（计算数学专业论文）两阶问题的mortar型p1非协调元方法及多重网格解法.pdf

摘要 擞学物理及工程问题，都可以归结为大型高次的偏微分方程的求解，因此对 偏微分方程的数值解法提出了很高的要求，而有限元方法一直占据了重要的地 位，并已对之发展出了各种预处理方法。m o r t a r 有限元离散方法和c a s c a d i c 多 重网格方法自从被提出以来一直被众多的计算数学家所关注0 本文的目的便是研 究这两种方法在两阶椭圆型问题有限元求解中的作用。、 ( m o r t a r 元方法在近十年中取得了很大的发展，与传统区域分解方法不同的 是，该方法允许在不同子区域中用不同方法或使用不同的有限元网格剖分来求 解，增加了求解的灵活性，而所的结果的精度不变。j 本文证明了对于两阶椭圆型 问题问题，其m o r t a r 型p l 非协调有限元解存在唯一，并证明了o ( h 2 ) 阶的三2 范数误差估计。 由于m o r t a r 有限元方法求解中的刚度矩阵不具有良好的条件敬对于大型 问题难于直接求解，本文考虑用c a s c a d i c 多重网格方法作为预条件子来求解。文 中给出了适宜的网格转移算子和迭代算子，证明了方法的最优性，御在问题的阶 数变大时在不影响误差的能量范数估计的阶数的前提下，总体的工作量仅呈线 性增长。最后通过数值实验再次验证了本文的理论结果，、一 关键词：两阶椭圆型问题，m o r t a r 有限元方法，c a s c a d i c 多重网格方法。 中图分类号：0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dm a n yn e wp r e c o n d i t i o n e r sh a v eb e e nd e v e l o p e d t h em o r t a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dt h ec a s e a d i cm u l t i g r i dm e t h o dh a v er e c e i v e d b r o a dc o n s i d e r a t i o n s ot h i sp a p e ri sf o c u s e do nt h es o l u t i o no ft h es e c o n do r d e re l l i p t i c p r o b l e mu s i n gt h e s et w om e t h o d s m o r t a rf e mh a sa d f f e v e dag r e a tp r o g r e s si nt h er e c e n tt e ny e a r s t i f f sm e t h o d d i 行b r sf r o l nt r a d i t i o n a ld o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d si nt h a ti ta l l o w st oc o u p l e d i f f e r e n tm e t h o d si nd i f f e r e n ts u b d o m a i n sw i t h o u td e t e r i o r a t i n go nt i l ee r r o re s t i m a t e s ， w h i c hb r i n g sn l o r em o b i h t yt ot i l es o l u t i o n i nt h i sp a p e r ，i tw i l lb ep r o v e dt h a tt h e m o r t a rf e mi sa l s oe f f i c i e n tt ot h es e c o n do r d e re l l i p t i c p r o b l e m ，i t i st o s a yt h a t t h e r ee x i s t so n ea n do n l yo n em o r t a rs o l u t i o nt ot h ep r o b l e ma n dt i l ee r r o re s t i m a t ei s o p t i m m t h eo ( h 2 1e r r o re s t i m a t ec a nb ea c h i e v e db yl 2l l o r n l i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es t i f 融e s sm a t r i xf o rt h em o r t a rf e mi sn o tw e l lc o n d i t i o n e d ，s oi t w i l lb ec o s t l yt os o l v el a r g e s c a l ep r o b l e m sd i r e c t l yh e r ew eo n l yt a k ef o r g r a n t e dt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d e f f i c i e n ti n t e r g r i do p e r a t o ra n ds m o o t h i n g o p e r a t o ra r eg i v e na n dp r o v e dt ob eo p t i m a l ，w h i d lm e a n st h a tw h e nt h es i z eo ft h e p r o b l e mi n c r e a s e s ，t h ea m o u n to fw o r ki n c r e a s el i n e a r l yw i t h o u td e t e r i o r a t i n go i lt h e e n e r g yn o r l no ft h ee r r o re s t i m a t e a tl a s t ，t h er e s u l t o fc o m p u t e ri m p l e m e n t a t i o n c o n f i r m st h et h o e r y k e y w o r d s ：t h es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，m o r t a rf e m ，c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t b o d s 2 致谢 y 3 6 2 彳5 5 首先我要感谢我的导师李立康教授，从师先生以来，我的数学修养得到了很 大的提高，先生的言传身教使我受益非浅，先生严谨的治学态度，渊博的知识， 敏锐的洞察力和对学问永不休止的追求，都是我学习的榜样。我相信，在今后的 工作岗位上，先生的治学精神将对我产生很大的影响。我的每一点进步都离不开 先生的指导和严格要求。 另外，我要感谢所有教过我和给予我教悔的老师们，他们是童裕孙教授、华 宣积教授、蒋尔雄教授、曹志浩教授、姚慕生教授和顾建弘教授等，感谢他们不 仅传授给我宝贵的知识，还使我懂得了做人的道理。 在复旦将近七年的求学生活，我还结识了许多学业优秀、为人率直的同学和 朋友们，他们是我的师兄陈文斌、毕春加，师姐刘庆，我的同学汪艳秋、周广虎、 王立峰，还有和我同窗七年的同学韩志刚、王立庆等他们在学业上生活上都曾 给予过我很大的帮助，他们的友谊给我莫大的快乐。 最后，我要感谢我的父母，兄妹，还有我的女友他们的一贯得知支持给了 我无尽的力量 l 引言 本文的目的是，对于两阶椭圆型问题，构造和分析m o r t a r 型p 1 非协调有限 元离散方法，并用基于c g 迭代算法c a s c a d i c 多种网格算法来实现。 自从b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 在f 2 f 3 中引进了m o r t a r 型有限元来解微分 方程以来，m o r t a r 型有限元方法的发展非常迅速。b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 在 2 】 3 中证明了，用m o r t a r 有限元离散而得到的双线性泛函满足正定性，从而离 散问题有唯一解，而且与传统的有限元方法有相同的误差逼近性。对于两阶椭圆 型问题，jg o p a l a k r i s t m , u l 和j e p a s c i a k 在 4 】中讨论了m o r t a r 型p 1 协调元的 收敛性，以及多重网格方法的实现；m a r c i n k o w s k i 在 1 中讨论了m o r t a r 型p 1 非协调元的h 1 收敛性，以及a s m ( a d d i t i v e s c h w a r zm e t h o d ) 方法的实现。 下面我们先简单介绍一下m o r t a r 型有限元方法。m o r t a r 有限元方法是一种 非协调的区域剖分技术，也就是说，由于每个子区域剖分是相互独立的，在两个 子区域的交界处，网格的剖分会出现不协调的情况。而且在进行有限元离散时， 有限元空间中的函数在这些公共边上会有跳跃。这样，在这些交界处，我们就必 须给出一些条件。这些条件我们称为m o r t a r 条件。因为我们讨论的是p l 非协调 元，我们引进的m o r t a r 条件与m a r c i n k o w s k i 在【l 】中的相同。在两个相邻的子区 域上，在它们的公共边上定义一个l 2 投影，m o r t a r 条件规定相邻子区域上的解 在公共边上有相同的三2 投影。在第二章，本文就是这样定义m o r t a r 条件的。我 们还要估计，m o r t a r 型p 1 非协调元的三2 收敛性，因为在后面证明c a s c a d i c 多 种网格算法时会用到。 b e r n e m a l m 和d e u f l h a r d 在【8 【9 中，讨论了c a s c a d i c 多重网格算法。跟一 般的多重网格相比，它不需要粗网格矫正。另一个显著的特征是c a s c a d i c 多重 网格算法在粗网格迭代更多次数，而在细网格迭代较少的次数，以此来减少工作 量。数值例子显示c a s c a d i c 多重网格算法是很有效率的。在本文中，每一层网格 上的迭代算子采用c g 迭代算子，这种多重网格迭代算法也称为c c g 方法。 9 【1 2 证明了，对于3 维的两阶问题，使用p l 协调元离散方法和c g 迭代方法的 c a s c a d i c 多重网格算法是最优的。关于2 维的两阶问题，石钟慈在【5 证明了， 使用p 1 非协调元离彰t ：h - 法和基于c g 迭代方法的c a s c a d i c 多重网格算法也是最 优的，并给出了三个保证c a s c a d i c 多重网格算法收敛的假设条件，只要满足这三 个条件，c a s c a d i c 多重阿格算法就是最优的。 本文第三章的主要工作是，讨论c a s c a d i c 的一般框架以及m o r t a r 型p 1 非协 2 调元的c c g 多重网格方法收敛性。我们在石钟慈的 5 】的框架下，验证对于两阶 问题的m o r t a r 型p 1 非协调元离散方法和c c g 迭代方法， 5 中的三个假设条 件是满足的。 3 2 m o r t a r 型p 1 非协调元方法 2 1 离散问题 设n 是r 2 中有界的凸多边形区域，我们考虑如下两阶椭圆型问题 f _ 碧黠， ， 它也被称为d i r i c h l e t 问题。 引进双线性形式如下： a ( u ， ) = v u v v d x j n ( 2 1 2 ) 方程( 2 1 1 ) 的等价变分形式：给定，三2 ( n ) ，找“h 2 f n ) ，使满足 a ( u ，”) = ( ，口) ，y v h 2 ( n ) ，( 2 1 3 ) 其中 ( 加) = 上，”d z ( 2 、l 卅 假设原问题满足h 2 正则性，即对任意的s l 2 ( n ) ，方程( 2 2 ) 都存在唯一 解u h 2 ( n ) n 础( n ) ，并满足i h ! ( n ) c l i f l 驴( n ) 。在本文中，我们用c 表示 与h ，l 无关的正常数，其中h 是区域剖分网格参数，l 是剖分网格层数，在不 同位置，c 可以表示不同的常数。 为了对边分形式进行m o r t a r 型有限元离散，我们先对区域进行剖分。 我们把n 剖分为n 个多边形子区域n ，k = 1 ，2 ，n ，满足：丽= u 些，瓯， 且两个不同的子区域的交集为空，即n i n n j = o ，i j 。这样， n i ) 形成n 的 子区域分解。当然我们要求分解后的子区域满足一定的正规性。 对于每一个n n ，我们在其上进行拟一致三角形剖分。网格直径h m 是所 有三角形中直径的最大值，且用t h ( n k ) 记在n 上的三角形网格，记孔( q ) ： 些，n ( n ) 。令r “是n i 和的公共边，且它为开集，即r = 蛐f n 珥。设所有 子区域的内交面的集合记为r ，即r = u 5 。a n a o 。设r 。为n ( n ) 中所有三角 形的边的集合，但不包含a n ，记为r l = 墨1 u 。死( n ) 0 e o q 。令r 2 = r 1 一r 。因 为每个子区域上的拟一致三角形剖分是独立的，所以对于r 订来说，它有两个相 互独立的一维网格刹分，分别记为砭( r 巧) 趸和( o 妇) 豆。我们定义t h ( n k ) 4 中的每个三角形的中点为非协调节点，也称为c r 节点。分别记n 跚，o n c k r ，8 q 。“ 为瓯，a n k ，口n 上的非协调节点，即c r 节点；记q h o f 2 n 为瓦，a n k 上的i 角 形顶点。 因为我们采用拟一致网格剖分，故每个子区域的网格长度可设为 “= m a x d i a m ( e ) ，e t h ( n n ) ， 从而整个区域的网格长度为h = m a x h 。 为了给出m o r t a r 型有限元空间y 6 ，我们先定义p 1 非协调元空间x “。而 为了定义全局的p 1 非协调元空间x “，我们先要定义局部的p 1 非协调元空间 x “( n k ) 。 n k 上的非协调元空间x “( n k ) = 川”是n k 上的分片线形函数，且在n 踏a n 踏 上连续，在a n 。几上为o ) 。 我们给出x “( n k ) 上的范数和半范： 蚓嘶i 1 ) = ( 胆，v 州q n ) ， c n ( n ) i v k l h ：( i l ) = ( 备t f c ) ) 1 2 ，v v x “( n ) 现在我们可以引进全局的p 1 非协调元空问x “了 n x “( n ) = i ix ( n ) ， = 1 以及空间x “( n ) 上的范数和半范： n i i v 岘n ) _ ( ( n 。) ) 1 胆，v ”x “( n ) 对于两个独立网格q f 和n j 的公共边r 玎，我们定义f “的一侧为m o r t a r 边，记为1 。i ，而另一侧为非m o r t a r 边，记为6 。j 。我们在选择m o r t a r 边的 时候，有一个条件：h ish j 。我们将要给出它们之间的匹配条件，我们称之为 m o r t a r 条件。 我们注意到 ( 2 1 5 ) n2 日 = 何 曲 m 妒 睡。 盯 l 一3 1 1 zd 廿 厶 、 上式右端对三角形k 的三条边中点r t z i ，i = 1 ，2 ，3 求和。这个性质以后要反复用 到。 另外，我们再定义一个辅助的空间m a j ( 6 。) = v l v 是6 。，上的分片常数函 数，。 我们引进非m o r t a r 边5 。上的三2 正交投影印。：l 2 ( j ) 一一m “，( 6 。j ) 如 下： 定义2 1 1 投影算子o 。：l - 9 ( r 坩) 一m “，( ) ，使得 v 妒 f “。( 6 ”t ，j ) ，( q ”t u ，妒) l 。( 6 。，) = ( “，妒) l 。( 。，卜 ( 2 1 6 ) v ”二2 ( “。，j ) ，我们有 i i q ”- 怯( 。) 2 ( q ”t ”，o m 口) ( d 。， = ( q m ，v ) 口，) 茎i i q m 吣( 6 。川 于是，我们有下面的引理， 引理2 1 1 咖上2 ( j ) ，有 j i q m 怯( 6 。，) s 肛i l l ：f 。，) ( 2 17 ) 现在我们可以定义离散m o r t a r 有限元空问护如下： v “= v h x “( n ) ，v 6 。，= ，cr ，q 。u j = o ，。) 其中q 。u j = o 。u ，为m o r t a r 条件。 注意，这里y “垡础( n ) 。 如果记为”l n ，为u i n ，。对于口v “，由m o r t a r 条件可得， ( o n - ( “一“) ，) l ：( 5 。+ ，) = o ，v 曲m h j ( 如- ) ， 而o 。( 一“i ) m “，( “。，j ) ，所以我们有 忪m ( 一刮k ，= o ( 2 上8 ) 6 因为空间y n 中的函数都是不连续的，我们必须给出空间y “中的离散变分 算子a h b ( ，) 和a h ( ，) ： v u v ”如 r e t b ( n 女) 。 n a t 岫( u ， ) k = 1 容易看出，( ，) 是正定的。再根据p o i n c a r e 不等式及m o r t a r 条件的定义 可得，i l v l l ，= a h ( ”，”) 是哪( n ) 上的范数。 现在我们可以给出离散问题的形式： 找锄。v “，使得 ( “u ) = ( ，”) ，v v y “( 2 1 9 ) 容易得到，v u ， v “有 a h ( u ，”) i “ h ) i v i h ) ， 和 钆( 叩) 川锄( 【1 ) ， 所以离散问题有唯一解。 进一步，由( 2 i i 0 ) 和( 2 1 i i ) 两式我们还可以得到 川砩( n j x i l v l l , , ，v v “， 在本文中，我们用= 来表示范数之间的等价关系。 2 2 一嘶。i i 纠n 1 误差估计 2 2 1 定义和记号 我们先给出一些有用的定义和记号。 设乃。( q ) 是把n ( n k ) 中每个三角形的中点连接起来形成的加细网格。我 们在t , 1 2 ( n k ) 上定义分片线性连续的协调空间矿“，2 ( n ) 。然后，我们定义一个 辅助映射帆：x “( ) 一矿“2 ( n ) 如下： 7 加 n 控 1 1 l 2 2 2 定义2 2 1 给定“x 。( n k ) ，定义 乱u 矿“2 ( n ) ，我们只要给出蚴。“在 t h l 2 ( n k ) 的顶点的值即可。这些顶点可以分为三类： r 砂假如顶点p n 踏，则m k u ( p ) = “( p ) 。 俐假如顶点p n kh o f l k ，h ，则 眠“( p ) 5 丽1 掣删 其中，求和符号是对所有的以p 为顶点的三角形r ；，而n ( p ) 是这些三角形的 个数。 r 纠假如顶点q a n k ， ，则 蚴= 丽 q t q lu ( 卅黜叫g ，) 其中，吼，q ，是节点q 的左右两个相邻的节点。 对于如上定义的慨：，我们有， 引理2 2 1v “x “( n ) ，我们有 i u i 圩： n t ) x i u k u l n - ( i ! k 1 ， k ( n ij m k u ( s ) d s j 0 n o 帆u t , i i l 2 ( n - ) l f 眠圳l 二( n 。】 = u ( s ) d s ， j 0 n c k i “i 娥( i 2 。) 1 茎c h l 。2 l u l 础( 1 2 。 其中e 是n 的一条边。 证明过程见 1 。 我们还需要定义一个标准线性插值算子”：日2 ( n m ) 一栌( n m ) 。有了上面这 些准备工作，接着就可以进行误差估计了。 2 2 2 误差估计 在 1 中，m a r c i n k o w s k i 给出了日1 范数的误差估计 i l u u h | | 日- ( n ) c hi l u l | h ：( nj ( 2 2 - 1 ) 但是在这里我们还需要l 2 范数的误差估计。我们给出如下逼近定理： 8 定理2 2 1 设“是方程偿1 ，的解，u l 。是离散问题伊1 砂的解，则我们有如 下通近： i l u u t 。l i l - - ( nj c h 2i t u l t h ：( n ) ( 2 2 2 ) 定理的证明需要用到对偶论证法和一些引理。我们先给出问题( 21 1 ) 的对偶 问题： j 越_ p 2 g ，n ， ( 22 3 ) i妒20 ， d 亿 f l 】中的引理3 3 6 在我们以后的证明中将会用到，在这里先提一下。 引理2 2 2 如果g 日3 ( 6 。，j ) ，那么 l l g q t n g i i l ：( “) c ；i g i h - “u ) ，s o ，i ，l ， 其中，q 。是定义2 j j 中所定义的三2 到m ( “。) 正交投影 下面，我们给出引理2 2 3 和引理2 2 4 ，及其证明。 引理2 2 3 设u 是方程偿j 1 j 的解，u h 是离散问题偿j 到的解，l p 是对偶问 题俾2 纠的解，则 k = 1c 死( n “n ) 筹d s c 2i i “i i 阳。ji t g i i 州) ( 2 2 4 ) 让明： 设r 2 ( n b ) 为死( q ) 中所有三角形的边的集合，但不包含a n ，即 i 、2 ( n k ) = u 0 e ( g q ， 故有 差、 6 如 善。杀t l if l i t - - l j h ) 丽如 = 肛叫警如 = 蚤n ，。赢。，上 u u 一】鬟出+ 5 m , , i c 5c p j ( 。，阻一 蒙如 = u u 一】筹出+ f 阻一u 1 蔫如 k = 1r r ? ( n - ) 。7 ” 。j ” 9 ( 1 ) 先估计1 1 ： 由 1 3 】，我们有如下结果， v r r 2 ( n k ) ，有以下两种情况。 ( a ) 假如rga n b ，即t h ( a k ) 中存在两个三角形e l ，e 2 ，使得f = 百n 西，则 伊一 篆如= 肚u 鬟幽 茎m j 孰m 。：1 ( j ”k l t - - u h k ，+ 卜2 u - u h k 【b ) 假如r d 吼，设r ，e 是，k ( 吼) 中的一个= 角形，则 z 卜训筹d s _ c h k f 阻 从而，把上两式代入，的表达式，由经典的逼近定理和正则性假设，以及 m a r c i n k o w s k i 1 】的结论，即得 = 善n ，三、z 卜训关如 k = 1 f r 2 ( n i ) 。7 。 c 塾飘p 咱， 。蚤饥( 协一“。，+ l u - - i z h ) 删， 毋 峨：( n 。) ) i l g l l n - = 1 ， c h 2 h ：( n 渺怯( nj ( i i ) 再估计l ： 设6 。j 是n i 和n j 的公共边。由q 。的三2 正交性，可得 z 。，筹h 】d s = z 。( 筹一q 。篆剐s ， 以及， 。，( 筹一。筹) 卜印。尬靠u + 印。坛“i + ”i ”一q 。“幻如= 。 1 0 由此，我们进一步可得 j ( 。，卜u n l 鼢 = z 。，( 筹一q 。豢m 一 = j ( 。，( 瓮地筹一”i “+ ”i u “一尬”i u + 删一 + m i t l u 一尬u i q 。尬 r i u + q 。 磊“i + q m 7 r i 仳一q m t + 钍一丌0 u + 丌“一“) d s s l i 篆一q 。新纠“u ：。， + 1 1 丌i u 一“i 一 以( 7 r i u u ；。) 1 i l ：( 5 。，) + i l 磊( f i “一u x ) 一q 。 厶( f x “一 t ) l t l ? ( “。) + l l ”i “一“i q 。( ”i u 一) i i l ! ( “) + | | u 一”f 训f l = i “，) ) 其中上式右端各项可分别估计如下。 由引理2 2 2 和迹定理，可得 篆弧孰邓。一 c n 引一“。 s c j 1 i l p j h ? 1 1 2 ，l c 妒1 i g i i r - ( 由引理2 2 1 ，经典的逼近定理以及 1 】的结论，可得 i i 丌a “一t k 一 最( r ；u 一“x ) i i l ? ( 6 。 c h j - 阻一u ( 。，) c ：7 2 ( i t 一丌i t i h ；。n ，+ i u u i i h “n ，) c 妒日。( n ，) 由引理2 2 2 ，引理2 2 1 和经典的逼近定理，以及 1 的结论，可得 i i 氟( ”x “一u k ) 一q m 磊( ”a u 一- ) l l r ：( 5 。 c 矧尬( ”i u u i ) b 。) 1 1 c 蚓尬( ”i “一u ( c ；门i - i u - , 4 2 善l m m 1 要? “乙! 。f 2 8 其中d 是区域n 的维数，这里d = 2 。 定理3 1 4 假设伊j ，他，和r 驯满足，则我们方法是景优的，即用m o r t a rp 1 非协调有限元方法离散和c a s c a d i c 多重网格算法解两阶椭圆型问题是最优的。 定理31 1 ，定理3 1 2 ，定理3 1 3 和定理3 1 4 的证明过程见 5 】。 在下面，我们将要证明：对于两阶问题，使用m o r t a r 型p l 非协调元离散方法 和c c g 迭代方法，( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 是成立的。我们的主要工作是要找丑和巧， 使得满足假设条件。在证明之前，需要做一些准备工作。 3 2 记号 记丑“i 是第l 层网格，就是前面定义的t h ( f 2 i ) ，把t t 一1 i 中所有三角形的中 点相连形成更细一层网格丑而记乃= e 乃i 是整个区域q 上的网格。是 i = l 丑上的m o r t a r 型p 1 非协调元空间，其上的离散双线性泛函q 1 ( ，) ，a i ( ，) ， 以及范数，半范和能量范数定义为： l ( “，口) = v u v v d z ，v u ， e t f 。6 a z ( u ， ) = 忆1 n 。= n a i ，f ( u ，u ) ， i = 1 、 l | i ”i l l , 沁) ) k 乃f 1 7 眦厂( 卦臣。) “2 ， “m = ( 。到孔。，) v 2 川= ( 卦 。) v 2 ， f = ( a f ( ， ) ) 定义算子a f ：v t m ，使得 ( a l u ， ) = a t ( u ，u ) ，y u ， ( 3 2 1 ) 所以离散问题可以写为 a t u t = ，i ， 其中，f ，使得( ，f ，”) = ( ，”) 。 对于n o n m o r t a r 边瓦。，= 礓n 珥，我们定义 定义3 2 1 算子白“，：x 2 一x 2 r j ，假如中点m ，则岛6 。，( 口) ( m ) = q 。( v l 。 r 剀其它，矗6 。，( ”) ( r n ) = 0 ； 再定义算子：x 一x 2 ，u = 凸， 6 m ，j i 显然，如果”x f ，则v + 口。 我们再定义一个辅助算子， 定义3 2 2 算子最：一1 + 一，使得 ( 3 22 ) o l ( 毋u ， ) = a t ( u ， ) ，v v m ( 3 2 3 ) 对于p f ，有 引理3 2 1p l 的定义如上，则 p j u bsc 川1 i _ 1 ，v v 一1 ( 3 24 ) 1 8 证明 由范数的等价性 p , v l ；f = a l ( p j f u ，p l ”) = a l ( p 1 ， ) i p z v h , 1m 1 f = lp ! 口h 川1 l 一1 口 关于定理证明过程中的最后一个等式，这里给出一些说明。因为一，和m 是不嵌套的，故对于”e 一，则川表示如下积分形式： 川1 f 在本文下面的论述中，还会遇到这种情况，以后按同样的方法处理。 3 3 空间的节点基 我们先考虑一下空间m 的节点基的形式。因为空间中的函数在两个子区 域的公共边上满足m o r t a r 条件，故非m o r t a r 边正。，上的节点不是空间的自 由度。由于有这个特性，下面我们就可以来构造空间的节点基了。 设 科：t = 1 ，厩) 是非协调元空间x “的节点基。然后我们就可以定义 m o r t a r 元空间的节点基如下形式： 如果中点m 在非m o r t a r 边上，即m ；“。，j ，则如上定义的妒 为0 。对于 剩下的每一个节点m ；，即m ；g “j 都有一个非零节点基妒：，因为妒 和剜在 所有除了非m o r t a r 节点外的其余节点上的值相同。这意味着 科) 中的非零函数 相互之间线性独立，可以验证它们是空间的基。记 为科中非零函数的总 和，也即是空间m 的基的个数。 假设集合a k = m n 跚，且m 是有一条边在m o r t a r 边上三角形的中点 。 现在我们对m 的节点基进行分类： ( 1 ) 中点m 在n i 内部，妒；= 科 ( 2 ) 中点m ；e a k ，妒；= 事；+ 弼 记这些节点基的集合为圣。， 记这些节点基的集合为壬r 。 1 9 乳 ，凡 琊 畦 随 3 4 网格转移算子 我们先定义不带m o r t a r 条件的p 1 非协调元空间x l l ，x o 上的网格转侈 算子可一。，我们只要给出在中点上的值就行了。由 1 0 】中定义的 定义3 4 1 网格转移算子矗一】：x 卜1 - - - + x ： r 纠中点m 在研一- 内部，贝4 ( 叫一。”) ( m ) = ”( m ) ， 倒中点m 在剖分丑一。中的两个三角形e - e 2 的公共边上，且m 百n 砭， 贝4 ( 一。”) ( m ) = i 1 ( ”i 。( m ) + u i 。( m ) ) ， 俐中点m o f h 0 n ，则( 可一1 ”) ( m ) = v ( m ) ， “，中点m a n ，则( 掣一1 ”) ( m ) = 0 。 在f 5 1 ，我们可以得到，v 一1 ， m 。 惮，”一叽 忙一一一h | | o ，l n c 1 1 , 1 1 u f 一1m c h h “l j s c h 2 f l f l 。 ( 3 4 1 ) ( 34 2 ) ( 3 43 ) 现在我们可以定义m o r t a rp 1 非协调元空间一1 + 上的网格转移算子 定义3 4 2 网格转移算子五：m 一1 + 对于五，有如下引理 引理3 4 1 i l v = 啦! v + 矗一1 ( 3 4 4 ) 丑 l o l c h o 1 _ 1 ，怕一1 ( 3 4 、5 ) 证明： 由丑的定义，以及墨一。的性质 i i 矗一t ”i 。+ i i 矗一，口0 。 c n i 州_ l + 。乏m “。臣i i ，。 o m ，i 下面我们只要证明 阻t m r 。到岛“m i i 叫 即可。 因为可一。”在n 。内部为零 s m 怖。，矗圳： = 栩粉( 爿一i 一一i i _ l v l “。) 眦。， r | | 矗一。”i ，。一可_ l v l s 。，l e 。 s n r | | 矗一”i ，。i i ：，。+ n z l i 可1 0 l 一。，i | ：。 茎 i | 矗一。”| | ： n + 0 矗一。u | | ：，；， s i i v | | 暑 1 2m + i i v 慨m 在上式的估计中，我们用到了q 。的性质。上式关于6 。，r 求和，我们可以得 到， 酬叫s c i i v 一， 这样就证明了引理3 4 1 。口 3 5 假设的证明 下面我们将验证：对于m o r t a r 型p 1 非协调元，c a s c a d i c 算法的三个收敛性 假设是满足的。 定理3 5 1 对于m o r t a rp 1 非协调元，假设条件细j 满足，即 i i v 一正 | | 。l ? sc h l l 口j 1 一1 ，v v 一1 ， i l “f 一丑u j 一1 | | o j c h l f ，i i l ：( n ) 证明： ( 1 ) 我们先证明第一式。由丑的定义，我们有， 岫一h v = 卜一矗一一矗一| | 叫 2 1 ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) 对于上式右端第一项，由j 一，的性质，甭 i i ”一可一“i l 。，；c z 4 v l z 一 设。是剖分中三角形的边的中点，则对于1 1 最，4 _ i v 忆，由l 2 离散范数 的定义以及q 。的性质，我们可以得到 忪。，矗一 h 2 ( 岛“。矗一) ( m m ) 2 fi l 晶 。，矗一t 口0 玑， 和 = h f 。( j f 一，”h 一 曼m ( 忪n ( 爿一h 。 如k 川h 。， 一圳：。 + 协m 。，一i j _ 1 v l “。) 眈。，+ 由工2 离散范数的定义以及矗一1 的性质( 3 4 2 ) 式，有 | l q 。( ”i 。，一一，”i s 。，) | i ：，。m ， 由( 2 1 8 ) 式我们有 乩。加“。) i 。一啦，砒川i “。 s c h - 1 砖一。一”9 ：上。， c | | f i f ，n ， 吣圳： 。，= o 砰 慨 沌暑 + + 矗d q 一 一 一 一 “刊即 “一圳 和 由以上几式求和，我们证i ! l j ，第一式， | | 一正u | | o j c h l i | ” 1 1 ，f ( 2 ) 下面，我们证明第二式。与证明( 1 ) 式相同方法，我们可以得到 一舢一= 怕一矗一1 t q 一，一e i f _ l u , - 1 忆 曼 l l “z 一矗一，u z 一| | 。：+ | | 矗一u z 一- i i 。 i l t “一矗一，u r 一i l o , + 。2 ：。，i i 凸一w ，矗一，t “一1 1 1 。，z 怕一一- 1 u c h 2 ， 对于1 旧“，可_ l u - 1 忆。，我们有如下估计， i i c i a , a i _ i “1 - - i i f ：。 =m l i 晶 。，矗- i o , - i i i ：“。 = 两粉( 1 _ 1 u , - 1 1 一，一j f h k 圳：“。 c ( 1 口。( 矗一，“c t ，。，一“c h 。，) l ：，。 + i | q 。( “。k 。，一可一。一，k 。，) i i ： 。+ i i q o , “t i 。一k 。，) i ：m 。，) 由上2 离散范数的定义以及霹一1 的性质( 3 4 3 ) 式，有 胁( 矗_ l u l - i i 。k 堋。s 舡m i 。叫h 瓶。 兰 h 一1 | 1 矗一- u r 一一u r 4 i n 。 c h 3 i i s i l ：。， i i q 。( u r 一。i a 。，一矗一- u 一l a 。，) 0 ：，。，。，s i l u , i s 。，一可一，“z c h 3 b n ，l ， 由q 。的性质( 2 1 8 ) 式，可得 胁( u i 厂蚴) 吐。，= o 2 3 口 综合前面几式，得到 | l 岛“。o 一。铆一l i 。f c 酽( 1 l f l l 。：( n 。) + i i 刘。：( 。) ) 这样，我们就证明了第二式 定理3 5 2 对于m o r t a rp 1 非协调元，假设条件r 日2 j 满足，即 u r g ，u l 】i l 巧”1 。( “r u ) 忖c 嵩h - 1 ” l i 甲。训。州l ： 证明： 对于c g 方法，由 1 2 ，有 u z e p “? i i | 五” 玑 | | 互m - ”忆 i 彳”( “z u i j ) 曼关2 m lb 1 j ”| ， 一 上 iz ， 其中是欧几里得范数，w 是a 的最大特征根。 现在我们只需证明 则 婶sc ， ms c h ；1h o 1 ( 1 ) 先证明( 3 5 3 ) 式。v v 可以表示为 u = ? j 0 + ”r = “妒；+ “妒； p ：壬。妒：e 圣。 a l ( v ， ) 茎2 ( a ( u o ，u o ) + a ( v r ，v r ) ) 2 4 ( 353 ) ( 3 54 ) 运用c a u c h y 不等式，经直接计算可以得到 对于a ( v r ， o f ) a ( v o ，v o ) c p ；。( 妒；，妒 ) p ：壬。 所以， ( a i r ，口) c 埘2 a f i ，妒；) 墨c p 细( 商，妒 ) + c ，t h ( _ p j ，纠) p ；e i , op ：e i , t 对于p ；e 圣o ，我们可以直接计算，得 f 。= ：g 对于l p le 壬r ，有 ，= 情+ 矾恻旧 运用逆不等式，以及三2 范数的定义， l l 庐：c h 一1i l 庐 | | 。， 一1 ( 。到钆“。矧 由上2 范数的定义， i i s z ，s 。，庐；i i 。，。 c ；7 2 | i e z ，a 。，庐；i l 。矗。， c 圳砘 。 c j 7 2 | i 商j l 。，。， c 叩i 结合上两式，可得 恻i c h 。1 俐k 然后，我们就得到 ( a l v ，”) c 肛；= c ( ”，”) p ：壬。 由矩阵理论的r a y l e i g h 商引理，得 ( 2 ) 现在我们证明( 3 5 4 ) 式。 = 卜2 如 c e t t 。 ：f