（应用数学专业论文）活动轮廓模型在核磁共振图像处理中的应用研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明: 1 、坚持以 “ 求实、创新，的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示 了谢意 。 作者签名:栋幼 红 日期. 1. s 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版; 有权将学位论文用于非东利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅: 有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索; 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版. 保密的学位论 文在解密后适用本规定。 作 者 签 名 : 查 k a 日期 :知夕 . 歹 ， 摘要 核磁共 振成像 ( m a gn e t i c r e s o n a n c e im a g i n g , m r i )以 其非 介入 性、非 损伤性、 很少 受目 标物体运动的影响等特点，已 被广泛运用于医学图 像拍摄。目 前，医学影 像在临床 医学上起着越来越重要的作用。医学图 像分割在生物医学研究和临床应用中具有重要的 意义，可用于研究解剖结构、组织定量化测定、病灶确定、 病疾诊断等。并将分割的信 息用于三维重建，从而达到目 标三维运动重建的目的，易于 对病理的分析研究。因而精 确的分割是后继分析的关键和重要基础。 分割的目的是将原始图像划分为一系列有意义的区域或提取图像中感兴趣的区域 ( r e g io n o f in t e r e s t , r o i ) 。 变分 方 法可以自 然的 将复 杂的 分 割 转 化为 泛函的 极 值问 题。 本 文结合特定的图像分割目的，基于 变分等原理对图 像分割进行了系统的深入研究，并 对 其数值实现与快速实现进行了 探讨。 可形变模型已经成为医学图像分析的重要工具。目 前常用的可形变模型有参数模型 和儿何模型， 传统的参数模型在分害 (j 图像时强烈地依赖于轮廓的初始位置， 捕捉范围小， 不仅进入凹陷区域困难而且常陷于能量局部极值，而且不支持拓扑改变;另外在外力很 小时，轮廓会收缩到一点，而边界很弱时，轮廓又会渗透过边界;同时，模型参数的确 定也没有理论的指导。而且，由于人体解剖结构的 复杂性、软组织的不规则性， 使得成 像质量不是太理想， 从而使参数模型分割的效果不是太理想。 本文构造一种新的图像力， 以减少噪音对 s n a k e 模型的影响;将 s n a k e 模型和遗传算法结合起来，优化 s n a k e 模型 分割结果，以防止模型陷入局部最优。 针对 s n a k e模烈较难处理拓扑改变的问题，水平集模型应运而生。近十年来，该方 法的出现推动了非参数化的儿何活动轮廓模型的研究。儿何模烈的一人特点就足可以处 理拓扑结构变化问题。但是，由于心脏 mr图像中左心室易存在弱边缘、与周围组织之 间存在低对比区域。 传统的 水平集在定义速度时， 往往仅使用了图像的 边缘信息，这样 必然导致在分割该类目 标时， 不能得到真实边界， 而且在初始轮廓线超出区域边界时， 将导致分割失败。 s n a k e 模型与水平集模型都有其特定的优点， 本文提出一种改进的参数活动轮廓模型 -s - l模型， 它综合参数模型和儿何模烈的优点， 首先利用图像的全局信息构造出新的 约束力，以 最大程度地避免局部最优， 井防止曲 线从弱边界泄漏。并利用水平集的思想 使其具有处理拓扑改变的能力，同时又具有s n a k e 模型的高效性。 基于 m u m f o r d - s h a h ( m - s ) 模型可以同时实现图 像分割和恢复。分割基于一组不断 平滑的重建图 像，可使分割简单化。即 使这样，其迭代过程需要对所有图 像数据反复进 行计算，因而其时间效率很低， 难以实时应用。针对这个缺点，根据医学mr i 的特点 对 m - s模型进行改进，提出一种基于 直方图的快速求解方法，其求解时首先构造符号表以 区分曲线内外区域，然后利用直方图法进行目 标的快速粗分割，再通过遍历优化边界以 获得较精确的分割。 对 mr图 像分割的实验表明其分割效果更好，同时，时间效率也有 大幅提高，方便了实时应用。 关键词:图像分割:变分方法:参数活动轮廓模型;几何活动轮廓模型:分割一 增强祸合 变分模型 ab s t r a c t t h e a p p l i c a t i o n o f m a g n e t i c r e s o n anc e i m a g i n g , w it h t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f n o i n t e rv e n t i o n , n o t h a r m f u l , s e l d o m e ff e c t e d b y t h e m o t i o n s o f o b j e c t i o n , h a s b e e n u s e d i n t a k i n g p i c t u r e s o f m e d i c a l i m a g e s . m e d i c a l i m a g e s e g m e n t a t i o n p l a y s an i m p o rt a n t r o l e i n b i o m e d i c a l r e s e a r c h a n d c l i n i c a l a p p l i c a t i o n s s u c h a s s t u d y o f ana t o m i c a l s tr u c t u r e , q u ant i f i c a t i o n o f t i s s u e v o l u m e s , l o c a l i z a t i o n o f p a t h o l o g y , d i a g n o s i s , tr e a t m e n t p l ann i n g , and c o m p u t e r a i d e d s u r g e r y , e t c . a s a r e s u lt , a c c u r a t e s e g m e n t a t i o n m e t h o d i s c r u c i a l t o t h e f o l l o w - u p a n a l y s i s . a c c o r d i n g t o d i ff e r e n t i m a g e a n a l y s is t a s k , m e d i c a l i m a g e s e g m e n t a t i o n a im s a t p a rt i t i o n t h e o r i g i n a l i m a g e i n t o s e v e r a l m e ani n g f u l r e g i o n s o r i s o l a t i n g t h e r e g i o n o f i n t e r e s t i n g ( r o i ) . v a r i a t i o n a l m e t h o d c o u l d n a t u r a l l y c o n v e rt c o m p l e x s e g m e n t a t i o n i n t o a v a r i a t i o n a l f u n c t i o n a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . i n t h i s t h e s i s , v a r i a t i o n a l m e t h o d - b a s e d m e d i c a l im a g e s e g m e n t a t i o n f o r s p e c i f i c t a s k s is e x t e n s iv e l y e x p l o r e d , and e f f i c i e n t n u m e r i c a l a l g o r i t h m s a r e d i s c u s s e d . c u r r e n t l y , t h e d e f o r m a b l e m o d e l s h a v e b e c o m e a n i m p o rt a n t t o o l o f t h e m e d i c a l i m a g e a n a l y s i s . wh e n s e g m e n t i n g i m a g e s , t h e c l a s s i c a l p a r a m e t r i c a c t iv e c o n t o u r m o d e l s s u ff e r f r o m a s t r o n g s e n s i t i v i ty t o it s i n i t i a l p o s i t i o n , h a v e l it t l e s p a c e t o c a t c h , c an n o t m o v e i n t o t h e a r e a , w h e r e i s d e p r e s s e d , e a s y t o f a l l i n t o l o c a l m i n i m a , c an n o t d e a l w i t h t o p o l o g i c a l c h ang e s , t h e c u rv e s w i l l s h r i n k t o a p o i n t w h e n t h e o u t e r f o r c e i s l i tt l e , t h e c u rv e s w i l l p a s s t h r o u g h t h e w e a k e d g e s , and t h e r e a r e n o a c a d e m i c d i r e c t i o n s t o c o n f i r m t h e p a r a m e t e r s . b e c a u s e o f t h e c o m p le x it y o f a n a t o m i c a l s t r u c t u r e s a n d a b n o r m ity o f p a r e n c h y m a , t h e q u a l i t y o f t h e i m a g e is n o t g o o d e n o u g h . i n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a n e w i m a g e f o r c e . w i t h t h i s f o r c e t h e s n a k e m o d a l c a n d o w e l l i n s e g m e n t i n g t h e n o i s i n g im a g e , and g i v e an i m a g e s e g m e n t a t i o n m e t h o d o f s ank e m o d e l b a s e d o n t h e g a s ( g e n e t i c a l g o r it h m s ) t o p r e v e n t t h e m o d e l f a l l i n g i n t o l o c a l m i n i m a , b e tt e r r e s u l t s a re a c h i e v e d i n a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d o n s e g m e n t a t i o n o f c a r d i a c m a g n e t i c r e s o n anc e i ma g e s . a i m i n g a t t h e d i s a b i l i ty o f c h a n g i n g t h e t o p o l o g y , t h e l e v e l s e t m o d e l e m e r g e s . t h e m o d e l h a s b e e n d r i v i n g t h e s t u d i e s o f n o n e p a r a m e t e r i z e d g e o m e t r i c a l m o d e ls . o n e o f t h e g r e a t e s t v i rt u e s o f g e o m e t r i c a l m o d e l i s t h a t i t c an c h ang e t h e t o p o lo g y f r e e l y . b u t w i t h t h e a ff e c t o f t h e w e a k e d g e s , c l a s s i c a l l e v e l s e t m o d e l , u s i n g t h e i n f o r m a t i o n o f e d g e s , b e a ff e c t e d b y t h e n o i s e and w e a k e d g e s , c a n n o t g e t t h e r i g h t e d g e s . a n d i f t h e i n i t i a l c u rv e s c r o s s t h e e d g e , t h e m o d e l c an n o t g e t t h e r e s u l t s . a ft e r c o m p a r e d t h e v i rt u e s o f s n a k e m o d e l and l e v e l s e t m o d e l , t h i s p a p e r p r e s e n t s a n e w a c t i v e c o n t o u r m o d e l - s - l m o d e l , w h i c h c o mb i n e s t h e v i rt u e s o f s n a k e m o d e l a n d l e v e l s e t m o d e l . t h e n e w m o d e l u s e t h e e n e r g y e q u a t i o n o f s n a k e m o d e l t o e v o l v e t h e c u rv e a n d u s e a s y m b o l t a b le , w h i c h i s b a s e d o n t h e s o u l o f l e v e l s e t m o d e l ， t o c h ang e t h e t o p o l o g y o f t h e c u rv e . t o r e d u c e t h e e ff e c t o f t h e n o i s e , t h e n e w m o d e l c o n s tr u c t s a n e w o u t e r f o r c e , w h i c h b a s e d o n t h e r e g i o n i n f o r m a t i o n . wit h t h e n e w o u t e r f o r c e , t h e i n i t i a l c u r v e c a n b e m a d e i n a l a r g e s p a c e . f o r u s i n g t h e r e g i o n i n f o r m a t i o n , t h e n e w m o d e l c a n f i n d t h e e d g e s p o w e r f u l l y , e v e n i f i t h a s c o m p l e x t o p o l o g y , a v o i d l o c a l m i n i m a fr o m s n a k e m o d e l . t h e e x p e r i m e n t s t o s e g m e n t c a r d i a c m a g n e t i c r e s o n a n c e i m a g e s s h o w t h a t t h e n e w m o d e l c a n g e t t h e s i m i l a r 4 r e s u l t s w i t h l e v e l - s e t i n an e f f i c i e n t w a y . m u n f o r d - s h a h ( m - s ) m o d e l i s a c o u p l e d v a r i a t i o n a l m o d e l t h a t c an s i m u l t an e o u s ly s e g m e n t and r e s t o r e t h e i m a g e , w h e r e t h e s e g m e n t a t i o n i s p e r f o r m e d o n s e t s m o o t h i m a g e s t h u s s im p l i f y t h e s e g m e n t a t i o n . b u t i t n e e d s c o m p u t i n g a l l t h e d a t a o f t h e i m a g e c o n s t a n t l y d u r i n g t h e it e r a t i v e c o u r s e , s o i t i s h a r d t o u s e d t o r e a l - t i m e a p p l i c a t i o n f o r i t s l o w e f f i c i e n c y . a i m i n g a t t h i s d i s a b i l it y , b y u s i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e m r i , a f a s t m e t h o d o f s o l v i n g t h e m- s m o d e l i s i m p r o v e d b a s e d o n t h e h i s t o g r a m m e t h o d . t h i s m e t h o d f i r s t c o n s t r u c t a s i g n e d t a b l e , w h i c h c an b e u s e d t o d i s t i n g u i s h t h e a r e a i n s i d e o r o u t s i d e o f t h e e d g e s , and u s e t h e h i s t o g r a m m e t h o d t o g e t t h e r o u g h r e s u l t s , t h e n u s e t h e s e a r c h i n g m e t h o d t o o p t i m i z e t h e r e s u l t s and g e t t h e f i n a l e d g e s . e x p e r i m e n t a l r e s u lt s s h o w t h a t t h e n e w m o d e l c an g e t t h e b e tt e r r e s u l t s i n an e ff i c i e n t w a y . k e y wo r d s : i m a g e s e g m e n t a t i o n ; v a r i a t i o n a l m e t h o d ; p a r a m e t r i c a c t i v e c o n t o u r m o d e l g e o m e t r i c a c t i v e c o n t o u r m o d e l ; c o u p l e d s e g m e n t a t i o n a n d e n h a n c e m e n t 第一章绪论 1 。1引言 心血管疾病( c a r d i ov a s c u l a rd i s e a s e ，c v d ) 每年夺走1 2 0 0 万人的生命，接近世界 1 人口总死亡的二已成为人类健康的头号大敌。随着经济水平的不断提高，人”j 的饮食 4 习惯富营养化，从而c v d 在我国的发病率也里上升趋势。根据美国疾病预防与控制中心 的报告，如果c v d 能够得到有效的诊断和治疗，病人的平均预期寿命将会提高1 0 年。因 而，如何借助于医学影像检查，定性和定量地分析心脏的运动，并进而分析与c v d 的关 系已经成为研究的热点。 幽1 1 心脏的解剖结构示意图 图1 1 为心脏的解剖结构示意图。其中左心室负责供血，也是容易出现病变的部位， 因而目前对心脏的研究的重点大都放在左心室上。 近2 0 年来，医学影像已成为现代医学诊断不可或缺的技术手段，而且是发展最快的 领域之一。它的发展使医生对人体解剖结构及功能的认识更加完善。其中心血管造影术 ( a n g i o c a r d i o g r a p h y ) ，心脏超声( c a r d i a cu l t r a s o u n d ) ，同位素成像( is o t o p ei m a g i n g ) ， 断层x 射线摄影术( c t ，c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 和心脏核磁共振成像( m r l m a g n e t i c r e s o n a n c ei m a g i n g ) 等医学成像技术已经广泛运用于医疗诊断、治疗、术前计划、术后 监控等再个环节。在这些方法当中，由丁二炽i 特殊的成像机理，使得该方法对生物体内 像心脏这样的软组织特别有效，而且图像质量受目标运动影响较小。士要的特点是：1 6 与其它的成像模式相比，m r i 对软组织的对比度最高：2 m r i 具有任意方向直接分层成像 的能力：3 m r i 属非侵入性的成像技术，对人体没有伤害；4m r i 成像参数多，包含的信 息量大；5 ，m r i 具有较高的空间分辨率。上世纪8 0 年代后期带标志线( t a g g i n g ) 的成像技 术的出现，改变了传统的心脏运动跟踪方式，使得在该领域的研究得到了快速的发展。 随着医学图像技术的发展，计算机图像分析已成为医学影像学重要的研究内容和研究热 点。 医学图像分割是进行计算机图像分析的关键，是制约医学图像处理中其他相关技术 发展与应用的瓶颈，也是医学图像理解的基础。医学图像分割在生物医学研究、临床诊 断、病理分析等方面具有重要的意义，具体表现如下1 2 - 5 ：1 ) 分割是图像后继处理的前 提：由于m r i 图像背景复杂，在心脏m r 图像中有血管、血液、心肌、肺部等组织和器官， 且成像的质鼍受到多种因素的制约，所以用传统的图像分割方法效果并不理想：2 ) 用于 医学图像的三维重建，对图像进行2 d 分割后，得到待分割目标的内外边界，再以此为基 础，重建所要观察的目标，在临床中有着重要的价值；3 ) 可测量人体器官、病灶人小等： 4 ) 分割可以用于图像压缩、水印嵌入等方面；5 ) 分割后的图像更易于图像理解与重建。 根据医学图像分析任务的要求，可将分割分为基于区域的分割和基于边界的分割两 类。基于区域的分割是对一幅图像按其特征相似性划分为若干有意义的区域【，“。基于 边界的分割是将图像中感兴趣的区域分离出来，提取其边界，为r o i 准确定位等” - 1 2 j 。 按j c 分割方法的特性，可将模型分为参数模型和几何模型。八十年代末，k a s s 等提出了 活动轮廓模型( a c t i v ec o n t o u rm o d e l ) ”“，从动力学角度来研究曲线的演化过稗，通过 计算得到图像感兴趣区域的边界，且精度达到了亚像素水平。但是该模刑在演化过科中 不能进行拓扑改变；水平集方法【| “将运动界面作为零水平集嵌入高一维的水平集函数 中，由闭超曲面的演化方程可以得到水平集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其 零水平集，最终只要确定零水平集即可确定移动界面演化的结果。目前该模型已经成为 研究的热点。本文重点研究左心室的分割技术主要包括参数和几何活动轮廓模型的理 论基础以及在医学图像分割方面的应用。 1 2 国内外医学图像分割方法研究现状 为了对图像进行分析，必须对图像进行左心室的2 d 分割。医学图像具有复杂性和多 样性：成像质量受到诸如噪声、场偏移效应、局部体效应和组织运动的影响，因此，医 学剧像具有模糊、灰度不一致性等特点。在许多应用场合，仍需专业人员进行手1 ：分割。 近年来，随着图像分割技术的发展，由用户参与控制和引导的半自动的交互式分割方法 受到了深入的关注和研究。目前，对医学图像分割方法的研究主要集中在变形模型上 该类模型将对r o i 区域的先验知识与图像数据的约束联系起来，使曲线住演化过程中能 够保持连续性和平滑性。变形模型综台使用了微分几何、动力学、函数逼近、数值计算 等理论和方法。在运用变形模型时往往基于如下信息：1 ) 区域信息，使用该信息通常基 丁- 如下假设：同一目标区域的像素具有相似的特征，例如具有灰度的一致性。阈值法”“、 结合k 均值集群和数学形态学的方法1 1 、模糊c 均值集群方法、e m 算法0 8 - z o l 、基于 7 m a r k 。v 随机场的方法、基于分水岭和区域合并的方法【”1 等都可划分为这一类；2 ) 边 缘信息，一般基于图像的梯度信息来确定边界。如各种梯度算子方法、基于反应一扩散方 程的方法【2 3 1 、基于小波的边缘检测方法、基于曲面拟合的方法1 2 4j 等。3 ) 综台区域和边 缘信息。如结合梯度和区域信息的分割方法、区域竞争法1 2 ”、结合w a t e r s h e d 和f a s t m a r c h i n g 算法的方法【2 7 1 等。与前两种方法相比，综合区域和边缘信息的模型能够获得更 好的分割结果。本文分析以下在医学图像处理中常用的形变模犁：1 参数轮廓模型；2 几何活动轮廓模型；3m u m f o r d s h a h 模型。 1 ) 参数活动轮廓模型 s n a k e 模型是经典的参数活动轮廓模型，由k a s s 等人提出，被用于跟踪人脸嘴部的 运动。s n a k e 模型1 芏图像的感兴趣区域( r o i ) 附近定义了一条带有能昔的样条曲线，通 过最小化能鼍函数，来拟合形变模型和图像数据。最小化能量就是使曲线内部外部能耸 加权和达到最小，其中内部能量描述曲线的张力和平滑力，外部能量由图像信息确定。 要寻找目标边界，首先要初始化参数曲线，使其靠近目标边界，然后在内力的作用下， 逐步靠近目标边界。此时，能量最小。s n a k e 模型已经被证明为是一种高效的轮廓探测法。 定义s n a k e 为一条样条曲线：v ( s ) = ( x ( j ) ，y ( j ) ) ，s o ，1 】，它具有一个能量e m m ， 主要由内部能量e 。和外部能置e 。组成： e 。；i ( 巨。+ e 。) a s ( 1 2 1 ) e 。保持样条曲线的弹性和光滑性。e 。由图像信息确定，约束曲线的演化，使其在目 标边界处停i i 。定义分别如f ： e 。= 口矿o ) 1 12 + i 矿”( j ) 旷 ( 1 , 2 2 ) 氏，= 一1 w ( 矿) 2 或= 一j v g 。( 矿) + ，( y ) | 2 ( 1 23 ) 在上面等式中，v ( s ) = ( z ( s ) ，y ( j ) ) 为曲线上的s n a k e 控制点矢量，t 2 为曲线弹性系数， 卢为曲线平滑性系数。g ( x ，y ) 是二维的高斯方程，盯是高斯标准方筹，v 为梯度算 子。s n a k e 模型的基本思想是使s n a k e 曲线受能量控制朝能量减少的方向运动，达剑目标 边界时，能量e m m 最小。极小化( 1 2 1 ) ，得到曲线的动力学方程用差分方法、有限 元方法或优化方法得到它的解。该模型分割医学图像时取得了极大的成功，但也存在一 些缺点：1 ) 它强烈地依赖于轮廓的初始位置，需要将初始轮廓线设置在r o i 的边界附近， 且分割结果依赖丁初始轮廓线的位置和形状：2 ) 捕捉范闸小；3 ) 演化曲线很难进入凹 j 5 ；区域；4 ) 曲线在演化过程中常陷丁i 能繁局部极值，即局部梯度极人值或孤立j ；! 缘处： 5 ) 曲线在演化过程中不能自适应地改变拓扑结构以同时分割多个目标；6 ) 住外力很小 时，曲线会收缩到一点；7 ) 当目标边界很弱时，曲线又会渗透过边界；8 ) 参数的确定 也没有理论的指导。针对这些不足，有不少文献提出了改进办法，如c o h e n 【2 ”引入了膨 胀力，保证了s n a k e 的收敛性；x u 等”提山了梯度向奄流s n a k e ( g v fs n a k e ，g r a d i e n t v e c t o rf l o ws n a k e ) 模型，该模型对图像梯度场进行逼近，构造了一种新的外力，通过内 力和外力的作用使s n a k e 曲线达到平衡，以得到目标边缘。g v fs n a k e 模型的捕捉范围 虽得到了提高，但处理费时，难以实时应用。a m i n i 提出了基于动态规划的s n a k e 算 法米求解全局最优曲线，该方法数值稳定，还可以增加硬约束。本文将在第二、五章对 s n a k e 模型进行了详细的分析，提出了改进的改进s n a k e 模型，以戍削丁心脏m r 图像的 分割。 2 ) 几何活动轮廓模型 几何活动轮廓模型由c a s e l l e s 和m a l l a d i 3 2 】分别独立的提出，可以认为是s n a k e 模掣的改进，并且很好的克服了参数化模型拓扑结构不易变化的缺陷。这种模型主要基 丁曲线演化理论和水平集方法。不同于s n a k e 模型之处在下这种模型中的曲线变形过稃 基于曲线的几何度量参数。这样。变形过程就独立于活动曲线的参数化，囡此可以自动 处理拓扑结构的变化。几何曲线演化模型的基本方程如下： a c 西= 毗橱 ( 124 ) 矿( ，n 为与图像及曲线的曲率k 有关的速度，而为曲线的单位法矢量。上式的物理 意义为：曲线c 以速度矿沿着曲线的法线方向运动。速度函数矿( ，) 一般取为： 肚可南( v 0 v g 括) 1 + 。+ 引 。 ( 1 2 5 ) 其中g 。+ ，为高斯卷积，k 称为常数项作用类似于s n a k e 模型中的法向力；k 为演化 曲线的曲率，s 0 为常数，曲率项e k 在曲线的演化过程中的作用类似于参数化模型中 的内力，即保持曲线的平滑性，而与图像相关的速度项相当f 外力。 方程( i 2 5 ) 可以用水平集方法进行求解，水平集方法最初由o s h e r 和s e t h i a n 提山 1 3 2 。5 1 。j j ； y - 解决基下热力学方程下火苗外形的变化过程 3 6 l ，由于火出外形具有高动态 性平拓扑结构变化的随意性，用参数化曲线或曲面来描述火苗的变化情况显然1 r 常吃力。 该方法的特点就是通过一个高维函数曲线或曲面来表达低维的演化曲线或曲面，即将运 动界面作为零水平集嵌入高一维的水平集函数中由闭超曲面的演化方程可以得到水平 集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终只要确定零水平集即可确 定移动界面演化的结果。将方稗( 12 5 ) 转化为高维水平集函数的偏微分方稗 a 而 二羔= 矿( 七，叫v 酬 ( 1 26 ) 西 。 从而避免了形变曲线或曲面的参数化过程。将曲线崮定的二维或三维网格上，利用有限 差分求解( 1 2 6 ) 。最后即可得到零水平集，即演化后的曲线。图1 2 显示了水平集演 化的意义及过程。 9 图1 2 水平集演化示意图 水平集模型改进了s n a k e 模型，使曲线具有拓扑可变性，但其时间效率较低且在分 割图像时，定义关于图像梯度的单调下降函数作为停止项，使零水平曲线演化到强梯度 边界时停【卜，因而受图像质量影响较大。目前对水平集分割方法的研究主要集中在提高 算法执行的效率、停l r 项的设计、引入形状约束等方面，s e t h i a n 等提出了一种快速的水 平集演化方法【3 3 , 3 4 ，以提高模型的收敛速度；g o m e s 等讨论了水平集方法中如何保持距 离函数约束这一基本问题，并给出了新的速度函数构造方法，极大地降低了计算复杂度。 还有许多学者在提高算法执行的效率、停止项的设计、引入形状约束等方面进行了改进 3 7 - 4 q i 。本文将在第四、赢、六章分析儿何活动模型，提出结合区域和梯度信息分割心脏 m r i 的方法以及其它一些改进。 3 ) m u m f o r d s h a h 模型 m u m f o r d 和s h a h 提出了著名的结合图像边界和区域的分割模型，即m u m f o r d s h a h 模型 4 1 , 4 21 ，该模型的能量函数包含了对图像的区域、边界的描述。通过优化该模型的能 量函数，可以一次获得受噪声影响的图像的边界、区域以及平滑图像。且在演化过程中 不需要对待分割图像区域的任何先验知识，完全由图像数据进行驱动完成。其模型为 “，c ) = i n f g ( u ，c ) ：c r 2 的闭集，“c 1 ( q c ) ) ( 12 7 ) ”c 其中： g ( u ，c ) = l e n g t h ( c ) + i l “( x ，y ) 一u o ( x ，y ) i 。a x a y + vl v u ( x ，y ) l d x d y ( 12 8 ) dn 膏 式中u o o ，y ) 为开集q r 2 上给定的含噪音图像；闭集c r 2 为( x ，y ) 在q 上的不连 续集；a ， ，v 为调节参数；l e n g t h ( c ) 为闭曲线c 的维h a u s s d o r f f 测度。( 12 7 ) 式 右端第一项使得分割的曲线尽可能的短；第二项使得恢复的图像和原图像尽可能的相似： 第二项使得恢复的图像灰度变化幅度尽可能的小。通过最小化( 12 8 ) 式，可以同时进 行幽像恢复和分割。由丁该模犁使用了区域的信息，冈此当目标的边缘梯度信息很弱时 也能获得较好的分割结果。对于m u m f o r d s h a h 模型的应用研究存在两种简化的隐式模 型，其一为a m b r o s i o 等人提出的基丁椭圆逼近的辅助变基模型；其二为c h a n 和v e s e 等 人建立的水平集模型提出了无梯度主动轮廓水平集算法( 简称c ，v 算法) 。由丁该方 法的演化时使用了全局信息，因此，可以检测出带有空洞的目标的内部区域。但是该类 方法住其每次迭代过科都需要对所有幽像数据进行计算，冈而很费时，而且该方法在分 割医学图像时往往会将非感兴趣的区域一并分割出来。目前对该模刑的研究集中在引入 影一 “ 一 一，、 k = 0 , 1 ,2 。 第二章图像分割中的变分数学基础 2 . 1引言 变分方法研究的对象是泛函极值问题。图像分割是一个不适定问题，通常需要引入 一定的先验知识使分割问题适定化， 基于 变分的可动边界 模型吸收了 解剖结构先验知识 在模型中引入图 像的 微分几何特性和光滑性先验约束， 将图 像分割转化为能量泛函的极 小化问题，并利用变分方法寻求问题的最终解。变分欧拉方程的通解常利用曲 线进化的 偏微分方程来逼近。曲线进化方程通过水平集方法数值求解，从而能够自 然处理曲线演 化过程中的拓扑自适应变化问题。 2 . 2泛函极值问题及其变分解法 2 . 2 . 1 泛函与变分 设x是函 数空间。 若对于x中 的子 集r中 的每一函 数u ( x ) ， 按照一定的 法则 都有 确定的 数值j 与它 对应， 则 称j 是函 数u ( x ) 在r中的 泛函， 记 作j= 八“ ， 其中， r为 该泛函的定义域。 设u o e x， 称s u = u 一 u o , b u e x , u # u 。 为函 数u ( x ) 在u 。 处的 变 分。 记 : 4 j = j u 一 j u o = j u o + s u 一 j u o 为 泛函j u 在u 。 处的 增 量。 如 果 泛函 增量 可表 示为 下 列 形 式: d j u o = l u o , ,5 u + ,6 ( u o , 8 u ) ， 其中， 泛函l u o , (5 u 关 于撇是 线性 的， 而 泛函,8 ( u o , 汰) 是 关于u , u 。 距 离p ( u , u o ) 的 高 阶无 穷 小， 则 称l u o , 曲 为 泛函j u 在 u 。 时的变分， 记为彭 。 2 . 2 . 2泛函极值存在的必要条件 如 果 泛 函j u ( x x , ， 一 ， x n ) 在u = u 。 处 达 到 极 大( 小) 值， 则 在u = u 。 上 泛函 的 一阶变分 压 / =0 ( 2 . 1 ) 令召 a ) = j u o + a * 川，7 7 ( x i i x z , . . . . , x ) 是 满 足 给 定 边 界 条 件的 任 意 函 数， 则 彭 = 0 - a功 ( 0 ) = 0 ( 2 . 2 ) 2 . 2 .3 图像分割模型泛函极值求解 卜 面给出本文图像分割模型所涉及的两类泛函的极值求解方法 1 )泛函j y ( x ) 一 r f (x , y (x ), y (x ),， 一 (x )d x ， 其 中 ， e c 0 a ,b , y (k)(a ) = y ak) y ( k ( b ) 二 y ; k k = 0 , 1 ,2 。 求解: 令 o ( a ) = j ( y o + a 7 ) , 7 ( x ) 是满足 边界条 件的 任意函 数 则 o (a ) 二 d 7 一 广 d f 一 r ( f - 7 (x ) + f , - 7 (x ) + f y, - 7 (x )i， 二 ” - n d x ( 2 .3 ) da da a 利用分部积分，得 7 (x )* = f . -7 1 一 d f , -7 d , = 一 阵f y - 7 d x (2 .4 ) 。- 又 尤 .以x 7 ( x ) d x = f , , b eb d _ 7 i一! 一 丁 户 ， 。心 ax 7 1* 一r 尽 f . 。 ，* 刃 魔x 凡凡 户.占击r.l 一 d一_ l - 1 , 7 7 1 1十 a x 一 。 户 a_ 1 一 丁 一 ;n b 亡 众 恤 二r 典 bj f 7 d x ( 2 .5 ) “ 二 ， (0 ) 一 r (f y d _ 7 ( x ) 一一 丁 . 户 ， a尤 d _ 7+-户 。 ax一 - 7 ) d x( 2 .6 ) 由 于7 ( x ) 是 满足边界 条件的 任意函 数，以 及夕= 0 ， 所以 得: 十 dx 2 f =0 ( 2 . 7 ) 2 )泛函j u ( x , y ) =价( x ,y ,u (x ,y ) ,、 二 ( x , y ) , u j, (x , y )d x d y ， 其 中 u ( x ,y ) e c z ( r ) 求解: 令六 a ) =j ( u 。 十 a 7 7 ) 一 价(x ,y ,u , u x , u y 低.+an d x d y ,+rxn则 : 尹( a ) d =-j( u) da= ildad, = ff( f . 17 + 凡 7 x + f x - r7 y ) d x d y ( 2 . 8 ) 其中 i i ( f ,