（计算数学专业论文）若干金融保险行为的随机分析.pdf

若干金融保险行为的随机分析 摘要 本文简明扼要地阐述了金融保险模型中常用的随机分析方法，通过对若干金 融、保险行为的随机分析，进一步推广了欧式期权定价问题并较为深入浅出地给 出了等价鞅测度( 风险中性概率) 方法；通过对风险模型中破产概率的深入讨论， 给出了有关l u n d b e r g 指数界的一个简洁、优雅证明及鞅方法证明；最后讨论了 h u l l - w h i t e 随机利率模型下有关抵押贷款保证险的鞅定价方法。 关键词：布朗运动，伊藤公式，概率测度的变换，b l a e k - - s c h o l e s 公式，等价鞅 测度，风险过程，破产概率 s t o c h a s t i s a n a l y s i s o fs o m ea c t sa b o u t f i n a n c ea n di n s u r a n c e t h i sp a p e re l a b o r a t e sc o n c i s e l yt h em e t h o d so fs t o c h a c t i ca n a l y s i si nf i n a n c e a n di n s u r a n c e b yt h es t o c h a s t i ca n a l y s i sf o rs o m ea c t sa b o u tf i n a n c ea n di n s u r a n c e ， t h ep a p e re x t e n d st h eq u e s t i o no fo p t i o np r i c i n ga n d e x p l a i n sp r o f o u n d l yt h em e t h o d o fr i s kn e u t r a lp r o b a b i l i t y ( e q u i v a l e n tp r o b a b i l i t ym e a s u r e ) m o r e o v e r ，ap i t h ya n d e l e g a n tt e s t i m o n yt o g e t h e rw i t l lt h et e s t i m o n yb yt h ew a yo f m a r t i n g a l ei sp r o v i d e db y d i s c u s s i n gr u i np r o b a b i l i t yi nr i s km o d e l si nt h ep a p e r , w h i c hd i s c u s s e st h em e t h o do f m a r t i n g a l ep r i c i n ga b o u tm o r t g a g ei n s u r a n c ei nh u l l w h i t em o d e la tl a s t k e yw o r d s ：b r o w n i a nm o t i o n , i t of o r m u l a ，a l t e r n a t i o no f p r o b a b i l i t ym e a s u r e ，b l a c k - - s c h o l e sf o r m u l a , e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，r i s kp r o c e s s ，r u i n p r o b a b i l i t y 前言 金融市场瞬息万变，证券交易等的速度越来越快，以任何时间间隔来离散化 的数学模型都不足以反映这种变化，以至连续模型往往比离散模型更为贴近实 际：随机分析等理论已成为刻划连续模型不可或缺的强有力工具。本文对离散、 连续的金融模型的基本数学框架作了简明扼要的阐述，对随机分析中的随动游 动、布朗运动、鞅、随机积分及随机微分方程等概念作了较为详细、贴切的描述； 基于测度变换的讨论，对等价鞅测度作了既“数学”又“金融”的描述，特别是 给出了l u n d b e r g 指数上介的一个新的鞅法证明及h u l l w h i t e 利率模型下有关贷 款保证险的鞅定价模型l 然而，在当前金融领域的研究中，越来越多地涉及到带跳跃的过程；于是时 空p o i s s o n 过程驱动的随机微分方程就成为一类轨道可以有间断的m a r k o v 过程 建模的有力工具；特别是，可以用它来改进风险证券的b l a c k s e h o l e s 模型，使 之可以包容市场的突然变化；而该部分的内容在本文中并未涉及，从而成为本文 的一大遗憾! 这里，不妨翻开历史的一张时间表：1 9 4 4 年，伊藤提出随机积分理论；1 9 6 2 年，格萨诺夫发表概率测度变换的g i r s a n o v 定理；1 9 6 5 年，法玛发表股市价 格的随机游走；1 9 7 3 年，布莱克、斯科尔斯发表期权定价公式，同年默顿发表 期权定价理性描述；1 9 7 9 年，哈里森、克雷普斯提出等价鞅测度等概念；1 9 9 0 年，默顿出版连续时间金融学；2 0 0 1 年，科克伦出版资产定价，全面总 结随机折现因子理论；我们更能深切地体会和触及随机分析工具，对金融理 论及实践强有力的支持和推动! 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金目墨王些盍堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字焉奄之孳签字日期：沁6 年6 月f 7 自 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆三些盔堂一有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 世王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 劫毒手 签字日期：姗6 年g 月f7 日 工作单位：蜜诺食犬乃 通讯地址2 铡唧蛔路苫专复撇舀 1 乙侮髻7 毛勺群蜘牛室 导师签名： 九处 辩日铲7 日 皂登：。| l ! 龌。z l 1 3 黾g f s 功、) 邮编： 2 3 ) j 致谢 在毕业论文完成之际，谨向我的导师邬弘毅教授表示最最诚挚的谢意，正是 邬老师的循循善诱和谆谆教导才让我有了今天的进步。而他严谨的学风、求实的 作风将是我终身学习的榜样；同时，我也要向几年来给予我悉心指导和热心帮助 的朱功勤教授、苏化明教授、杜雪樵教授、檀结庆教授、周永务教授等表示深切 的谢意，从诸位先生那里所学的知识将使我终身受益。 作者：郭志军 2 0 0 5 年6 月 1 1 概率论的若千结论 第一章随机分析基础 111 概率空间和随机变量 在概率论中，将随机试验的晟基本结果称为基本事件，用只含个元素的 单点集表示；称由随机试验的全部基本事件对应的元素组成的集合为样本空 间( 基本事件空间) ，记为q ；即o = 如一e t ，t 为某指标集。 在概率研究中，如果。的某一子集族k 满足： in e r ： i i 如果爿r 。岫。e r i i i 如果，”2 l 亡e 即：v ”e ， e 则u e r n = i 则称集族x 为( 事件) o 域( 或o 代数) ，称* 中的元素为随机事件( k 可 测集) 。易知，0 域k 关于事件的有限( 可列) 并、有限( 可列) 交、差、余等 运算均封闭。 对于给定的o ，其l 可建立的最小。域- = 知，o ) ，最大。域k 2 = 2 “，称由 样本空间q 及建立在其上的。域k 组成的二元体( q ，k ) 为一个可测空间。 在概率的公理化定义( k o l m o g o r o v ) 中，概率的存在性是公设。概率作为 定义在可测空间( o ，k ) 上的一个集函，只规定了概率应该满足的性质，而不是 具体给出它的计算公式和方法： 设( o ，k ) 为一个可测空间，p 是定义在k 上的一个集函，且满足： ( i ) ( 非负性) v a r ，p “) 20 ： ( i i ) ( 规范性) p ( q 户1 ； ( i i i ) ( 可列可加性) “，”l c b 且4 4 = p ，i * j ，q u a 。| = q a 。l = p ( a 。) ；则杯p 为x 上的概率测度( 函数) ，简称概率；称由可测空间( o ，k ) 及建立在其上的概 率测度p 组成的三元体( q ，k p ) 为概率空间。概率空间即随机试验的数学模型。 实际上。概率是一个规范化的测度，它具各测度的一切性质，如：有限可 加性、可减性、单调性、上( 下) 连续性等。在具体构造概率空间时，一般从 已给的样本空间q 出发，首先以q 的部分子集构造一域( 代数) a ( 关于有限并 封闭) ，并且在a 上定义一概率测度p 再以包含a 的最小。域x = o ( a ) 为事件 。域，最后把p 由a 上延拓( 扩张) 到k 上，由此得到定义在k 上的概率测度 p ，从而构造出概率空间( q ，x ，p ) 。 测度扩张定理的概率版本：设p 是域a 上的可列可加概率测度，u = 。， 则e 上存在唯一的概率钡4 度p ，使得：v a a ，p ( a ) = p ( a ) ；称概率测度p 为 概率测度p 从a 到a ( a ) 的延拓( 扩张) ，也称p 为p 在a 上的限制，记作：p n 。 概率空间的一种特殊情形为完备概率空间；设( o ，x ，p ) 为一概率空间， n 。n ，如果存在a e f ，使得n c a ，且p ( a ) = o ，则称n 是可略集；如果x 中包 含了q 的所有对p 的可略子集，则称概率空间是完备的。从而，在完备概率空 间中，不必担心可略集( 零测集) 的子集无概率可言，它们均为零概率。 一般地，概率空间通常是在抽象的集合上定义的，不便于运算；因此，许 多情况是通过引入随机变量，将概率投射到e u c l i d 空间上讨论! 给定概率空间( q ，k ，p ) ，一个n 维随机变( 向) 量e 是指从( o ，k ) 到( 对， 1 3 “) 的一个可测映射( n = l ，简称为随机变量) ；与可测函数不同的是随机变量 只取有限值。以一维为例： 设( o ，k ，p ) 为一概率空间，e = e ( u ) 是定义在q 上的单值实函数；如果 地s r ，磐x = 如i 如) e ， = 亭。1 卜，z 】e r ，则称善0 ) 为随机变量。v a e r ，定义a 的示性函数 i ，z o ，则e ( 到b ) 存在且e ( 割砷：l 吉d l p ( b ) 。 k 墅羞王竖奎至囹亘型坌型盟墨堡塑空塑堡鲑墼主塑望l 设( o ，x ，p ) 为一有限概率空间，e l = 锄，d 2 ，4 是样本空间的一个有限可 测分划( qe r 且p ( d f ) ) o , i = l ，2 ，t ) ，即；d f q = m ，i j 且竞d ，= n 。联系于集 j = l 台 p ( 一j d ，) ，f _ 1 ，2 ，j ，可定义一个简单( 阶梯) 随机变量f = f 徊) = 壹，( 旧) ，徊) ， 即med ，f 白) = p ( 一陋) ；该随机变量与有限可测分划中相关联，不妨记之为 e ( a r o ) 或p ( i 嘞) ，称之为随机事件a 关于有限可测分划巾的条件概率；易知 尸( 一+ 占i 中) = 尸( 彳l 中) + p ( 占i o ) ：如果中是。的平凡分划，即m = q ) ，则 p ( l 中) = ，( 协= p ( _ ) 。作为随机变量的p ( i 中) 可求数学期望，且有 e p ( 一叫= e ( 喜p i o , ) ) ) = 喜p ( 4 p ) 五) = 喜p ( 爿p ，) p ( 且) - p ( 锄。 另设： _ = 。) = 骞j ，白x 这野，= 每k ) = y ， 此时，样本空间q 的有限可测分划中。： 。4 ，一：，a ，) 称为由枥导的分划；作为随机变量的条件概率p 0 p 。) 可记为：p 0 一域p 乜h x m ) 称之为a 关于随机变量口的条件概率；也把p 0 h 扣为尸0 h = 一) 。 上述口为取有限可能值的离散型随机变量，从而e 口存在，且e 口：圭乃p “) j = l 很自然地，利用条件概率 p ( i 巾) 可以定义口关于。的条件数学期望占白f 中) ：杰 p 0 ，i 中) j = l 当m e q 时，随机变量e b f 。勋诹值为e 0 b ) ：”j p 0 ，陋) 。实际上，亦可 j 。l 先定义e ( r l i d , ) = x y ，p ( a ， j = lb ( 剐；然后再定义 e b p ) = 圭e 白i q ) ，d o ) p l 一) j _ 勋 硼d ) j 一面d d ) p ( i 中) - + 嘲m ) 由条件数学期望的上述定义，易知 ( i ) e k + 6 口p ) = 舡营睁) + 6 e 0 p l 。，6 为常数； ( i i ) e 话i q ) = e 4 ； ( m ) e ( c 陋) ；c ，c 为常数 ( i v ) e 也陋) = p 0 l 中l 一该式同时也表明：关于条件概率的有关性质可直接 从条件数学期望的性质导出。 如果对取有限值的随机变量e b i 中) = 之yp 0 f 中礅期望，则有： e 【嘞i 巾月= e l 圭 p 0 ，i 。) l ：圭n e p “i 酬；圭 p 0 ，) ：e 仇即为全数学期望公式 l ，2 1j j - i j = l 设中，m ：是样本空间n 的两个有限可测分划，且中，o ：( 即中：比中i 精细，) 不 妨设为： 中。= 她，日一，巩冲：= 慨。d 2 ，观 如果f ：圭 ，则乱翻m ：) ：，p “i m ：l 且 e p p ：h - 害尸o j d 2 ，) p ( d 2 ，h ) = 宝p “阪】主) ( d 2 ，i d , 。k 白) i 。目 j = i l t ；l j = 羔，钆 ) p 0 ，l d 。) p ( d ：，i d 。l t = l = 兰。洄) p “j d 。) 尸( d 2 d l 。) t = 1 b 岛，c d = i ) p 0 ，胁。) = ，“p 1 从而， e e 曾l 中：】。一= e 翻中。1 中! m ： 匦噩亟殛堑匾甄受豳 在条件数学期望e 固咖，考虑由口撕生成的衲子碱甲= 如，b ，。q 上条件 数学期望的取值，令础i 甲b ) = e 圈口k 扣) + e 话l ) ，( m ) ，即：e o p ) 足两点 分布的随机变量，且 凡e e p 弦= e 0 i 占l p 0 ) + e ( f r b 。) p ( 占。) = 。f 卯+ f ， d p = 。孛护，称以上 掣可钡0 函数e 皓l 掣) 为给定口域甲下随机变量舶条件数学期望，这里掣表明集丑的取值范围。 类似地，若 b i , b ，er ，f ， 为q 的一个有限( 可列) i j 丁测分划，且j p 0 ) o , ie ，e 存在，从而， e 皓lb i ) 存在，fe ，设甲= a 0 ，is ，) 定义v 可测( 阶梯) 随机变量e g l 甲如) = e 售陋，勋 称其为给定碱甲下随机变量瑚条件数学期望，且有 f n 占船p 陟2 善e 翻且) 尸饵) 2 善s 缈一驴缈= j n 御诹f 2 l ，2 ， 联系于随机试验e ，若其有1 个不同结果 晤，i ，i 随机变量缇所关心的量，则e 倍旧。) 表达了在结果b i 发生的条件下f 的 平均值，而略甲) 则表达了在不同试验结果下 的各种平均值；这也是引入随机 变量的原因，它使得全面了解在不同试验结果下f 均值的取值情况成为可能。 同时，上式也说明了，求e f 可分两步走： 先求在试验结果b i 下的均值e 倍l b ) ； 再对这些均值拉皓旧l le 求概率平均值。 从而，条件数学期望e 皓j 甲勋堤把 在且上的值作了一个平均，然后再把 这些平均值作为在b i 的每个点。上的取值，构造出一个简单( 阶梯) 随机变量； 也即：e 圈甲硅甲的原子上把手平滑化了。对于k 的一般子碱甲，我们有： 非负随机变量f 关于甲的条件数学期望是一个非负广义随机变量，记之为 0 i 甲溅e 臼甲如) ，其满足： ( i ) 础f 甲提甲可测的； ( i i ) v a e - f ，有j c a p = 。e 皓l 甲场： 对于一般随机变量f ，如果m i n 仁e + p l e 岱一l q o ) o o ，则定义： e 磐p ) = e 售+ p ) 一e 话一l 甲l 在满足五e + p ) = e 磐一p ) = 。的样本点。处，差 e 皓+ 一) 一e 岳一p ) 可以赋以任何值，比如零； 事实上，由于集函数q ( a ) = f 醴孵o l a 甲是心，甲) 上的一个测度，且 q 关于p 绝对连续；由r a d o n n i k o d y m 定理，存在非负壬i 可测的广义随机娈量e 翻甲l 满足： q ( a ) = f 。e 皓p 炒= f 。箬。舻 取f ：i s , 记e 0 。p 域p o p x m l 称之为随机事件占关于a 域掣的条件概率； 取 壬- 。为随机元口生成的。域，若e 皓1 甲，府在，记其为五船b ) 或e 翻_ 如l 称其为关于_ 的条件数学期望；另记尸( b iv , r ) 为p 佃h 域p 忙h 酗l 称其为b 关于口的条件概率； ( d 设中= 慨q 担样本空间的一- q ：g l j 匮或可罗师测分划以q ) ) o r _ 1 一，甲= 盯( 中l 随机变量争 的数学期望存在，则e 皓p 酗) = e ( f l o , l ( e a a bed ，或等价地有： e 皓p ) ) = e ) j p ( d j l ( p a 。如ed f 由条件数学期望的定义，易见： ( i ) 若 t = 舾，n ) 为平凡d 域，则e 皓k ) = e 掌( a x 这里e f 是可测函数，取= n 或者中， 则：。缈= f 。e 5 d p ； ( i i ) 既然 爨心 尸) 上的随机变量，因此强羽测的；从而，由l 缈= 。舻，v a r 有e g k ) = f 0 s 1 ( i i i ) 若 甲是埔子a 域，由于。 醴p = 。五倍l 甲k ，ae 甲，从而e k g l 、壬，w = e f 险数学期望公式；) ( i v ) 若一，b 均是椭子d 域， ( a ) 设一c 也，v a p l ，n a b ，从而 j e k 皓i t ：h 如= f 。f 0 陬p = f 。缈= j 。e e 陬p 即有： e 陋磐心】= e g i 一 x ( b ) 设t 2 t l ，v a e 掣l ， n e 陋e l 鹄) 掣，j i p = 。叵皓 如，即有： e 陋皓l 、王，：】甲】= e o i 甲：k ) 据上述讨论，易知 如果 己，”1 是( q ，r ，尸) 上非负随机序列，则有 e ( z e o l v ) = x e ( o k l 如果 以，n 1 提( n ，r ，尸) 上一不交随机事件序列，则有 p ( 巩阿) = 尸池p 妇 l 甲是r 一子。域 须强调的是，上述等式、都是a s ( a l m o s ts u r e l y ) 意义下成立；因此， 在中不能简单地认为条件概率p ( p 旌n e 一概率测度。我们也许可以假 定除去一零测集n ，e ( i v k 奶是一测度en 。) ；但事实并非如此。原因如下： 若记n 佃i b 2 ) 为不满足可列可加性的( 对于且骨2 ，胖本点的集台则例外集n = u n ( 岛占2j ， 求并取遍k 中的不交事件b 1 、b 2 、；虽然每个n ( b i 、b 2 、) 都是零测集， 但是n 的概率测度可能不为零，因为上述求并是不可数并。这样的例子很多， 如：某一点的勒贝格测度为零，n = 【0 1 _ u 其勒贝格测度却为1 。可以 x e n 定义这样一个函数 尸白；曰) ，men , b 妫关于时子d 域l 王，的一个正则条件概率，如果： ( a ) v 国n ，p 1 是茁上一个概率测度。 v bse p 0 ；占胙为n 上的函数是b 关于甲的条件概率p 陋p ) 或者p 扫；b ) = p 忙p sx 由正则条件概率的定义，易知：若f 是可积随机变量，则 e 皓l 甲如) = 。f 修) p 扫；d 万 l 类似亦可定义出f 关于v 的正则条件分布 1 1 3 离散和连续概率模型 以下如有可能，我们将从金融市场“股票价格模型”的背景来阐述有关概念。 样本空间l 考虑某种股票在t 时的价格s t ，产l 二”j t 记样本空间o = b 陋= ( s ，足，品) j ， 假设股票价格要么增长系数u 要么下降系数d ，则相关的动态信息可归结为每 个时刻的变动，不妨记： n = b b = 0 。，口2 ，唧) i a t = “或d ，= 1 , 2 ，t 。 雨雨耵琢溉丌 考虑_ 为直至时刻t 可为投资者利用的信息，它包含直至t 时有关的股票 的价格：不妨取t = 2 ；在t _ o 时，投资者没有任何有关s l 和s 2 的信息= 细，n 如果t = 1 时，股票上升u ，此时已知的真实状态在a 中，这里， 一= 缸，s ：】s ：= ”或d - 妇，“x 0 ，d ) ；从而在r = 1 时所能了解的信息r 。= 扣，a ，a 。，q 既然不曾也不该遗忘以往的信息，就应该有c r 。称k 1 比k 。精细或k 。比k 粗糙 医f 砑习 称滤过i f 是如下域的集类，f = k 。，k 。k 。k ，x ck 。其常作 为信息流的模型。随着时间的推移，观测者将知道越来越多的详细信息，也即k 越来越精细；滤过i f 正描述了有关价格的信息是如何揭示给投资者的! 固亟囤 称随机变量族 x o x r = o “1 一，r 为一个随机过程，这里z o 堤可测空间心，r ) 上的 随机变量；称随机过程讧o x f = o ，l ，t ) 适应于滤过，如果v f 0 1 一，t x o 堤t 上一随机变量，也即j 0 ) 是x 。可测的。 l 宣堕垫堇垂生盛盟婆型 给定缸k ) 及随机过程协o ”设一= 口 必，0 s f 揖随机变量船g = 0 , 1 ，一，f ) 生成的瑚， 它是过程至t 时观铡者所能利用的全部信息；易见，k fc ，从而这些碱形成一 个滤过，称之为随机过程忸0 的一个自然滤过( 流) 囤亟囤 给定一个滤过i f = k 。，。一一，k ， 称过程口o ) ) ( 关于这个滤过) 是 可料的，如果v t l o 1 。r i x o 堤k 。可测的；也即：过程 z ( f 弦茁，时的值取 决于直至，一1 时所获的信息。譬如：t 时刻投资者所持股利的数目取决于真至t - 1 时为止的信息，从而该过程关于股票价格s t 所生成的滤过是可料的。 辱翮 称f 是一个随机时，如果它是一个非负随机变量且可能在( o ，k ，) 上取值c 。； 给定滤过伊= k 。，x r k 一一k t i 称r 关于该滤过是一个停时，如果 v t 0 1 r i 事件矗，) k 。；此即：通过观察含于x 。的信息，可以确定事件 f r f 发生与否。如果该滤过是股价过程 s 。) 生成，则通过观察直至t 时的股价 过程s o s 。s 可确定事件 f s ，提否已发生。 匿圆 若是幻x ) 上一离散型随机变量，p 是心k ) 上一概率测度，则x 关于p 的数 学期望e ，j = z x ( o ) ) p 晒牡若概率测度由p 切换成q ，则关于q 的数学期望 e 。上= z 0 ) q ( 扫) ) 。 以下讨论连续概率模型1 1 事件a 域l 一域必是域，其关于有限( 可列) 并( 交) 、差、余极限等事件运算封闭。 瞳幽 称x 是随机变量，如果x 是可测空间x ) 到( r ，p ) 上的可测映射， 这里p 是直线上的b o r e l v 域；也即：v b 皿工“忙) = b l x 0 ) b e x ；该定义 等价于v 。b r ，口 4 l 伽 x 6 k 叠x 6 搭) k ，可以验证： ( i ) 简单函数( 有限个事件的示性函数的线性组合) 是随机变量： ( i i ) x 是( n r ) 上一随机变量当且仅当它是一简单函数或简单函数列的极限； ( i i i ) 若g ( - ) 是- - b o r e l 可测函数则g ( x ) 也是一随机变量。 晒雨疆佩 定义分布函数f g ) = p 晒阻0 ) z ) = p 暇s 计l 由概率测度的单调性可知 f ( ) 单调不减且是有界变差的；f 在x 点的跳跃由概率p ( x - - x ) 给出， f ( x ) - f ( x - ) = p ( x = x ) ，由于f 右连续，故f 有至多可数个跳跃。 称f 是离散的，如果它跳跃式地改变；称f 是绝对连续的，如果对几乎所有 的x ，f b ) = f ( x ) , j l t e f n 制j x ，f b ) = r 饨枷，称这里f 为概率密度函数。 1 i 4 数学期望和勒贝格( l e b e s g u e ) 积分 如果x 是幻 上一非负连续型随机变量，则： e f ( 若存在) = l 0 p 如耵。x d p ，。x 0 护( 咖碓推广至一般情形，则有 e x = e x + 一e x ，x + = m a x ( x ，o l z 一；m a x ( - x ，o l 如果随机变量爿非负，则可由非负单调的简单随机变量列i x 。”1 逼近 即有：e x ：1 i m 肼。；而简单随机变量的数学期望定义为一个数： h + o o 若并= o 白m ek , k = 1 ，2 ， j = 1 一l 麟= i n x d p = 窆q j p ) 。 k f f i l 渤贝格一斯蒂尔杰斯( l e b e s g u e s t i e l t j e s ) 积分l 定义r 上的分布函数f 是一个非降右连续函数，且 f ( _ 。o ) = o ，( + m ) = 1 ；若置p 眙，6 叮= f ( 6 ) 一f ( a x a 6 l 则由f 可唯一定义 b o r e l 一域p 上一概率测度p o 取q ，k ) = 忸，卢l 且p 上的概率测度由分布函数f 给出；该空间上的随机变量是一个可测函数f i x ) ，则可记其期望值为 f 。，g 扩( 出) ( f 。，0 k f g ) l ，称之为f 关于f 的l e b e s g u e - s t i e l q e s 刺j 。 心r ) 上的随机变量x 的概率分布是d 上的概率分布，它是p 通过随机变量 x 诱导所得，即： v be ，一( b ) = p 晒l 0 ) e b ) ) = p e b 强分布函数通过式，b ) = 只k 一。o ，x 】 与概率p 关联，上式也揭示了示性函数数学期望间的关系： f 。，伍白) e b 弦0 ) = e ，oe m p a , 砧该式亦可推广为一般可测函数的情 形；如果随机变量x 有分布函数，b ) ，_ i l ( ) 是r 上一可测函数且h ( x ) 是可秘 的，则劭) = f 。 口如h d p 如) = e g ) 矗陋) = c b 妒协) 。 1 2 基本随机过程 1 2 1 泊松( p o i s s o n ) 过程及其推广 匝壁圈 称随机过程 r 0 为时齐泊松过程，如果： ( i ) 似l o 是一计数过程，且( o ) = o ；( i i ) ( 具有独立增量) 任取o f | ： 0 ，有 p ( “u o m + a t 乏出惑笮嵩。；入一雌。l 尸( ( o + ，) 一o ) 2 ) = o 阻) 一“ 时齐泊松过程( 又称泊松流) ，是一种既典型又简单，应用极其广泛的随机 过程。由其定义，易知：v s 。t 0 ，有 ，( ( ，+ s ) 一o ) = t ) ) ；譬e m ，t 叫即o + s ) 一o ) p 陋l 。 设 ，o 是一计数过程，n “) 表示在( o i 】内“事件”到达的次数：令s n2 0 ， s 。表示第1 1 个事件到达的时刻b 1 ) ，咒= s 。一s 。 且有： 最= i n f 最+ ，o ) = n k 1 ； n o b n = 慨! r l f o ) = ” = 两e ，卜慨s 咄口j 以验证：计数过程 ( f l ，o 是泊松 过程当且仅当忸。，”2 1 是独立同参数的指数变量n 另外，若脚似，o 是泊松 过程，则坼e ( o ，吐有p ，s i o ) = 1 ) = 这也说明了泊松过程具有平稳独立增 量，也即z 。l 。“h u ( o ，f 1 推广该结论有：设 f o 是泊松过程，则在给定 _ v ：”时事件相继发生的时刻最，s ：，& 的条件概率密度为 加：， ，- 缘。，巍 o 之。拱蚓) 击e 气日9 ，x ( t 灿) 若陋l 过栏 x ( f ) t ，t 0j 满足： 独立增量性； v s ，t o ，x ( t + s ) 一x , - n ( o ，c2 f ) ； x ( i ) 关于t 是连续函数； 则称扛o ) ，t 20 ) 是布朗运动或维纳过程：c = l 时，称f x o ) ，t 0 ) 为标准布朗运动， 常记为 b o ) t 0 ) 。如果b ( o ) = x ，称之为始于x 的布朗运动，有时为了强调始 点也记为 b 。o ) ；易见，b 1o ) 一x = b o o ) ( 布朗运动的空间齐次性) ；并且可以 验证：布朗运动 b ( 1 1 ，t 0 具有如下的性质， 平移不变性：v ae r ， b “+ d ) b ( 口) ，t 2o ) 也是布朗运动； 尺度不变性：v c o ， 堕堂，t o ) 也是布朗运动； 优良的样本路径( 轨道) ( 几乎所有) ：b ( t ) 是t 的连续函数，在任何( 无论多 么) 小区间都非单调，都非有界变差；在任何点都不可微；这是由于： 从数学的角度，v h 0 ，b “) - - b ( , ) - - n oh ) ，v m 0 ，无论m 多么地大， r 阳= 肼) = 2 州嫡，一。 匮延圃噩匾豳 如果b ( 。) = x ，b ( - ) n ( x ，t ) ，从而有p ；( b ) t ，b ) ) = p 击e + d y ，p x 即过程开始于x 时的概率函数，被积函数r ( x ，y ) = 击e 一“称为布朗运动的转 移概率密度。借助转移概率密度，基于布朗运动的上述性质，可以计算任意有 限维分布： p x ( b ( t ) x ，b o ：) sx ：，b o 。) fx 。 ) 2i ：p 。g ，m ) d y 。艮t ，( y 。喝) d y ：p t n - t n _ “) d y 。 圃延团匪圜 定义布朗运动的二次变差为 b ，b x t ) = 【b ，b 和，t d = 晶l i + r a 。= 宇1 1 丑g ”) 一b ( f 一”】；其 中， t n ) n 。是【o ，i 】的一个分划，瓯= m “h n 叫。) ：上述和式圭i b 6 n ) b 6 ”) 1 2 虽是 随机的，但其极限却并非如此：记t 。= 主i b 6 ，n ) 一b ( i 。一，n 】，e t 。= 主6 i n - - t ii a ) = t ， v a t t 。= 圭哳囟0 ”- - b ( t r ”= 3 童6 ，n _ i 。- ) 2 1 36n t 因此砌r 以) c 。，由单调 收敛原理， *、 e l 睡- e r 。yi o ，p ( 曰( r + s ) sy 卜，) = p p + j ) y i b ( t ) ) ，a s ；这里， b o ) ，t o ) 是布朗运动，k 。= 6 ( b $ x o ss s t ) 对马氏性的另一种等价描述是：对任何有界的b o r e l 可测函数f 及v t 。 0 ， e 厂( b o + j ) ) k = e 驴( 占“+ j ) ) 1 日( ，) 】，a ts ：利用矩母函数的方法，易知： e g 剧叫_ ) = eu e o ) e ( e 删p 删= 日州e g 一【8 0 廿鲫”) = e ( e i b ( t ) 匝亟亟亘亘圈 称随机时间t ( 可取无穷取) 为布朗运动f b 0 ) ，t o ) 的停时，如果对于任 意的t ，通过观察直至t 时的过程能够决定t 发生与否，即： 饥， t t ) = 旷如) f ek 。= o ( b g l o ess t ) ；所谓的强m a r k o v 性，只是将m a r k o v 性中的固定时间t 用停时t 代替即可。 如果 t 是布朗运动忙似r - 0 的有限停时， 坼= 扛阻n 妒f r ，v t o ，a x 则有正则条件分布 ， p 啦咿+ r ) y l b l ) = ，乜p + f ) 蔓y i b p ) l a a 匿亟画画夏蓟囹 几何布朗运动 令0 ) = e 耶) ，则称妒o lr 0 ) 为几何布朗运动。在金融市场中，人们经常假 定股票的价格按照几何布朗运动变化；有时，几何布朗运动可作为相对变化为 独立同分布情况的模型，譬如：设y n 是n 时刻粟萌品( 如股票) 的0 r 格，且 以= e r + 0 1 ) 是独立同分布的；如取y o = 1 ，y n = x t x 2 x n ，故 l n k =1 n x k ，则当月斗时，由中心极限定理。 i n y 。，h 1 ) 为渐近布朗运动， 于是，” - o l 就近似为几何布朗运动。 布朗运动的积分 由丁布朗运动的路径连续性，对于任意的随机路径，r i e m l l i l r l 积分e b o ) u s 是有定义的；以矗b ( s ) 出为例：其分布可作为近似和口( ，j ) 她的分布的极限， 这里，t tm l l + l - - t i , t i = ，扛o ，1 2 ，h 一1 ；作为高斯分布的善口o ，) 的极限分 布仍是高斯分布 ，且 具有 s ( 占o b f ) = o 均值，其方差r 打( fb o 协 = c o ( 1 。o ，口( s ) 出) = e ( b o f 占。净) j je 陋。归g ) 】舭= jjc o v p ( 嘎占。牌出= fjm i n ( ，一) 舳= ，从而j 丑。珐 n ( o ，1 ) ，记s ) = ( 口o 扭，称$ n f o 为布朗运动的积分。由正态( 高斯) 分布 的性质，秘( f l f 0 ) 为正态( 高斯) 过程，故只须讨论s ( t ) 的数学期望和协方 差：吐f 日o = fe z ( s 肺= o ；v o j 兰f c 0 v 瞅n 跚) 】= 譬( r 一；) 。 在金融市场中，若设s ( t ) 为某金融资产在t 时的价格，则望挚= 口o ) 为 价格的变化率，而价格波动通常是遵循布朗运动的。 布朗运动的形式导数 设， 0 洳棚蹴胁冷百a b ( o = 韭筹趔舯， 掣扯0 ) 是正态过程，且有： e 垒掣一o ，砌r ( 掣 1 故有掣一( 。珈呱“肌一傩 c 。v ( 掣，掣) 一o ，眺加蹴分小时，掣与掣越进一龇龇一帅( 销= 。 叫钭一啦一譬，r ：归硼，：o ) 。称 其为布朗运动的形式导数，如果： ( i ) v f 0 ，掣n ( o ，) ； a l ( i i 1 f ，掣i 。与掣协立。布朗运动的形式导数，亦称为连续 参数的白噪声，它在随机微分方程理论中有着重要的应用。 有漂移的布朗运动 设 丑( r ) ，t o 为( 标准) 布朗运动，称讧o ) = 口( r ) + p t ，t o 为有漂移的布 朗运动，常数称为漂移系数；易见，有漂移的布朗运动是一个以速率卢漂移 的过程，它的背景则是一质点在直线上非对称的随机游动，它具有一定的倾向， 于无规则运动中又含有一定的宏观规则运动。以后常将有漂移的布朗运动的定 义写成微分形式d r ( t ) = 弛( f ) + ，础，即质点在t 时刻的位移增量可分解为随机 性增量d b ( t ) 和确定性增量，础之和。 1 3 布朗运动的积分和随机微分方程 简单过程的伊藤积分 称过程为简单确定过程，如果 x c r ，= 。，；c o , t ，= ：o 叫；，。一。；。= r 。c c 。= r ；这里q 是常数，也即 n l ( r ) = c o ，o ( f ) + c ，i ( t ，r 川 o ) ；此时x ( f ) ( 独立于口( f ) ) 关于口( f ) 的伊藤积分 t = o 定义为f 五( f ) 矗b p ) ( 简记为f 凇或j b ) = 雾c 【。( 。) 一曹。朋) ( 正态变量) ， 且e ( f 脚) = 芝i = 0 印e 【口) 一b ( ) 】。：v a r ( i x d b ) = e ( 萋c j ( 曰( 。，) 一b ( ) ) ) 2 n - i = c f 2 ( r 。一f 。) 。称过程 芦( r ) ，0 f r 为简单过程，如果 i - 0 n - 1 x ( f ) = 岛，。( f ) + 鼻l ( t 。t + 。) 】( f ) ，这些随机变量满足：磊sc ，点依赖于 1 w o b ( f ) ( r f ，) 但不依赖于曰o ) ( ， f ) ，i = 1 2 h 一1 ：定义伊藤肺积分s x d b y q f o x ( t ) d s ( r ) = 薯苣 丑( t i - - b ( ，朋；此简单过程x o ) 关于布朗运动的伊藤积分 是一个随机变量，它有如下性质： ( i ) ( 线性性) z ( 嘎y ( t ) 是简单过程，口，b 为常数，则 丘( 硝( f ) + 州f ) 口r 耶) 如+ 6 r y ( f ) 拈 ( i i ) c k “，) d 日= 即) 一占( 枷 口 6 丁； ( i i i ) 零均值性：如果六2 ( 。( f - o ，1 ，”一1 ) ，则e ( fx ( f ) 船( f ) ) = o ； ( i v ) ( 等距) 同构性：如果喜2 o o ( i = 0 1 一1 ) ，则 ( 祭p ) 卿) ) 2 = r 肼2 西； 在伊藤积分中，可测性具有重要的前提意义。首先，对于给定的概率 ( n ，r ，p ) ，二元函数 z ( f w ) ，0 蔓r 蔓r ) 关于可测空间( 【o ，t x d ，所o ，t x r ) 可测， 是使得积分f x d b = r 并( f ，w ) d b ( r ，w ) 有意义的基础：同时，对于给定的t ， r x ( r ，w ) 衄( ，w ) 也关于( q r ) 可测的，即概率p 叶l j | rz ( r ，w ) a n ( t ，w ) 功是 有意义的。从而，对于变化的fs o ，川