（运筹学与控制论专业论文）图的因子和分数因子.pdf

原创性声明 删嬲 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：扭日 期：翌丝! ! ：型 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：丝导师签名： 目录 中文摘要i 英文摘要v i 符号说明x i i 第一章绪论1 1 1 基本定义和符号1 1 2 关于图的因子的历史及其进展2 1 3 关于分数因子的历史及其进展6 第二章联接数和图的因子9 2 1 介绍9 2 2 联结数和图的( g ，厂) 一因子1 0 2 2 1 联结数和( g ，) 一因子1 2 2 2 2 联结数和圹自由图中的，因子1 4 2 3 联结数和图的【a ，6 】一因子1 7 2 4 联结数和图的分数肛因子2 4 第三章韧度和图的因子2 9 3 1 介绍2 9 3 2 韧度和图中具有指定性质的( g ，) 一因子3 1 3 2 1 主要结果和有用的引理3 2 3 2 2 主要定理的证明3 8 3 3 韧度和图的具有指定性质的 0 ，6 】一因子4 1 3 3 1 主要结果和有用引理4 2 3 3 2 主要定理的证明5 0 3 4 孤立韧度和( n ，b ，七) 一临界图5 7 第四章独立集可去的分数k 一因子临界图6 2 4 1 介绍6 2 4 2 主要结果6 5 4 3 说明6 9 参考文献7 2 作者简介8 0 山东大学博士学位论文 图的因子和分数因子 常仁英 ( 山东大学数学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：刘桂真教授) 中文摘要 图是建立各种数学模型的强有力的工具对图论的研究已经有二 百多年的历史最早关于图论的文章是在1 7 3 6 年由欧拉完成的，该文 章研究了著名的哥尼斯堡七桥问题自2 0 世纪6 0 年代以来，图论得 到迅猛发展，关于图论的结果大量涌现图论在各个学科分支，工程 技术领域及社会科学有着广泛的应用应用图论来解决运筹学，物理 学，化学，生物学，网络理论，信息论，控制论，博弈论和计算机科学 等学科问题已显示出极大的优越性图论已经成为发展最快的数学分 支之一它作为组合数学中的一个分支，受到了各方面的普遍重视 因子理论作为图论的一个重要分支，在图论研究中得到了极大关 注在日常生活中，许多优化问题和网络问题诸如编码设计，积木设 计，计算机网络的文件传输，进度表等关于运筹和网络设计问题都涉 及到图的因子，因子分解和正交因子”其中，文件传输问题可以模 拟为因子和( 0 ，) 一因子分解( 或产染色) ，拉丁方块和空间方块的设计 则涉及到图的因子和正交因子问题本文我们主要研究图的因子和分 数因子以及它们所关联的一些性质特征 本文所考虑的图都是有限简单图设g 是一个图，v ( a ) 是顶点 集，e ( g ) 是边集对u y ( g ) ，v 在g 中的度用如( u ) 表示我们用 g ( u ) 表示在g 中与u 相邻的顶点集合，n c m 表示g ( u ) u u ) 如果 s 是v ( c ) 的一个子集，方便起见，我们用d c ( s ) 代替如( u ) 如果 s u v ( g ) 一s ，我们用e g ( 札，s ) 表示连接牡和s 中点的边的数目g s 表 示由v ( c ) s 导出的子图，g 翻表示由s 导出的子图若丁v ( c ) 一s ， 我们用e g ( z s ) 代替e c ( u ，s ) 图g 的边割是e ( g ) 的子集 s ，v ( c ) k s ， t 工t 其中s 是v ( g ) 的非空子集缸边割是有k 个元素的边割g 的边连通 山东大学博士学位论文 度a ( g ) 是使得g 有舡边割的最小的k g 称为肛边连通的若入( g ) k 图g 的点割是v ( c ) 的子集s ，使得g s 是不连通的k 点割是有k 个元素的点割g 的连通度k ( g ) 是使得g 有肛点割的最小的k 图g 称为是肛连通的若k ( g ) k 令g 和，是两个整值函数且对所有z y ( g ) ，0 g ( x ) 厂( z ) 图g 的( g ，) 一因子f 是g 的支撑子图且对所有x y ( g ) ，满足g ( x ) d f ( z ) 厂( z ) 若对任意z y ( g ) ，g ( x ) = ，( z ) ，则( g ，) 一因子称为，因子对非负 整数k 和所有x y ( g ) ，若f ( x ) = k ，则户因子称为舡因子特别的， 若对任意z y ( g ) ，g ( x ) = f ( x ) = 1 ，( g ，) 一因子称为1 一因子，即完美对 集图g 的完美对集可参见【l7 】 对图的因子的研究始于一百多年以前1 8 5 9 年，r e i s s 证明了n 可被分解成1 一因子1 8 9 1 年，j p e t e r s o n 证明了任意偶数度图可以分 解成边不交2 - 因子的并他还指出2 一连通孓正则图有1 一因子这两个 结果可被认为是现代因子理论的先驱为了将对集理论从二分图推广 到一般图( 即非二分图) ，1 9 4 7 年t u t t e 8 5 给出图有1 因子的判定准则 这个完美的理论或许是因子理论中最基础的结果1 9 5 2 年t u t t e 8 6 1 又 给出了图有，因子的判定准则l o v 五s z 6 8 】得到了图有( g ，) 一因子的 充分必要条件从此，关于因子的大量结果不断涌现出来 分数( g ，) 一示性函数h 是一个函数分配给图g 的每一条边一个 【0 ，1 】之间的数使得对每一个点x v ( c ) 有夕( z ) d c 。( z ) 厂( z ) ，其中 d g ( z ) = 。b ( e ) 是点x v ( e ) 的分数度，且e = e ：e = x y e ( g ) ) 令h 是图g 的分数( g ，) 一示性函数令e h = e ：e e ( g ) 且h ( e ) o 若g l 是g 的支撑子图使得e ( g _ 1 1 ) = e h ，则g 称为g 的( g ，) 因子 当对任意z y ( c ) ，9 ( z ) = 0 且，( z ) = 1 ，则这个分数示性函数是分数 对集的示性函数若g ( x ) = f ( x ) = k ，则分数( g ，厂) 一因子称为分数肛因 子当对任意z y ( g ) ，g ( x ) = ，( z ) = 1 ，则分数示性函数是分数完美对 集的示性函数，即分数1 一因子 分数图论是相对年轻的分支关于这方面 b e r g e 1 4 1 在1 9 7 8 年写的分数图论1 9 9 7 年e r 写了一本新的分数图论教材，其中包括分数 着色和分数同构等几乎所有分数图论所涉及 整数值常量几乎都可以给出它的类似的分数 山东大学博士学位论文 本文分为四章，主要讨论了三个方面的问题( 1 ) 联结数和图的 因子的关系；( 2 ) 韧度和图的因子的关系；( 3 ) 独立集可去的因子临界 图 第一章我们给出了简短的但较完整关于图的因子和分数因子的综 述 图g 的联结数定义是由w o o d a l l 给出的， b i n d ( g ) ：m 1 n 。i n o ( x ) i ：0 xcy ( g ) ，n o ( x ) y ( g ) ) 许多作者研究了图的联结数和因子存在性的关系第二章我们分 三部分来研究联结数和图的因子的关系第一部分讨了论联结数和图 的( g ，) 一因子，分数产因子以及局旷图中的，一因子之间的关系第 二部分讨论当a b 时联结数和【a ，6 】一因子的关系最后一部分给出了 联结数和分数k 一因子存在性的关系 定理2 2 5 设g 是一个图，g 和，定义在v ( g ) 上的正整值函数满 足对所有z y ( g ) ，o g ( x ) f ( x ) b 如果b i n d ( g ) ( a + 1 b ) 2 雨+ 2 ( r b - a ) - 3 ，其中 a ，b 是两个正整数，则g 有( g ，厂) 一因子 和定理2 2 5 类似，我们得到联结数和分数厂一因子之间的关系 定理2 2 6 设g 是一个图，定义在v ( a ) 上的正整值函数且满 足对所有z y ( g ) ，o f ( x ) b 如果b i n d ( g ) ( a + b ) 2 + 4 2 。( b - a ) + l ，其中口，b 是两个正整数，则g 有分数，- 因子 接着我们讨论了虬旷自由图中的户因子 定理2 2 7 设g 是一个硒旷自由图，定义在v ( a ) 上的正整值 函数使得对所有z y ( g ) ，2 n 一1 a f ( x ) b 如果z y ( g ) f ( x ) 三 o ( m o d2 ) ，b i n d ( g ) 一( a + b - 4 1 f n _ ) 2 + n 4 1 ( b + n ) ，其中o ，b 是两个正整数，则g 有，因 子 对图的 a ，纠一因子，其中2 a b ，我们有如下结论 定理2 3 1 令a ，6 是非负整数且2 a 2 ，则g 存在一个包含e 。和e 2 的( g ，) 一因子 定理3 2 2 设g 是一个图，g 和厂是定义在v ( g ) 上的正整值 函数使得对所有z y ( g ) ，a g ( x ) a 2 ，则g 存在一个( g ，) 一因子包含e 。且不包含e 2 定理3 2 3 设g 是一个图，g 和，是定义在v ( a ) 上的正整值函 数使得对所有z y ( g ) ，a g ( x ) a 2 ，则g 存在一个( g ，) 一因子不包含e ，和e 2 对 n ，6 】因子( 其中a a 1 ，则g 存在一个陋，6 】一因子 定理3 3 6 设g 是一个图，e 1 = ? 1 u 2 ，e 2 = v l u 2 是图g 的两条不相 同的边如果t ( c ) n 一1 + 字，其中o ，b 是正整数且满足b o 2 ，则 g 存在一个 a ，6 】一因子包含e 。和e 2 定理3 3 7 设g 是一个图，e 1 = u l u 2 ，e 2 = 仇7 2 2 是图g 的两条不相 同的边如果t ( c ) 口一1 + 宰，其中n ，b 是正整数且满足b o 2 ，则 g 存在一个 a ，6 】一因子包含e ，且不包含e 2 定理3 3 8 设g 是一个图，e 1 = 7 f l u 2 ，e 2 = v l ? j 2 是图g 的两条不相 同的边如果t ( c ) n 一1 + 字，其中n ，b 是正整数且满足b 口 2 ，则 g 存在一个 n ，6 】一因子不包含e ，和e z 我们还考虑了( n ，b ，后) 一临界图的孤立韧度条件，并且证明孤立韧度 的界在某种意义下是最好的 定理3 4 1 设a ，b ，k 是正整数，1 a b ，k 0 ，并且b a ( k + 1 ) 设g 是一个图，满足l y ( g ) l a + k + 1 如果6 ( g ) a + k ，6 ( g ) i ( c ) 口一1 + 芈半，则g 是( n ，b ，件临界图 第四章研究了独立集可去的因子临界图我们给出独立集可去的 分数k 一因子临界图的最小度条件，并且说明结果在某种意义下是最 好的 定理4 2 3 设k 是一个正整数，g 是一个阶数为n 的图且礼6 k 一8 如果6 ( g ) 警，则g 是独立集可去的分数k 一因子临界图 定理4 2 5g 是独立集可去的分数k 一因子临界图，则g 是独立集 可去的分数m 一因子临界图，其中lsm k 另外，我们在最后给出关于图论在化学图上的应用 关键词：联结数，孤立韧度，韧度，甄，n 一自由图，( g ，) 一因子， 【a ，6 】一因子，肛因子，因子临界图 山东大学博士学位论文 f a c t o r sa n df r a c t i o n a lf a c t o r so fg r a p h s c h a n gr e n y i n g ( s c h o o lo fm a t h ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t g r a p h sa r ev e r yp o w e r f u lt o o l sf o rc r e a t i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l so faw i d e v a r i e t yo fs i t u a t i o n s t h es t u d yo fg r a p ht h e o r ys t a r t e do v e rt w oh u n d r e d sy e a r s a g o t h ee a r l i e s tk n o w np a p e ri sd u et oe u l e r ( 17 3 6 ) a b o u tt h es e v e nb r i d g e s o fk s n i g s b e r g s i n c e1 9 6 0 s ，g r a p ht h e o r yh a sd e v e l o p e dv e r yf a s ta n dn u m e r o u s r e s u l t so ng r a p ht h e o r ys p r u n gf o r t h s i n c e1 9 6 0 s ，g r a p ht h e o r yh a sd e v e l o p e d v e r y f a s ta n dn u m e r o u sr e s u l t so ng r a p ht h e o r ys p r u n gf o r t h g r a p ht h e o r yi sw i d e l y a p p l i e di nb r a n c h e so fv a r i o u sd i s c i p l i n e s ，e n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g yf i e l da n d s o c i a ls c i e n c e s i ti so fg r e a ta d v a n t a g et oa p p l y g r a p ht h e o r yi nr e s o l v i n g p r o b l e m s i no p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , n e t w o r kt h e o r y , i n f o r m a t i o n s c i e n c e ，c y b e r n e t i c s ，g a m et h e o r y , c o m p u t e rs c i e n c ea n do t h e rd i s c i p l i n e s g r a p h t h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h es u b f i e l d si nm a t h e m a t i c st h a td e v e l o pf a s t e s t a sa s u b f i e l di nc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ，g r a p ht h e o r yh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n f r o ma l lp e r s p e c t i v e s t h ef a c t o rt h e o r yo fg r a p h si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nt h e g r a p ht h e o r y i ti sa s u b j e c tt h a tr e c e i v e sm o s tr e s e a r c hi nt h eg r a p ht h e o r ys t u d y i no u rd a i l yl i f em a n y p r o b l e m so no p t i m i z a t i o na n dn e t w o r kd e s i g n ，e g ，c o d i n gd e s i g n ，b u i l d i n gb l o c k s ， t h ef i l et r a n s f e rp r o b l e m so nc o m p u t e rn e t w o r k s ，s c h e d u l i n gp r o b l e m sa n ds oo n ， a r er e l a t e dt ot h ef a c t o r s ，f a c t o r i z a t i o n sa n do r t h o g o n a lf a c t o r i z a t i o n so fg r a p h s 【l 】- t h ef i l et r a n s f e rp r o b l e mc a nb em o d e l l e da sf a c t o r sa n d ( 0 ，厂) 一f a c t o r i z a t i o n s ( o rf - c o l o r i n g s ) o fag r a p h t h ed e s i g no fl a t i ns q u a r e sa n dr o o ms q u a r e sa r e r e l a t e dt of a c t o r sa n do r t h o g o n a lf a c t o r i z a t i o n si ng r a p h s i nt h i st h e s i sw ep a y o u ra t t e n t i o nt of a c t o r s ，f r a c t i o n a lf a c t o r sa n dt h e i rr e l a t e dp r o p e r t i e s 山东大学博士学位论文 a l lg r a p h sc o n s i d e r e da r ef i n i t es i m p l eg r a p h s l e tgb eag r a p hw i t hv e r t e x s e tv ( a ) a n de d g es e te ( g ) f o ras u b s e tso fy ( g ) ，g sd e n o t e st h ei n d u c e d s u b g r a p ho fv ( a ) sa n dg s 】d e n o t e st h ei n d u c e ds u b g r a p ho fs a ne d g ec u to f gi sas u b s e to fe ( g ) o ft h ef o r m s ，v ( a ) 翻，w h e r esi san o n e m p t ys u b s e to f y ( g ) ak - e d g ec u ti sa ne d g ec u to fke l e m e n t s t h ee d g ec o n n e c t i v i t y 入( g ) o fg i st h em i n i m u mkf o rw h i c hgh a sak - e d g ec u t gi ss a i dt ob ek - e d g e - c o n n e c t e di f 入( g ) k av e r t e xc u to fg i sas u b s e tso fv ( c ) s u c ht h a tg si sd i s c o n n e c t e d ak - v e r t e xc u ti sav e r t e xc u to fke l e m e n t s t h ec o n n e c t i v i t yk ( g ) o fgi st h e m i n i m u mkf o rw h i c hgh a sak v e r t e xc u t gi ss a i dt ob ek c o n n e c t e di fk ( g ) k l e tga n dfb et w oi n t e g e r v a l u e df u n c t i o n ss u c ht h a t0 g ( x ) f ( x ) f o r a l lz y ( g ) a ( g ，) 一f a c t o rfo fgi sas p a n n i n gs u b g r a p ho fgs u c ht h a t g ( x ) d f ( x ) f ( x ) f o ra l lz y ( g ) i fg ( x ) = f ( x ) f o ra l lz y ( g ) ，t h e na ( g ，) 一f a c t o ri sc a l l e da nf - f a c t o r i ff ( z ) = k f o rs o m en o n n e g a t i v ei n t e g e rk a n da l l z y ( g ) ，t h e na nf f a c t o ri sc a l l e dak - f a c t o r e s p e c i a l l y , w h e ng ( x ) = f ( x ) = 1 f o re v e r yz y ( g ) ，a ( g ，) 一f a c t o ri sc a l l e da1 - f a c t o r ，i e ，ap e r f e c tm a t c h i n g t h e d e f i n i t i o no fap e r f e c tm a t c h i n go fgc a na l s ob es e e ni n 1 7 t h es t u d yo nt h ef a c t o r so fg r a p h ss t a r t e do v e ro n eh u n d r e dy e a r sa g o i n 1 8 5 9 ，r e i s sp r o v e dt h a tt h eg r a p h 鲍t lc a nb ed e c o m p o s e di n t o1 - f a c t o r s i n1 8 9 1 ，j p e t e r s o np r o v e dt h a te v e r yg r a p ho fe v e nd e g r e ec a nb ed e c o m p o s e di n t ot h eu n i o n o fe d g e - d i s j o i n t2 一f a c t o r s h ea l s os h o w e dt h a te v e r y2 - c o n n e c t e d3 - r e g u l a rg r a p h h a sa1 - f a c t o r t h e s et w or e s u l t sc a nb ev i e w e da saf o r e r u n n e ro fm o d e r ng r a p h f a c t o rt h e o r y t oe x t e n dm a t c h i n gt h e o r yf r o mb i p a r t i t ef a p h st og e n e r a lg r a p h s ( i e n o n - b i p a r t i t eg r a p h s ) ，i n1 9 4 7t u t t e 8 5 】g a v eac r i t e r i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f 1 - f a c t o r so fag r a p h t h i se l e g a n tt h e o r e mi sp e r h a p st h em o s tf u n d a m e n t a lr e s u l t i nf a c t o rt h e o r y i n1 9 5 2t u t t e 8 6 】a g a i ng a v eac r i t e r i o nf o rag r a p ht oh a v ea f - f a c t o r l o v 缸z 6 8 】o b t a i n e dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rag r a p ht o h a v ea ( g ，) 一f a c t o r s i n c et h e nn u m e r o u sr e s u l t so nf a c t o rt h e o r ys p r u n gf o r t h a f r a c t i o n a l ( g ，) 一i n d i c a t o rf u n c t i o ni sa f u n c t i o nht h a ta s s i g n st oe a c he d g e o fg r a p hgan u m b e ri n 0 ，1 】s u c ht h a tf o re a c hv e r t e xz v ( c ) w eh a v eg ( x ) d g ( z ) ，( z ) ，w h e r ed c h ( z ) = 。bj z ( e ) i st h ef r a c t i o n a ld e g r e eo fz v ( c ) w i t h 忍= e ：e = x y e ( g ) ) l e th b ea f r a c t i o n a l ( g ，) 一i n d i c a t o rf u n c t i o n o fag r a p hg s e te h = ：e e ( a ) a n dh ( e ) o i fg hi sas p a n n i n g 山东大学博士学位论文 s u b g r a p ho fgs u c ht h a te ( g h ) = e h ，t h e ng hi sc a l l e daf r a c t i o n a l ( g ，) f a c t o ro f g w h e n 夕( z ) = 0a n df ( x ) = 1f o ra l lz y ( g ) ，af r a c t i o n a li n d i c a t o rf u n c t i o n i sa ni n d i c a t o rf u n c t i o no faf r a c t i o n a lm a t c h i n g i fg ( x ) = f ( x ) = k ，t h e na f r a c t i o n a l ( g ，) 一f a c t o ri sc a l l e daf r a c t i o n a lk - f a c t o r w h e ng ( x ) = f ( x ) = 1f o r e v e r yz y ( g ) ，af r a c t i o n a l ( g ，) 一i n d i c a t o rf u n c t i o ni sa ni n d i c a t o rf u n c t i o no fa f r a c t i o n a lp e r f e c tm a t c h i n g ，t h a ti s ，af r a c t i o n a l1 - f a c t o r t h ef r a c t i o n a lg r a p ht h e o r yi sa r e l a t i v e l yy o u n g e rb r a n c h t h ef i r s tm o n o - g r a p ho nt h i st o p i cw a sw r i t t e nb yc l a u d eb e r g ei nh i sf r a c t i o n a lg r a p ht h e o r y i n1 9 7 8 【1 4 i n1 9 9 7e r s c h e i n e r m a na n dd h u l l m a nw r o t ean e wb o o kc o n - c e r n i n gf r a c t i o n a lg r a p ht h e o r yw h i c hc o v e r e dn e a r l ya l lt h em a i nt o p i c ss u c ha s f r a c t i o n a lm a t c h i n g ，f r a c t i o n a le d g ec o l o r i n g ，f r a c t i o n a lc o l o r i n g ：f r a c t i o n a la r b o r i c - i t ya n df r a c t i o n a li s o m o r p h i s m n e a r l ye v e r yi n t e g e r - v a l u e di n v a r i a n te n c o u n t e r e d i naf i r s tc o u r s ei ng r a p ht h e o r yg i v e st oaf r a c t i o n a la n a l o g u e t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s w em a i n l yd i s c u s st h r e ep r o b l e m s ( 1 ) b i n d i n gn u m b e ra n df a c t o r si ng r a p h s ；( 2 ) t o u g h n e s sa n df a c t o r si ng r a p h s ；( 3 ) i d f a c t o r - c r i t i c a lg r a p h s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eas h o r tb u tc o m p l e t es u r v e yo nf a c t o r sa n df r a c t i o n a l f a c t o r s t h e b i n d i n gn u m b e ro fg i sd e f i n e db yw o o d a l l ( 91 】a s ( g ) 州n 肾：o # x g 懒g ( 蹦郴) ) m a n ys c h o l a r si n v e s t i g a t e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nb i n d i n gn u m b e ra n dt h e e x i s t e n c eo ff a c t o r si ng r a p h s i nc h a p t e r2 ，w ep a yo u ra t t e n t i o nt ob i n d i n g n u m b e rr e l a t e dt of a c t o r si ng r a p h s w ef i r s td i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n b i n d i n gn u m b e ra n d ( g ，) 一f a c t o r s ，f r a c t i o n a lf - f a c t o r sa n df f a c t o r si nk a , n - f r e e g r a p h s ，a n dn e x tw ec o n s i d e rt h ea ，6 】一f a c t o r si ng r a p h sw h e na bi nt e r m s o fb i n d i n gn u m b e r ，f i n a l l y , w es t u d yb i n d i n gn u m b e ra n df r a c t i o n a lk - f a c t o r si n g r a p h s t h e o r e m2 2 5l e tgb eag r a p ha n dg ，fb ei n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n sd e f i n e d o ny ( g ) s u c ht h a to 夕( z ) ，( z ) b f f b i n d ( a ) ( a + b 1 ) 2 石+ 2 石( b r - a 一) - 3 ，w h e r eo ，b a r et w op o s