（概率论与数理统计专业论文）research+on+the+strong+markov+property.pdf

摘要 在本报告中，我们首先讨论了强马氏性，以及两个错误的反例：马氏过程不 满足强马氏性然后，研究了半马氏过程 首先，我们指出了用来说明不具有强马氏性的马氏过程这两个反例是不正确 的，进一步，我们认为通过转移概率函数来定义强马氏性是不合理的，因为转移概 率函数并不唯一最后，我们证明了反例中的马氏过程都是强马氏过程 其次，设x ( t ，u ) 竺 观( u ) ；t o 】是定义在概率空间( q ，莎，p ) 而取值于可测 空间( e ，芎) 的马氏过程在本报告中，我们给出了强马氏的新定义，以及a 前和o t 后盯一代数的定义，同时讨论了它们的性质最后，如果按照我们给出的定义，我们 证明了任一马氏过程都具有强马氏性 最后，我们讨论了半马氏过程获得了半马氏过程的跳跃链的转移概率，同时 得到了半马氏过程的逗留时间分布和一维分布，尽一步，通过半马氏矩阵，我们构 造出了半马氏过程 关键词：n 前盯一代数；n 后o 代数；强马氏性；停时；马氏性；齐次性；b r o w n 运动； 半马氏过程；马氏骨架过程；逗留时间；一维分布 i i a b s t r a c t i nt h i sr e p o r t ，w ef i r s td i s c u s st h et h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo fam a r k o vp r o c e s s a n da l s oa n a l y z et h e t w oe r r o rc o u n t e r e x a m p l e st h a tm a r k o vp r o c e s s e sd on o tt h es a t i s f y t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yi nf 1 3 ，1 4 t h e n ，w ef u r t h e rs t u d yas e m i - m a r k o vp r o c e s s f i r s t l y , w ep o i n to u tt h a tt h et w oe x a m p l e s ，w h i c hu s e dt os h o wt h a tam a r k o v p r o c e s sd o e sn o tt h es a t i s f yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , a r ei n c o r r e c t ，a n dt h e na n a l y z e t h er e a s o no fm i s t a k e m o r e o v e r ，w et h i n ki ti sn o tr e a s o n a b l et od e f i n et h es t r o n g m a r k o vp r o p e r t yb yu s i n gt r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o ns i n c eat r a n s i t i o np r o b a b i l i t y f u n c t i o nm i g h tn o tb eu n i q u e i nt h ee n d ，w ep r o v et h et w om a r k o vp r o c e s s e so f e x a m p l e sa r eb o t hs t r o n gm a r k o vp r o c e s s e s s e c 。n d l y , l e tx ( t ，u ) 全 轨) ；t o ) b eam a r k o vp r o c e s sd e f t n e do nap r o b a b i l i t y s p a c e ( q ，莎，尸) a n dv a l u e di nam e a s u r a b l es p a c e ( e ，矽) i nt h i sr e p o r t ，w eg i v ea n o t h e r d e f i n i t i o no ft h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , a n dg i v et h ed e f i n i t i o n so fa - a l g e b r a sp r i o rt o qa n dp o s t aa n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s a tt h es a m et i m e h a v i n go nt h ee x p l a n a t i o n o ft h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y ，w ep r o v et h a tt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yh o l d sf o ra n a r b i t r a r ym a r k o vp r o c e s s ，t h a ti s ，w ep r o v et h a tt h em a r k o vp r o p e r t yi se q u i v a l e n tt o t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y f i n a l l y , i nt h i sr e p o r t ，w ed i s c u s st h es e m i m a r k o vp r o c e s s w eo b t a i nt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo ft h ej u m pc h a i no fas e m i m a r k o vp r o c e s s ，a n da l s oo b t a i nt h e d i s t r i b u t i o no fs o j o u r nt i m ea n dt h eo n e - - d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o no ft h es e m i m a r k o v p r o c e s s f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c tt h es e m i - m a r k o vp r o c e s sx ( t ，0 , 3 ) f r o mt h es e m i - m a r k o vm a t r i x k e y w o r d s ：盯一a l g e b r ap r i o rt oq ，盯一a l g e b r ap o s t q ，t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , s t o p p i n gt i m e ，m a r k o vp r o p e r t y , h o m o g e n e i t y ，b r o w nm o t i o n ，s e m i - m a r k o vp r o c e s s ， m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ，s o j o u r nt i m e ，o n e d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a si sw e l lk n o w n ，t h e r ee x i s t sak i n do fm a r k o vp r o c e s s e st h a tt h e yh a v en o t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , t h i si sb e c a u s es o m e o n eh a sg i v e nc o u n t e r e x a m p l e st h a t m a r k o vp r o c e s s e sd on o ts a t i s f yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y w ec a n n o th e l pb u tt h i n k t h e s ec o u n t e r e x a m p l e sa r eo fg r e a ti m p o r t a n c e ，s i n c et h e s ec o u n t e r e x a m p l e sp r o d u c e e x t e n s i v e ( n e g a t i v e ) i n f l u e n c eo nr e s e a r c ho nm a r k o vp r o c e s s e se v e ns t o c h a s t i cp r o - c e s s e s i nt h ef o l l o w i n gw ew i l lg i v et h et w oe x a m p l e s ，m a r k o vp r o c e s s e sd on o ts a t i s f y t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , i n 1 4 ，1 5 ，b u tw ew i l lp o i n to u tt h a tt h e s ec o u n t e r e x a m p l e s b o t ha r ef a l s e i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts t u d yt h ec o u n t e r e x a m p l ei nf 1 4 ，p 2 2 7 1 ，a n da n a l y z et h er e a s o n f o rm i s t a k e w ep o i n to u tt h a ti ti sn o tr e a s o n a b l et od e f i u et h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y b yu s i n gt r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o ns i n c et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o nm i g h tn o t b eu n i q u e w es e c o n ds t u d ya n o t h e rc o u n t e r e x a m p l ei n 【1 5 1 ，a n dp o i n to u tt h a ti t i s a l s on o tt r u e w ef i n a l l yp r o v et h ep r o c e s s e sc o n s t r u c t e di nt h ec o u n t e r e x a m p l e sa r e b o t hs t r o n gm a r k o vp r o c e s s e s l e tx ( t ，u ) 全 z t ( u ) ；t o ) b eas t o c h a s t i cp r o c e s sd e f i n e do nap r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，少，p ) a n dv a l u e di nam e a s u r a b l es p a c e ( e ，锣) s of o re v e r ya 矽，【u ：z t ( w ) a ) 罗，w h e r e ( e ，猡) i sa na b s t r a c ts p a c ea n dti st h et i m ep a r a m e t e r i nc h a p t e r2 w ep o i n to u tt h a ti t i sn o tr e a s o n a b l et od e f i n et h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo fm a r k o v p r o c e s sb yu s i n gt r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o n ，b e c a u s et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o n m i g h tn o tb eu n i q u e a n o t h e r ，t h i sk i n do fd e f i n i t i o nd o e sn o tr e f l e c tc h a r a c t e r i s t i c ， t h a ti s ，t h e p a s t i si n d e p e n d e n to f “f u t u r e g i v e n p r e s e n t ”，o fm a r k o vp r o p e r t y i f t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yi sd e f i n e db y ( 1 1 ) p ( x ( t + q ( u ) ，u ) a i 矿) = p ( x ( t + q ( u ) ，u ) a i 穸( z ( a ( u ) ，u ) ) ) ，昂。一n e ， l 21 i n t r o d u c t i o n w h e r e 付= 罗( z ( u ，u ) ；让q ( u ) ) ；庐( z ( q ( u ) ，u ) ) = u ：( z ( q ( u ) ，u ) ，q ( u ) ) a b 】- ：a e ，b 勿( o ，o o 】) ；ei s t h es t a t es p a c eo fx ( t ，u ) i n t u i t i v e l y , 【z 0 - i - q ( u ) ，u ) a ) i sf u t u r ee v e n t f o re v e r yb = ( z ( s ，u ) = x ，a ( u ) = s ) 莎( z ( q ( u ) ，u ) ) i sp r e s e n te v e n t ，a n di sa na t o mo f 莎( z ( q ( u ) ，u ) ) f o re v e r yc 圪竺莎( z ( 牡，u ) ；u ，i tf o l l o w s ( 1 2 ) z ：f ( x ) b ) 矽 l e tq ) b ear a n d o mv a r i a b l e d o e st h ef o l l o w i n g ( 1 3 ) e f ( x t + n ) i 。乞 】= e f ( x t + 口) l 。尹( z 口) 】，尸h 。一o e h o l d s ? h e r e 付i sa 盯一a l g e b r ap r i o rt o 口g e n e r a t e db yx ( t ，u ) w h i c hi sd e f i n e di n s e c t i o n2 1i nc h a p t e r3 ；k = 扣：q ) 0f o ra l ls 0a n di e i fz 口( u ) i ss e e na s ar a n d o mv a r i a b l ev a l u e di n ( e ，矽) ，i nt h i sc a s e ，t h e 盯一a l g e b r ag e n e r a t e db yz a ) i s d e n o t e db y 汐t h e na i = z 口= i ) i sa na t o mo f 够( a na t o mo f 够i sa ne l e m e n ti n 汐 t h a td o e sn o tc o n t a i nn o n e m p t yp r o p e rs u b s e to f 够) b y 【2 ，d e f i n i t i o n5 1 3 】w eh a v e 41 i n t r o d u c t i o n p ( x t = 歹i 够) = t ep ( x t = j l a i ) x $ 。： ) ，f r o mw h i c hw ed e s c r yp ( x t = 歹i 够) i so n l y r e l a t e dt os t a t e so feb u th a sn o t h i n gt od ow i t ht i m e 口( u ) s oi t i sam i s t a k e n o w ， i fw ev i e wx 口a sam e a s u r a b l em a p p i n gx a ) ：( q ，莎) _ ( e 【0 ，】，芎留( o ，】) ， w h c r e 留( 【o ，。】) d e n o t e sb o r e l 盯一a l g e b r ag e n e r a t e db y 0 ，。o 】l e t 罗( z 口) i st h e 盯一 a l g e b r ag e n e r a t e db yz 口w ee a s i l yk n o w z a = i ) n o = s ) i sa na t o mo f 。芗( z a ) o b v i o u s l y , a = u s 0 z 口= i ) n q = s ) s ot h ea t o mo f 够i sl a r g e rt h a n 莎( z 口) b y 【2 ，t h e o r e m5 2 5 】w ek n o wt h a tp ( x t = j l $ ( x a ) ) r e s t r i c t e dt o z n = i ) n a = s ) i s ac o n s t a n tw h i c hi sr e l a t e dt oia n ds ，t h a ti s ，p ( x t5j f i 莎( z a ) ) i sr e l a t e dt os t a t e so f ea n dt i m ea ( u ) ，w h i c hi sw h a tw en e e de x a c t l y i no r d e rt h a tz ai sw e l ld e f i n e dw h e nq ( u ) = 。o ，w ec h o s ear a n d o mv a r i a b l ep ( u ) v a l u e di n ( e ，矽) a n dd e f i n ex o o ( w ) 竺p ( u ) t h e nz 口1 ( u ) i sw e l ld e f i n e df o ra l lu q n o w ，w er e d e f i n e 莎( z a ) a sf o l l o w s ： ( 1 4 ) 莎( z a ) = a 莎( u ：( z 。( 。) ( u ) ，q ) ) axb ) ：a 笤，b 勿( 【o ，】) ) ) ， w h e r e 留( o ，o 。】) i sab o r e l 盯一a l g e b r ag e n e r a t e db y 【0 ，】o b v i o u s l y , w eh a v e ( 1 5 ) u ：( z 口) ( u ) ，q ( u ) ) a b = z 口( 。) ( u ) a n a ( w ) b ， a n d z 。( 。) ( u ) j 九) n q ( u ) = s ，i sa na t o mo f 。罗( z a ) d e f i n e db y ( 1 4 ) ，w h e r eb t 上 i sa na t o mo f 矽s i n c ea ( u ) ：q _ 元+ 竺 0 ，】i sam a p p i n gf r o mqt o 旯+ ，a n d x t ( w ) ：q _ ei sa l s oam a p p i n gf r o mqt oef o re v e r yf i x e dt 0 ，w ek n o wt h a t x o t ( u 1 ( u ) i sam a p p i n gf r o mqt oe r + n o t et h a t 汐历( o ，。】) i sa 盯一a l g e b r a ， t h e r e f o r e ，b y 2 ，p r o p e r t y2 2 2 】w eo b t a i n 。芗( z a ) i sa 盯一a l g e b r a o b v i o u s l y , 。罗( z a ) i s t h e 盯一a l g e b r ag e n e r a t e db yz a ( ) ( c u ) w h i c hv a l u e si n ( e r + ，i 叨( o ，】) ) d e f i n i t i o n1 4 罗( z a ) 竺 1 【u ：( z 。) ( u ) ，a ( “，) ) a b ) ，a 猡，b 丢秽( 【o ，0 0 1 ) i sc a l l e d 盯a l g e b r ag e n e r a t e db yz 口) p ) n o w ，w er e t u r nt o ( 1 3 ) i no r d e rt op r o v e ( 1 3 ) ，m a n ys c h o l a r sm a d eg r e a te f f o r t s ， a n do b t a i n e dm a n yf i n er e s u l t s t h ef i r s to n ew h ot h o u g h t ( 1 3 ) s h o u l db es e r i o u s l y p r o v e ni sd o o b ( 1 9 4 5 ) t om a k e ( 1 3 ) h o l d ，w h a tw o r ks h o u l dw ed o ? ( 1 ) w h a tr e s t r i c t e dc o n d i t i o n ss h o u l dq ) h a v e ? ( 2 ) h o wt od e f i n et h e 盯一a l g e b r ap r i o rt oq ) s u c ht h a ti ti n c l u d e st h es p e c i a lc a s e 口( u ) 三c o n s t a n t ? 5 ( 3 ) h o wt od e f i n e t h ef u n c t i o n ( x ) s u c ht h a t ，( 现) i sar a n d o mv a r i a b l ea n d e 【，( z t ) i 罗( z a ) 】i s 艋- m e a s u r a b l e ? t h e s eq u e s t i o n sa b o v ew e r em e n t i o n e di n 【1 ，p 1 0 6 i t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yh a se x t e n s i v e l ya p p l i e di nt h e o r ya n da p p l i c a t i o no f m a r k o vp r o c e s s s u c ha sw eu s u a l l yn e e da p p l yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yi nr c s e a r c h o nm a r k o vd e c i s i o np r o c e s s e s ( s e er e f e r e n c e s 【1 8 ，1 9 】) t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yh a s b e e nd i s c u s s e di nm a n yr e f e r e n c e s ，s u c ha s【1 ，s e c t i o n4 2 ，s e c t i o n1 4 3 】a n d 【5 ，s e c t i o n 9o fp a r tl i 】e t c b u tf o rg e n e r a lm a r k o vp r o c e s s ，w eh a v en o ty e tp r o v e nt h a ti t s a t i s f i e st h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yf o ra n yas t o p p i n gt i m ea n da n yam a r k o vp r o c e s s i nc u r r e n tr e f e r e n c e s i nt h i sr e p o r t ，f i r s t l y , w eg i v et h ed e f i n i t i o n so f 盯一a l g e b r a sp r i o rt o q ( u ) a n dp o s t q ( u ) ，a n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s ；s e c o n d l y , w ep r o v et h es t r o n gm a r k o v p r o p e r t yh o l d sf o ra na r b i t r a r ym a r k o vp r o c e s si fq ) i sas t o p p i n gt i m e f i n a l l y , w e p r o v eaf e we q u i v a l e n tt y p e so ft h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y i nt h i sr e p o r t ，w ef i n a l l yd i s c u s ss e m i - m a r k o vp r o c e s s t h ec o n c e p to fs e m i - m a r k o v p r o c e s sw a sf i r s t l yp u tf o r w a r da n dd i s c u s s e db yl 6 v ya n ds m i t hi n1 9 5 4 t h et h e o - r i e sa n da p p l i c a t i o n so fs e m i m a r k o vp r o c e s sh a v ee x t e n s i v e l yd e v e l o p e da n dg r a d u a l l y b e e np e r f e c t e di nt h i sh a l fac e n t u r y n o w a d a y s ，s e m i m a r k o vh a sa k e a d yb e c o m ea n i n d e p e n d e n tr e s e a r c hd i r e c t i o no fs t o c h a s t i cp r o c e s s d e f i n i t i o n1 5 t h em a t r i xq ( t ) = ( q 巧( ) ；t ，歹e ) i sc a l l e ds e m i m a r k o vm a t r i x i fi ts a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) q i j ( t ) 三0f o re v e r yl ，j ea n dt ( u ) ，t h e nx t ( w ) = z h ( u ) f o ra 1 1 t p ) ，t h e nx ( t ，u ) i sac o n s t a n ti nt h ei n t e r v a l 7 k ( u ) ，7 h + 1 ( u ) ) l e to n ( u ) = 7 h ( u ) 一7 h l ( w ) f o re v e r y 佗1 ，t h e nt h es e q u e n c e o fr a n d o mv o r i a b l c s ) ；n 1 ) a r ec o n d i t i o n a li n d e p e n d e n ta n dh a v et h es a m e c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n s u s i n gt h es e m i m o r k o vm a t r i x ，w ew i l ls o l v et h ef o l l o w i n gp r o b l e m si nt h i sr e p o r t ： 1 w ew i l lo b t a i nt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo fj u m pc h a i na n dt h es o j o u r nt i m ea ts t a t e i ( i e ) o fs e m i - m a r k o vp r o c e s s ；2 w ew i l ld e d u c et h eo n e - d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o n o fs e m im o r k o vp r o c e s s ，a n dc o n s t r u c tt h es e m i m a r k o vp r o c e s sb yo n e - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o nm a t r i xa n di n i t i a ld i s t r i b u t i o n ；3 f i n a l l y , w ew i l lp r o v et h a tt h ed e f i n i t i o n 1 2a n dt h ed e f i n i t i o n3 4 ，d e c i d e db ys e m i - m a r k o vm a t r i xa n di n i t i a ld i s t r i b u t i o n ，o r e e q u i v a l e n t c h a p t e r2 a n n o t a t i o n so fe x a m p l e s ：m a r k o vp r o c e s sf a i l st h es t r o n g 1 i n t r o d u c t i o n p e o p l ea l w a y sb e l i e v et h a tt h e r ee x i s t s t h i sk i n do fm a r k o vp r o c e s s e ss u c ht h a t t h e yh a v en ot h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , b e c a u s es o m e o n eh a sg i v e nc o u n t e r e x a m p l e s t h a tm a r k o vp r o c e s s e sd on o ts a t i s f yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y w ec a n n o th e l p b u tt h i n kt h e s ec o u n t e r e x a m p l e sa r eo fg r e a ti m p o r t a n c e ，s i n c et h e s ec o u n t e r e x a m p l e s p r o d u c ee x t e n s i v e ( n e g a t i v e ) i n f l u e n c eo nr e s e a r c ho nm a r k o vp r o c e s s e se v e ns t o c h a s t i c p r o c e s s e s t h ef o l l o w i n gw ew i l lg i v et h et w oe x a m p l e s ，m a r k o vp r o c e s s e sd on o t s a t i s f yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y ，i ns o m er e f e r e n c e s ，b u tw ew i l lp o i n to u tt h a tt h e s e c o u n t e r e x a m p l e sa r ef a l s e i n t h i sp a p e r ，w ef i r s tg i v et h ec o u n t e r e x a m p l ei n 【8 ，p 2 2 7 ，a n da n a l y z et h et e a - s o nf o rm i s t a k e w ep o i n to u tt h a ti t i sn o tr e a s o n a b l et od e f i n et h es t r o n gm a r k o v p r o p e r t yb yu s i n gt r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o ns i n c et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o n m i g h tn o tb eu n i q u e ，a n dw h e t h e rt h es t r o n gp r o p e r t yh o l d sd e p e n d so nt h et r a n s i t i o n p r o b a b i l i t yf u n c t i o n ss e l e c t e db yu s w es e c o n dg i v ea n o t h e rc o u n t e r e x a m p l ei n 9 1 ， a n dp o i n to u tt h a ti t i sa l s on o tt r u e 2 e x a m p l e sa n dt h e i rp r o o f si ns o m er e f e r e n c e s e x a m p l e2 1 l e t b t ) ；t o i sab r o w nm o t i o n p u t 酬： 引讧酬舢，：s d 岫b o 0 舯 l 0o t h e r w i s e 。 7 8 a n n o t a t i o n so fe x a m p l e s ：m a r k o vp r o c e s sf a l l st h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y 脚：f b 蔚1 一哮圳o ，b 绍锄( 嘲刚 i 拖( o ) i f = 0 ， t h e n a t ( u ) ；t2o ) i sam a r k o vp r o c e s sw i t ht r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o np ( t ；z ，b ) ， b u ti th a sd ot h cs t r o n gm a x k o vp r o p e r t y h e r e 敢b o # o ( w ) i sai n d i c a t o rf u n c t i o nr e l a t i v et os e t ( b 0 o ) p r o o f l e t 玩= 莎( b u ；札) o b v i o u s l y , a ti s 巩一m e a s u r a b l e f o ra n yb 历 a n dt ，s 0 ，w eh a v e ( 2 1 ) e ( x b ( a t + s ) i 玩) = e ( 怕( 鼠+ s ) 西岛o ) ( u ) i 玩) + e ( x b ( o ) 截b o ：o ) ( u ) i 玩) = 截b o 。，( “，) 五了菰1 e 一蚀蝉曲+ 截岛：。) ( u ) 稚( 。) = 饥o ) ( u ) 丘志e 一唑掣d y + 讯_ o ) ( u 蹦 + 讯- o ，b 0 o 删删厶去e 一唑学旷拖( o ) 1 = p ( t ；a 。p ) ，b ) ，p - a e ， w h e r et h el a s te q u a l i t yf o l l o w sf r o mt h a tt h el a s tt e r mo f ( 2 1 ) i se q u a lt o0a l m o s t e v e r y w h e r e s oa ti sam a r k o vp r o c e s sw i t ht r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf u n c t i o np ( ；z ，b ) ， b u ta td o e sn o ts a t i s f yt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y f o ri fd o e s ，s u p p o s et h a t7 - ) i s f i r s th i t t i n gt i m eo f0o fa ( u ) ，t h a ti s ，l e t 下( u ) = i n f t o ；a ( u ) = o ) t h c n ， ( 2 2 ) 忍( a 1 0 ，7 - 冬1 ) = e = p ( a t 0 ，7 - 1 i 异) 1 岛f p ( 1 7 - ；a 下，【o ) 。) 】 = b 垆( 1 一- r ；0 ， o ) 。) 1 0 ， w h e r e o ) 。全r 一 o ) o nt h eo t h e rh a n d ，s i n c ep x ( a 1 = o ) = 0 w h e nz 0 ，w eh a v e ( 2 3 ) r ( a 1 0 ，7 - 1 ) = r ( 丁1 ) = 只e ( ：t h e r ee x i s t st ls u c ht h a tb t ( u ) = 0 ) 0 w h i c hc o n t r a d i c t s ( 2 2 ) 口 w en o wg i v ea n o t h e rc o u n t e r e x a m p l ew h i c hc a u s ee