a c t i o n s u b d i m l s i o np r o c e s sa i l dt | l e 行a c t i o n a lc a b l ce q u a t i o n n u m e r i c a lm e m o d s 鞠dt 沁o f e i c 舔鑫珏a l y s i s 阪t 沁蠹鑫c i o 髓ll ( i 纛e i ee 鼋疆a 赣。程sa f ed i s c 珏s s e di 纛c 量l a p 潮隅 5 ，6a n d7 。r e s p e c t i v e l y t h e s ef f a c t i o n a ll ( i n e t i ce q u a t i o n sa b o v e - m e n t i o n e dh a v eb e e n p 豫蕤涎d 嚣鑫疆s e & l 鸳p f o a c hf o f 凌e 如s c 砖p 幻珏o f 锻猿s 弘曛电n 黼i c si 藏e o 毽p l c x s y s t c i n s 、h i c ha r eg o v e m e db ya n o m a l o u sd i m l s i o n 柚dn o n e x p o n e n t i a lr e l a ) 【a t i o n p a t c m s n e s e 触c t i o n a l 鹎u a i o n sc 勰b e d c r i v e da s y 删? 0 i c a l l y 舶mb a s i cr a n d o m w a l 薹( m o c l e l s ，勰df 两mag e n e r a l i s e dm a s t e fe q u a 矗o n i nt h ef i r s tc h 印t c r ，w es u m m a n z et h eh i s t o 哆o ft h et h e o 叮o ff a c t i o n a lc a i c u l u s ， m a b s t r a c t t h eb a c k g r o u n da n d s i g n i f i c a n c eo ft h i sd i s s e r t a t i o n ，a n dt h ep r e v i o u sw o r k sa b o u tt h e f h c t i o n a ll ( i n e t i ce q u a t i o n s o u rr e s e a r c hg r o u pa n dt h ef h m e w o r ko f 山i st h e s i sa r e 舀v e n i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e ras p a c e t i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o no naf i n i t e d o m a i n t h ee q u a t i o ni so b t a i n e df b mt h es t 卸d a r dd i m l s i o ne q u a t i o nb yr e p l a c i n g m es e c o n d o r d e rs p a c ed e r i v a t i v eb yar i e m a n n - l i o u v i l l ef t a c t i o n a ld e r i v a t i v e0 fo r d e r 卢( 1 ，2 】，a n dt h ef i r s t - o r d e rt i m ed e r i v a c i v eb yac a p u t of i a c t i o n a id e r i v a c i v eo f o r d e ra ( o ，l 】a ni m p i i c i ta n d 锄e x p l i c i td i 骶r e n c e 印p r o x i m a t i o n sf o ft h es p a c e t i m ef a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i mi n i t i a i 锄db o u n d a 叮v a l u e sa r ei j l v e s t i g a t e d s t a b i l i t ) ra n dc o n v e 唱e n c yr e s u l t sf o rt l l em e t h o d sa f ed i s c u s s e d u s i n gm a t l l e m a t i c a i i n d u c t i o n ，w ep m v et h a tt i l ei m p l i c i td i 丘l e r e n c em e m o di su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n d c o n v e 唱e n t ，b u tt | l ee x p l i c i td i 髋r e n c em e t h o di sc o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n dc o n v e 唱e n t s o m en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h es y s t e me x h i b i t s 柚o m a l o u sd i 行u s i v eb e h a v i o u li i l t h i sc h a p t e r w ea l s oc o n s i d e rat w o d i m e n s i o n a lf h c t i o n a ld i f f h s i o ne q u a t i o no na 行- n i t ed o m a j n w ee x a m i n ea ni m p l i c i td i f 艳r e n c ea p l p r o x i m a t i o nt 0s o l v et 1 1 es p a c e t i m e f a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s t a b i l i t ) ，a n dc o n v e 略e n c yo ft h em e t i l o da r ed i s c u s s e d s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt 0s h o wt h ea p p l i c a t i o no ft 1 1 ep r e s e n tt e c h - n i q u e i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d c ras p a c e t i m ef r a c t i o n a la d v e c t i o nd i s p e r s i o ne q u a t i o n o na 丘n i t ed o m a i n 1 h i se q u a t i o ni so b t a i n e df b mt h es t a n d a r da d v e c t i o n - d i s p e r s i o n e q u a c i o nb yf e p l a c i n gt h ef i r s t o r d e rt i m ed e r i v a t i v eb yt h ec a p u t 0f a c t i o n a ld e r i v a t i v eo fo r d e ra ( o ，l 】，a n dt h e 丘r s t - o r d e ra n ds e c o n d o r d e rs p a c ed e r i v a t i v e sb yt h e r i e m m a n l i o u v i l l ef h c t i o n a ld e r i v a t i v e so fo r d e rj b ( o ，1 a n do fo r d e r ，( 1 ，2 】， r e s p e c t i v e l y ni m p i i c i ta n da ne x p l i c i td i 丘e r e n c ea p p r o x i m a t i o n si sp r 9 p o s e d u s i n g m a t l l e m a t i c a l i n d u c t i o n ，w ep r o v em a tt h ei m p l i c i td i f i e r e n c em e t i l o di su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n dc o n v e 唱e n t ，b u t 山ee x p i i c i td i 脏r e n c em e 山o di sc o n d i t i o n a l j ys t a b l e 柚dc o n v e 喀e n t n u m e r i c a ir e s u l t sa r ei n9 0 0 da g r e e m e n tw i t l lt t l e o r e t i c a ia n a l y s i s i i lc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e ras p a c e t i m ef j 嫩t i o n a lf 0 k k e 卜p i a n c ke q u a t i o no na 6 n i t ed o m a i n t h i se q u a t i o ni so b t a i n e df b mt h es t a n d z l r df b k k e r p i a n c ke q u a t i o nb y r e p l a c i n gt h e r s t o r d e rt i m ed e r i v a t i v eb yt h ec a p u t of a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，t h es e c o n d o r d e rs p a c ed e 巾a t i v eb yt h el e ra n dr i 曲tr i e m ；l n n l i o u v i l i ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s w bp r o p o s eac o m p u t a t i o n a l l ye 蜀f e c t i v ei m p l i c i tn u m e r i c a lm e m o d t 0s o l v e 山i se q u a - t i o n s t a b i l n ya i l dc o n v e 喀e n c eo f 山em e t h o d sa r ed i s c u s s e d n u m e r i c a le x a m p l e i s g i v e n ，w h i c hi si n9 0 0 da g r e e m e n tw i t hm e e x a c ts o l u t l o n i i lc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e ra n o m a l o u ss u b d i f ! f h s i o ne q u a t i o n an e wi m p l i c i tn u 。 m e r i c a lm e t h o da n dt w 0s o l u t i o nt e c h n i q u e sf o ri m p r 0 v i n gt t l eo r d e ro fc o n v e 唱e n c e 0 ft 置l ei m p l i c i tn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n g 她柚o m a l o ss u b d i 瓶s i o ne q u a t i o na r e p r o p o s e d 1 h es t a b i l i t y 卸dc o n v e 唱e n c eo ft h en e wi m p l i c i tn u m e r i c a lm e m o d a r e i n v e s t i g a t e db y 血ee n e 曙ym e t h o d s o m en u m e r i c a le x a m p i e s 玳g i v e n t h e n u m e r - i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t e 吐l ee f 3 f e c t i v e n e s so ft h c o r e t i c a l 锄a l y s i s n l e s em e t h o d s 彻d s u p p o r t i n gt l l e o r e t i c a lr e s u l t sc a n a l s ob ea p p l i e dt 0o m e rf a c t i o n a l i n t e g r 0 - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dh i g h e i - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s i nc h a p t e r6 ，an o n l i n e a rf | a c t i o n a lr e a c t i o n s u b d i 丘u s i o np r o c e s si sc o n s i d e r e d w ep r o p o s ean e wc o m p u t a t i o n a l l ye 饰c i e n tn u m e r i c a lm e m o d t 0s i m u i a t et h ep r o c e s s f i r s t l y t i l en o n l i n e a rf h c t i o n a lr e a c t i o n s u b d i f _ f u s i o ne q u a t i o ni sd e c o u p l e d ，w h i c hi s e q u i v a l e n tt 0s o l v i n gan o n l i n e a rf a c t i o n a lr e a c t i o n s u b d i m l s i o ne q u a t i o n s e c o n d l y w ep r o p o s e 柚i m p l i c i tn u m e r i c a lm e m o dt oa p p r o x i m a t em i se q u a t i o n t h i r d l y n 圯 s 讪i l i 何卸dc o n v e 唱e n c eo ft h em e t h o da r ed i s c u s s e du s i n g an e we n e 唱ym e t h o d f 卜 n a l l y ，s o m en u m e r i c a le x 锄p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h ea p p i i c a t i o no f 山ep r e s e n t t e c h n i q u e t h i sm e t t l o d 觚ds u p p o r t i n g 山e o r e t i c a l r e s u l t sc 觚a l s ob ea p p i i e dt 0f a c t 主o n a li n t e g r o 碰矗c r e n n a le q u a t i o n s 1 1 1c h a p t e r7 ，af r a c t i o n a ic a b l ee q u a t i o ni sd i s c u s s e d a ni m p l i c i td i 肋r e n c e m e t h o di sp r o p o s e d t i l es t a b i l i t y 卸dc o n v e 唱e n c eo f 雠眦m o d a r ed i s c u s s e du s i n g a ne n e r g ym e t h o d m o r e o v e r w ea l s 0p r o p o s et h e 矗n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a 【i o no f t h ef r a c t i o n a lc a b i ee q u a t i o n ms t a b i l i t ya n de r r o re s t i m a t e sa 他e s t a b l i s h e d w e d e r i v et l l ec o n v e 曜e n to r d e ro ft 1 1 em e t h o d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dw h i c h d e m o n s t r a t et h ee 骶c t i v e n e s s0 ft h em e t h o d sa n dc o n 丘兀nt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：仃a c t i o n a lk i n e t i ce q u a t i o n ；a n o m a l 伽ss u b d i 腼s i o ne q u a i o n ；f i n i t e d i f 俺r e n c em e t h o d ；s t a b i l i t y ；c o n v e 唱e n c y ；t h ee n e r g ym e t h o d ：矗n i t ee l e m e n t m e t h o d v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以 明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 亥靴 占午彦月7 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了勰厦门大学有关保留、使焉学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名：云务马分日期：钆帅廖年彳月7 日 、 7 导师签名：_ 左- 细日期：妒矿年舌月7 目 第一章绪论 第一章绪论 1 1 分数阶微积分学理论的发展概述 分数阶微积分理论的发展是经过许多数学家近三百年的共同努力才逐渐 发展和完善的。最早提出将整数阶微积分推广到分数阶微积分的这一思想来自 数学家l e i b n i z 。他在1 6 9 5 年给h o s p i t a l 的信以及1 6 9 7 年给w a u i s 的信中对l 2 阶导 数与微分算子的可能性做了一些注解。在这之后e u l e “1 7 3 8 年) 【l 】、l a p l a c e ( 1 8 1 2 年) 【2 1 、l a c r o i x ( 1 8 2 0 年) 【3 1 、f o u r i e r ( 1 8 2 2 年) 【4 】、a b e l ( 1 8 2 3 1 8 2 6 年) 、l i o u v i l l e ( 1 8 3 2 1 8 7 3 年) 、硒e m 觚n ( 1 8 4 7 年) 等先后在该领域做出了杰出的贡献，并最终 形成了鼬e m 蛐l i o u v i l l e ( r l ) 分数阶微分和分数阶积分算子。根据不同的基础 和目的，当时及随后还形成了其他形式的分数阶算子的定义。例如，g m w a l d l e t n i k o v ，m a u c h a u d ，c a p u t o ，w | e y l ，e r d e l y i k o b e r 型分数阶算子，以及r i e s z 位势 算子等等【5 】【6 儿7 】【8 】。 初期由于没有得到物理、力学上背景的支持，又由于分数阶微 积分在物理上与经典的n e w t o n 整数阶体系相左，故发展极其缓慢。 上世纪初，n u n i n g ( 1 9 2 1 年) 【9 】，g e m 加l ( 1 9 3 6 年，1 9 3 8 年) 【i o 】【1 1 1 、s c o t t b l a i r ( 1 9 4 9 年) 【1 2 】将分数阶理论引入粘弹性材料的本构关系；前苏联著名科学 家r a b o t n o v ( 1 9 4 8 年，1 9 8 0 年) 【1 3 儿1 4 l 在介绍它的具有弱奇核遗传效应固体力学 时也曾暗示了发展分数阶微积分理论的必要性；c a p u t 0 ( 1 9 6 6 年) 【i 5 1 ，以 及c a p u t 0 和m a n i n 砌i ( 1 9 7 1 年) 1 1 6 】【1 7 1 将分数阶微积分理论很好地应用于地震、 冶金等领域。但是，其应用领域还相当有限。直到2 0 世纪7 0 年代末，美国耶鲁大 学m a n d e l b r o t 【i8 】提出分形学说，将黜e m 锄n l i o u v i l l e 分数阶微积分用以分析和 研究分形媒介中的布朗运动。此后，作为分形几何和分形动力学的基础，分数 第一章绪论 阶算子尤其是分数阶微积分和分数阶微分方程理论及其应用研究在国际上才 褥到迅速发展。1 9 7 4 年，o l d h a 黻和s p a n i e f 出版了第一部著名的分数阶积分的专 著【5 】。当年在美国n e wh a v e n 大学召开了分数阶计算与应用的首届国际会议，并 以! l e c t u 豫冬b 姥si nm a t h e m a t i c s 系列丛书形式发表? 第一部关于分数阶算子理论 与应用的会议文集f 1 9 】。1 9 9 8 年，f r a c t i o n a lc a l c u i u sa n d a p p l i e da n a l y s i s 首期学术 杂志正式发行，主要发表与分数阶计算的数学方法以及在应用科学( 物理，化 学，生物化学，金融，系统生物，水文，生态环境等) 方面的模拟过程方面的学 术论文。 l l 。2 分数阶动力方程 自从m o n 咖h 和w e i s s l 2 0 】引入连续时间的随机游走以来，反常扩散( 又称为 毒 r c l ( i a n 扩散) ，一直是物理学研究的一个非常活跃的领域。它们在湍流、渗透 中的核磁共振、多孔介质的渗透、有缺陷的非晶格半导体的带电粒予、固体表 面、缨胞中革元结构豹形成、生长表面等研究中得到了广泛的应焉。 近年来，分数阶微分方程，尤其是分数阶动力方程，越来越受到研究人员的 广泛关注和兴趣。一方面是由予分数阶徽积分学理论叁身的发展，勇一方面是 由于分数阶微分方程在各类学科中的应用日趋广泛【2 i 】，在许多领域，例如，系 统生物【2 2 】f 2 3 l 、物理【矧淄】、纯学【蠲、水文【蠲【2 霹、混淹【瑚、信号处理【翊、控制 系统【3 i 】和金融1 3 2 】等方面，得到了很好的应用。 下面我翻简要分绍本论文讨论的两类分数阶动力方程。 1 2 。 带有扩散，对流扩散以及翔k b 卜p l 鑫囊e k 类型的分数阶动力方程 传统的对流扩散方程，通常被描述为f i c l ( i 卸扩散，其主要特征是囱由粒子的 均方位移是运移时闯f 的线性函数，即 = 2 及， 2 第一章绪论 其中d 为扩散系数。2 0 世纪4 0 年代以后，任意势场中的布朗运动的动力学研究 开始兴起，两种等价的理论也随之诞生：一种是对单个粒子在噪声和外场驱 动的轨道建立随机微分方程，即l a n g e v i n 方程；另一种是从m 砒0 v 过程满足的 控制方程出发，建立粒子概率密度分布函数随时问演化的二阶偏微分方程， 即f o k k e r p l 觚c k 方程。 然而，越来越多的实验数据【3 3 】【3 4 】表明自由粒子均方位移在长时间后正比于 时问的分数次幂，即 ，口。 很明显，建立在f i c b a n 扩散的传统的对流扩散方程不能适合粒子的反常 扩散。相应地，应该用k v y 分布函数代替正常的分布函数来描述反常 传送过程。c h a v e s 【3 5 】于1 9 9 8 年提出了用于描述k v yn i g h t 的分数阶扩散方 程。b e n s o n 等1 2 7 】【3 6 】提出了分数阶对流扩散方程，并且通过实验数据的对 比，证实了用分数阶方程模拟“v y 运动确有较好的近似。s c h u m e r 等【3 7 】在多孔介。 质传送过程的研究中进行解的e u l e r i a i l 估计时，利用分数阶f i c k 定理得到了分数 阶对流扩散方程。 分数阶扩散方程通常用于模拟物理【3 8 】【2 4 】【3 9 】、金融【4 0 】【4 i 】【4 2 】【4 3 】和水 文【2 7 】【4 4 】【4 5 】【3 7 】阳 由于复杂系统的多样性的出现，一般的f 0 k k e r p l a n c k 方程已经不能描述 反常扩散。因此，许多研究人员将古典的f i c k 定理推广到分数阶f i c k 定理， 导出了分数阶f 0 k k e r - p l a n k 方程。分数阶f 0 k k e r p l a n c k 方程的推广有多种形 式【2 4 】【4 刀，目前有许多这方面的文章，对分数阶f o k k e 卜p l a n c k 方程进行了研究研 究。【4 8 】【4 9 1 【5 0 】【5 i 】【5 2 】【5 3 】【蚓【5 5 】f 5 6 】。 1 2 2 带有反常次扩散的分数阶动力方程 另一类常见的分数阶微分方程是反常次扩散分数阶动力方程。其一般形式 3 第一章绪论 为【2 3 】i 硎 掣= 【a 删多+ 君涮一鼍 磁掰。，) + m ，硎+ g ( 蝌) 。 这类方程在物理、化学、生物等领域中用予描述粒子反常次扩散的移 动f 2 2 j f 2 3 j f 2 6 】f 5 7 】。澳大利亚的乙a n g l a n d s 教授等f 5 8 l f 5 9 】通过离子在细胞中的反常次 扩散导出了分数阶n e m s t p l a n c k 方程。并在一定的假设下简化成分数阶c a b l e 方 程，同时给出了带有m i t t a g - l e 糯e r 函数和f o x 函数的解的形式。 1 3 分数阶动力方程的求解方法 随着分数阶徽分方程的应糟霉益广泛，如何求解分数阶微分方程成为遣切 需要解决的关键问题。 w 色s t 和s e 娆鑫d r i 【鲫，g o f e 秘爨。和m 越霖a 砖i 强l j 【6 2 】就空闻分数阶扩教方程进行了 讨论。s c i l n e i d e r 和w 3 ，s s l 6 3 】考虑了时间分数阶扩散方程和波动方程，并对任意 维数以f o x 蘸数的形式给出了攘应的g 辩e 魏函数。铂辩廷| l o 等科慵类似的方法以 及l a p l a c e 变换，以w r i 曲t 函数的形式给出了时间分数阶扩散波动方程的不变尺 度躺。珏珏a 廷g 和l i 珏f 6 5 l 利用两珏矗。f 变化和l 神l 粒e 变换，对全空闻霍半空间上的辑维 时间分数阶扩散方程，给出了g r e e n 函数的显式表达式。a 盯a w a i 对有界区域上 的时间分数阶扩散方程给出了一般解。m 蔹n 蕊i 等【润给出了空闻时闻分数阶扩 散方程的基本解，g o r e n n o 等【6 7 l 给出了空间时间分数阶扩散的离散随机游走模 型。e i d c l 臻勰和薹0 d c h u k i 娜l 对辩闻分数阶扩散方程送行了讨论。并给感c a 珏e h y 阕 题的基本解。在分数阶对流扩散方程方面。l i u 等f 6 9 l 等考虑了时间分数阶对流扩 教方程，利用m e i l l i n 变换窝l a p l 鑫c e 变换，以x 盔数的形式绘出了此方程的基本 解。 由于分数阶微分方程的解析解及基本解大多带有特殊函数( 如多变量 的m i 【魄l c f f l e r 函数) ，这些特殊函数的计算是相当困难的，况且并非所有的 分数阶微分方程都能得到其解析解。因此，建立分数阶微分方程的数值方 4 第一章绪论 法是非常必要的。2 0 0 2 年，l i u 等首先提出了分数阶的行方法求解空间分数 阶f 0 k k e r - p l a n c k 方程，成功地描述示踪剂在地下水层的运动，证实了分数阶偏微 分方程能更精确地模拟具有长尾性态的溶质运动过程【7 0 】【7 1 1 。他们将分数阶偏微 分方程转换为常微分方程系统来求解，他们的主要思想是采用自动边阶( 1 5 阶) 变步长的向后差分公式。这个方法己得到普遍认可和广泛应用解空间分数阶 的微分方程。美国的m e e r s c h a e r t 教授等应用移位的g m n w a l d l e t n i k o v 技巧，提出 了求解空间分数阶扩散方程的有限差分方法【7 2 】【7 3 】，通过对系数矩阵的谱半径 的研究对差分格式给出了差分格式的稳定性和收敛性的理论分析。他将这种 方法推广到二维的空间分数阶扩散方程1 7 4 1 。t a 由e r a n 等对空间分数阶扩散方程 提出了具有二阶精度的c r a n k n i c h o i s o n 格式【7 5 l ，并在文章中提出了外推的思 想。t a d i e r a n 和m e e r s c h a e r t 对二维空间分数阶扩散方程提出了具有二阶精度的交 替方向法【7 6 】，在文章中也采用了外推算法。美国的r 0 0 p 博士给出了对有界区域 上空问分数阶对流扩散方程的g a l e 瞄n 有限元近似【7 7 1 。约旦的m o m 卸i 博士等利 用分解方法求解分数阶微分方程【7 8 】【7 9 l ，但这个方法仅适合于一些特殊情况。 对于求解在复杂系统下的分数阶偏微分方程的有效数值方法和误差分析仍然 值得探讨。最近，澳大利亚的i l l i 教授和刘发旺教授等提出一种新的矩阵转换技 巧解一类具有对称的分数阶偏微分方程【舳】【8 1 1 。东南大学s u n 等提出了求解分数 阶扩散波动方程并采用了能量方法证明了所提格式的稳定性【8 2 】。兰州大学 的d e n g 建立了时间分数阶f 0 k k e r - p l a n c k 方程的数值方法【8 3 1 。厦门大学l i n 等提出 了谱方法解时间分数阶的扩散方程【矧。 对于反常次扩散分数阶动力方程的数值求解，由于涉及到时间分数阶，因此 难度更大，目前数值方法方面的文章还是很少的。2 0 0 5 年，西班牙的y u s t e 教授 等【8 5